Wykład XII Mechanika

(1)

Wykład XII Mechanika

Ewolucja układu w przestrzeni fazowej

Definicja

Przestrzeń fazowa to przestrzeń rozpinana przez wszystkie współrzędne i pędy układu:



q₁,q₂,,q_n;p₁,p₂,,p_n



. Twierdzenie

Przez każdy punkt przestrzeni fazowej przechodzi jedna i tylko jedna trajektoria danego układu.

Twierdzenie jest konsekwencją jednoznaczności rozwiązań równań ruchu przy zadanych warunkach początkowych.

Przykład – Oscylator harmoniczny

2 2 2

2 1 ) 2

,

( m q

m q p p

H    - jeden stopień swobody

2 0

2





 









 q q

q m p

m q p





const )

2 ( 1 2

) ( cos

) 0 ( sin

) 0 ( )

(

)sin 0 cos (

) 0 ( )

( ² ₂ ₂







 













 m q t

m t E p

t p

t q

m t p

m t t p q

t

q 



 



Równanie toru w przestrzeni fazowej jest elipsą

( ) ( ) 1

2 0 2

2 0

2  

q t q p

t

p ,

p₀ 2mE, ₀ 2 ₂

 m q  E

Twierdzenie

Ewolucji czasowej układu odpowiada transformacja kanoniczna







) ), 0 ( ), 0 ( ( ) (

t q p P t p P

t q p Q t q Q

i i

i

i i

i

Dowód

Równania ruch są spełnione w każdej chwili czasu.

(2)

Wykład XII cd. Mechanika

Twierdzenie Liouville’a¹

Objętość przestrzeni fazowej zajmowanej przez zespół identycznych układów (t) jest stała w czasie,

const )

(

) (

2 1 2

1 







t

n

ndpdp dp

dq dq dq

t  

)

(t określa zmieniające się w czasie granice zajmowane przez zespół układów w przestrzeni fazowej.

Dowód

Dla t 0mamy









) 0 (

2 1 2

) 1

0

( dqdq dq_ndpdp dp_n ,

a teraz dokonujemy zależnej od czasu transformacji







) ), 0 ( ), 0 ( ( ) (

t q p P t p P

t q p Q t q Q

i i

i

i i

i ,

w której q_i(t) i p_i(t) są rozwiązaniami równań ruchu tzn. ewolucję czasową układu traktujemy jako transformację kanoniczną i mamy







 



) (

2 1 2

1 ( , )

) , ) (

0 (

t

n

n Q P

p dP q

dP dP dQ dQ

dQ  

Ponieważ 1

) , (

) ,

( 



 P Q

p

q , mamy

) ( )

0 (

) (

2 1 2

1dQ dQdPdP dP t

dQ

t

n

n 











 .

1 Joseph Liouville 1809-1882

(3)

Wykład XII cd. Mechanika

Uproszczony dowód

Rozważamy zespół układów o jednym stopniu swobody zajmujących infinitezymalnie małą objętość w przestrzeni fazowej (t)q(t)p(t), gdzie q(t)q_max(t)q_min(t) oraz

) ( )

( )

(t p_max t p_min t

p  

 . Układy należące do zespołu mają współrzędne q(t) z zakresu )]

( ), (

[q_min t q_max t i pędu p(t) z zakresu [p_min(t),p_max(t)].

dt p qd dt p

q d dt

d 





 

 

q q q q q q q dt

q

d 





 

 



   

 , p

p p p p p p dt

p

d 





 





   







 











 







 











 

 

 





 





p p q p q p q

p q p q p q p p q q q dt

d      

Zakładamy, że q(t) i p(t) spełniają równania ruchu:

q t q p p H

p t q p q H





 

 ( , , )

), , ,

( 

 .

0

2

2 

 







 



 



q p

H p

q H dt

d

Uogólnienie na n stopni swobody

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(t q₁ t p₁ t q₂ t p₂ t q_n t p_n t

 



 



 





 











 



    











 



    

 



 dt

p q d dt p

q t d p t q t p t q

t p t q t

p t dt q

p q d dt p

q t d p t q

t p t q t

p t dt q

p q d dt p

q d dt

d

n n n n n

n

n n

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( ) (

1 1

3 3

2 2 2 2 1

1

2 2

1 1 1 1



1 1

1 ⁿ 1 ⁿ

i i i

i k k

k k k k

d q q q

q q q

dt n _ q n _ q

  

     

 

 

^,

1 1

1 ⁿ 1 ⁿ

i i i

i k k

k k k k

d p p p

p p p

dt n  p n  p

        

 

 

, 1

1 ⁿ _i _i

i k k k

q p

d

dt n  q p

  





  

Zakładamy, że q_i(t) i p_i(t) spełniają równania ruchu:

i i

i

i q

t q p p H

p t q p q H





 

  ( , , )

), , ,

( 

 .

2 2 2 2

, 1 , 1

1 1

0

n n

i k k i k i i k k i i k

d H H H H

dt n  q p p q n  q p p q

   

    





     



     