Zad. 1. a) (za 7 pkt.)

Egzamin z TCiWdTD dn. 2.02.2015



Nazwisko i imi ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw ´ X

Zad. 1. a) (za 7 pkt.)

Niech ( _ ) b ˛edzie ci ˛ agiem nieujemnych zer funkcji Bessela 

2

(). Funkcj ˛e  () = √  rozwin ˛ a´c w przedziale h0; 1i na szereg Fouriera-Bessela wzgl ˛edem funkcji 

2

. b) (za 3 pkt.)

Poda´c wzór na  _ . Zad. 2. a) (za 7 pkt.)

Stosuj ˛ ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛ aza´c zagadnienie

 () = 2 − 2 Z 

0

sin ( − )  ⁰ ( )  .

b) (za 3 pkt.)

Sformułowa´c twierdzenie Borela o splocie dla transformaty Laplace’a.

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze w przestrzeni dystrybucji temperowanych zachodzi wzór F [cos ] () =  [ ( − 1) +  ( + 1)]  b) (za 5 pkt)

Sformułowa´c wzór sumacyjny Poissona.

Zad. 4. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c twierdzenie o ró˙zniczkowaniu splotu w przypadku klasycznym i dystrybucyjnym.

b) (za 5 pkt)

Udowodni´c to twierdzenie w przypadku dystrybucyjnym.

Zad. 5. (za 10 pkt.)

Stosuj ˛ ac jedn ˛ a z transformat sko´ nczonych rozwi ˛ aza´c zagadnienie dla funkcji  =  ( )

⎧ ⎨

⎩



 =  ^ _

^

,   0,  ∈ (0; ) ,   0

 (0 ) =  ( ) = 0 dla   0

 ( 0) = sin 3 + sin 5 dla  ∈ (0; ) Zad. 6. a) (za 7 pkt)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

 _+3 − 5 +2 + 8 _+1 − 4  = 1, gdzie  ₀ = 0,  ₁ = 1,  ₂ = 1.

b) (za 3 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c jedno z twierdze´n o przesuni ˛eciu dla −transformaty.