Der einfluss elasticher platten (schiffswände) auf das hydroakustische propellerdruckfeld

(1)

,

3-INSTITUT FIJR SCHIFFBAU

DER UNIVERSITAT HAMBURG

MuiIs 2, 2B co

:i

O15'

IS4 .

_{OVI. 72S}

Der Einfluß elastischer Platten (Schiffswände)

au-f das hydroakustische Propeflerdruckfeld

M. Kloppenburg

(2)

Bibliotheek van de

OnderafdeDng der Scheepsbouwkunde Technische Hogeschool, Deift

DOCUMENTATIE _I: ₃₃

DATUM: _{21 J&i 1972}

INSTITUT PtJR SCHIFFBAU DER UNIVERSITÄT HAMBURG

Bericht Nr.283.

Der Einfluß elastischer Platten (Schiffewände) auf das hydroakustische Propellerdruckfeld

M.ICloppenburg

Forschungsauftrag BMVtdg T0250/92550/91552 Hamburg, März 1972

(3)

tibersicht:

In der vorliegenden Arbeit wird das hyciroakustis che

Druckfeld einer vom Propeller zu Schwingungen ange-. regtenébenen elastischen Platte bestimmt. Die Umge.-bung der elastischen Platte Ist starr; jedoch wird

theoretisch auch der Fall behandelt, daß die Unige-bung durch die Wasseroberfl.che gebildet wird.

Die errechneten Ergebnisse werdên mit dem hydroaku-stischen Druckfeld des Propellers verglichen.

Außerdem wird die Möglichkeit, die anregende Druck-kraft durch Rückpfeilung des Propellers zu verringern, theàretisch angegeben und durch Rechenbeispiele belegt.

Summary:

The hydroacoustic pressure field of an oscillating. elastic flat plate excited by the field of a ship's propeller is calculated. The environment of the elastic flat plate is considered to be rigid;

However, theoretical prediction is also given for the case that thé water surface forms the environment. The numerical results are compared with the propeller's hydroacoustic pressure field.

In additLon, the possibility of decreasing the exciting pressure by using a skewed propeller is dealt with

(4)

Inhalt:

Der Einfluß elastischer Bauteile auf das hydro-akustische Druckfeld eines Schraubenpropellers

Herleitung des Zusatzpotentials zur Erfassung des Einflusses der Elastizität

Das auf Grund derElastizität abgestrahlte Fernfeld

'Die. elastische Platte umgeben von der Wasser-oberfläche

Zur Berechnung des von einem Schraubenpropeller induzierten instationären Druckfeldes

S.. 2

s... s

S. 19

S'. 25

S. 29

Die orthotrope Platte S. 36

6. Beispiele S. 42

6.1 Zur Berechnung des Propellerdruckfelds ám

Ort Y0 S. 42

6.2 Die Bestimmung des Zusatzpotentialsøj, das

den Einfluß der Elastizität wiedergibt. S. 44

6.3

Die Abstrahlung ins Fernfeld. durch die

schwin-gende Platte

6.4 Die vom Propeller selbst im Fernfeld

indu-zierten Druckschwankirngen S. 52 6.5 Ergebnisse zum rückwärts (skew) gepfeilten

Propeller

5.56

Anhang:

Momentenfrei gelagerte Rechteckplatte bei starrer

Umgebung . ,. . S. 57

Schlußbemerkung ' S. 65

Schrifttum .

S. 67.

(5)

Der Einfluß elastischer Bauteile auf das hydroaku-stische Druckfeld eines Schraubenpropellers

Der Schraubenpropeller endlicher Flügelzahl induziert in seiner Umgebung ein instationäres Druckfeld. Es ist anschaulich, daß dieses Druckfeld, sofern es auf der

eìgentlichen Propellerströmung beruht, die Periode

2/N

( N Plügelzahl ) besitzt, d.h. jedesmal wenn der nâch-folgende Propellerflügel die Stellung des vorhergehen-den einnimmt, herrschen wieder die gleichen Zustände. Zerlégt man dieses Druckfeld hinsichtlich seiner Zeit-abhängigkeit mittels Fourieranalyse, so werden nur

Kreisfrequenzen auftauchen der Form kN, wobei k=1,2... eine ganze Zahl und) die Winkelgeschwindigkeit des

Propellers ist. Bei den üblichen Drehzahlen von ca. 2 bis 6 Hz für die Großausführung und ca. .10 Hz bei

Modellpropellern und Flügelzahlen von

3 bis 5

ist

dieses Druckfeld ausgesprochen niederfrequent.

Hochfrequente Druckfeldschwankungen, die in der Um-gebung eines Propellers ebenfalls beobachtet werden, haben.ihre Ursache nicht in der eigentlichen Propel-lerströmung, sondern beruhen auf Effekten, die diese eher stören, wie z.B. entstehende, schwingende oder

zerfallende Kavitationsblasen. Hierbei.können belie-bige hochfrequente Druckschwankungen entstehen.

Die Betrachtungen in dieser Arbeit beziehen siöh auf das zuerst genannte niederfrequente Druckfeld des Propellers. Es ist klar, daß die dort induzierten Druckschwankungen Einfluß haben auf den

benachbar-ten Schiff srumpf. Unruhe und Schwingungen im Hinter-. schiff, deren Ursache der Propeller ist, sind von den Schiffbauern jederzeit gefürchtet.

+) Diese Untersuchung wurde durch einen

Forschungsauf-trag der Fraunhofergeselischaft ermöglicht. Dafür

(6)

Bei der Untersuchung des Einflusses elaatischer Bau-teile auf das Pròpellerdruckfeld soll von folgendem Modell ausgegangen werden: In de± Nähe eines arbei-tenden Propellers ist eine unendlich große starre Platte angeordnet, die lediglich direkt über dem Propeller einen elastischen Ausschnitt haben soll.

i) W.H.Isay:

2) R.Armonat;

Die Rechnung wird nun so durchgeführt,, daß der in-stationäre Druck an einer starren Platte bestimmt wird. Dabei wird von dem bekannten Ergebnis ausge-gangen, daß an einer starren Wand der Druck doppelt

so groß ist wie im freienPlüssigkeitsraum. i) 2)

Moderne' Probleme der Propellertheorie Springer Verlag

Berlin Heidelberg New York

1970

6.105-152.'

Das hydroakustische Druckfeld eines Propeller's.

Bericht Nr.209 des Instituts für Schiffbau.

(7)

3)

S..Tsakónas, C.Y.Chen, W.R.Jacobs:.

Acoustic Radiation of an

Infinite

Plate Excited

by the Field of a Ship Propeller

The Journal of the Acoustical Society of America Vol.36, No.9 September 196'+, S.1708-1717

S.Tsakonas, C.Y.Chen, W.R.Jacobs:

Acoustic Radiation of a Cylindrical Bar Excited by the Field of a Ship Propeller

The Journal of the Acoustical Society of America Vol.36, No.8 August 196k, S.1.69-15a8

Wegen des Einflusses des elastischen Plattenausschnitts ist.

zusätzlich noch ein weiteres Potential zu ermitteln, dessen Ableitung normal zur Platte die e]astische Aus-lenkungsgeschwindigkeit liefert. Dieser Weg zur Be-handlung des vorliegenden Problems ( allerdings für

eine unendlich große elastische Platte ohne

Berück-sichtigung von Rand- bzw. Einspannbedingungen ) wurde

zuerst von Tsakonas,

Chen

und Jacobs

besôhrit-ten.

Dieses Zusatzpotential bedingt natürlich eine verän-derte Abstrahiung ins Fernfeld.

Die Rechnung im Nahfeld, also das Auffinden der

In-tensität des Zusatzpotentials bzw. seine Ableitung aus der Strömungsrandbedingung an dem elastischen Plattenteil ,wird inkompressibel durchgeführt.

Armonat 2) weist anhand numerischer Rechnungen nach,

daß in unmittelbarer Nachbarschaft. des Propellers inkompressibel gerechnet werden darf.

(8)

1. Herleitung des Zusatzpotentials zur Erfassung des Einflusses der Elastizität

Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen ist die Differentialgleichung der Platte, welche infolge der vom rotierenden Propeller ausgehenden Druck-schwankungen erzwungene Biegesctiwingungen ausführt. Ziel ist es, die Durchbiegung v(x,z,t) dieser Plat-te anzugeben, bzw. da von einer SeiPlat-te Wasser an die Platte angrenzt, ein Potential j(x,y,z,t) zu fin-.. den, das normal zur Platte.abgeleitet am Ort der

Platte die Auslenkungsgeschwindigkeit ' liefert.

Die Dgl. der erzwungenen Plattenbiegeschwingung

lautet:

Hier be4euten:

y Auslenkurg der Platte

Dichte des Plattenmaterials

h Dicke der Platte

.12If-V)

Plattensteifigkeit

E Elastizitätsmodul

) Querkontraktionszahl

Dichte des Wassers im Normalzustand

u0 axiale Anströmgeschwindigkeit zum Propeller

Potential des Originalpropellers

r Potential des gespiegelten Propellers

entspre-- chend der Randbedingung einer starren Wand

das durch den elastischen PlattenteiJ. bedingte Zusatzpotential

(9)

y Ort. der Platte

_1t17L,)

Laplacescher Operator

p1+p11=-4 ¿i0-)M-) Propellerdruckfeld

i

induzierter Zusatzdruck

p1+p11+p111

anregendes Druckfeld

( Dabei ist die übliche linearisierte Relation zwischen

Druck und Geschwindigkeitspotential zugrunde gelegt.) Die Anregung auf der rechten Seite von 1.1) besteht

aus zwei Anteilen, einmal ist da das Druckfeld an einer starren Platte p1+p11=2p1. Dieses wird aber,

da ja bedingt durch die Elastizität eine

Auslenkungsgeschwind.igkeit auftreten wird, zu

er-weitern sein. Diese Erweiterung steht in dem Term

mit )i.

Dieses zusätzliche Potential Ç4y ist so zu bestimmen,

daß es die Randbedingung

a

c7øT

1.2)

=O=

r-, erfüllt.

Differenziert man Gl.1.1) nach der Zeit und setzt dabei 1.2) ein, so erhält man eine Dgl. für das un-bekannte Potential

1.3)

Für wird ein Produktenansatz gemacht, dergestalt,

daß die Auflagerbedingungen der Platte bereits er-füllt sind.

(10)

Dafür kommen die

£{ir den Balken békannten Lösungen

in Frage. Diös sind die Kreis- und

Hyperbelfunk-tionen in der Form

'm ,c) a4,,,

cö'

,t-)

7L

G(z)=

_6g,,

C/U/6L82,,.,2

26 a

7L

¿7 cA

6) 7L

34 ,ZE/'6)

Hier sind die Koeffizienten aim bis

am,

b1 bis b4

durch die jeweiligen Randbedingungen an x=+a, z=±b

bestimmt. .Die/lm,,/4n sind die zugehörigen Eigenwerte.

Da wir einen Ansatz suchen, -der der Laplace

Glei-chung

genügen soll, muß das Produkt aus Pm(x) und G(z) folgendermaßen umgeordnet werden:

'm

x

>G( z)

= 'm' 7L

_7Lo

mit

rn

p,//6)

7t

2a

CCC)

26

7L _,

-4

¿'?

_2cr:

_t-j,,C

'6

5)

I.Szabó: Höhere technische Mechanik

Springer Verlag

Berlin Göttingen Heidelberg 1958 S.78

-.2c

4,,-n

-¿a.

2c'92

(11)

1.5)

p

» 2m

/xa/

ca

' C/2 2ct -rn 7L

cz,

_w::

/u/g7'o117L _a¼?,

/'"

)aL,

,L4iM

/

A 27/17#

A

,/J/6)

.2CL J/2

26 7cJ/

2 c

.34

,L7

,/a16

_I"

0 /4?/&6)7LQ,

4 '"'1A 4

'-

26

V,2

'*/)

Als Lösungsansatz fir die gesuchte Funktion

4

soll somit geschrieben werden:

F-,

i.)

m-1 ,,-/ 14---A» t:,)

_cz/9%)

¿4,4/iz1

¿

e

c-j)

¿'44

e

c/'y) 1M't

e

Aus der Laplace Bedingung

.2

2CL C-?,.7 I

ergeben sich jeweils zwei mögliche c'-Werte. Sind

diese reell, so ist, stets der positive zu nehmen,

da das Potential

4

sonst für y-?- über alle

Gren-zen wächst.

(12)

Sind die -Werte imaginär, so ergibt sich die Aus-wahl dadurch, daß sie mit der Zeitabhängigkeit

lkNGJt

e zu auslaufenden Wellen ( Abstrahibedingung )

r L.!!

d.h. des Typs e±1'

'1"YYo11

kombiniert werden

müssen. Einlaufende Wellen sind physikalisch nicht möglich.

Bei der Summation über m

und

n ist noch folgende

Ungleichung

()

(,)2.

zu beachten. Solange sie gilt ist ₂ imaginär

und

reell, gilt sie nicht mehr, ist reell und

imaginär. Aus diesem Grunde wird die Größe N1 eingeführt, die so bestimmt wird, daß für alle

nN1 die Eigenwerte,Li (n=1...N1) diese

tinglei-chung erfüllen, für alle n>N1 nicht

mehr

erfüllen.

Dann gilt:

44'L

j C

(Q ,,,

e

,% A

¡V

¡(Mt%i)

fl2'?

ni

X0 ?L

e

j?

Ic

(2)

ì7)W)) ¿A

f? -k0 (

e

/.

T7LLe

(13)

-lo-7/

1/,) í(2

'(/(!,) 27L//L,)

e

, ,J ,Th,,

k4i-î

. ?

f

e

"=4

k.-i

-/,)

: 7L

¿4/i')Z'

e

ff241

1.26!

'VG

/

A'

/ 1Q/??4

/4t,)

_{ij) ¿M}

+ ZL

_m4n=,t4,-J(0

/)zq«/ e

e

Mk4'Éf

4)

e

Die noch verbleibenden Konstanten sind aus

der Randbedingung 1.2) zu bestimmen.

.I

J=

(e

M

//o ,' P?1 t.--i< /7?

_{'ict,; -f/i}

'7 Ii_) / -I

Dann

heißt schließlich der vollständige

Lösungs-ansatz

für

1.7)

¿y

(14)

Differenziert man 1.7) nach y, so erkennt man, daß die Ableitung für y=y0 die

Auslenkungsgeschwindig-keit

einer

Platte liefert. Damit ist die Aufgabe,

eix für den Raum yy0 definiertes Potential zu

fin-den, erledigt. Die

Lösung wird aber

nur für den

Plattenausschnitt benutzt. Zu der damit verbundenen Problematik werden weiter unten noch einige

Betrach-tungen für das hier behandelte Beispiel gebracht. Es bleibt noch diê Bestimmung der unbekannten An-satzkoeffizienten. Die weiteren Rchnungen sollen.

jedoch

für

den Spezialfall der momentenfrei

aufge-lagerten Platte durchgeführt werden. Damit wird.

prinzipiell auch der Rechengang

für

andere

Lagerbe-dingungen gezeigt. Es dient jedoch der

Übersicht-lichkeit, sich hier auf diesen einfachen Fall zu beschränken.

Die Auflagerbedingungen der

momentenfreigelager-ten Platte laumomentenfreigelager-ten:

H.8)

zlü=01

c1ø,I

i

für

x=a, z=+b

Diè Konstanten aim, a3m

und

b3, bkn sind

in diesem Fall identisch Null. Die restlichen beiden

sind a2m=b=l. Die Eigenwerte sind

Für

diesen speziellen Fall heißt der Ansatz

für

das

Zusatzpotent ial: i A 1 ,Qn,,2h 1.9)

y()z/nT2'e

mi ?4'

h-í - -

/2fr16)

P/"7'

¿CL

Xfl

26 e

r,)

(15)

12

-Dieser Ansatz beinhaltet, die gesuchte Funktion wird approximiert mittels eines vollständigen Funk-tionensystèins, das von vorneherein die gewünschten Randbedingungen erfüllt.

Hier ist zu sagen: Das oben angegebene Modell ist

mit diesem Ansatz 1.9) nicht voll getroffen, da er für x und z beiderseits periodisch bis ins Unendliche

Ist, während doch gefordert war1 daß für/x/a,/z/)b

die Auslenkung y und nach diesem Ansatz auch

verschwinden sollte. Die realen Verhältnisse eines Schiff sbodens dürften zwischen beidem liegen; ein-mal ist der Einfluß der Elastizität nicht abrupt am Rande eines vorgegebenen Plattenfeldes zu Ende, zum anderen ist der Vorgang nicht periodisch son-.

dem klingt mit der Entfernung rasch ab. Dieses ist

ein Hilfsmodell zur Ermittlung der Schwingungsge-schwindigkeit und des dadurch induzierten Drucks. Die induzierten, Drücke sind für das ursprünglich gewählte Modell höher zu erwarten. Während jetzt verdrängtes Wasser die Möglichkeit hat1 in ein sich entsprechend öffnendes Gebiet des Nachbarfeldes

auszuweichen, ist das beim eigentlichen Modell nicht möglich. Physikalisch gesehen wird sich das Wasser aber diese Möglichkeit suchen und auch noch benach-barte Plattenfelder elastisch verformen. Folglich stellen sowohl das eine als auch das andere Modell nur eine Annäherung der Wirklichkeit dar. Eine Ab-schätzung für die Unterschiede wird im Anhang A dieser Arbeit gebracht.

Das Propellerdruckfeld auf der rechten Seite von 1.3) entwickelt màn in ähnlicher form wie den

Lö-sungsansatz,

nämlich:

z -

,7) -

27t'1Q ¿)é

(16)

1.10)

Diese Entwicklung für die rechte Seite und der Ansatz

1.9) werden in die Dgl.

1.3)

eingesetzt. Das ergibt

folgende Gleichung zur Bestimmung der unbekannten

+

Y(fi

//

2qrnI

J(

211 >

¿

M2

X/c2

k

Wäre die Anströmung u0=0, so ließen sich durch

Ko-effizientenvergleich die unbekannten Ak sogleich

bestimmen, ist das nicht der Fall, läßt sich vorerst

¿'4/t

nur ein Koeffizientenvergleich in sin

26

e

durchführen.

Mit

(27L/,Jy2

den Eigenfrequenzen einer momentenfrei gelagerten Platte in Luft und nach Koeffizientenvergleich

er-hält man: Ç'p

_';'

/2)e 2t't

)

4

2/7

_j

-

,vîcfr2

T

J

_2c

rnX/a1_L

2

¿ír'a)

fr/o 1.12)

13-K0

;

?

,fr/a)

)(T(fl)2()Jifl

2 /

-

¿M4t

-

b72

e

(17)

Für eine weitere Auswertung ist dann auf 1.12) ein. numerisches Näherungsverfahren anzuwenden, das Ver-fahren von Galerkin oder damit gleichwertig die

Me-thode des kleinsten Fehlerquadrates. Das führtauf ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Affink.

1.13)

[f7Q2/)

/)L/747L

/

A,,4

=

Die Bedeutung dieser Rechnung liegt darin, daß in 1.12) ein Glied berücksichtigt wird, das dämpfend wirkt; im Falle der Resonanz wird die Amplitude nicht beliebig groß oder anders, das Gleichungs-system wird nicht singulär.

Hier bedeuten die

1.1 ¿)

_7CC)

ce.

-

für und

/2+ffl

-

j= 1,2, 3... ly? für i+1

»+m2

_{Ç =2}

/L_mJ

Um den physikalischen Hintergrund näher zu unter-suchen, sei Gi. 1.12) nochmals, jetzt aber in di-mensionsloser Form aufgeschrieben, und zwar wird bezogen auf den Außeñradius R0 des Propellers, die Spitzenumfangsgeschwindigkeit &)R0 und auf die Dichte

dès. Wassers

- ¿'M"

,,,,r

1.15)

I-Qi0

0

fath ((e)

yL

2ci..

//ji(

r;1.

Md

z.

(18)

Unter Vernachlässigung des Terms, der den

Fortschritts-grad

2

des Propellers enthält und der, wie bereits

erwähnt,als Dämpfung anzusprechen ist, läßt sich aus 1.13) eine Beziehung für den FaIl, der quasi die

Re-sonaz darstellt, bzw. für die Eigenfrequenz 'dew

der

Platte, an die Wasser angrenzt, angeben.

1.16)

4

1.17)

((Je/4í

90

/ T

/75 j

2/jìp'

/f/

77/fl)7

Hier jstJ//flç)2Jfndz5rJ als hydrodynamische Masse pro

¿'12/ 'f'

Flächeneinheit 6) anzusprechen. Man erkennt, daß

durch das Wasser die Eigenfrequenzen zu niederigeefl. Werten verschoben werden, aber abhängig von der

Schwingungsform, am stärksten für die Grundform, weniger stark für die Oberschwingungsformèn.

Was besagt das Dämpfungsglied? Die Wassermasse, die durch die Platte mit in Schwingung versetzt wird, verbleibt durch die Anströmung nicht am selben Ort;

das jnduzierte Wechseldruckfeld schwimmt mit

u0

fort. Es ist zwar immer eine gleichgroße Wasser-masse, die zum Mitschwingen angeregt wird, es ist aber nicht dieselbe. Die Periode, mit der die

mit-schwingende Wassermasse ausgètauscht wird, Ist Das ist gerade die Zeit, die ein

Flüssigkeits-teilchen benötigt, um von der Vorderkante der Platte bis zur Hinterkante zu gelangen.

6) O.Grim: Uber den Einfluß der mitschwingenden

Wasser-masse auf die Schwingungseigenschaften loka-ler schwingungsfähiger Systeme

(19)

-16-Durch die Anströmung u0 kommt es dadurch zu einer Phasendifferenz zwischen der Anregung einerseits und einem Anteil der Trägheitskraft andererseits. Für den Grenzfall u*O verschwindet diese Dämpfung.. Man darf daraus aber nicht schließen, daß sie für den Propeller im Stand nicht vorhanden wäre. Sie Ist lediglich nicht vorhanden in dieser lineari-sierten Theorie, in der das Quadrat der

induzier-ten Geschwindigkeiinduzier-ten als klein gegenüber u

ange-nommen wurde. Aber das ist gerade bei hoher Be-lastung, d.h. kleinen Fortschrittsgraden, nicht mehr der Fall. Für den Propeller im Stand übernimmt die

induzierte Axialgeschwindigkeit die Aufgabe von

u0.

Für mäßige Belastungen kann man jedoch folgern: Der Fahrtzustand, also der Fortschrittsgrad wird geändert. Das kann durch Änderung der Anströmung u0 geschehen. Dann ändert sich nur das Dämpfungs-glied, das von Bedeutung nur für Resonanznähe ist. Weiter weg davon wird eine merkliche Änderung für die Lösung nicht eintreten. Anders ist es, wenn durch Änderung der Drehzahl der Abstand zwischen Erreger- und Eigenfrequenz kleiner oder auch gro-ßer wird. Da gewöhnlich die Erregung noch unter der niedrigsten Eigenfrequenz liegt, bedeutet eine Ver-größerung der Erregerfrequenz schon eine merkliche Erhöhung der Auslenkung.

Es soll noch kurz auf die Schwierigkeiten der Aus-wertung der Gl. 1.13) für den Quasiresonanzfall

ein-gegangen werden. Dazu sind die Werte in der

Ta-belle I zusammengestellt. In der Hauptdiagonalen sind die Vorfaktoren.des Aflk_Gliedes aus Gi. 1.13) eingetragen zu denken, Für den QuasiresonanzfalJ. ist aber gerade einer dieser Vorfaktoren Null. Man ersieht, daß für Resonanz dann eine recht hohe An-zahl Ansatzkoeffizienten m gewählt werden muß.

(20)

(21)

-18-Die numerischen Rechnungen ergaben, daß für Reso-nañz in der Grundform M0=11 Reihenglieder zu

wäh-len waren, bevor der errechnete Wert als gesichert angesehen werden durfte. Das läßt sich nach Kennt-nis der Tabelle I auch gaihicht anders erwarten,

da die Ansatzkoeffizienten nicht voneinander

unab-hängig, uñd die C nur langsam kleiner werden.

Für Rechnungen außerhalb der Resonanz waren die

Er-gebnisse völlig stabil, wenn M0=5 gewählt. wurde.

Die Schwingungsgeschwindigkeit der Platte ist sòmit bekannt. Die Auslenkung selbst erhält man, indem.

man noch durch ikNC) dividiert.

Die jetzt folgenden Überlegungen über die Abstrahi-ung ins Pernfeld setzen die Kenntnis der Geschwin-digkelt voraus. Diese muß jedoch nicht notwendiger-weise durch das instationäre Propellerdruckfeld ver-ursacht sein, es ist vielmehr jede Form der Anregung denkbar. Bedingung ist lediglich, daß die

(22)

- 19

2. Das auf Grund der Elastizität abgestrahlte Fernfeld

Um die Abstrahiung ins Fernfeld zu ermitteln, soll von

der Kirchhoff'schen Wellenformel ausgegangen werden.

Die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung

2.1)

ist für ein Raumgebiet (G) mit dr Oberfläche

(o)

nach

der Kirchhoff'schen Formel gegeben:

2.2)

ff/í.fdl

[1c)

if1dO

D /cjû*)

I

if

&,,iC2Z'

Die eckigen Klammern sollen andeuten, daß die

vorgege-benen Randwerte zur retardierten Zeit (i-D') zu nehmen

sind. n ist die Normalenrichtung von (o). Im

vorlie-genden Fall ist ein Raumgebiet gegeben, daá am Ort y=y0 durch die x,z-Ebene begrenzt wird, sonst aber den

ganzen unendlichen Raum yy0 umfaßt. Aus diesem Grunde

ist

2.2)

in kartesischen Koordinaten anzuschreiben.

2.3) /0)

1 17 )J7f2z"JJ

¿ Dabei bedeuten:

r=(;

ni

/f)2+($?2f

.

*c/JI (4'Ç

_«;:/4;

_/cìp,)

7)

A.N.Tychornf,

Differentialgleichungen der mathematischen Physik VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften

(23)

ist eine Translationsgeschwindigkeit, wie hier die An-strömgeschwindigkeit u0 zum Propeller,vorhanden, so ist eine Beziehung zwischen den gesternten Größen, die

u0 implizit bereits enthalten sollen, und. den

unge-sternten herzuleiten. Mit der Substitution

2

* ₂ _¿6 ₂

x=x;

_y=fly;

z=z;

_t=,Ac0t-x;

kann man

schreiben:

It

¿

2.)

)=fxy,.)= (x,-),<E.

i

Für

die benötigten Ableitungen bekommt man mit 2.14.):

-

__

___

__

c),r z

i

)4i

/3C19/. )?

_,,da

Damit nimmt Gleichung 2.3) die Form an!:' 8)

2,5)

_o

d

(Çi

7L/

_,i]3

Zd

_oÇ

/

0000

d

_-00-VO

uil

_i/#4-g/!/1'

/cq'

+

to -/W

±

H.Viviand: L'quation fondamentale de la théorie du

bruit aérodynamic dans le cas de surfaces en mouvement de translation uniforme

Journal de Mécanique, Vol.9,No2, Juin. 1970 S.

333

(24)

2.la)

21

-Hier bedeutet:

[J

fi

¿4fr-D

)2()lt

Man darf sicher davon aus ehen, daß die Integranden

insbesondere in 2.5) hinreichend

kon-vergieren, dh. die unendlichen Grenzen werden

durch

hinreichend große endliche ersetzt; so verschwinden die Integrale, die über Flächen im Unendlichen zu er-strecken sind, weil dann der Abstand D beliebig groß gemacht werden kann.

Aus 2.5) soll nun das kompressible Potential

her-geleitet werden.

7

-t D

I c'i

¿3

L !J

C

OI ¿É

Da erzwungene Schwingungen betrachtet werden, und zwar

mit den Frequenzen kN, soll statt

Yf

geschrieben

wer-den:

I.

Damit wird aus der Wellengleichung

2.1)

2.6)

4(Ç5

-

cc

und aus der Kirchhoff'schen Formel 2.2)

2.2a)

I//e

°

()

¿Y

(25)

-bzw. auth der für meinen spezie].lèn Pall des Halbrauins

angeschriebenen Formel 2.6)

¿41r-J.

2.6a)

#,yG)( teo(x-fr,)/

-

e

-

c.

jeweils eine Bez6ìhung für die Zeitamplituden

J4(4j,?

Aus der in Abschnitt 1 durchgeführten Rechnung sind

die Randwerte für den elastischen Ausschnitt

/x).a, /z/b bekannt, m übrigen sind sie gleich Null,

aus der Forderung, daß die Platte' sonst starr sein soll.

Damit komme ich für die Abstrahlung auf das ursprüng-lich gewählte Modell zurück. Was noch fehlt, sind die Randwerte

Für die weiteren Uberlegungen wird die zweite Green'sche Formel benutzt.

Sind, sowohl u als auch Lösungen der Dgl. 2.la), so erhält man:

9)

E.Martensen: Potentiaitheorie B .G..Teubner, Stuttgart 1968 S.226 2.7)

f/f(4 -;''=

(y)

il

(1r:

-:

)''

Mit ihrer Hilfe soll 2.2a), respektive 2.6a) so umge-formt werden, daß allein die Kenntnis der Normalablei-tung der Randwerte genügt, um die gesuchte Funktion

zu bestimmen. Dieses nennt man in der Poten-tiaitheorie die 2.Randwertaufgabe oder Neumann'sches Problem.

(26)

e

*4

2.8)

_ff)t/-a

_c

,Lf4

It

ff(a-Yif1dO=o

1'oI

2.8) werde zu 2.2a) hinzuaddiert

0000 2.9)

_5}2

f/(6

-Øe-'Q

_p

It

-(n0 bereits 'gesetzt).

Jetzt ist eine Funktion u0als Lösung der Dgl. 2.2a). zu

finden, sc.aß

auf der Randfläche=y.

Für den Haibraum ist das aber gerade der Pall,

wenn

gewählt wird. Das bedeutet, der zweite Integralterm in 2.9) verschwindet, so4aß die gesuchte Funktion

allein durch

OQO

2.10)

_{2/c -I j}

-1

11e

J7k/

/7c

00 Vo

bestimmt Ist. In ungesternten Variablen und unter

Be-rücksichtigung, daß Randwerte nur im Bereich /x/a,/b

von Null verschieden, nämlich sind, heißt di,e

Formel, aüs der die Abstrahiung ins Fernfeld zu

berech-nen ist:

io)

L.Cremer, M.Heckl: Körperschall

Springer Verlag

Berlin Heidelberg New York 1967 5.4146

(27)

Für große Aufpunktsàbstände r

/Z<

erkennt man, daß die Differentiation nach x, wie sie der zweite Ausdruck in 2.12) für. den Schalidruck for-dert, nur Terme ergibt, die entweder von höherer. Ord-nung verschwinden oder proportional a- sind. Den Druck

erhalt man also dann schon us

.24

-:ür Dr darf man den Nenner in 2.11) vor das Integral

ziehen. Für einen festen Strahl r bedeutet das eine abklingende Druckamplitude. Im Zähler bleibt jedoch noch der Ausdruck

-ikN--1t-1

e /3;I co I e 1

Während der erste Faktor für die Amplitude bedeutungslos ist, er stellt lediglich eine Phase dar, liefert der zweite eine gewisse Riçhtungsabhängigkeit. Für die später angegebenen Beispiele eïner hauptsächlich

in der Grundform schwienden quadratischen Platte

ist dieser Einfluß jedoch. gering, d.h. dieU

(28)

25

3. Die elastische Platte umgeben von der Wasseroberfläche

Für den Fall, daß die elastische Platte nicht von einem starren Rand umgeben ist, sondern von der frei-en Wasseroberfläche, soll jetzt die Theorie angegebfrei-en werden. Während bisher für das Propellerpotential

und das gespiegelte Potential galt, daß am Ort

der Platte y0 die Normalgeschwindigkeit zur Platte verschwinden sollte, ist jetzt gefordert, daß dort allein der Druck Po herrscht, das bedeutet, die.von

4

und Øj induzierten Drücke heben sich gerade auf.

Die Wirkung der Schwerkraft ist dabei allerdings nicht berücksichtigt.

Um diese neue Randbedingung zu erfüllen, Ist es

lediglich nötig, das bisherige Potential

4

mit

einem anderen Vorzeichen zu versehen.

Während sich früher einstellte, -daß der induzierte Druck an der starren Platte betragsmäßig doppelt

so groß war wie im freien Flüssigkeitsraum, ergibt sich hier ähnlich, daß die induzierte Geschwindig-keit zu verdoppeln ist. Die Dgl. der Biegung der Platte lautet dann:

3.1)

Dabei ist die neue Randbedingung, daß von Çf und

am Ort y0 keine.Drücke induziert werden, bereits

berücksichtigt.

Im Bereich der Platte muß jetzt gelteñ, daß die

elastische Auslenkungsgeschwindigkeit ' gleich der

Ableitung der Summe aller drei Potentiale ist.

(29)

-26--Wird auch hier 3.1) nach der Zeit differenziert und

dabei

3.2)

eingesetzt, so erhält man wiederum eine

Dgl. für das unbekannte Potential

3.3)

(M(--2f'4

Dadurch, daß im Plattenbereich die bei der Spiege-lung zunächst noch zugelassene Normalgeschwindig-keit in der Ebene y0 entsprechend dem elastischen Verhalten der Platte unterdrückt wird, wird das auf

der rechten Seite von

3,3)

stehende anregende

Druck-feld induziert.

Die Dgl.

3.3)

unterscheidet sich von der früheren

1.3)

nur durch die andere Art der Anregung.

Aus

3.3)

kann somit genau wie vorher das

inkompres-sible Potential Ç4- bestimmt werden.

Das abgestrahlte Fernfeld Ist ebenfalls aus der Kirchhoff'schen Formel und zwar in der Form der Gi. 2.9) zu bestimmen.

2,9)

_(C767I

-OQ-oQ

;'y

/I4c?

_!&*=x

mit

Die Randbedingung der freien Wasseroberfläche

lautet:

C7

cZr

(30)

Das Problem, das sich Jetzt stellt, ist: Die

Rand-werteJ sind überall bekannt, für /x/4a,/z/b

aus der Nahfeldrechnung, im übrigen gleich Null aus der Randbedingung. Wie muß die Funktion u* in

die-sem Fàll gewählt werden, so4aß G* auf dem Rand

ver-schwindet, also allein die Kenntnis der Randwerte

Ç)

genügt, um _,5 (xyì' zu bestimmen. Eine

derartige Aufgabe ist aus der Potentialtheorie als erste Randwertaufgabe bzw. als Dirichlet'sches

Problem l'i) bekannt.

Die Lösung für den Haibraum liefert:

'_N'/(,8_

(2Ç--)W2-e

)¼-'-

2_r-fJ?-?'

Fürp, also auf dem.Rand, verschwindet G

wie. es

gefordert war.

Damit kann y gewonnen werden aus:

3.4)

__

*

-6

27 -1?5

bzw.

3.5)

M

Irr

Diese Formeln liefern für den Rand gerade die vor-geschriebenen Randwerte,. im Bereich des elastischen

Ausschnitts sonst den Wert Null, weil dann.

die Singularität nicht enthalten ist. Aus diesem Grunde verschwindet auch die Ableitung nach x, wie es die Randbedingung verlangt.

(31)

¿

28-G]..

3.5)

stellt das Potential einer Dipolbelegung dar,

zum Unterschied von Gl. 2.11), die ihrem Charakter nach das Potential einer Quell-Senkenverteilung Ist.

11) O.D.Ke1log Foundations of Potential Theory

Dover Publications, Inc.

New York

1959

S.286

Die Literaturangaben

7), 9)

und 11) sind als eir.e

Einheit zu verstehen. Die hier angesprochenen Pro-bleme sind in allen drei Werken behandelt.

(32)

-29-¿. _{Zur.Berechnung des von einem Schraubenpropeller}

induzierten instationären Druckfeldes

Während bei der herkömmlichen Traglinientheorie 12).

der tragende Wirbel radial nach außen gerichtet Ist, soll hier eine Theorie hergeleitet werden, die es gestattet, den tragenden Wirbel beliebig in die

y,z-Ebene zu legen. Als Spezialfall ist die bekannte. Traglinientheorie aarin enthalten.

Die geometrische Anordnung: al

Skizze 2

Die tragende Linie, die sich bisher momentan am Ort

g befindet, soll jetzt am Ort jJ4) angeordnet

sein. Ziel dieser Anordnung ist es, die Amplituden des instátionären Drucks dadurch zu verringern, daß die tragenden Wirbel nicht mehr an N Punkten auf dem Umfang angeordnet sind, sondern mehr über den Umfang verteilt werden. Wird etwa

gewählt, so sind die tragenden Wirbel gerade über den ganzen Umfang angeordnet.

12) W.H.Isay: Propellertheorie Hydrodynamische Probleme

Springer Verlag 196L4.

(33)

-30-Für die Geometrie der tragenden Wirbel

kann

somit

geschrieben werden:

4.1)

A

J CO(5' ,L

S' 2?2fJ

'7L2j4114' Die von den tragenden Wirbeln aller N Flügel

indu-zierten Geschwindigkeiten 3erhält man aus dem

Biot-Savart'schen Gesetz.

Ad

4)

jp11(it)xc4

no

/4t_

/3

Mit

43)

für die Richtung der tragenden Wirbel

und

4.4) fr

= x

e,

cY4

für den Auípunktsvektor bestimmt man aus 4.2) die induzierte Geschwindigkeit. AL.l -r-7 2x.',i

L

no

,7L71 sL2i-.scaf3'--j

4.5)

4Q#')

7 _I/lt

/-92/?x

_)côh-j

_{-)'j +/14}

1/y--

ç.

z

-Y)'ZJ14.

-

s

-jJ

(34)

31

-Die Flügelzirkulation ändert sich in radialer Rich-tung; so ist sie an. der Nabe und am Außenradius gleich Null. Arbeitet der Propeller in einem

Nach-stromfeld eines Schiffes, so Ist

T'

auch von der

momentanen Winkeistellung abhängig. Nach den

Helm-holtz-Thomson'schen Erhaltungssätzen für

T'

-

diese besagen, daß r sowohl räumlich als auch

zeit-lich konstant ist - bedeutet das das Auftreten freier Querwirbel der Stärke

und freiér Längswirbel

-&=dy

(

Hier wechselt das Vorzeichen deshalb, weil de

Pro-peller in negativer Winkelrichtung dreht. )

Diese freien Wirbel schwimmen entsprechend dem vor-handenen Strömungsfeld fort und bleiben unter der Vorraussetzung einer idealen Flüssigkeit unverändert

erhalten.

Für die Steigung dieser Schraubenflächen wird gesetzt:

Dann läßt sich für die Geometrie der freien Wirbel-flächen schreiben:

4.6) 4

7L

_,.1o7L.2)

7LY,)

Die Achsen der freien Querwirbel sind diesen Schrau-benflächen tangential. Ihre Richtung erhält man aus

4.7)

do

_-1)iie]&y

Die freien Längswirbel sind den tragenden Wirbeln parallel. Ihre Richtung ist demnach:

(35)

Li.9)

A.4d

£

Die induzierten Geschwindigkeiten erhält man wieder aus dem Biot-Savart'schen Gesetz.

frnf 00 2:,, -1 (2g

/fr47)a,6,i

c-2's

,

13

//r9.j7 '/-()cc7?l

/co9-4-F (0fJ'

lx.i ,0

J f

Yí22r

e'3

?'

//T

¿9rs C'Y,)

Yf)jr

_[(r-A02t,)

&sO2J.,t,

-7fr-

)

cc

Sind die Geschwindigkeiten

4.,

und bekannt,

so gilt es das zugehörige Potential zu finden, wobei

gilt

'=5izd$

Hier lautet es:

4.11)

-,

_:'

f ¡

_J5,7L?7L)L).

,,o

S-Re )SSO

(r-i,y-

_{-ift-rccO).2'}

77xk0,i2

rsZ2ra9/3

(36)

j-33-.

Das Potential ¿i.,11) läßt sich außerdem schreiben:

&

1f'-à

7zÇ4i4syh1

4s)3-f

/(X-e,y)7

21'2-27-sco) 9

Aus dieser Darstellung kann man ablesen, daß

auch der Kontinuitätsbedingung4ØO genügt, da

die dort geforderten Differentiationen auf die Grundlösu.ng der Laplace Gleichung anzuwenden sind. Dafür Ist der davor'steheride Faktor eine Konstante. Die in 4.9) und 4.10) angegebenen Geschwindigkei-ten lassen sich durch partielle Integration uni-formen; dabei Ist zu berücksichtigen, daß die Zirkulation

Ist. Summiert man anschließend die Geschwindigkei-. ten aller drei Anteile auf, so erhält man für jede Komponente das gleiche Ergebnis, wie es die Ablei-. tung des Potentials.4.11) für die entsprechende Komponente liefern würdè.

Das Druckfeld ist aus der linearisierten Bernoulli Gleichung

413)

PO

-

(c7L6

zu bestimmen. ist der Propeller nur schwach belastet,

so darf k0= gesetzt werden. Mit der Substitution

erhält man:

/o2=t7;

_idy=d>

(37)

-34-%L

zl.1zl.)

fL f

.c-A.

ser-A?

- -

-2j.)- 4 (s tWy-X-

-

_Y61ø1a.

fx2

72

Durch ds bisher benutzte Wirbelmodel]. Ist nur der Einfluß des Drucksprungs an einem sehr dtnnen Pro-pellerflügel erfaßt worden. Noch nicht berücksich-tigt ist der Einfluß der endlichen Dicke des FlU-gelblatts. Dazu Ist es nötig, den Propellerflügel zusätzlich mit einer Quell-Senkenverteilung zu

be-legen.

Das Geschwindigkeitspotential der Quell-Senkenver-teilung zur Darstellung der endlichen Dicke des Blattes ergibt sich aus der Verallgemeinerung des Potentials einer Punktquelle.

M4

. 7,fs) 4

₁₅₎

_Ø

f f

54

X) ) 4.

r

rit

,70

1%4)/(

)7L7 Lj2

-2 rr caf3D-j- r-y)'.

X Winkelordinate in TJmfangsrichtung. Vorderkante

Hinterkante des Propellerbiattes

k1 geometrische Steigung der Profilsehne

Die Quell-Senkenverteilung muß die Schließurigsbe-dingung erfüllen.

71f

4.16)

f

l)O

Die Quell-Senkenverteiluflg q(s,) wird in einer trigonometrischen Reihe dargestellt, bei der die

Schließungsbedinguflg von vorneherein erfüllt ist. 13)

13) R.Armonat: Untersuchung der Druckverteilung eines Propellers unter Berücksichtigung

grenz-schichtbedinger Maßstabseffekte

(38)

k.17)

Li-,18) ¿1..20)

2cT

= /,

L

fc& f

-2

1oI

-1-zr

7)Lfi)

(f

-2nr)(4

Hier sind folgende Substitutlonen benutzt:

I

R

Z1f' -1

L f

.fjça,,s.2'

,,.o

jQ %r%4,

R 2in i i ¿io

(r-4,)

-

_---%r

_)yr

-. /,3

N

pv

Yjifs)7L(j

(s)Xvf1,.

O'

ZE

i

₂

Da/Di sind Konstante.

Die Koeffizienten B0 ünd B1 sind bei vorgegebener

Dickenverteilung

_D(s,X)

aus der Beziehung

¿f19)

_/Z.,LCS'

?,'s,x)

'f

2i24

Y43 o'

zu bestimmen.

(39)

-36-5. Die orthotrope Platte

Die Außenhaut eines Schiffes ist verstärkt durch Spanten und Rahmenkonstruktionen. Gerade im Hin-terschiff im Propellerbereich trifft man auf zu-sätzliche Versteifungen. Deshalb können die hier angestellten Überlegungen nicht für die isotrope. Platte durchgeführt werden; vielmehr ist es nötig, um die realen Verhältnisse zu betrachten, die

orthotrope Platte zu behandeln.

Die Dgl. für die Durchbiegung einer Platte unter einer Belastung senkrecht zur Plattenebene

lau-tet in allgemeiner Form: 14)

5.1).

PJ

mit

(E)h-=

)

2 (Z).

Für die isotrope Platte gilt

D1=D2=D3-Bel der orthotropen Platte wären

(E3)r,.(E2)1(6I)xìj

experimentell zu bestimmen.

Es ist nun üblich, die aus den Versteifungen her-rührende zusätzliche Biegesteifigkeit zu

"ver-schmieren", d.h. man setz in Richtung der

aufge-brachten Steife an

.3

(EI)=a

'

Hier ist a das Verhältnis von Steifigkeit des

Plattenstreifens plus Steife zu Plattenstreifen

allein.

iq.) R.F.S.Hearmon: An Introduction to Applied Anisotropic Elasticity

(40)

5.2)

3?-Dann ist £tir D2 zu schreiben:

E4

D2_aZ,2fl)

Nach Timoshenko. hat sich herausgestellt, daß bei ausgesteiften Plattenfeldern die

Querkontrak-tionszahlen Vr, praktisch gleich Null sind. Eine

ähnliche Aússage ist auch einer neueren

amerika-nischen Arbeit 16) zu entnehmen.

Statt

5.1)

soll geschrieben werden:

c"0

t»-?

12

2

Zur Erläuterung von

5.2)

ist zu sagen: Da a immer

recht groß zu erwarten ist, bekommt der

entspre-chende Surnmand in

5.2)

en.tscheidenden Einfluß. Das

bedeutet, daß die Durchbiegung im wesentlichen dùrch die Bieguñg der Steife, die im Vergleich zur Platte bedeutend steifer ist, bestimmt wird. Unge-nauigkeiten bei den anderen Termen haben nur gerin-gen Einfluß, da diese ersten Terme sowieso schon

klein gegenüber dem mit a sind.

Die Eigenfrequenz einer momentenfrei aufgelagerten Platte mit Steifen läßt sich abweichend von 1.11) berechnen:

I

2 "e

¡2/

,vrI

5.3)

_12p,.h

h ist eine fiktive Dicke, die so zu bestimmen ist,

daß die Masse der Platte mit Steifen pro

Flächen-einheit gleich ' h ist.

S.Timoshenko: Theory of Elastic Stability Mc Graw-Hill Book Company,Inc.

New York and London 1936

S.381

H.A.Kamel, W.BirchÏer, D.Liu, I.W.McKinley, W.R.Reid: An Automated Approach to Ship Structure Analysis

The Society Of Naval Architects and.

(41)

-38-Natürlich ist die generélle Erhöhung der Platten-dicke h auf h' eine Vereinfachung. Es ist zu er-warten, daß die Nassenverteilung durchaus von Ein-fluß auf die Eigenïrequenzen sein wird, weniger ftir die Grundfrequenz, mehr für die höheren

Eigenfre-quenzen. Es sollen im folgenden die

Eienfrequen-zen bestimmt werden für den Fall, daß h nicht mehr konstant, sondern eine Funktion h(x) ist.

5,L.)

E42

f

c?

+2

1 Q

4J7L

=0

l2f

i GZ çZrac2i?

Dies ist jedoch nur möglich, wenn das obige Modell der ausgesteiften Platte als richtig angesehen wird,

daß die Platte im allgemeinen die Dicke hund nur

an bestimmten Stellen eine größere Dicke h(x)=

h+h(x+E) besitzt. Die Dgl, einer Platte mit

ver-änderlicher Dicke würde sonst ganz anders aussehen

müssen. l'7) 18)

Zur Abspaltung der z- bzw. t-Abhängigkeit werde der Ansatz gemacht:

5.5)

ü=L

_Q,4-»z22

n-4

Damit verbleibt eine gewöhnliche Dgl, jedoch mit dem veränderlichen Koeffizienten

E2

_/c72,(ì

5.6)

f2 ¡

(fl7

₊

_,

jJ52

E.G,Goloskokow, A.P.Filippow:

Instationäre Schwingungen mechanischer Systeme

Akademie Verlag Berlin 1971 S.89.

S.Timoshenko: Theory of Plates and Shells Mc Graw-Hill Book company,Inc.

(42)

-39-Auf

5.6)

soll das Galerkin-Verfabren angewandt

wer-den. Dazu wird für v(x) ein Ansatz gemacht, der

die geforderten Randbedingungen erfüllt. Hier:

H0

5.7)

r,1=L

_2"t1

Dann ist der Reihe nach die Gl. 5.6), nachdem

5.7)

eingesetzt wurde, mit

sin'1 id'A)

zu

multi-plizieren und über die .Erstreckung in x-Richtung zu integrieren. Es ergibt sich das folgende homo-gene Gleichungssystem:

5.8)

a

/c=

O

52j4()

-

m)

-1)

Das erste Integral Ist geschlossen auswertbar.

Da für h(x) geschrieben werden soll,

h '-

tE), _j

J Gesamtzahl der Steifen.

P=2e.4

Querschnittsfläche der Steife j

läßt sich das zweite Integral auf teilen.

Aíì

-5.10)

_f-i-

=

-a

4

L

J

;fl

T2

(43)

Wennwir jetzt abweichend von 5.3) schreiben,

5,3a)

I .2/126/

wird mit 5.9) und 5.10) aus 5.8):

Ø74f4),

5 ii)

j

2(j

j

/??1c/ì/jC2nn

Zux Auswertung des verbleibenden Integrals:

Ii

m2E')

5.12)

J 'r

=

¿ç

-

cc:'m*

2

j

2o f(m7h1,1co

fia)a2 ''1e

fm?LLd/co3X

(Ñ»'%

- ¿

Gl.. 5.11) kann abgekürzt geschrieben werden:

5,13)

(ot-

te2[-/-d33)OmrsO

Dabei ist c eine Matrix, in der nur die

Hauptdia-gonale besetzt ist, und zwar mit den Werten

nach 5.3a), . ist die Einheitsmatrix,.3 ist eine Matrix,die mIt den Koeffizienten gemäß 5.11) zu besetzen ist.

5.13) ist ein homogenes Gleichungssystem, das nur dann eine nichttriviale Lösung besitzt, wenn die Koeffizientendeterrninante verschwindet:

Aus dieser Beziehing sind die neuen Eigenfrequenzen zu bestimmen.

Sind gleiche Steifen symmetrisch zur Plattennitte angeordnet, so bleibt von 5.12) nach der Summation

über alle j nur für m=,z.& etwaè übrig, nämlich J

Das in 5.11) eingesetzt bedeutet nichts weiter als die Erhöhung der Plattendicke von h auf h.

(44)

Physikalisch sinnvoll kann diese Abschätzung nur bleiben, wenn J groß gegen m ist, oder anders, wenn die Biegewellenlänge groß gegenüber dem

Stei-fenabstand ist. Im anderen Fall würde sonst die Ver-drillung der Steifen, die hier vernachlässigt wurde, von Bedeutung werden.

Obige Aussagen seien noch etwas näher erläutert:

rn4571

I

1 I

2 j

r.

Oy2îc

abgebildet. 2 '.7 .3

e

f

_.2c

j

Die Gesamtnge 2a der Platte wird in J gleiche Streifen

geteilt {if jeden wird in der Mitte eine S.eife

aufge-setzt. Dann sind alle Plattenstreifen gleich, keiner

ist vor einem anderen besonders ausgezeichnet. Die

Surir.-mation gemäß 5.11) über alle Steifen gibt nach 5.1.2)

zunächst J.e für ni=,u. Für die noch verbleibenden

rest-lichen Anteile sei abkekürzt geschrieben:

1-1 2 3

V

-

, ,

Für ungerades i ist cosi'.7 eine zur Plattenmitte x=O

ungerade Funktion. Da die Steifen gleich und durch obige

Anordnung zur Plattenrnitte symmetrisch gesetzt sind, ver-schwindet die Summe.

Für gerades i ergibt sich folgendes Bild: Zunächst sei 1=2, dann ist die Plattenlänge 2a auf das Intervall

für l=2J

¿

Die Summe Ist für 1=2 gleich Null; sie ist sogar solange gleich Null his i=2J Ist. Das bedeutet aher, dcis ciar

teifenabstancl gerade gleich der Bicgewc1len1nge ist.

Dieser Fall muß aber bereits lange ausgeschlossen sein,

(45)

42-6. Beispiele

Die numerischen Rechnungen' wurden fUr den Fall der

elastischen Platte,in einem starren Rahmen und zwar. für vier verschiedene Fälle durchgeführt. Es wurde

einmal die Flügelzahl N, dann der Abstand

y0

der Platte

von der Propellerachse geändert. Außerdem wurde ein

Beispiel für einen freifahrend.en Propeller gerechnet, während die anderen im Nachstrom eines Schiffes arbei-ten. Die Daten zu den Beispielen:

Bsp. (i) N=3 y0=1,2R0 freifahrend

N=3 y0=1,2R0 Nachstrom

N=4 y0=1,2R0 Naòhstrom

N=4 y0=l,4R0 Nachstrom

6.1 Zur Berechnung des Propellerdruckfelds am Ort

y0

Beim Bsp..(1) wurde eine vom Radius s und der

momen-tanen Winkeistellung y unabhängige Zirkulation T'o

gewählt.

In den anderen drei Fällen wurde eine von Brunnstein 19:)

angegebene Zirkulationsverteilung ( Bild i ) benutzt.

Die für das Dickenfeld. benötigten

Konstanten zur

Be-stimmung der Quell-Senkenbelegung nach Gi. Li..17)

stammen von Armonat. 13).

Die numerischen Rechnungen konnten dankenswerter Weise auf der Rechenanlage des Deutschen Elektronensyncbro-trons DESY in Hamburg durchgeführt werden.

19) K .Brunnstein: Wechselwirkung zwischen Schiffsnachstrom, Schraubenpropeller und Schiff sruder

(46)

¿1.3. Die Propellerdaten: R1=0.021.R0 1L 0. ZS B - B -0 02 LD) o o 1 (&J Da/Di=l

/7

=-k1=0.32R0

Die Rückpfeilung wurde hier noch nicht berücksichtigt:

k=0

Für die Auftragung wurde die dimensionslose Darstellung

gewählt. 2

Die Bilder 2-3 zeigen die 1, harmonische Komponente k=1 des Propellerdruckfeldes, ein Ergebnis, wie es aus der

Literatur 20) für den freifahrenden Propeller bereits

bekannt ist.

Zwei Strömungsfelder,. nämlich das aus der

Wirbelbele-gung und das aus der Quell-SenkenbeleWirbelbele-gung, überlagern

sich. Während sich die Phasenlage des ersten beim

Durchgang durch die Ebene x=0 um ändert auf Grund

der Unstetigkeit der Tangentialkomponente der Geschwin-digkeit, bleibt für die Quell-SenkenströmUflg die Pha-senlage gleich, das bedeutet, vor dem Propeller addieren sich die Druckanteile, hinter dem Propeller subtrahieren sie einander.

Der Phasenwinkel ändert sich in x-Richtung ( z=0 ) bei

allen Beispielen um ca. 130°-150° beim Durchgang durch

die Propellerebene, um dann kurz vor bzw. hinter dem

Propeller schon bald wieder einen nahezu konstanten Wert anzunehemen. Hier gehört der größere Wert zu den

Beispielen im Schiffsnachstrom, der kleinere zum freì-fahrenden Propeller.

(47)

In z-Richtung ( x=O ) ändert sich der Phasenwinkel um

das kN-fache des öffnungswinkeis, der bestimmtist durch

den Propellermittelpunkt und die Plattenränder ±b.

Skizze ₃

Die Belastung ändert also in x-Richtung einmal, in der z-Richtung evtl. mehrmals das Vorzeichen zu einer

festen Zeit.

Bei den Propellern im Schiffsnachstrom überwiegt bei der Druckamplitude der Anteil, der vom Drucksprung

herrührt, da die Be1tung ( s. Bild 1, =0 ) in der

Nähe der Platte gerade die höchste ist und weit über der mittleren Belastung liegt. Der Dickeneinfluß ist der gleiche und damit hier relativ kleiner.

Für die Beispiele (i) und (2) liegt auch noch die 2.

harmonische Komponente vor ( Bild

k-5 ),

die bei

Bsp. (2) doch noch bis zu 50% der ersten ausmacht.

Die in den Bildern

_2-5

aufgetragenen Werte sind, will

man den Einfluß der starren Wand berücksichtigen, zu verdoppeln; d.h. man tut so, als wäre in diesem Fall der Druck dimensionslos mit

6.2 Die Bestimmung des Zusatzpotentials $4, das den

Ein-f luB der Elastizität wiedergibt

Das Poentialist nach 1.13) zu berechnen, dabei

wurde das in Abschnitt

5.

angegebene Modell einer

orthotropen Platte benutzt. Für die Beispielrechnung getroffene Annahmen sind:

(48)

Die Platte ist direkt über dem Propeller angeorinet,

der elastische Ausschnitt befindet sich bei

-ax&a

-bzb.

Gerechnet wurde mit a=b=R0. Die Dicke der Platte ist

4

h=20 R0,

die Dichte des Plattenmaterials

Die Abmessungen der Platte wurden deshalb relativ groß. gewählt, weil das Druckfeld in eine doppelte sin-Reihe zu entwickeln war, es wurde an den Rändern gewaltsam zu Null definiert. Im Abstand R0 von der Propellerebene ist es bereits genügend klein, so/daß fünf Reihenglieder für jede Richtung ausreichend waren. Dadurch wurde

aber, um weiterhin realistische.Verhältnisse zu behal-ten, die Aussteifung des vorgegebenen Plattenfeldes unbedingt nötig.

Die Anordnung der Steifen geht aus folgender Skizze hervor.

Damit ergibt sich für das Verhältnis des Trägheits-moments von Platte mit Steife zu Platte allein zu

a=75O.

.

Da sich die schwingende Masse der Platte durch dIe

aufgesetzten Steifen vergrößert, ist eine fiktive

(49)

J Gesamtzahl der Steifen

Volumender Steife j

Die weitere Rechnung erfolgt dann wie mit einer

homo-genen Platte der Dicke h.

-ls-o

°

In die elastische Rechnung geht entscheidend ( s. Gl.5.3 )

der Absolutwer-t der Spi-tzenumfangsgeschwindigkeit des

Propellers ein, und zwar in Gstalt des Parameters. Um dieses einmal zu zeigen, wurde für einen dreiflüge-ligen Propeller dieser Parameter systematisch variiert, und zwar so, daß dabei die Eigenfrequenz der Grundform

(.m=n=1 ) von der Grunderregung k=1 durchfahren wurde.. Für die Bestimmung der Eigenfrequenz s. Gl. 1.17) und

5.3). Konstant blieb bei dieser Rechnung der Port-schrittsgrad 2.=-=O.25. Im Bild 6 ist das Ergebnis aufgetragen und zwar die Amplitude der Auslenkung der Grundform A111 bezogen auf die statische Auslenkung. Die Schw.erigkeiten der numerischen Auswertung für

den .Resonanzfall wurden bereits zu Ende de Abschnitts i

angesprochen. Wir erhalten hier eine Vber1hung um das

33-fache oei

A=O.25.

Es stellt sich heraus, daß die

hydrodynamische Dämpfung, die auf Seite 15 näher er-läutert wurde, etwa von gleicher Größe ist wie eine IIaterialdämpfung innerhalb der Konstruktion.

Für eine Gruppe von vier im folgenden näher diskutier-ter Beispiele wurde eineSpitzenumfangsgechwindigkeit von wR0=24m/s gewählt, wie sie ein Modelipropeller mit einem Durchmesser von O.3m bei einer Drehzahl von

25Hz etwa erreicht. Der Elastizitätsmodul ist der von

Stahl: E=2,1.lO6kp/cm2.

Um die Bedeutung der Nähe zu einer Resonanzstelle zu verdeutlichen wurde, die Beziehung 1.16) ausgewertet

(50)

7'.)e)2

¡Q,J2.

_L

77 (Ñ/

(z;-/

4,

2 /9,3.

.22

2J9

3,0e

44'l

.2J-14

X6

-11,3

%Ç

33 ,'o,2

.22

.2q0

/)e42

-1

/V3

.2

4

300 4'2

6?

Tabelle 2

In dieser Tabelle 2 ist zunächst das Verhältnis von Eigenfrequenz der Platte in Luft.zu anregender Fre-quenz eingetragen, dann das Verhältnis von Eigenfre-quenz unter Berüciccichtigung des angrenzenden Wassers zu Erregerfrequenz. Der daraus ermittelte Wert

gibt theoretisch den Pall an, wo in diesem Pall Reson'z zu erwarten wäre. Wenn kR ganzzahlig also gleich k is-t, Ist die Erregerfrequenz gleich der

Eigenfrequenz. Man ersieht, daß bei diesen Beispielen eine Resonanzstelle nicht direkt getroffen wurde, ja, die Abstände zu einer Resonanzstelle sind gerade noch groß genug, um aus der Rechnung mit je fünf Ansatz-gliedern für die x- und z-Richtung stabile Ergebnisse zu bekommen.

Die Eigenfrequenzen liegen in jedem Fall über der

untersten Erregerfrequenz. Es wird ich für beide

Plügelzahlen für die erste Zeitharmohische der An-regung die Grundschwingungsform einstellen wollen.

( Die Abbildungen 7-10 zeigen entweder die 1. für

N=3 und N=4 öder die 2. Harmonische für N=3 allein. )

Das ist allerdings auch staik abhängig yonder Größe

der zugehörigen Teilaniplitude in der Anregung in x-Richtung.

-169

2Ç.9

I'

O6

493 S22

(51)

-7a-Aus den Bildern 2 und 4 läßt sich unschwer erkennen, daß diese Teilamplituden mit rn>1 sicher noch bedeutend sein werden. Das insbesondere für alle Nachstromro-peller, nicht so sehr ausgeprägt für den freifahren-den Propeller.

Es ist also zu erwarten, daß die Platte in der Haupt-sache in der Grundform und in den ersten ('berschwin-gungsformen in x schwingen wird, wobei je nach Bei-spiel mal die eine oder andere stärker ausgeprigt sein wird.

In z-Richtung liegen auf Grund der Versteifungen die höheren Eigenfrequenzen gleich so hoch, daß praktisch nur die Grundform in Frage kommt2 was auch deutlich

aus den Auslenkungsgeschwindigkeiten ( Bild 11-14 )

hervorgeht.

Das Propllerdruckfeld wird durch ttberlaerung des induzieiten Druckfeldes zum anregenden D'uckfeld er-weitert.

Liegt diq Anregung relativ weit von Resonanzstellen entfernt, so ist die Erweiterung des Propellerdruck-feldes durch den induzierten Druck nur ge±'ing, wie bei N=3 und der ersten Harmonischen der Anregung. Zu

vergleichen sind die Kurven und der Bilder 2

und 3 mit den gleichen Kurven in den Bildern 7 und 8. Liegt man näher, wie bei N=4 und k=1, das sind die

Kurven und ® in den genannten Bildern, so ist

sie doch recht bedeutend. Relativ nah bei einer Re-sonanzstelle befinden wir uns auch für N=3 und k=2.

s. Tabelle 2 für m=3 ) Die Rechnung ergibt hier nur

eine geringe Vergrößerung der Amplitude durch den Einfluß der Elastizität, stärker hat sich jedoch noch der qualitative Verlauf geändert. Der Einfluß der zweiten Oberschwingungsform erscheint schon als

Weniger bedeutend. Hier sind die Kurven

Q

und

der Bilder 4 und 5 mit den Bildern 9 und 10 zu ver-gleichen.

Dâs Verhalten der Auslenkungsgeschwindigkeit ent-spricht qualitativ dem Einfluß der Elastizität Wie er auch beim induzierten Druckfeld auftrat.

(52)

-'.1-8-6..3 Die. Abstrahiung ins Fernfeld durch die schwingende Platte

Für die Abstrahiung ins Fernfeld Ist die Beziehung 2.1.1)

auszuwerten. Wie. schon in Abschnitt .2 abgeschätzt,

lie-fern di.e Rechnungen für das Fernfeld ein '-'

abklingen-des, praktisch kugelsymmetrisches Druckfeld. Das

Ver-hältnis Ma=4°_OO5 wurde für alle Beispiele gleich

eingesetzt.

Die für das Fernfeld erhaltenen Ergebnisse zeigen

fol-gendes:

Beim freifahrenden Propeller werden die Amplituden des Druckfeldes allein durch den elastischen Anteil be-stimmt, während beim Nachstrornpropeller die.Amplitu-den, die vom Drucksprung herrühren, und der Anteil aus der Elastizität etwa von vergleichbarer Größenordnung

sind.

Dieses Ergebnis scheint verständlich, da aus der Hydro-akustik des unbegrenzten Raumes bekannt Ist, daß be-deutsame Beiträge nur durch die instationäre Belastung dér Propellerflügel entstehen und diejenigen des sta-tionären Belastungsanteils um mehrere Größenordnungen

überwiegen. i)

Befindet sich eine. Platte in der Nähe auch eines frei-fahrenden Propellers, so entsteht durch dire Anregung

am elastishen Plattenbereich eine Schalltielle, die

bei der Abstrahlung ins Fernfeld. den überwiegenden Anteil liefert. Dagegen stellen die durch den

Nach-strom belasteten Propellerflügel schon. selbst eine Schallquelle dar wie die elastische Platte; somit ist die Abstrahlung gleicher Größenordnung

durch-aus pldurch-ausibel. ( Bild 15-18 )

Zu den Auftragungen der Kurven -. (.j sei

(53)

8a

-Es.. wird unterschieden zwischen d.em Schalidruck, wie

er von der schwingenden Platte allein abgestrahlt wird, und dem Schalldruck des Propellers, wie er vor-handen wäre, wenn die Platte insgesamt starr wäre. Die Auftragung erfolgte getrenñt. So stellt die Kurve

das Druckfeld auf Grund der schwingenden Platte dar, die durch einen freifahrenden dreiflügeligen Propeller zu Biegeschwingungen angeregt ist. In

Kurve () sehen wir das Ergebnis, wenn die Anregung

durch den gleichen, jetzt aber im Nachstrom

arbei-tenden Propeller, erfolgt. Kurve ® zeigt den allein

von der instationären Belastung herrührenden

Schall-druck dieses Propellers. in () sieht man das

glei-che Ergebnis für den Propeller mit vier Flügeln. Dieser k-flügelige Propeller im Nachstrom régt die Platte zu Schwingungen an. Der in diesem Fall abge-.

strahlte Schalidruck ist in für den Abstand.

y0=1,2R0 und in (6) für den Abstand y0=1,'--R0 der

Fla.ttenebene. von der Propellerachse eingetragen.

Aus dem Verlauf von (s), , ®als Ftthktion

von x in Bild 15 bzw. als Funktion von r ii Bild 16 ( x,r Zylinderkoordinaten ) entnimmt man dLe kugel-symmetriscie Charakteristik für diese Schalidruck-anteile.

Für die Richtcharakteristik des Propellerdrucks allein erkennt man, daß dafür sicher auch die

Flügelzahl N veranwort1ich ist. Die Amplituden für große Werte x ist bei N='i- ca. eine

Größenord-nung höher als für große Werte r. Für N=3 ist es gerade umgekehrt. Für nähere Einzelheiten sei auf den nachfolgenden Abschnitt 6.4 verwiesen.

(54)

o o

A

-4.9-Da für N=3 auch die zweite ( k=2 ) Harmonische des

Scialldriìcks vorliegt, ( Bild 17 und 18 ) können

hier noch Vergleiche zuï ersten ( k=1 ) gezogen

werden. Der Unterschied für den Fall der Anregng

durch einen freifahrenden oder einen Nachstrornpro-peller ist für k=1 geringer als für k=2. Es sei da-ran erinnert, daß für N=3 und k=2 eine größere Nähe zur Eigenfrequenz mit m=3 bestand. Die Anregung mit einer größeren zweiten Harmonischen, wie es beim Nachstrompropeller der Fall ist, läßt ftr das mit dieser Frequenz abgestrahlte Fernfeld. eine größere Bedeutung erkenne.

Jetzt seien die Rechnungen auf die Großausführung eines Schiffes übertragen, nämlich es sei R0=3m

und die Größe der Platte nicht mehr 2R02R0,

son-dernR0.R gewählt. Eine größere ebene Platte im

Hinterschiff ist wohl kaum anzutreffen; die Be-plattung dort dürfte vielmehr gewölbt sein und dadurch noch steifer werden. Dieses Modell hier

soll auch lediglich der Abschätzung der Verhältnisse .am wirklichen Schiff dienen.

2000 ,,.,,,,

(55)

-50-Der Steifenabstand von 600mm entspricht dem Spantab-stand, die Dicke von Platte und Steifen wurde mit h=l5mm angenommen. Damit ergeben sich die für die

Rechnung benötigten Werte in diesem Fall:

a=b=O.5R0; h=R0; h=R0; a=52O.

Außerdem wurde cR0=L1.0m/sca. 130U/min gewählt.

Mit diesem elastischen Modell wurde für den

'4--flü.-geligen Propeller im Nachstrom ebenfalls eine Bei-spielrecimung durchgeführt, und zwar wurden die an-regenden Druckamplituden bis k=6 berücksichtigt.

Während die betragsmäßig großen Druckamplituden weit von der ersten Resonanzstelle entfernt liegen,

sind die, die näher daran sind, bereits klein. Die unterste Eigenfrequenz liegt erst in der Nähe der vierten Harmonischen k=k der Anregung. Dazu das Bild

19 für die Abnahme der Druckamplitud.efl an drei

ver-schiedenen Aufpunkten.

Das Ergebnis für die Auslenkungsgeschwindigkeit zeigt

einen Rückgang bis maximal zwei Größenordnungen. Auch

sind hier noch die höheren harmonischen von kleiner

als die unteren. Die Anregung mit.der .Harmonischen

ist schon so klein, daß sie trotz der Nähe zur Reso-nanzstelle nicht mehr durchschlägt.

Für die Abstrahiung ins Fernfeld überträgt sich dieses Ergebnis natürliòh voll, sqdaß für dié Großaus.führung

im Pernfeld gilt, daß die Drücke dort in der Haupt-sache durch die instationäre Belastung der Propeller-flügel geprägt werden, während die Anteile auf Grund der schwingenden Platte kleiner geworden sind, da ihre Ursache selbst klein wurde.

Die Auftragung dieses Ergebnisse war in den Bildern

15-18 wegen des dortigen Maßstabes nicht mehr möglich.

Zum Schluß soll noch das Ergebnis der Rechnung für

ein drittes Plattenmodell mitgeteilt werden. flieses

ist angeregt durch Modelipropeller, erstens HSVA

1077,

(56)

Neu ist, die Variation des Fortschrittsgrades.., und.

zwar einmal durch Ändern der Anströmgeschwindigkeit u0, zum zweiten durch Ändern der Spitzenumfangsge-schwindìgkeit CR0; das bedeutet bei festem Durch-messer Ändern der Drehzahl. Die Belastungen wurden für beide Propeller den Freifahrtdiagrammefl entnom-men. Damit Ist das instationäre Propellerdruckfeld

am Ort der Platte berechnet. Für das elastische

Ver-halten der Platte ist nun entscheidend, wie die

An-derung von zustandekomint. Das Ergebnis der Rechnung,'

und zwar gleich für das Fernfeld. zeigt Bild 20. Das

Fernfeld hängt, wie schon erwähnt nur vom Kehrwert

des Abstandes r und von keiner weiteren Aufpunkts-variablen ab. Die Amplitudenwerte des Drucks können

also entsprechend dieser Gesetzmäßigkeit ' für

an-dere Abstände aus den in der' Auftragung angegebenen Werten ermittelt werden.

Im ersten Fall, u0=konst., R0 variabel, nähert man

sich bei Verringerung von. der Eigenfrequenz der. Grundform. Diese ist als Punkt R11 gekennzeichnet.

Im zweiten Fall, R0=konst., u0 variabel, bleibt

die-ser Abstand von Erreger- zu Eigenfrequenz konstant.

Schnitt-Es ist dies gerade der Abstand des punktes zweier zusammengehöriger Kurven vom Punkt R11.

Die betragsmäßige Zunahme auch hier resultiert daraus, daß mit kleinerem Fortschrittsgrad die Belastung

zu-nimmt.

Aus dieser Rechnung wird deutlich, weich entschei-denden oder weich geringen Einfluß die Variation des Fortschrittsgrad.es haben kann, jenachdem ob durch ein anderes u0 oder durch ein anderes

verändert wird, oder anders formuliert, von welcher Bedeutung die Kenntnis der Lage der Eigenfrequenz

ist.

) Das Fernfeld. Ist beim í'reifahrenden Propeller be-kanntiich nur durch die schwingende elastische Platte

(57)

6.1)

52

6.4 Die vorn Propeller selbst im Fern.feld induzierten Drucks chwankungen

Für die Berechnung der Druckfeldamplitudefl aus der Belastung, die zum Vergleich benötigt wurden, wurden

die von Isay i) 21) angegebenen und auch von Armonat

benutzten Formeln herangezogen:

--fz

n=o , 2,

*j4rs'4

o2J(q)

-if'D,

7A//c2

mit

D=/X2

7L,/32(727LS2

2r,tj

4 /

,2Cn),

Jllo

f -ifa

t

zì

Auf Grund der Schließungsbedingung für

dieDicke

sind von dort im Fernfeld keine Anteile zu erwarten.

Das Druckfeld des gespiegelten Propellers, d.h. den

Einfluß der starren Wand erhält man, wenn man in

6.1) y durch (2y0-y) ersetzt.

7&/7/9P'

¿'-y L21

/2!

Für die Grenzfälle, nämlich

x»r2, bzw. r»x2

sollen aus 6.1) übersichtlichere Beziehungen

her-geleitet werden, um näheren Einblick in die recht

ver-wickelten Verhältnisse beim Propeller zu erhalten.

21) W.H.Isay: Theoretische Grundlagen der Hydroakustik des Schraubenpropellers

(58)

6.k)

PQIÇ

53

Für x2»r2 läßt sich 6.1) unter Vernachlässigung von

Termen, die von höherer Ordnung klein sind, für das Fernfeld schreiben: 2r' 6 2)

_-

Z-

e

¿

(f

71

)

flxO a

¿'&R

5)

J

cÇjs

b b 4,

e

¿ _C0

c/s Q

bS=

.Sl_RoPz0

2.

2

Integration ausgeführt werden:

A61

6.3)

11=01'

rl;,

1 (4-(f1

Unter Berücksichtigung von

¿Y-4

_r

(-f-,V2)

2]

ist für die Amplitude des Drucks im Pern.feld

6.5)

IrA

_1

('f-

_,.,vf!";

tJ

8.r

_c

_o

zu schreiben.

Aus 6.5) erkennt man sehr deutlich, daß es für große

Abstände x in der Hauptsache auf das Produkt von

Plügelzahl N und der zugehörigèn Zeitamplitude mit dem Index kN der Zirkulation ankommt.