Wykład XII Mechanika kwantowa

(1)

Rachunek zaburzeń

Rachunek zaburzeń jest podstawową metodą znajdowania przybliżonych rozwiązań różnego rodzaju równań występujących w fizyce. Tutaj zastanie przedstawiony rachunek zaburzeń w zastosowaniu do równania Schrödingera bez czasu. Ograniczymy się przy tym do tzw. najniższego rzędu rachunku.

Zaczniemy od rachunku zaburzeń dla stanów niezdegenerowanych.

Rachunek zaburzeń dla stanów niezdegenerowanych Poszukujemy rozwiązania równania

ϕ ϕ E Hˆ =

tzn. szukamy funkcji własnych

ϕ

i wartości własnych E hamiltonianu Hˆ . Metoda zaburzeń zakłada, że znamy ścisłe rozwiązania równania o zbliżonym hamiltonianie tzn.

) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

ˆ( ϕ E ϕ

H = .

Hamiltonian Hˆ, poszukiwane funkcje własne

ϕ

i wartości E własne przestawiamy w postaci

) 1 ( ) 0 ( )

1 ( ) 0 ( )

1 ( ) 0

( ˆ , ,

ˆ

ˆ H H E E E

H = + ϕ=ϕ +ϕ = +

i zakładamy, że Hˆ(1) jest dużo mniejsze niż Hˆ(0), ϕ(1) jest dużo mniejsze niż

) 0

ϕ( _oraz E jest dużo mniejsze od ₍₁₎ E(0) tzn. H^ˆ₍₁₎ << H^ˆ₍₀₎ ^*), ϕ₍₁₎ <<ϕ₍₀₎ oraz

) 0 ( ) 1

( E

E << . Wielkości Hˆ(0), ϕ(0)_, E₍₀₎ nazywamy niezaburzonymi, zaś _Hˆ(1),

) 1

ϕ( , E zaburzeniami lub poprawkami do wielkości niezaburzonych. (1)

Równanie, które chcemy rozwiązać, przyjmuje postać

(

Hˆ(0)+Hˆ(1)

) (

ϕ(0) +ϕ(1)

) (

= E(0)+E(1)

)(

ϕ(0)+ϕ(1)

)

, więc

) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

( ˆ ˆ ˆ

ˆ ϕ H ϕ H ϕ H ϕ E ϕ E ϕ E ϕ E ϕ

H + + + = + + + .

*) Ponieważ Hˆ₍₁₎ i Hˆ₍₀₎ są operatorami, więc sens relacji H^ˆ₍₁₎ << H^ˆ₍₀₎ należy doprecyzować. W rozważanym

(2)

Ponieważ zachodzi Hˆ(0)ϕ(0) =E(0)ϕ(0),więc człony Hˆ(0)ϕ(0),E(0)ϕ(0) wzajemnie się kasują, zaś człony Hˆ(1)ϕ(1)i E(1)ϕ(1)są „kwadratowo” małe i możemy je pominąć.

Mamy zatem

) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0

( ˆ

ˆ ϕ H ϕ E ϕ E ϕ

H + = + ,

Funkcje tworzące lewą i prawą stronę równania mnożymy teraz skalarnie przez funkcję ϕ i dostajemy ₍₀₎

(

ϕ(0),Hˆ(0)ϕ(1)+Hˆ(1)ϕ(0)

)

=

(

ϕ(0),E(0)ϕ(1)+E(1)ϕ(0)

)

Uwzględniając jeszcze, że funkcje falowe są unormowane, czyli

(

ϕ(0)^,ϕ(0)

)

=¹, otrzymujemy

(

(0) (1)

) (

(0) (1) (0)

)

(0)

(

(0) (1)

)

(1) )

0

( , ,Hˆ E , E

E ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ ϕ + _,

co ostatecznie daje poprawkę do energii niezaburzonej

Wyznaczymy teraz poprawkę ϕ(1) do niezaburzonej funkcji falowej ϕ(0)_.

W tym celu rozłożymy ϕ w ortonormalnej bazie tworzonej przez funkcje (1)

własne niezaburzonego hamiltonianu _Hˆ(0), które oznaczymy jako

{

u₁,u₂,u₃,^K

}

. Funkcja ϕ , jako funkcja własna (0) _Hˆ₍₀₎, też należy do tego zbioru. Przyjmujemy, że ϕ₍₀₎=un. A zatem

∑

≠

=

n k k

k ku a

, ) 1

ϕ( _, _a_k są współczynnikami liczbowymi.

W sumie po k wykluczyliśmy n-ty wyraz, gdyż jest nim funkcja ϕ₍₀₎ =un. Wyznaczenie funkcji ϕ polega na znalezieniu współczynników (1) a_k.

(

(0) (1) (0)

)

) 1

(

ϕ

,Hˆ

ϕ

E =

(3)

Punktem wyjścia jest uprzednio wyprowadzone równanie

) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0

( ˆ

ˆ ϕ H ϕ E ϕ E ϕ

H + = + ,

które teraz zapiszemy w postaci

n n

k k

k k n

n k k

k

kH u H u E a u E u

a ₍₁₎

, ) 0 ( )

1 ( ,

) 0

( ˆ

ˆ + =

∑

+

∑

≠

Funkcje tworzące lewą i prawą stronę równania mnożymy skalarnie przez funkcję uj przy czym j≠n. Dostajemy wtedy







 +

=









∑

+

∑

≠

n n

k k

k k j

n n

k k

j a H u H u u E a u E u

u ₍₁₎

, ) 0 ( )

1 ( ,

) 0

( ˆ ,

, ˆ .

Korzystając z liniowości iloczynu skalarnego w drugim argumencie mamy

( ) ( ) ( ) (

j n

)

n k k

k j k n

j n

k k

k j

k u H u u H u E a u u E u u

a , ˆ , ˆ , ₍₁₎ ,

, ) 0 ( )

1 ( ,

) 0

( + =

∑

+

∑

≠

.

Uwzględniamy teraz fakt, że funkcje

{

u₁^,u₂^,u₃^,^K

}

są funkcjami własnymi hamiltonianu _Hˆ₍₀₎ tzn. Hˆ₍₀₎u_k =E_ku_k znajdujemy

( ) ( ) ( ) (

j n

)

n k k

k j k n

j n

k k

k j k

kE u u u H u E a u u E u u

a , , ˆ , ₍₁₎ ,

, ) 0 ( )

1 ( ,

+

=

+

∑

≠

.

Pamiętając o ortonormalności bazy

{

u₁,u₂,u₃,^K

}

, czyli własności

(

ui,uj

)

=δ^ij, otrzymujemy

( ) ∑

∑

≠

= +

n k k

jk k n

j n

k k

jk k

kE u H u E a

a

, ) 0 ( )

1 ( ,

, ˆ δ

δ _,

(

j n

)

j

jE u H u E a

a + , ˆ₍₁₎ = ₍₀₎ ,

co, po uwzględnieniu, że E₍₀₎ = E_ndaje ostateczny wzór na współczynniki

Poprawiona funkcja falowa przyjmuje więc postać

( )

∑

≠ −

+

= +

=

n k k

k k n

n k

n u

E E

u H u u

,

) 1 ( )

1 ( ) 0 (

, ˆ ϕ

ϕ

ϕ _.

( )

j n

n j

j E E

u H a u

= −⁽¹⁾ , ˆ

(4)

Zaburzenia stanu podstawowego atomu wodoru

Stan podstawowy atomu wodoru jest niezdegenerowany, więc możemy zastosować przedstawiony formalizm do obliczenia zaburzeń tego stanu.

Efekt skończonych rozmiarów jądra

Ponieważ proton nie jest obiektem punktowym potencjał oddziaływania między elektronem a protonem nie jest dokładnie coulombowski na odległościach rzędu promienia protonu R≈10⁻¹³cm. Jeśli proton potraktujemy jako jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R, energia potencjalna oddziaływania równa jest









≥

<

−

=

R r r

R R r

r e R

r V

1, 2 , 2

3 )

(

3 2

2

Ponieważ hamiltonian problemu, który chcemy rozwiązać równy jest

) 2 (

ˆ ˆ V r

m H = p +

r

, zaś hamiltonian problemu, który rozwiązany jest ściśle wynosi

r e m H p

2 )

0

( 2

ˆ = ˆ −

r

,więc hamiltonian zaburzający równy jest

r r e V H H H

2 )

0 ( )

1

( ˆ ˆ ( )

ˆ = − = +







≥

<

−

− −

=

R r

R r r

R r e R

H

, 0

1, 2 2

3

ˆ ³

2 2

) 1 (

Funkcja falowa stanu podstawowego równa jest ^a^B

r

B

e a r

−

= 3

100

) 1 (

π

ϕ ^r , więc

poprawka do energii tego stanu wynosi

( ) _∫ _∫

_







 − −

−

=

= ⁻

R

a r

B R r

r e R

r a dr r e

H r r d H

E ^B

0

3 2 /

2 3

2 100

) 1 (

* 100 3 )

0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 1 (

1 2

2 3 ) 4

ˆ ( ) ˆ (

, r r

ϕ ϕ

Ponieważ R<<a_B, więc możemy przybliżyć e⁻²^r^/^a^B ≈1 i dostajemy

3 2 2

0

3 2 2

3 2 )

1

( 5

2 1 2

2 3 4

B R

B a

R e r

R r r R

a dr

E e =







 − +

−

=

∫

^.

Pamiętając, że ₂

2

e a m

e B

≡ h oraz

B e

a e e

E m

2 2

4 )

0

( =− =−

h mamy







 −

= +

= ₂

2 )

0 ( ) 1 ( ) 0

( 5

1 4 aB

E R E E

E _.

(5)

Efekt Zeemana¹

Efekt Zeemana polega na przesuwaniu się poziomów atomu w obecności zewnętrznego pola magnetycznego. Przyjmijmy, że pole to jest jednorodne w całej przestrzeni. Klasyczna energia oddziaływania układu o momencie magnetycznym µ^r z polem magnetycznym B

r

równa jest B r r

⋅

−µ , moment zaś magnetyczny elektronu −e, masie m_e i momencie pędu L

r wynosi L

c m

e

r r

−2

µ= .

Jeśli jako układ niezaburzony traktujemy atom wodoru w nieobecności pola, hamiltonian zaburzający równy jest B L

c m H e

e

ˆ 2

ˆ(1)

r r

⋅

= . Przyjmując, że pole jest skierowane wzdłuż osi z, tzn. B=(0,0,B)

^Ω θ

∫

^∞ ϕ ϕ ^, gdzie uwzględniono, że z=rcosθ. Ponieważ

∫

^d²Ωcos^θ =0, więc pole elektryczne nie powoduje przesunięcia poziomu podstawowego atomu wodoru.

1 Pieter Zeeman (1865 – 1943)

Wykład XII Mechanika kwantowa

Rachunek zaburzeń

ϕ

ϕ

(

) (

) (

)(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

{

}

∑

(

)

ϕ

ϕ

∑

∑

∑

∑

( ) ( ) ( ) (

)

∑

∑

{

}

( ) ( ) ( ) (

)

∑

∑

{

}

(

)

( ) ∑

∑

(

)

( )

∑

( )

Zaburzenia stanu podstawowego atomu wodoru

( ) ∫ ∫

∫

(

)

(

)

∫

( ) _∫ _∫