W paragrafie tym udowodnimy twierdzenie analogiczne do twierdzenia 7.1, przy za lo˙zeniu, ze prawa strona uk ladu (7.1) jest odwzorowaniem cia

‘

W paragrafie tym udowodnimy twierdzenie analogiczne do twierdzenia 7.1, przy za lo˙zeniu, ze prawa strona uk ladu (7.1) jest odwzorowaniem cia

‘ g lym. Otrzymamy tylko twierdzenie o istnieniu rozwia

‘ za´ n. Teraz przez zadany punkt be

‘ dzie mog lo przechodzi´ c wiele rozwia

‘ za´ n uk ladu (7.1).

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych normalny

(1) y ⁰ = F (x, y),

gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszrze G ⊂ R ⁿ⁺¹ . We´ zmy dowolny punkt (ξ, η) ∈ G i zbi´or T = {(x, y) ∈ R × R ⁿ : |x − ξ| ≤ a, |y − η| ≤ b}, a, b > 0 taki, ˙ze T ⊂ G. W´owczas zachodzi

Twierdzenie 1. (lokalne o istnieniu rozwia

‘ za´ n). Je˙zeli M = max _(x,y)∈T |F (x, y)|

i δ = min(a, b/M ), to istnieje rozwia

‘ zanie

Φ : hξ − δ, ξ + δi → R ⁿ , spe lniaja

‘ ce warunek Φ(ξ) = η, o wykresie przebiegaja

‘ cym w T. ¹

Dow´ od. Je˙zeli M = 0, to twierdzenie jest prawdziwe na mocy twierdzenia 7.1.

Za l´ o˙zmy dalej, ˙ze M 6= 0.

We´ zmy cia

‘ g odwzorowa´ n wielomianowych ( ˜ F _k ) _k∈N , ˜ F _k : T 3 (x, y) → R ⁿ zbie˙zny jednostajnie na T do odwzorowania F. Taki cia

‘ g istnieje na mocy twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji. Po l´ o˙zmy M _k = max _{(x,y) ∈T} | ˜ F _k (x, y) |. Z jednostajnej zbie˙zno´ sci cia

‘ gu ( ˜ F _k ) do odwzorowania F wynika, ˙ze lim _k→∞ M _k = M . Ponie- wa˙z M 6= 0, to nie zmniejszaja ‘ c og´ olno´ sci, mo˙zemy za lo˙zy´ c, ˙ze M k 6= 0. Po l´o˙zmy F _k = _M ^M

k

F ˜ _k , k = 1, 2 . . . Cia

‘ g (F _k ) _{k ∈N} jest cia

‘ giem odwzorowa´ n wielomianowych jednostajnie zbie˙znym do F na zbiorze T i takim, ˙ze max _(x,y)∈T |F k (x, y) | = M.

Odwzorowania F _k sa

‘ cia

‘ g le i spe lniaja

‘ lokalnie warunek Lipschitza ze wzgle

‘ du na zmienna

‘ y = (y 1 , . . . , y n ) (por. w lasno´ s´ c 7.1). Rozwa˙zmy dla ka˙zdego k ∈ N uk lad r´ owna´ n

(2) y ⁰ = F k (x, y).

Po l´ o˙zmy dalej I = hξ − δ, ξ + δi. W my´sl twierdzenia 7.1, istnieje dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie Φ _k : I → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (2), spe lniaja

‘ ce warunek Φ _k (ξ) = η, o wykresie przebiegaja

‘ cym w T . Z lematu 7.1 mamy

(3) Φ k (x) = η +

Z x ξ

F k (t, Φ k (t))dt dla x ∈ I.

Rozwa˙zmy teraz rodzine

‘ odwzorowa´ n (Φ k ) k ∈N . Zauwa˙zmy, ˙ze jest to rodzina wsp´ olnie ograniczona, gdy˙z |Φ k (x) − η| ≤ b, czyli |Φ k (x) | ≤ |η| + b dla ka˙zdego x ∈ I i k ∈ N. Odwzorowania tej rodziny sa

‘ jednakowo cia

‘ g le, bo dla dowolnej liczby ε > 0, je´ sli |x 2 − x 1 | < ε/M, x 1 , x 2 ∈ I, to z (3) dla dowolnego k ∈ N mamy

|Φ k (x ₂ ) − Φ k (x ₁ ) | ≤ | Z x

x

|F k (t, Φ _k (t)) |dt| ≤ M|x 2 − x 1 | < ε.

1

gdy M = 0, to przyjmujemy δ = a

1

W konsekwencji, na mocy twierdzenia Arzeli-Ascoliego, mo˙zna wybra´ c z cia

‘ gu (Φ _k ) _k∈N podcia

‘ g (Φ _k

) _j∈N jednostajnie zbie˙zny na I do odwzorowania cia

‘ g lego Φ : I → R ⁿ .

Poka˙zemy teraz, ˙ze cia

‘ g (F _k

(x, Φ _k

(x))) _j∈N da

‘ ˙zy jednostajnie do F (x, Φ(x)) na przedziale I. Istotnie, we´ zmy dowolna

‘ liczbe

‘ ε > 0. Poniewa˙z odwzorowanie F : T → R ⁿ jest cia

‘ g le i T jest zbiorem zwartym, wie

‘ c odwzorowanie F jest jednostajnie cia

‘ g le. Zatem dla powy˙zszej liczby ε istnieje liczba ω > 0, ˙ze je´ sli (x, y ^∗ ), (x, y ^∗∗ ) ∈ T, to

(4) |F (x, y ^∗∗ ) − F (x, y ^∗ ) | < ε/2 dla |y ^∗∗ − y ^∗ | < ω.

W my´ sl jednostajnej zbie˙zno´ sci cia

‘ gu (Φ k

) j ∈N do Φ, istnieje taka liczba j 1 , ˙ze dla j ≥ j 1 i ka˙zdego x ∈ I mamy

(5) |Φ k

(x) − Φ(x)| < ω.

Z (4) i (5) dla j ≥ j 1 i x ∈ I

(6) |F (x, Φ k

(x)) − F (x, Φ(x))| < ε/2.

Z drugiej strony, w my´ sl jednostajnej zbie˙zno´ sci cia

‘ gu (F _k

) do F, istnieje liczba j ₂ taka, ˙ze dla ka˙zdego j ≥ j 2 i (x, y) ∈ T

(7) |F k

(x, y) − F (x, y)| < ε/2.

Z(6) i (7) dla ka˙zdego j ≥ max(j 1 , j ₂ )

|F k

(x, Φ k

(x)) − F (x, Φ(x))| ≤

|F k

(x, Φ k

(x)) − F (x, Φ k

(x)) | + |F (x, Φ k

(x)) − F (x, Φ(x))| < ε/2 + ε/2 = ε.

Sta ‘ d dostajemy zapowiedziana

‘ jednostajna

‘ zbie˙zno´ s´ c.

W my´ sl (3), odwzorowania Φ _k

spe lniaja

‘ to˙zsamo´ sci Φ k

(x) = η +

Z x ξ

F k

(t, Φ k

(t))dt dla x ∈ I.

Zatem przechodza

‘ c z j → ∞ i korzystaja ‘ c z udowodnionej jednostajnej zbie˙zno´ sci cia ‘ gu (F k

(x, Φ k

(x))) j ∈N do F (x, Φ(x)) na I, mamy

Φ(x) = η + Z x

ξ

F (t, Φ(t))dt dla x ∈ I.

Sta ‘ d i lematu 7.1 dostajemy teze

‘ twierdzenia.

To ko´ nczy dow´ od.

Cwiczenia ´

1. Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie

(*) y ⁰ = f (x, y),

gdzie f : h0, ai× R → R jest funkcja ‘ cia

‘ g la

‘ i ograniczona

‘ . Po l´ o˙zmy a k = a/k, k = 1, 2, . . . Okre´ slmy cia

‘ g funkcji (ϕ _k ) _k∈N , ϕ _k : h0, ai → R naste

‘ puja

‘ cymi warunkami ϕ 1 (x) = η, x ∈ h0, ai,

ϕ k (x) =

 η, x ∈ h0, a k i,

η + R x −a

0 f (t, ϕ k (t))dt, x ∈ (a k , a i, k = 2, 3, . . . , gdzie η jest dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ . Wykaza´ c stosuja

‘ c twierdzenie Arzeli- Ascoliego, ˙ze istnieje podcia

‘ g cia

‘ gu (ϕ _k ) jednostajnie zbie˙zny na h0, ai do rozwia ‘ - zania r´ ownania ( ^∗ ) przechodza

‘ cego przez punkt (0, η) (Tonelli).

2. Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie

(**) y ⁰ = f (x, y),

gdzie f : T → R w prostoka

‘ cie T = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ a, |y| ≤ b}, (a, b > 0) jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ taka

‘ , ˙ze f (x, 0) ≥ 0 oraz f(x, y 1 ) ≤ f(x, y 2 ), gdy y ₁ ≤ y 2 . Niech M = max _{(x,y) ∈T} |f(x, y)|, δ = min(a, b/M). Zbudowa´c cia

‘ g kolejnych przybli˙ze´ n (ϕ _k ) _{k ∈N} , ϕ _k : h0, δi → R i pokaza´c, ˙ze jest on jednostajnie zbie˙zny na h0, δi do rozwia

‘ zania r´ ownania ( ^∗∗ ) przechodza

‘ cego przez punkt (0, 0).

§15. Rozwia

‘ zania integralne.

W §7 rozwa˙zali´smy rozwia ‘ zania integralne uk lad´ ow r´ owna´ n w sytuacji gdy za- chodzi twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´ sci rozwia

‘ za´ n. Tutaj kontynuujemy te rozwa˙zania maja

‘ c do dyspozycji jedynie twierdzenie lokalne o istnieniu rozwia

‘ za´ n.

Niech, podobnie jak w §14, be

‘ dzie dany uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych

(1) y ⁰ = F (x, y),

gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ .

Na mocy twierdzenia 14.1 przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi lokalnie rozwia

‘ zanie uk ladu (1). Celem tego paragrafu be

‘ dzie pokazanie, ˙ze rozwia

‘ zanie takie przed lu˙za sie

‘ do rozwia

‘ zania integralnego.

Zacznijmy od lematu, kt´ ory be

‘ dzie cze

‘ sto stosowany dalej.

Lemat 1. Niech Φ 0 : hx 0 , x 1 i → R ⁿ , Φ 1 : hx 1 , x 2 i → R ⁿ , be

‘ da

‘ dwoma rozwia

‘ zania- mi uk ladu (1). Je´ sli Φ ₀ (x ₁ ) = Φ ₁ (x ₁ ), to odwzorowanie Φ : hx 0 , x ₂ i → R ⁿ okre´ slone wzorem

Φ(x) =

 Φ ₀ (x) dla x ∈ hx 0 , x ₁ i Φ ₁ (x) dla x ∈ hx 1 , x ₂ i jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Z lematu 7.1 wynika, ˙ze odwzorowania Φ 0 i Φ 1 spe lniaja

‘ odpowiednio r´ owno´ sci

Φ 0 (x) = Φ 0 (x 1 ) + Z x

x

F (t, Φ 0 (t))dt dla x ∈ hx 0 , x 1 i i

Φ ₁ (x) = Φ ₁ (x ₁ ) + Z x

x

F (t, Φ ₁ (t))dt dla x ∈ hx 1 , x ₂ i.

Sta ‘ d odwzorowanie cia

‘ g le Φ spe lnia r´ owno´ s´ c Φ(x) = Φ(x ₁ ) +

Z x x

F (t, Φ(t))dt dla x ∈ hx 0 , x ₂ i.

Zatem na mocy lematu 7.1 odwzorowanie Φ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1).

To ko´ nczy dow´ od.

Powy˙zszy lemat jest nazywany lematem o sklejaniu rozwia

‘ za´ n.

Lemat 2. Niech Φ : hx 0 , x ₁ i → R ⁿ be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1). W´ ow- czas istnieje liczba δ dodatnia i rozwia

‘ zanie ˆ Φ : hx o − δ, x 1 i → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) takie, ˙ze ˆ Φ | _hx

,x

i = Φ.

Dow´ od. Poniewa˙z punkt (x 0 , Φ(x 0 )) nale˙zy do zbioru otwartego G, to istnieja

‘ liczby dodatnie a, b takie, ˙ze zbi´ or T = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − x 0 | ≤ a, |y − Φ(x 0 ) | ≤ b}

jest zawarty w G. Niech M = sup _{(x,y) ∈T} |F (x, y)| i δ = min(a, b/M). Z twierdzenia 14.1 wynika, ˙ze istnieje rozwia

‘ zanie ˜ Φ : hx 0 − δ, x 0 i → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) takie,

˙ze ˜ Φ(x ₀ ) = Φ(x ₀ ) . W´ owczas odwzorowanie ˆ Φ : hx 0 −δ, x 1 i → R ⁿ okre´ slone wzorem Φ(x) = ˆ

 Φ(x) ˜ dla x ∈ hx 0 − δ, x 0 i Φ(x) dla x ∈ hx 0 , x ₁ i, jest, w my´ sl lematu 1, rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1). To ko´ nczy dow´ od.

Analogicznie mo˙zna uzyska´ c przed lu˙zenie rozwia

‘ zania Φ : hx 0 , x 1 i → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) na przedzia l hx 0 , x 1 + δ i. Sta ‘ d i z lematu 2 otrzymujemy od razu W lasno´ s´ c 1. Je˙zeli odwzorowanie Φ : I → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu r´ owna´ n (1), to przedzia l I jest otwarty.

Niech Φ : I → R ⁿ be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1). Niech ξ ∈ I oraz η = Φ(ξ). Wprowadzimy teraz poje

‘ cia rozwia

‘ zania integralnego lewostronnie i pra- wostronnie. Niech ξ be

‘ dzie prawym ko´ ncem przedzia lu I i niech ξ ∈ I. M´owimy,

˙ze rozwia

‘ zanie Φ jest lewostronnie integralnym rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1), je˙zeli nie istnieje rozwia

‘ zanie ˜ Φ : ˜ I → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) okre´ slone na przedziale I o prawym ko´ ˜ ncu ξ i ξ ∈ ˜I, kt´ore jest przed lu˙zeniem w la´sciwym rozwia ‘ zania Φ. M´ owimy wtedy r´ ownie˙z, ˙ze z punktu (ξ, η) wychodzi w lewo rozwia

‘ zanie inte- gralne albo, ˙ze z punktu (ξ, η) wychodzi rozwia

‘ zanie lewostronnie integralne uk ladu r´ owna´ n (1).

Analogicznie okre´ slamy rozwia

‘ zanie prawostronnie integralne, albo m´ owimy, ˙ze z punktu (ξ, η) wychodzi w prawo rozwia

‘ zanie integralne albo, ˙ze z punktu (ξ, η) wychodzi rozwia

‘ zanie prawostronnie integralne.

Wprost z powy˙zszych okre´ sle´ n wynika

W lasno´ s´ c 2. Na to, by odwzorowanie Φ : I → R ⁿ by lo rozwia

‘ zaniem integral- nym uk ladu r´ owna´ n (1) potrzeba i wystarcza, by dla ka˙zdego punktu ξ ∈ I odw- zorowania Φ | {x∈I:x≤ξ} i Φ | {x∈I:x≥ξ} by ly odpowiednio rozwia

‘ zaniami lewostronnie i prawostronnie integralnymi uk ladu r´ owna´ n (1).

Udowodnimy teraz zasadnicze twierdzenie tego paragrafu o istnieniu rozwia

‘ za´ n

integralnych.

Twierdzenie 1. Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych (1), gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ . Niech (ξ, η) ∈ G be ‘ dzie dowolnym punktem. W´ owczas istnieje rozwia

‘ zanie integralne

(2) Φ : (α, β) → R ⁿ

uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η), to znaczy takie, ˙ze ξ ∈ (α, β) i Φ(ξ) = η.

Dow´ od. Niech (ξ, η) ∈ G be

‘ dzie dowolnym punktem. Poka˙zemy najpierw, ˙ze z punktu (ξ, η) wychodzi rozwia

‘ zanie lewostronnie integralne.

Stosuja

‘ c zasade

‘ indukcji, okre´ slimy pewien cia

‘ g (Φ m ) m ∈N rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ ow- na´ n (1) wychodza

‘ cych z punktu (ξ, η) w lewo.

Na mocy twierdzenia 14.1 z punktu (ξ, η) wychodza

‘ w lewo rozwia

‘ zania uk ladu r´ owna´ n (1). Oznaczmy przez α ₀ kres dolny lewych ko´ nc´ ow przedzia l´ ow, na kt´ orych istnieja

‘ rozwia

‘ zania uk ladu (1) wychodzace w lewo z punktu (ξ, η). Po l´ o˙zmy x 0 = ξ, x 1 = x 0 − 1 + 2

2 + x ₀ − α 0

.

(Przy powszechnie przyjetych umowach punkt x 1 jest poprawnie okre´ slony r´ ownie˙z w przypadku gdy α 0 = −∞). Oczywi´scie mamy α 0 < x 1 < x 0 . W my´ sl okre´ slenia kresu α 0 , istnieje rozwia

‘ zanie Φ 1 : hx 1 , x 0 i → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ ce z punktu (ξ, η) w lewo.

Za l´ o˙zmy, ˙ze dla liczby naturalnej m okre´ slone jest rozwia

‘ zanie Φ m : hx m , x 0 i → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ ce z punktu (ξ, η) w lewo. Oznaczmy przez α _m kres dolny lewych ko´ nc´ ow przedzia l´ ow, na kt´ orych istnieja

‘ rozwia

‘ zania uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ ce w lewo z punktu (x _m , Φ _m (x _m )). Po l´ o˙zmy

(3) x _m+1 = x _m − 1 + 2

2 + x m − α m

.

Oczywi´ scie prawdziwa jest nier´ owno´ s´ c α m < x m+1 < x m . W my´ sl okre´ slenia kresu α _m , istnieje na przedziale hx m+1 , x _m i jakie´s rozwia ‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ ce z punktu (x m , Φ m (x m )) w lewo. To rozwia

‘ zanie po sklejeniu z rozwia

‘ - zaniem Φ _m (Lemat 1) daje nam rozwia

‘ zanie Φ _m+1 : hx m+1 , x ₀ i → R ⁿ uk ladu (1) takie, ˙ze

(4) Φ m+1 | hx

,x

i = Φ m , m = 1, 2, . . . , przy czym

(5) α _{m −1} ≤ α m < x _m+1 < x _m , m = 1, 2, . . . Z otrzymanego cia

‘ gu odwzorowa´ n (Φ _m ) _m∈N zbudujemy teraz pewne rozwia

‘ zanie lewostronnie integralne uk ladu r´ owna´ n (1).

Z uwagi na nier´ owno´ sci (5) otrzymujemy, ˙ze cia

‘ gi (α _m ) _m∈N i (x _m ) _m∈N sa

‘ zbie˙zne (do granic sko´ nczonych lub niesko´ nczonych), przy czym z uwagi na (3) otrzymujemy,

˙ze cia

‘ gi te maja

‘ wsp´ olna

‘ granice

‘ ; oznaczmy ja

‘ przez α.

Okre´ slmy teraz odwzorowanie Φ ^∗ : (α, ξ i → R ⁿ , k lada

‘ c dla ka˙zdego x ∈ (α, ξi warto´ s´ c Φ ^∗ (x) = Φ _m (x), gdzie m jest taka

‘ liczba

‘ naturalna

‘ , ˙ze x _m ≤ x. Z uwagi na r´ owno´ s´ c (4) i zbie˙zno´ s´ c cia

‘ gu (x m ) m ∈N do α, jest to poprawnie okre´ slone odwzoro- wanie. Jednocze´ snie Φ ^∗ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1).

Poka˙zemy naste

‘ pnie, ˙ze rozwia

‘ zanie Φ ^∗ jest rozwia

‘ zaniem lewostronnie integral- nym uk ladu r´ owna´ n (1). Przypu´ s´ cmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy liczba α jest sko´ nczona i odwzorowanie Φ ^∗ mo˙zna przed lu˙zy´ c do rozwia

‘ zania ˜ Φ : hα, ξi → R ⁿ tak, by Φ ˜ | (α,ξ i = Φ ^∗ . W my´ sl lematu 2, istnieje liczba δ > 0 i rozwia

‘ zanie ˆ Φ : hα − δ, ξi → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) takie, ˙ze ˆ Φ | hα,ξi = ˜ Φ i wychodza

‘ ce z punktu (ξ, η) w lewo.

Z drugiej strony, dla ka˙zdego naturalnego m mamy ˆ Φ | hx

,x

i = Φ m . Sta

‘ d, zgodnie z okre´ sleniem kres´ ow α m , musza

‘ zachodzi´ c nier´ owno´ sci α m ≤ α − δ, m = 1, 2, . . . A po przej´ sciu do granicy musi zaj´ s´ c nier´ owno´ s´ c α ≤ α − δ, kt´ora przeczy nier´ow- no´ sci δ > 0. W konsekwencji odwzorowanie Φ ^∗ : (α, ξ i → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem lewostronnie integralnym uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ cym z punktu (ξ, η).

Analogicznie wyznaczamy rozwia

‘ zanie Φ ^∗∗ : hξ, β) → R ⁿ prawostronnie inte- gralne uk ladu r´ owna´ n (1) wychodza

‘ ce z punktu (ξ, η).

Sklejaja

‘ c rozwia

‘ zania Φ ^∗ i Φ ^∗∗ (lemat 1), otrzymamy ˙za

‘ dane rozwia

‘ zanie inte- gralne (2) uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η) (w lasno´ s´ c 2).

To ko´ nczy dow´ od.

Wniosek 1. Ka˙zde rozwia

‘ zanie Φ : hα, βi → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) mo˙zna prze- d lu˙zy´ c do rozwia

‘ zania integralnego.

Dow´ od. W my´ sl twierdzenia 1, istnieja

‘ rozwia

‘ zania integralne wychodza

‘ ce odpo- wiednio w lewo i w prawo z punkt´ ow (α, Φ(α)) i (β, Φ(β)). Sklejenie tych rozwia

‘ za´ n z Φ daje ˙za

‘ dane rozwia

‘ zanie integralne . To ko´ nczy dow´ od.

Analogicznie pokazujemy, ˙ze dowolne rozwia

‘ zanie Φ : I → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1), gdzie I = (α, β i lub I = hα, β), kt´ore nie jest odpowiednio lewostronnie lub prawostronnie integralne, mo˙zna przed lu˙zy´ c do rozwia

‘ zania lewostronnie lub pra- wostronnie integralnego. Nale˙zy w tym celu najpierw rozwia

‘ zanie Φ przed lu˙zy´ c na przedzia l domknie

‘ ty a naste

‘ pnie zastosowa´ c wniosek 1.

Podamy teraz pewna

‘ charakteryzacje

‘ rozwia

‘ za´ n integralnych uk ladu r´ owna´ n (1).

Twierdzenie 2. Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n (1), gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ . Niech Φ : (α, β) → R ⁿ be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1). Naste

‘ puja

‘ ce warunki sa

‘ r´ ownowa˙zne:

(a) Φ jest rozwia

‘ zaniem integralnym,

(b) dla ka˙zdego ξ ∈ (α, β) i dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ G wykresy odw- zorowa´ n Φ | (α,ξ i i Φ | _hξ,β) nie le˙za

‘ ca lkowicie w K.

Dow´ od. (a) ⇒ (b). Za l´o˙zmy, ˙ze zachodzi (a) i nie zachodzi (b). Istnieje wtedy ξ 0 ∈ (α, β) i zbi´ or zwarty K 0 ⊂ G taki, ˙ze na przyk lad wykres {(x, Φ(x)) ∈ R ⁿ⁺¹ : x ∈ (α, ξ ₀ i} jest zawarty w K 0 . Po l´ o˙zmy M = max _{(x,y) ∈K}

|F (x, y)|. We´zmy dowolna ‘ liczbe

‘ ε > 0. W´ owczas dla dowolnych liczb x ⁰ , x ⁰⁰ ∈ (α, ξ 0 i takich, ˙ze |x ⁰⁰ −x ⁰ | < ε/M, w my´ sl lematu 7.1, zachodza

‘ relacje

|Φ(x ⁰⁰ ) − Φ(x ⁰ ) | = | Z x

x

F (t, Φ(t))dt | ≤ M|x ⁰⁰ − x ⁰ | < ε.

Sta ‘ d, w my´ sl kryterium Cauchy’ego, otrzymujemy, ˙ze odwzorowanie Φ posiada granice

‘ jednostronna

‘ w α. Zatem istnieje przed lu˙zenie odwzorowania Φ | (α,ξ

i do

odwzorowania cia

‘ g lego ˜ Φ : hα, ξ 0 i → R ⁿ i dla tego przed lu˙zenia zachodzi r´ owno´ s´ c Φ(x) = ˜ ˜ Φ(ξ 0 ) +

Z x ξ

F (t, ˜ Φ(t))dt dla x ∈ hα, ξ 0 i.

W konsekwencji, na mocy lematu 7.1, odwzorowanie ˜ Φ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1) takim, ˙ze ˜ Φ | (α,ξ

i = Φ. To, na mocy w lasno´ sci 2, przeczy (a). Ana- logicznie wykluczamy przypadek, gdy wykres {(x, Φ(x)) ∈ R ⁿ⁺¹ : x ∈ hξ 0 , β) } jest zawarty w K ₀ .

(b) ⇒(a).Za l´o˙zmy ˙ze zachodzi (b) i nie zachodzi (a). Istnieje wtedy liczba ξ ∈ (α, β) taka, ˙ze rozwia

‘ zanie Φ | (α,ξ i lub Φ | hξ,β) nie jest rozwia

‘ zaniem integralnym lewostronnie lub prawostronnie odpowiednio. Je´ sli Φ | (α,ξ i nie jest rozwia

‘ zaniem in- tegralnym lewostronnie, to przed lu˙za sie

‘ do rozwia

‘ zania ˆ Φ : hα, ξi → R ⁿ . W´ owczas zbi´ or {(x, ˆΦ(x)) ∈ R ⁿ⁺¹ : x ∈ hα, ξi} jest zbiorem zwartym zawartym w G i je- dnocze´ snie zawieraja

‘ cym zbi´ or {(x, Φ(x)) ∈ R ⁿ⁺¹ : x ∈ (α, ξi}. To przeczy (b).

Analogicznie wykluczamy przypadek, gdy rozwia

‘ zanie Φ | hξ,β) nie jest rozwia

‘ zaniem integralnym prawostronnie.

To ko´ nczy dow´ od.

Twierdzenie 2, z uwagi na warunek (b), nosi nazwe

‘ twierdzenia o skupianiu sie rozwia ‘

‘ za´ n integralnych na brzegu.

Podamy teraz warunki na to, by wszystkie rozwia

‘ zania uk lad´ ow r´ owna´ n r´ o˙znicz- kowych po obcie

‘ ciu do pewnego przedzia lu przebiega ly w zadanym zbiorze.

Niech dany be

‘ dzie obszar G ⊂ R ⁿ⁺¹ i dowolny punkt (ξ, η) ∈ G. We´zmy zbi´or T = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − ξ| ≤ a, |y − η| ≤ b} ⊂ G, (a, b > 0) i dowolna

‘ liczbe dodatnia ‘

‘ M . Po l´ o˙zmy δ = min(a, b/M ). W´ owczas zachodzi

W lasno´ s´ c 3. Je˙zeli F : G → R ⁿ jest dowolnym odwzorowaniem cia

‘ g lym takim,

˙ze max _{(x,y) ∈T} |F (x, y)| ≤ M, to dla uk ladu r´owna´n (1) ka˙zde jego rozwia ‘ zanie in- tegralne Φ przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η) jest okre´ slone przynajmniej w przedziale hξ − δ, ξ + δi oraz wykres odwzorowania Φ| hξ−δ,ξ+δi przebiega w zbiorze T .

Dow´ od. Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze istnieje rozwia

‘ zanie integralne Φ uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η), kt´ ore nie jest okre´ slone w ca lym przedziale hξ−δ, ξ+δi albo jest okre´slone w tym przedziale, ale wykres Φ| hξ−δ,ξ+δi nie przebiega w zbiorze T . W´ owczas, z uwagi na twierdzenie 2, istnieje punkt x 0 ∈ (ξ − δ, ξ + δ) taki, ˙ze wykres Φ przebiega ca lkowicie w zbiorze T na przedziale mie

‘ dzy ξ i x ₀ i taki, ˙ze |Φ(x 0 ) − η| = b. Ale wtedy, w my´sl lematu 7.1 mamy

b = | Z x

ξ

F (t, Φ(t))dt | ≤ M|x 0 − ξ| < Mδ ≤ b,

co niemo˙zliwe. To ko´ nczy dow´ od.

W lasno´ s´ c 4. Za l´ o˙zmy tak jak we w lasno´ sci 3, ˙ze dany jest obszar G, punkt (ξ, η) ∈ G zbi´ or T ⊂ G, liczba M > 0 i liczba δ. W´owczas istnieje przedzia l hα, βi taki, ˙ze ξ ∈ (α, β) i istnieje otoczenie Γ ⊂ R ⁿ⁺¹ punktu (ξ, η) takie, ˙ze je˙zeli F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym, dla kt´ orego max _{(x,y) ∈T} |F (x, y)| ≤ M, za´ s ( ˜ ξ, ˜ η) jest dowolnym punktem z otoczenia Γ, to dla uk ladu r´ owna´ n (1) ka˙zde jego rozwia

‘ zanie integralne Φ przechodza

‘ ce przez punkt ( ˜ ξ, ˜ η) jest okre´ slone przynajmniej

na przedziale hα, βi i wykres odwzorowania Φ| hα,βi przebiega w zbiorze T .

Dow´ od. Poka˙zemy, ˙ze za szukany przedzia l i szukane otoczenie wystarczy odpowied- nio przyja

‘ ´ c hα, βi = hξ − δ/3, ξ + δ/3i i Γ = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − ξ| < δ/3, |y − η | < b − 2δM/3}. Oczywi´scie ξ ∈ (α, β). We´zmy dowolne odwzorowanie cia ‘ g le F : G → R ⁿ takie, ˙ze max _(x,y)∈T |F (x, y)| ≤ M i dowolny punkt (˜ξ, ˜η) ∈ Γ.

Po l´ o˙zmy ˜ T = {(x, y) ∈ R ⁿ⁺¹ : |x − ˜ξ| ≤ 2δ/3, |y − ˜η| ≤ 2δM/3}. Latwo wida´ c, ˙ze ˜ T ⊂ T . Niech ˜ M = max _{(x,y) ∈ ˜ T} |F (x, y)|. Zauwa˙zmy, ˙ze ˜ M ≤ M i min(2δ/3, 2δM/(3 ˜ M )) = 2δ/3. Rozwa˙zmy uk lad r´ owna´ n (1). Na mocy w lasno´ sci 3, dowolne rozwia

‘ zanie integralne Φ uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt ( ˜ ξ, ˜ η) jest okre´ slone przynajmniej na przedziale h˜ξ − 2δ/3, ˜ξ + 2δ/3i oraz wykres odwzorowania Φ | _{h˜ ξ −2δ/3,˜ ξ+2δ/3 i} przebiega ca lkowicie w ˜ T ⊂ T . Co wie ‘ cej, przedzia l hα, βi = hξ − δ/3, ξ + δ/3i jest zawarty w h˜ξ − 2δ/3, ˜ξ + 2δ/3i. Istotnie, je˙zeli

|x − ξ| ≤ δ/3, to |x − ˜ξ| ≤ |x − ξ| + |ξ − ˜ξ| < δ/3 + δ/3 = 2δ/3. To ko´nczy dow´od.

Wniosek 2. Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych (1), gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ .Niech Φ : (x 0 , ξ i → R ⁿ be

‘ dzie dowolnym rozwia

‘ zaniem uk ladu (1). Je˙zeli istnieje cia

‘ g punkt´ ow (x _m ) _{m ∈N} , x _m ∈ (x 0 , ξ i taki, ˙ze x m → x 0 i Φ(x m ) → y o oraz punkt (x 0 , y 0 ) ∈ G, to istnieje granica lim _{x →x}

0

Φ(x) = y 0 . W konsekwencji rozwia

‘ zanie Φ nie jest rozwia

‘ zaniem lewo- stronnie integralnym.

Dow´ od. Na mocy w lasno´ sci 4 istnieje otoczenie Γ ⊂ R ⁿ⁺¹ punktu (x ₀ , y ₀ ) takie,

˙ze ka˙zde rozwia

‘ zanie integralne uk ladu r´ owna´ n (1), przechodza

‘ ce przez dowolny punkt z otoczenia Γ, jest okre´ slone w punkcie x ₀ . W szczeg´ olno´ sci dla dostatecznie du˙zej liczby naturalnej m mamy (x m , Φ(x m )) ∈ Γ i rozwia ‘ zanie Φ jest obcie

‘ ciem pewnego rozwia

‘ zania integralnego Φ ^∗ : (α ^∗ , β ^∗ ) → R ⁿ , przy czym x ₀ ∈ (α ^∗ , β ^∗ ). W konsekwencji lim _{x →x}

0

Φ(x) = Φ(x 0 ). To ko´ nczy dow´ od.

Analogiczny wniosek zachodzi dla rozwia

‘ zania Φ : hξ, x 0 ) → R ⁿ . A oto jeszcze jedna w lasno´ s´ c rozwia

‘ za´ n integralnych.

Twierdzenie 3. Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych (1), gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ . W´ owczas rozwia

‘ zanie Φ : (α, β) → R ⁿ jest rozwia

‘ zaniem integralnym uk ladu (1) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego zbioru zwartego K ⊂ G istnieja ‘ liczby α ^∗ , β ^∗ takie, ˙ze wykresy odwzorowa´ n Φ | (α,α

) i Φ | (β

β) nie maja

‘ punkt´ ow wsp´ olnych ze zbiorem K.

Dow´ od. Konieczno´ s´ c. Rozwa˙zmy zbi´ or A = {x ∈ (α, β) : (x, Φ(x)) ∈ K}. Je˙zeli A jest zbiorem pustym, to za liczby α ^∗ , β ^∗ wystarczy przyja

‘ ´ c dowolne liczby z przedzia lu (α, β). Je˙zli A nie jest zbiorem pustym, to przyjmijmy α ^∗ = inf A, β ^∗ = sup A. Dla dowodu wystarczy pokaza´ c, ˙ze α < α ^∗ i β ^∗ < β. Przypu´ s´ cmy, ˙ze α = α ^∗ . Ze zwarto´ sci zbioru K i z okre´ slenia kresu α ^∗ otrzymujemy, ˙ze istnieje cia ‘ g (x m ) m ∈N i taki, ˙ze cia

‘ g ((x m , Φ(x m ))) m ∈N jest zbie˙zny do punktu ze zbioru K ⊂ G. To, w my´sl wniosku 2, przeczy integralno´sci rozwia ‘ zania Φ. Analogicznie wykluczamy r´ owno´ s´ c β ^∗ = β.

Dostateczno´ s´ c. Wynika z twierdzenia 2 (b) ⇒(a).

Twierdzenie 3 nosi nazwe

‘ twierdzenia o docieraniu rozwia

‘ za´ n integralnych do brzegu.

Cwiczenia ´

1. Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie r´ o˙zniczkowe

(*) y ⁰ = f (x, y),

gdzie f : D → R jest funkcja ‘ cia

‘ g la

‘ w obszarze D ⊂ R ² . Za l´ o˙zmy, ˙ze obszar D jest normalny, to znaczy, ˙ze dla dowolnych punkt´ ow (x, y ₁ ), (x, y ₂ ) ∈ D, je´sli y 1 < y ₂ , to dla ka˙zdego y ∈ (y 1 , y 2 ) mamy (x, y) ∈ D. Niech ϕ 1 : hξ 0 , ξ i → R i ϕ 2 : hξ 0 , ξ i → R be ‘ da

‘ dwoma rozwia

‘ zaniami r´ ownania ( ^∗ ) takimi, ˙ze ϕ ₁ (ξ ₀ ) = ϕ ₂ (ξ ₀ ) =: η ₀ oraz ϕ 1 (ξ) < ϕ 2 (ξ). Pokaza´ c, ˙ze dla ka˙zdego η ∈ (ϕ 1 (ξ), ϕ 2 (ξ)) istnieje rozwia

‘ zanie ϕ : hξ 0 , ξ i → R r´ownania ( ^∗ ) takie, ˙ze ϕ(ξ ₀ ) = η ₀ , ϕ(ξ) = η.

2. Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie r´ o˙zniczkowe

(**) y ⁰ = f (x, y),

gdzie

f (x, y) =

( _4x

y

x

+y

dla (x, y) ∈ R ² , (x, y) 6= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0)

Niech V oznacza zbi´ or rozwia

‘ za´ n integralnych ϕ : I _ϕ → R r´ownania ( ^∗∗ ) przecho- dza ‘ cych przez punkt (0, 0). Wykaza´ c, ˙ze funkcja

ˆ

ϕ(x) = sup

ϕ ∈V ϕ(x) dla x ∈ \

ϕ ∈V

I ϕ

nale˙zy do zbioru V.

Sprawdzi´ c, czy analogiczna

‘ w lasno´ s´ c posiadaja

‘ rozwia

‘ zania integralne r´ ownania p |1 − x ² |y ⁰ = p

|1 − y ² | przechodza

‘ ce przez punkt (1, 1) oraz r´ ownania xy ⁰ = y + x ² przechodza

‘ ce przez punkt (0, 0).

§16. Kryterium Kamkego. Kryteria jednoznaczno´sci.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych normalny

(1) y ⁰ = F (x, y),

gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R × R ⁿ . Niech dany be

‘ dzie punkt P = (x 0 , y 0 ) ∈ G. M´owimy, ˙ze w punkcie P zachodzi lokalna jednoznaczno´ s´ c rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ owna´ n (1) albo, ˙ze przez punkt P przechodzi lokalnie dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie uk ladu (1), gdy istnieje otoczenie ω ⊂ R punktu x 0 takie, ˙ze dla ka˙zdych rozwia

‘ za´ n Φ 1 : I 1 → R ⁿ i Φ 2 : I 2 → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ cych przez punkt (x ₀ , y ₀ ), zachodzi r´ owno´ s´ c Φ ₁ (x) = Φ ₂ (x) dla x ∈ I 1 ∩ I 2 ∩ ω.

Zamieniaja

‘ c w powy˙zszej definicji otoczenie ω na ca ly zbi´ or R, okre´slamy poje ‘ cie globalnej (integralnej) jednoznaczno´ sci rozwia

‘ za´ n uk ladu (1) w punkcie P.

R´ ownie˙z, zamieniaja

‘ c w powy˙zszych definicjach otoczenie ω punktu x ₀ albo zmieniaja

‘ c ca ly zbi´ or R odpowiednio na otoczenie lewostronne, wzgle

‘ dnie pra- wostronne punktu x ₀ albo na zbi´ or ( −∞, x 0 i wzgle ‘ dnie zbi´ or hx 0 , ∞) okre´slamy poje ‘ cia lokalnej lewostronnej wzgle

‘ dnie lokalnej prawostronnej jednoznaczno´ sci roz- wia ‘ za´ n albo globalnej (integralnej ) lewostronnej wzgle

‘ dnie globalnej (integralnej) prawostronnej jednoznaczno´ sci rozwia

‘ za´ n w punkcie P.

Latwo zauwa˙zamy

W lasno´ s´ c 1. Warunki zachodzenia jednoznaczno´ sci rozwia

‘ za´ n w ka˙zdym punkcie obszaru G lokalnej i globalnej sa

‘ r´ ownowa˙zne.

W tym paragrafie podamy pewne warunki wystarczaja

‘ ce na to, by zachodzi la lokalna jednoznaczno´ s´ c rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ owna´ n (1).

Zacznijmy od dw´ och pomocniczych w lasno´ sci pewnych r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych.

Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie r´ o˙zniczkowe

(2) z ⁰ = σ(x, z),

i cia

‘ g r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych

(2k) z ⁰ = σ(x, z) + 1/k,

dla k = 1, 2, . . . gdzie funkcja σ : D → R jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ i nieujemna

‘ w obszarze D = {(x, z) ∈ R ² : x > 0, z ∈ R}

i taka

‘ , ˙ze

(3) σ(x, z) = 0 dla x > 0 i z ≤ 0.

Niech dany be

‘ dzie punkt (ξ, η) ∈ D taki, ˙ze η ≥ 0. W´owczas

W lasno´ s´ c 2. Je˙zeli ψ _k : (α _k , ξ i ∈ R jest dowolnym rozwia ‘ zaniem integralnym r´ ownania (2k) wychodza

‘ cym w lewo z punktu (ξ, η), to

(4k) ψ k (x) > −(ξ/k) dla x ∈ (α k , ξ i,

(5k) α _k = 0,

(6k) ψ k (x) ≤ ψ k+1 (x) dla x ∈ (0, ξi.

Dow´ od. Poka˙zemy najpierw, ˙ze zachodzi (4k). Gdy dla ka˙zdego x ∈ (α k , ξ i za- chodzi nier´ owno´ s´ c ψ _k (x) ≥ 0, to (4k) jest prawdziwe. Za l´o˙zmy zatem, ˙ze funkcja ψ k przyjmuje warto´ sci ujemne. Poniewa˙z funkcja ψ k jest rosna

‘ ca, to istnieje punkt x _k ∈ (α k , ξ i taki, ˙ze ψ k (x _k ) = 0 i ψ _k (x) < 0 dla x ∈ (α k , x _k ). Niech I _k = (α _k , x _k i.

W´ owczas ˜ ψ _k = ψ _k | I

jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (2k) przebiegaja

‘ cym w zbiorze {(x, z) ∈ R ² : x > 0, z ≤ 0} i wychodza

‘ cym z punktu (x k , 0) w lewo. Zatem z (5) mamy ˜ ψ _k ⁰ (x) = 1/k dla x ∈ I k i ˜ ψ k (x k ) = 0. Sta

‘ d ˜ ψ k (x) = (x − x k )/k dla x ∈ I k . W konsekwencji, z oczywistej nier´ owno´ sci x _k − x < ξ, dostajemy (4k).

Poka˙zemy naste

‘ pnie, ˙ze zachodzi (5k). Poniewa˙z funkcja ψ _k jest rosna

‘ ca i spe lnia nier´ owno´ s´ c (4k), zatem −ξ ≤ ψ k (x) ≤ η dla x ∈ (α k , ξ i. Gdyby liczba α k by la liczba dodatnia ‘

‘ , wtedy wykres ψ _k by lby zawarty w zbiorze zwartym hα k , ξ i×h−ξ, ηi ⊂ D.

W´ owczas rozwia

‘ zanie ψ k nie dociera do brzegu obszaru D, co jest sprzeczne z za lo˙zona

‘ lewostronna

‘ integralno´ scia

‘ tego rozwia

‘ zania.

Poka˙zemy na koniec, ˙ze zachodzi (6k).Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze istnieje k ∈ N i ˜ x ∈ (0, ξi takie, ˙ze ψ k (˜ x) > ψ _k+1 (˜ x). Niech

x 0 = sup {δ : ψ k (x) > ψ k+1 (x) dla x ∈ (˜x, δ)}.

Oczywi´ scie x ₀ ≤ ξ i

(7) ψ k (x 0 ) = ψ k+1 (x 0 ).

Ponadto

ψ k (x) − ψ k (x 0 ) x − x 0

< ψ k+1 (x) − ψ k+1 (x 0 ) x − x 0

dla x ∈ (˜x, x 0 ).

Sta ‘ d przechodza

‘ c do granicy x → x ⁻ 0 otrzymujemy ψ _k ⁰ (x 0 ) ≤ ψ ⁰ _k+1 (x 0 ). Zatem σ(x 0 , ψ k (x 0 )) + 1

k ≤ σ(x 0 , ψ k+1 (x 0 )) + 1 k + 1 , co, z uwagi na (7) niemo˙zliwe.

To ko´ nczy dow´ od.

Przy tych samych oznaczeniach i za lo˙zniach co w poprzedniej w lasno´ sci mamy W lasno´ s´ c 3. Cia

‘ g funkcyjny (ψ k ) k ∈N jest zbie˙zny na (0, ξ i. Funkcja ψ ^∗ = lim

k→∞ ψ _k jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania r´ o˙zniczkowego (2) takim, ˙ze ψ ^∗ (x) ≥ 0 dla x ∈ (0, ξi.

Dow´ od. Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze ka˙zde rozwia

‘ zanie ψ _k r´ ownania (2k) jest funkcja rosna ‘

‘ ca

‘ i ograniczona

‘ z g´ ory przez η. Z nier´ owno´ sci (6k) wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby x ∈ (0, ξi cia ‘ g liczbowy (ψ _k (x)) _k∈N jest niemaleja

‘ cy i w konsekwencji zbie˙zny do pewnej granicy sko´ nczonej ψ ^∗ (x), przy czym z uwagi na (4k) zachodzi nier´ owno´ s´ c ψ ^∗ (x) ≥ 0.

Poka˙zemy teraz, ˙ze funkcja ψ ^∗ : (0, ξ i → R jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (2) takim, ˙ze ψ ^∗ (ξ) = η. W tym celu zauwa˙zmy najpierw, ˙ze dla dowolnego δ ∈ (0, ξ) w przedziale I = hδ, ξi cia

‘ g {ψ k } k ∈N jest jednostajnie zbie˙zny do funkcji ψ ^∗ | I (cia

‘ g lej).

Ot´ o˙z wystarczy w tym celu zauwa˙zy´ c, ˙ze cia

‘ g (ψ _k ) _{k ∈N} jest rodzina

‘ funkcji jedna- kowo cia

‘ g lych na I. ² Niech Q = I × h−ξ, ηi, M = max (x,z) ∈Q σ(x, z). Z monoto- niczno´ sci funkcji ψ _k i z (4k) wynika, ˙ze wszystkie wykresy funkcji ψ _k | I przebiegaja w Q. Z lematu 7.1 mamy ‘

(8) ψ k (x) = η +

Z x ξ

(σ(t, ψ k (t)) + 1/k)dt dla x ∈ I.

2

Je˙zeli cia

‘ g funkcji rzeczywistych (g

)

jest zbie ˙zny na przedziale ograniczonym I do funkcji g i tworzy rodzine

‘ jednakowo cia

‘ g la

‘ , to jest on cia

‘ giem jednostajnie zbie ˙znym. W przeciwnym razie istnieje liczba ε

> 0 i cia

‘ g liczb naturalnych (k

) oraz cia

‘ g punkt´ ow (x

) z I takie, ˙ze

|g

(x

) − g(x

) | ≥ ε

. W my´ sl twierdzenia Arzeli-Ascoliego, z cia

‘ gu (g

)

mo˙zna wybra´ c podcia

‘ g (g

mj

)

jednostajnie zbie˙zny na I do funkcji g. Sta

‘ d dla j dostatecznie du ˙zych zachodzi

nier´ owno´ s´ c |g

(x) − g(x)| < ε

, kt´ ora przeczy poprzedniej nier´ owno´ sci w punktach x

.

Sta ‘ d dla dowolnych liczb x 1 , x 2 ∈ I i dowolnej funkcji ψ k otrzymujemy

|ψ k (x 2 ) − ψ k (x 1 ) | ≤ (M + 1)|x 2 − x 1 |, co daje jednakowa

‘ cia

‘ g lo´ s´ c rodziny (ψ _k | I ) _k∈N . Je´ sli k → ∞, to z (8) dostajemy

(9) ψ ^∗ (x) = η +

Z x ξ

(σ(t, ψ ^∗ (t))dt

w przedziale I = hδ, ξi. Z dowolno´sci δ dostajemy, ˙ze funkcja ψ ^∗ jest ciag la w ca lym przedziale (0, ξ i i zachodzia tam r´owno´s´c (9). Z lematu 7.1 otrzymujemy, ˙ze ψ ^∗ : (0, ξ i → R jest rozwia ‘ zaniem r´ ownania (2) takim, ˙ze ψ ^∗ (ξ) = η.

To ko´ nczy dow´ od.

Przejd´ zmy teraz do badania jednoznaczno´ sci rozwia

‘ za´ n.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych (1), gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R×R ⁿ i niech dany be

‘ dzie punkt (x 0 , y 0 ) ∈ G. Niech dane be

‘ dzie r´ ownanie r´ o˙zniczkowe (2), gdzie σ : D → R jest funkcja ‘ cia

‘ g la

‘ , nieujemna

‘ w obszarze D = (0, ∞) × R i spe lniaja ‘ ca

‘ tam warunek (3) oraz warunek (*) dla ka˙zdego ξ > 0 funkcja ψ(x) = 0 dla x ∈ (0, ξi jest jedynym rozwia ‘ zaniem r´ ownania (2) spe lniaja

‘ cym warunki

(10) lim

x →0

ψ(x) = lim

x →0

ψ(x) x = 0.

Niech jeszcze odwzorowanie F w pewnym otoczeniu Ω ⊂ G punktu (x 0 , y ₀ ) spe lnia warunek Kamkego

(K) dla dowolnych (x, y), (x, y ^∗ ) ∈ Ω, x 6= x 0 zachodzi nier´ owno´ s´ c (11) |F (x, y) − F (x, y ^∗ ) | ≤ σ(|x − x 0 |, |y − y ^∗ |).

Twierdzenie 1. (Kamke). Przy powy˙zszych oznaczeniach i za lo˙zeniach przez punkt (x ₀ , y ₀ ) przechodzi lokalnie tylko jedno rozwia

‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Na mocy w lasno´ sci 15.3 istnieje otoczenie ω punktu x 0 takie, ˙ze ka˙zde rozwia

‘ zanie integralne uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt (x ₀ , y ₀ ) jest okre´ slone przynajmniej w ω i jego wykres po obcie

‘ ciu do ω przebiega w Ω. Przy- pu´ s´ cmy, ˙ze istnieja

‘ dwa rozwia

‘ zania Φ 1 : ω → R ⁿ i Φ 2 : ω → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) przechodza

‘ ce przez punkt (x 0 , y 0 ) i istnieje punkt x 1 ∈ ω takie, ˙ze Φ 1 (x 1 ) 6= Φ 2 (x 1 ).

Po l´ o˙zmy ξ = |x 0 − x 1 |, η = |Φ 1 (x 1 ) − Φ 2 (x 1 ) |. Oczywi´scie ξ > 0, η > 0. Niech ψ k : (0, ξ i → R i ψ ^∗ : (0, ξ i → R be

‘ da

‘ opisanymi we w lasno´ sciach 2 i 3 odpowiednio rozwia

‘ zaniami r´ owna´ n (2k) i (2) spe lniaja

‘ cymi warunki (12) ψ k (ξ) = η, ψ ^∗ (ξ) = η, lim

k →∞ ψ k = ψ ^∗ . Oznaczmy przez I przedzia l jednostronnie domknie

‘ ty taki, ˙ze I =

 hx 1 , x 0 ), gdy x 1 < x 0

(x 0 , x 1 i, gdy x 1 > x 0 .

Poka˙zemy najpierw, ˙ze dla ka˙zdego k naturalnego zachodzi nier´ owno´ s´ c (13) |Φ 1 (x) − Φ 2 (x) | ≥ ψ k ( |x − x 0 |) dla x ∈ I.

Przypu´ s´ cmy przeciwnie, ˙ze istnieje wska´ znik k i liczba ˜ x ∈ I takie, ˙ze

|Φ 1 (˜ x) − Φ 2 (˜ x) | < ψ k ( |˜x − x 0 |).

W´ owczas z cia

‘ g lo´ sci funkcji po obu stronach nier´ owno´ sci (13) wynika, ˙ze istnieje przedzia l otwarty I ^∗ ⊂ I o ko´ncach ˜x i x ^∗ , x ^∗ le˙zy mie

‘ dzy x 1 i ˜ x taki, ˙ze (14) |Φ 1 (x) − Φ 2 (x) | < ψ k ( |x − x 0 |) dla x ∈ I ^∗

i

(15) |Φ 1 (x ^∗ ) − Φ 2 (x ^∗ ) | = ψ k ( |x ^∗ − x 0 |).

Mamy tutaj

I ^∗ =

 (x ^∗ , ˜ x), gdy x ₁ < x ₀ (˜ x, x ^∗ ), gdy x ₁ > x ₀ . Oczywi´ scie dla x ∈ I ^∗ zachodza

‘ r´ owno´ sci |x ^∗ − x 0 | = |x − x 0 | + |x − x ^∗ |. Z (14) i (15) otrzymujemy

− ψ k ( |x − x 0 |) − ψ k ( |x ^∗ − x 0 |)

|x − x ^∗ | < |Φ 1 (x ^∗ ) − Φ 2 (x ^∗ ) | − |Φ 1 (x) − Φ 2 (x) |

|x − x ^∗ | dla x ∈ I ^∗ , ska

‘ d

ψ _k ( |x ^∗ − x 0 | − |x − x ^∗ |) − ψ k ( |x ^∗ − x 0 |)

−|x − x ^∗ | < 

 Φ ₁ (x) − Φ 1 (x ^∗ )

x − x ^∗ − Φ ₂ (x) − Φ 2 (x ^∗ ) x − x ^∗

  dla x ∈ I ^∗ . Przechodza

‘ c w ostatniej nier´ owno´ sci do granicy z x → x ^∗ , przy czym x ∈ I ^∗ , otrzymujemy

(16) ψ _k ⁰ ( |x ^∗ − x 0 |) ≤ |Φ ⁰ 1 (x ^∗ ) − Φ ⁰ 2 (x ^∗ ) |.

Z okre´ slenia Φ 1 i Φ 2 oraz z (15) i (11) dostajemy

(17) |Φ ⁰ 1 (x ^∗ ) − Φ ⁰ 2 (x ^∗ ) | ≤ σ(|x ^∗ − x 0 |, ψ k ( |x ^∗ − x 0 |)).

Z okre´ slenia ψ k mamy

(18) σ( |x ^∗ − x 0 |, ψ k ( |x ^∗ − x 0 |)) < ψ ⁰ k ( |x ^∗ − x 0 |).

Z (16), (17) i (18) otrzymujemy sprzeczno´ s´ c. Zatem nier´ owno´ s´ c (13) zachodzi.

Z (13) i twierdzenia 1 dostajemy

(19) |Φ 1 (x) − Φ 2 (x) | ≥ ψ ^∗ ( |x − x 0 |) dla x ∈ I.

Z (19), z za lo˙zenia Φ ₁ (x ₀ ) = Φ ₂ (x ₀ ) = y ₀ i z cia

‘ g lo´ sci funkcji po lewej stronie (19) oraz z nieujemno´ sci ψ ^∗ dostajemy

(20) lim

x →x

,x ∈I ψ ^∗ ( |x − x 0 |) = 0.

Z za lo˙zenia Φ 1 (x 0 ) = Φ 2 (x 0 ) = y 0 i okre´ slenia Φ 1 , Φ 2 dostajemy, ˙ze Φ ⁰ ₁ (x 0 ) = Φ ⁰ ₂ (x 0 ). Sta

‘ d dziela

‘ c obie strony (19) przez |x − x 0 | dostajemy

(21) lim

x→x

,x∈I

ψ ^∗ ( |x − x 0 |)

|x − x 0 | = 0.

Z (20), (21) i (12) dostajemy sprzeczno´ s´ c z warunkiem (*), bo ψ ^∗ ( |x 1 −x 0 |) = η > 0.

To ko´ nczy dow´ od.

Uwaga 1. W warunku (K) nie wyste

‘ puje y 0 . Zatem, przy zachodzeniu warunku (K) przez dowolny punkt (x ₀ , y) ∈ Ω przechodzi lokalnie tylko jedno rozwia

‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1).

Z twierdzenia 1 otrzymujemy jako wnioski trzy kryteria jednoznaczno´ sci.

W dalszym cia

‘ gu tego paragrafu F : G → R ⁿ be

‘ dzie odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R × R ⁿ . Niech D = (0, + ∞) × R, D + = (0, + ∞) × h0, +∞).

Niech najpierw odwzorowanie F w pewnym otoczeniu Ω ⊂ G punktu (x 0 , y ₀ ) spe lnia warunek Lipschitza

(L) istnieje L > 0 taka, ˙ze dla dowolnych (x, y), (x, y ^∗ ) ∈ Ω zachodzi nier´owno´s´c (22) |F (x, y) − F (x, y ^∗ ) | ≤ L|y − y ^∗ |.

Wniosek 1. (kryterium Lipschitza). Je˙zeli odwzorowanie F spe lnia warunek (L) w Ω, to przez ka˙zdy punkt (x 0 , y 0 ) ∈ Ω przechodzi lokalnie tylko jedno rozwia

‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Po l´ o˙zmy

σ(x, z) =

 Lz dla (x, z) ∈ D +

0 dla (x, z) ∈ D, z < 0.

Funkcja σ : D → R jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ w obszarze D. Poka˙zemy, ˙ze spe lnia ona za lo˙zenia twierdzenia 1. Oczywi´ scie funkcja σ jest nieujemna i spe lnia warunek (5).

Spe lnia te˙z warunek ( ^∗ ). Istotnie, r´ ownanie z ⁰ = Lz

jest r´ ownaniem liniowym jednorodnym w zbiorze D + . Og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych tego r´ ownania w D ₊ jest postaci

ψ γ (x) = γe ^Lx , x ∈ (0, +∞), gdzie γ jest dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ nieujemna

‘ . Ponadto

x→0 lim

ψ _γ (x) = γ i lim

x→0

ψ _γ (x)

x =

 + ∞, γ > 0

0, γ = 0,

co daje warunek ( ^∗ ). Z (22) wynika, ˙ze spe lniony jest warunek (K) w Ω. Z twier- dzenia 1 dostajemy teze

‘ wniosku. To ko´ nczy dow´ od.

Niech teraz odwzorowanie F w pewnym otoczeniu Ω ⊂ G punktu (x 0 , y 0 ) spe lnia warunek Nagumo

(N) dla dowolnych (x, y), (x, y ^∗ ) ∈ Ω zachodzi nier´owno´s´c

(23) |F (x, y) − F (x, y ^∗ ) | ≤ |y − y ^∗ |

|x − x 0 | , x 6= x 0 .

Wniosek 2. (kryterium Nagumo). Je˙zeli odwzorowanie F spe lnia warunek (N ) w otoczeniu Ω, to przez punkt (x ₀ , y ₀ ) przechodzi lokalnie tylko jedno rozwia

‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Po l´ o˙zmy

σ(x, z) =

 z

x dla (x, z) ∈ D +

0 dla (x, z) ∈ D, z < 0.

Funkcja σ : D → R jest funkcja

‘ cia

‘ g la

‘ w obszarze D. Poka˙zemy, ˙ze spe lnia ona za lo˙zenia twierdzenia 1. Oczywi´ scie funkcja σ jest nieujemna i spe lnia warunek (5).

Spe lnia te˙z warunek ( ^∗ ). Istotnie, r´ ownanie z ⁰ = z

x

jest r´ ownaniem liniowym jednorodnym w zbiorze D ₊ . Og´ o l rozwia

‘ za´ n integralnych tego r´ ownania w D + jest postaci

ψ γ (x) = γx, x ∈ (0, +∞), gdzie γ jest dowolna

‘ liczba

‘ rzeczywista

‘ nieujemna

‘ . Ponadto lim

x →0

ψ γ (x) = 0 i lim

x →0

ψ γ (x) x = γ.

To daje warunek ( ^∗ ). Z (23) wynika, ˙ze spe lniony jest warunek (K) w Ω. Z twier- dzenia 1 dostajemy teze

‘ wniosku. To ko´ nczy dow´ od.

Niech na koniec odwzorowanie F w pewnym otoczeniu Ω ⊂ G punktu (x 0 , y ₀ ) spe lnia warunek Osgooda

(O) dla dowolnych (x, y), (x, y ^∗ ) ∈ Ω zachodzi nier´owno´s´c (24) |F (x, y) − F (x, y ^∗ ) | ≤ g(|y − y ^∗ |), gdzie g : h0, di → h0, +∞) jest funkcja ‘ cia

‘ g la

‘ taka

‘ , ˙ze g(0) = 0 i g(z) > 0 dla z ∈ (0, di, d > 0 i taka

‘ , ˙ze rozbie˙zna jest ca lka (25)

Z d 0

1

g(z) dz = + ∞.

Wniosek 3. (kryterium Osgooda). Je˙zeli odwzorowanie F spe lnia warunek (O) w otoczeniu Ω, to przez punkt (x ₀ , y ₀ ) ∈ Ω przechodzi lokalnie tylko jedno rozwia ‘ zanie uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Po l´ o˙zmy

σ(x, z) =

 



 

g(z) dla x > 0, z ∈ h0, di

g(d) dla x > 0, z ∈ (d, +∞)

0 dla x > 0, z ∈ (−∞, 0).