Buigtrillingsberekeningen van scheepsschroefassystemen met behulp van eigenfrequentieanalyse en frequentie-responsieanalyse + Bijlagen

fogs

TU Delft

//

Z

Buigtrillingsberekeningen van

scheepsschroefassystemen met

behulp van eigenfrekwentieanalyse

en frekwentie-responsieanalyse

C. de Rijk

Rapport OvS 99/08

Augustus 1999

Faculteit der Ontwerp, Constructie en Productie Vakgroep VVerktuigbouwkunde en Maritieme Techniek Sectie Ontwerpen van Schepen (Maritieme VVerktuigkunde)

60r &or 60

Irr ekwenne

Buigtrillingsberekeningen van

scheepsschroefassystemen met

behuip van eigenfrekwentieanalyse

en frekwentie-responsieanalyse

iNt

(Kinn Prfirr

Studie uitgevoerd in samenwerking met:

Damen Shipyards Gorinchem

Samenvatting

Schroefassen in schepen zijn

flexibel en worden belast door diverse externe

krachten en momenten. Omdat de grootte van de meeste van de belastingen

varieert in de tijd, worden er trillingen in de schroefas veroorzaakt. De gegenereerde trillingen worden meestal in due categorieen verdeeld.

torsietrillingen

axiale trillingen buigtrillingen

Om het dynamische gedrag van een schroefassysteem in een schip te onderzoeken warden gebruikelijk resonantiefrekwenties (eigenfrekwenties) berekend. Dynamische berekeningen kunnen met meerdere typen analyses worden uitgevoerd. Namelijk

eigenfrekwentieanalyse frekwentie-responsieanalyse tijds-responsieanalyse

De berekeningsvoorstellen in dit rapport zijn hoofdzakelijk gericht op het bepalen van

buigeigenfrekwenties in _{scheepsschroefassystemen.} Het bepalen van

eigenfrekwenties is mogelijk met de eigenfrekwentieanalyse en indirect met de frekwentie-responsieanalyse.

Bij het modelleren van schroefassystemen is

_{het voor alle typen dynamische}

berekeningen van belang naast de massa, ook de demping en de stijfheid van

diverse constructiedelen te bepalen. Vanwege de invloed

van het water op de

schroef en de smeerfilm in een glijlager, is het niet eenvoudig om ter plaatse van de schroef en de asondersteuningen de waarden te bepalen die voor de termen in matrices kunnen worden ingevuld. In dit rapport zijn voorstellen gedaan voor het modelleren van de schroef en de asondersteuningen.

Er kunnen op verschillende manieren buigeigenfrekwentieberekeningen _gemaakt

warden:

analytische methode

eindige elementen methode

Dit rapport geeft berekeningsvoorstellen en een verificatie van beide methoden. Van

zes gekozen schroefasconfiguraties zijn

_{die berekeningen uitgewerkt. Met de}

analytische methode zijn eigenfrekwentieanalyse berekeningen gemaakt. Met de

eindige elementen methode

zijn berekeningen

met behulp

van frekwentie-responsieanalyse gemaakt.

Bij de analytische methode worden exacte oplossingen berekend. Een analytische berekening is meestal snel uit te voeren. De complexiteit van het te berekenen model moet echter beperkt zijn. In een eindige elementen berekening worden

benaderingsoplossingen berekend. Hierbij is

_{het berekenen van ingewikkelde}

constructies mogelijk.

De resultaten van berekeningen met de analytische methode geven een goede schatting van de eerste buigeigenfrekwenties. De berekeningen met de eindige

elementen methode laten zien dat koppelingstermen in de _{matrices grate invloed}

hebben op de resultaten.

De berekeningen kunnen met de praktijk gevalideerd worden door metingen te doen. Voor verdere validatie van buigeigenfrekwentieberekeningen is het noodzakelijk de

belasting, die op de schroef werkt,

_{te kennen. Lagerreacties worden immers}

beinvloed door de schroefbelasting. Vervolgens worden er conclusies verbonden

aan het gebruik van de beide methoden. Tenslotte kan aan Damen Shipyards advies gegeven worden en kunnen voorstellen warden gedaan voor het berekenen van buigeigenfrekwenties in schroefassystemen.

Voorwoord

Bij Damen Shipyards bestaat de behoefte, de gehele gang van zaken rond

buigtrillingen van schroefassystemen en alle aspecten die tijdens ontwerp, bouw en oplevering spelen eens kritisch door te lichten en waar nodig te vernieuwen. Het gaat hierbij om diverse problemen die spelen bij de buigeigenfrekwentieberekeningen. De behoefte is ontstaan omdat Damen Shipyards, ten behoeve van het voorkomen

van eventuele trillingsproblemen bij het afleveren van schepen, _{een praktische}

berekeningsmethode wil gebruiken. Daarnaast moeten aan classificatieburo's, ter preventie van eventuele problemen, regelmatig berekeningen worden overlegd. Verondersteld wordt dat de lezer van dit rapport beschikt over een basiskennis van mechanica en van scheepsschroefassystemen.

lk wil Damen Shipyards graag bedanken voor de prettige samenwerking en voor het mogelijk maken van dit onderzoek. In het bijzonder Joop Jansen en Chris Rosmalen

van de afdeling Research. Oak een speciaal woord

_{van dank aan prof.}

_{ir. D.}

Hoofdlijst van symbolen

Ae werkelijke oppervlak van de schroefbladen 1[7121

Ao oppervlak van schroefschijf Erni

C lagerspeling / dempingsmatrix _{lErri] I [-1}

schroefdiameter / asdiameter _{[m] /Im]}

elasticiteitsmodulus [N/m1 F effectieve lagerbelasting _[N] hi smeerfilmhoogte [ml II buigtraagheidsmoment _Irn 1

,

Jcl diametraal massatraagheidsmomentischroef

[kgml

Jp _{polair massatraagheidsmoment schroef [kgm2]}

stijfheidsmatrix

_H

L. Ilagerlengte _1rnl

Li lengte tussen de achterste twee lagers _[M]

L2i lengte tussen achterste lager en schroef _1m1

IM schroefmassa / massamatrix {kg] / F]. Im _{asmassa [kg]} toerental [1/s] IP _schroefspoed '1711 p idruk 1[Wm21 q orde getal

_H

R lagerstraal _E[ml

S kental van Sommerfeld

_H

t

tijd _[s]

is _{uitwijkingsvector}

[7]

' x richting van de schroefashartlijni(horizontaal)

_H

y richting loodrecht op de x-as (vertikaal)

_H

z richting loodrecht op de x-as (lateraal) _H

Z aantal schroefbladen _[-1

rotatiesnelheid _[rad/s]

c lagerexcentriciteit _Ern]

(01 lagerstandhoek [rad]

Tt smeermiddel viscositeit _i[Ns/m21

P dichtheid van water [kg/m3]

co frekwentie _Irad/s]

_,

afgeleide naar de tijO 1[1/s]

OUD

tinleiding

2'.. Schroefmodellering ... ... s'v;. ... ... .. a 4 2.1 Massamatrix 4 2.2 'Dempingsmatrix 9 Asondersteuningen . _{. 13} 3.1 Stijfheidsmatrix. . ....i.e.,. 13 3.2 Dempingsmatrix 21 3.3 Smeerfilmstabiliteit en turbulentie , .4. ,L. 23 I 3.3.1 Smeerfilmstabiliteit _1.7 ',..e .4n., ..n. P ey I. I 23 3.3.2 Turbulentie , ,_..--.... 25 Vereenvoudigdl model 27

4.1 Methode van Jasper

4.2 Asondersteuningspuntcorrectie... 301

4.3 Asmassacorrectie 34

4.4 Asondersteuningsstijfheidscorrectie 37

Resultaten met de eindige elementeii ... .. .... , ... 43

5.1 Keuze van het type analyse ₄₃

5.2 Frekwentie-responsieanalyse ₄₅

5.2 Resultaten . 48

Met ngen ₅₄

Conclusies,, aanbevelingen en, praktijkaafibak ₅₅

7.1 Conclusies ₅₅

7.2 Aanbevelingen . 57

7.3 Praktiikaanpak ₅₈

Referenties len gebruikte. literatuur. ₅₉

27

1. Inleiding

Schroefassen in schepen zijn flexibel en worden belast door diverse externe krachten en momenten. Omdat de grootte van de meeste van de belastingen varieert in de tijd,

worden er trillingen _{in de schroefas veroorzaakt. De gegenereerde trillingen worden}

meestal in due kategorieen verdeeld. torsietrillingen

axiale trillingen buigtrillingen

De laatste jaren is er veel fundamenteel onderzoek gedaan naar dynamisch gedrag in

schroefassystemen van schepen. Vaak was

dit

onderzoek gericht op diverse

componenten in een schroefassysteem, zoals glijlagergedrag en schroefgedrag. Ook zijn daarbij vaak aanzienlijke modelvereenvoudigingen toegepast.

Omdat de resultaten van het verdergaande fundamentele onderzoek steeds beter

inzicht geven in het fysische gedrag, is het nuttig praktische procedures met _betrekking

tot het berekenen van buigeigenfrekwenties in schroefassystemen te ontwikkelen.

Bovendien is het zinvol na te gaan welke effecten grote invloed op de

berekeningsresultaten hebben.

Om het dynamische gedrag van een schroefassysteem in een schip te onderzoeken worden gebruikelijk resonantiefrekwenties (eigenfrekwenties) berekend. Dynamische

berekeningen kunnen met meerdere typen analyses worden uitgevoerd. Namelijk:

eigenfrekwentieanalyse frekwentie-responsieanalyse tijds-responsieanalyse

Bij eigenfrekwentieanalyse worden de eigenfrekwenties van de constructie bepaald. In de praktijk zijn dit een aantal (door de gebruiker gewenste) eigenfrekwenties.

Bill frekwentie-responsieanalyse wordt de constructie belast met een wisselende

belasting. De uitwijkingen in de constructie worden bepaald voor een opgegeven

frekwentie bereik. De uitwijkingen kunnen als functie van de aanstootfrekwentie worden weergegeven. Bij deze methode wordt oak zichtbaar waar de eigenfrekwenties van het beschouwde systeem liggen. In hoofdstuk 5 wordt deze methode gebruikt voor het analyseren van de beschouwde configuraties.

In tijds-responsieanalyse kan de constructie belast warden met een belasting die in de

tijd van grootte verandert. De uitwijkingen in de _{constructie warden bepaald op ieder}

tijdstip. De uitwijkingen kunnen als functie van de tijd warden weergegeven.

De berekeningsvoorstellen in dit rapport zijn hoofdzakelijk gericht op het bepalen van buigeigenfrekwenties in scheepsschroefassystemen. Het bepalen van eigenfrekwenties

is mogelijk met de eigenfrekwentieanalyse en indirect met de

frekwentie-responsieanalyse.

Bij het modelleren van schroefassystemen is

het voor alle typen dynamische

berekeningen van belang naast de massa, oak de demping en de stijfheid van diverse constructiedelen te bepalen. Vanwege de invloed van het water op de schroef en de

smeerfilm in een glijlager is het niet eenvoudig om ter plaatse van de schroef en de

asondersteuningen de waarden te bepalen die voor de termen in matrices kunnen worden ingevuld. In dit rapport worden voorstellen gedaan voor het modelleren van de schroef en de asondersteuningen.

In

_{hoofdstuk twee en drie warden modellen gemaakt voor de schroef en de}

asondersteuningen. In de volgende hoofdstukken wordt de manier van berekenen

toegelicht. Er zijn verschillende manieren am buigeigenfrekwentie berekeningen te

maken. Namelijk:

analytische methode

eindige elementen methode

Bij de analytische methode worden exacte oplossingen gevonden. Een analytische berekening is meestal snel uit te voeren. Het te berekenen model moet echter niet te complex zijn. In hoofdstuk vier wordt op de analytische methode van Jasper ingegaan. Er wordt een voorstel gedaan am het model uit te breiden voor een betere benadering van de praktijk.

In een eindige elementen berekening warden benaderingsoplossingen berekend. _Het

berekenen van ingewikkelde constructies is hierbij mogelijk. Een dergelijke berekening vergt vaak meer tijd en uitgebreide (en vaak dure) software is noodzakelijk. Bovendien is een goede kennis van het gebruik van de software en van het maken van realistische

modellen vereist. Voor beide berekeningen is

het gebruik van de computer een

uitkomst. Er zijn

_{berekeningen gemaakt met de eindige elementen methode}

programma's Femap5.0/CDAsprint2 en Ansys 5.4 ed.

Voor trillingsberekeningen wordt de eigenfrekwentieanalyse met de eindige elementen methode verreweg het meest toegepast in de praktijk. Echter voor het uitvoeren van

eigenfrekwentieanalyses zijn een aantal _{hinderlijke restricties noodzakelijk.} In dit

rapport is daarom de invloed van diverse effecten op de frekwentie-responsieanalyse onderzocht in hoofdstuk vijf. Bij deze methode kunnen oak de eigenfrekwenties uit de

responsie warden bepaald. Voor een tijds-responsieanalyse van buigtrillingen in

schroefassystemen wordt verwezen naar andere literatuur. [Quast, 1998]

Omdat de berekeningen voor het bepalen van buigeigenfrekwenties tamelijk uitgebreid en complex zijn, is een overzicht van de buigeigenfrekwentieberekeningsprocedure

nuttig. Er is een globaal schema gemaakt _{voor het maken van de berekeningen. De}

I _{Invoergegevens verzamelen}

Externe belasting op de schroefbepalen (voor lagerreacties)

3 _{Ondersteuningsreacties bepalen}

4 _{Effectiefasondersteuningspunt van achterlager bepalen}

5 _{Schroefmassamatrix bepalen} Drove matrixtermen bepalen

Toevevoegde matrixtermen bepalen

6 _{Schoefdempingsmatrix bepalen}

Drove matrixtermen g,yroscopie) bepalen loegevoegde matrixtermen bepalen

Asondersteuningsstijfheidsmatrices bepalen Smeerfilmmatratermen bepalen

Lagermateriaalmatrixtermen bepalen Fundatiematrixtermen bepalen

8 Keuze van de berekeningsmethode bepalen 9 Modellering van schroefassysteem uitvoeren

10 _{Berekening van eigenfrekwenties in rekenprogramrna}

doorvoeren

11 _{Aanstootfrekwenties bepalen}

12 _{Resultaten van de berekeningen verc,,elijken met aanstoot frekwenties} Figuur 1: Globale stappen in de buigeigenfrekwentie_{berekeningsprocedure.}

2

2. Schroefmodellering

In dit hoofdstuk wordt aandacht lbesteed aan het modelleren _{van de schroef voor het}

gebruik in buigeigenfrekwentieberekeningen. Flet is van groot belang am de schroef

zorgvuldig te ,modelleren zodat de nauwkeurigheid van de ligging van

ibuigeigenfrekwenties hierdoor sterk beinvloed, kan warden [Hylarides, 1975}.

Voor een dynamische berekening kan de volgende vergelijking in _{matrixvormi warden}

geschreven in algemene verkorte notatie:

M u + G Ui + K u = F(t) 'Met: M = massamatrix [kg]] / Tkgm2] C _{= dempingsmatrix [N/m s] / [N/rad s]]} K = stijfheidsmatrix (Wm] / [N/rad] = uitwijkingsvector [m] / [rad] F(t) = belastingsvector [N] / [Nm]

De eenheden van de termen in de vergelijking zijn afhankelijk van de diverse termen in

de matrix. In _{matrixschrijfwijze kan de vergelijking}

_{voor een gekozen x- y-}

z-assenstelsel;, met verplaatsingen en rotaties als volgt warden ,geschreven;

2.1 Massamatrix

Voor de berekening van massa en massatraagheden van de schroef wordt onderscheid

gemaakt tussen de situatie in droge toestand _{en tussen de situatie in het water. Voor}

MI/ "2 "3 "14 MI5 M16 ax

C C

C13 C/6 a* K,, K12 K14 K15 Kle ax

11F1 M21 "31 M41 M5/ M22 M32 M42 M52 M23 1M33 M43 M53 M24 M34 M4, M33 'M25 M M M M26 a, C21 C

C Cr

Ca, 042 C31 C32 043 C33 '024 Cr Ca 034 025

C

C43 C33 C26. Cr

C

056 a, K21 K3, ,K k41 X42 K31 K52 K,

K

K,

K

K24 KM K Ku

K

K33 K56 K, K, K,

K

6, 6, 03y Fy 1Fx Mx M51 M62 IM63 Med Mss M66 C13$ C C54 C63 066' K,, Ke, Ke, K Kes K, _{Sz M2}

massamatnx dempingSmtany _{sbahealsrablx}

Er is gekozen voor een matrixschrijfwijze omdat de matrices, die in 'de komende

paragrafen bepaaldi warden, direct gebruikt kunnen warden fri eindige elementen

berekeningen. Voor het berekenen van buigeigenfrekwenties wordt in dit hoofdstuk ingegaan op het bepalen van de massamatrix ter plaatse van het zwaartepunt van de schroef. Oak wordt de dempingsmatrix voor een beschouwing van gyroscopie ten gevolge van de schroef uitgewerkt. Tevens warden de toevoegingen ten, gevolge van de invloed van het water am de schroef bepaaid.

u

C23

063

massa en massatraagheid aan de respectievelijk droge _{massa en massatraagheid} moeten warden toegevoegd. Bij trillingen van de schroef zal immers een hoeveelheid water mee gaan trillen. Er wordt verondersteld dat de schroef niet vervormt, dus als oneindig stijf kan warden beschouwd. Het gekozen assenstelsel is weergegeven in

Figuur 2.

2

W

Figuur 2: Keuze van het assenstelsei.

Zoals beschreven in de inleiding van dit hoofdstuk heeft de algemene massamatrix de

vorm: M11 M12 M13 M14 M15 M16 M21 M22 M23 M24 M25 M26 M31 M32 M33 M34 M35 M36 M41 M42 M43 M44 M45 M46 M51 M52 M53 M54 M55 M56 M61 M62 M63 M64 M65 M66 massamotnx

Droge massa en massatraagheid

Massa en massatraagheden van de schroef

_{worden vaak berekend door de}

schroeffabrikant. Oak het zwaartepunt kan berekend warden door de schroeffabrikant. Het zwaartepunt van de schroef ligt bijna altijd op 1/3 van de naaflengte, gerekend vanaf de achterzijde van de schroef. Voor het polaire massatraagheidsmoment van de

schroef, wordt aangenomen dat deze twee keer zo groat

is als het diametrale massatraagheidsmoment. Dit geldt in het algemeen voor smalle schijven en is een redelijke benadering voor een schroef. [de Rijk, 1999] De massamatrix voor de schroef in lucht heeft de vorm:

0 0 0 0 0 Mn 0 0 0 0 0 M33 0 0 0 0

0 M 0

0 0 0 0 M55 0 0 0 0 0 M66

Er is gekozen om de massamatrix met zes vrijheidsgraden weer te geven. In eindige

elementen programma's kan deze matrix dan direct warden gebruikt. Hierbij is _oak

rekening gehouden met de keuze van het assenstelsel. De schroefmassa is in x- y- en

z-richting gelijk. Oak is het massatraagheidsmoment in y- en z-richting gelijk. Voor

buigtrillingsberekeningen is voor wat betreft de massamatrix alleen de richting y- en z-van belang. De termen op de diagonaal kunnen als volgt warden bepaald:

M11 = M22= M33 schroefmassa [kg]

M = Jp = polaire massatraagheidsmoment [kg m2]

M55 = M66 = diametraal massatraagheidsmoment [kg m2]

Toegevoegde massa en massatraagheid

Voor een werkelijk schroefassysteem met water am de schroef zal bij het trillen van de een bepaalde hoeveelheid water meetrillen. Dit [evert naast een toevoeging aan de

diagonaaltermen oak koppeltermen op buiten de diagonaal in de massamatrix. _De

invloed van het water am de schroef op de massamatrix is in het verleden onderzocht.

[Schwanecke, 1963] en [Parsons en Vorus, 1981]. De manier van Parsons en Vows

is gebaseerd op schroefcoefficienten met voorspellingen die berekend warden met de "lifting surface" theorie [Carlton, 1994]. De toevoegingen aan de massamatrix worden dan uiteindelijk berekend met een serie van polynomen waarbij met lineaire regressie de bijbehorende coefficienten warden bepaald. De coefficienten zijn bepaald voor een aantal 4, 5, 6, en 7 bladige schroeven. Deze methode is wat minder praktisch dan de

methode van Schwanecke. De methode

_{van Schwanecke is gebaseerd op de}

tweedimensionale theorie van de instationaire draagvleugelstroming. Hierbij wordt gebruik gemaakt van benaderingsuitdrukkingen die oak geldig zijn voor drie-bladige

schroeven. Schwanecke heeft geen invloeden van straalbuizen en

verstelbare schroeven meegenomen. De invloed van verstelbare schroeven en de invloed van de

straalbuis op de massatoevoegingen in _{de schroefmassamatrix zouden verder}

bestudeerd kunnen warden. De methode is verder zeer praktisch en wordt ook

aanbevolen door classificatieburo's. De methode volgens Schwanecke wordt daarom nu verder toegelicht en gebruikt in verdere berekeningen. Volgens Schwanecke moeten ten gevolge van het water am de schroef aan de massamatix de volgende termen warden toegevoegd: M11 0 IM = = = 101 0

dM =

dM

0 0 dM22 0 dM32 dM4, 0 0 dM52 0 dM62

Hierin zijn sommige termen op diverse plaatsen keersymmetrisch en gelijk aan termen op andere plaatsen. Voor buigtrillingen zijn alleen de y- en de z-richting van belang [Hylarides, 1975]. Schwanecke heeft de verschillende termen bepaald:

dM22 = dM =

dM., = dM

-En voor de van belang zijnde termen buiten de diagonaal:

dM65 = dM56

dM = dM26 = dM = dM

-dM52 dM25 = dM36 = dM63

-0 dM,4 0 0 dM23 0 dM25 dM26 dM33 0 dM35 dM36 0 dM44 0 0 dM53 0 dM55 dM56 dM63 0 dM65 dM66 , 0.6363. pD D Ao Z

(A \

0.0123.p .D5 A0)

dM = d

0.003 -p-D5

(p.

_{( A, \ 3} 0.0408 .P D4 . _1D) A01 Z2

(p)

_{Ao 2} 0.0703. P D4 1[)) _AO) Z2 = 3

Bij

_{het berekenen van ihet}

_{polaire massatraagheidmoment van de schroef, (zie}

paragraaf 2.2) voor het bepalen van het gyroscopisch effect, is de term dM44 van

belang. dM44 0.0703-p .05

.(P)

D Ao TCZ Met:. D = diameter schroef :[m]

p _{= soortelijke massa van het water [kg/m)}

Z = aantal schroefbladen [-I

P = spoed [rnj

Ae, _{= totale werkelijke opperviak van de schroefbladen [ml}

Ao _{fictief schijfoppervlak = -D2 rrnl}

4

De totale massa en Imassatraagheden kunnen bepaaldl warden door IN de drogei

toestand de massa en massatraagheden volgens Schwanecke _{op te tellen. De totale}

massamatrix ter plaatse van de schroef voor buigtrillingsberekeningen kan worden

lbepaald door:

Mtotaau =IM dM

Schwanecke heeft oak op dezelfde. imanier dergelijice termen poor de totale

dempingsmatrix afgeleid.

2.2 Dempingsmatrix

Ook bij de dempingsmatrix kan onderscheid gemaakt worden tussen de situatie met en

zonder water om de schroef. Voor de situatie met water om de schroef zal voor

trillingsberekeningen een hoeveelheid demping, _{ter plaatse van de schroef, worden}

toegevoegd ter compensatie van het water om de schroef. Er wordt verondersteld dat de schroef niet vervormt, dus als oneindig stijf kan warden beschouwd. De algemene dempingsmatrix voor de drie richtingen kan net als de totale massamatrix geschreven. Warden in de vorm:

dempingsmatax

Droge demping/gyroscople

De materiaaldemping van de schroefas zelf is meestal Ilaag. De materiaaldemping is te verwaadozen ten opzichte van de demping van de schroef in het water. [Hylarides, 1975] Echter de termen als gevolg van het gyroscopisch effect van de schroef, zijn niet

te verwaarlozen. [Bevilacqua, Hylarides e.a. 1984] De dempingsmatrix voor de

situatie zonder water om de schroef wordt ten gevolge van het gyroscopisch effect:

IHierbij zijn voor de buigtrillingen _{weer alleen de 'y- en de, z-richting van belang.. De}

lermen kunnen als volgt worden bepaald:

066 -065 Jp*KI 'Met:

Jp _{= polaire massatraagheidsmoment van de schroef [kgm2]}

Q = rotatiesnelbeidlrad/s1

0=

0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0_ 0 0 Q65 0, C56 a C11 012 013 C14 C/5 C16 C21 022 C23 024 C25 026 Cal 032 1033 034 035 036 C41 '042 043 044 045 046 C51, 052 053 054 055 '056

Ca 062

063 064 065 066, 0 0 0 0 0 = =

Toegevoegde demping

Net als bij de massatoevoegingen op de schroefmassamatrix_{geeft Schwanecke ook}

toevoegingen voor de dempingsmatrix. De toevoeging volgens Schwanecke als gevolg van het water om de schroef is:

dC =

Te zien is dat enkele termen keersymmetrisch zijn, net als in de toevoegingen van de massamatrix. De termen, voor buigeigenfrekwentieberekeningen van belang, zijn:

2

dC22 =dC33 = 0.1536

poD

(P2(A

7C [D) \ A0)

dC, = dC = 0.0053prccoDsx-(`1A

En voor de termen buiten de diagonaal zijn van belang:

p /Ae

dC, = dC =da,,

= dC, = 0.0231pcoD4(-b) dC62

-

-dC26

-

dC53 = dC35 - 0.0981 PC°D4 (13)(Aej2 Z D 7C -dC65

= dC =

0.0183 pcoD5 Z Ao

-

dC32 = dC23 = 0.1128

poD4

(py Ae)2

Z

Met:

D = diameter schroef [m]

p _{= soortelijke massa van het water [kg/m3]}

Z = aantal schroefbladen [-] P = spoed [m] 0)

dC

0 0 dem 0 0 0 _dC22 dC23 0 dC25 dC26 0 dC32 dC3, 0 dC35 _dC36 dC4, 0 0

dC

0 0 0 dC62 _dC53 0

dC dC56

0 dC62 _dC63 0

dC dC66

.

A, = fictief schijfoppervlak =

4.D'

[m'] = frekwentie [rad/s]

De totale dempingsmatrix kan weer worden samengesteld door demping voor de droge situatie (gyroscopie) aan de dempingstermen toe te voegen. De totale dempingsmatrix voor buigtrillingsberekeningen ter plaatse van de schroef is:

Ctotaal = C + dC

De toevoeging van de dempingstermen van de schroef die benodigd zijn voor het berekenen van gyroscopie zijn:

TCpoD5

- dC, dC = 0.0183

Ae)2

Ako)

Omdat gyroscopie betrekking heeft op de dempingsmatrix moeten de toevoegingen ook bij de dempingsmatrix gebruikt warden. De toevoegingstermen voor demping ten gevolge van gyroscopie zijn:dC65 en dC,.. Het gyroscopisch effect is dus opgebouwd

uit een deel van de droge dempings/gyroscopie matrix C65 en C56 en _{een deel, als}

gevolg van het water om de schroef. De termen voor gyroscopie worden _{nu verder}

uitgewerkt. Omdat de termen gelijk van grootte zijn, wordt een term uitgewerkt.

Ct0t56 = 056 d C56 C56 = Jp Q

= M44

dC = 0.0183

rtpoD5 (Ae 2 Z

\Ao,

In paragraaf 2.1 is het polaire massatraagheidsmoment M, Hierbij moet voor

torsietrillingsberekeningen het deel dM aan warden toegevoegd. Aangezien _met

buigeigenfrekwenties gerekenend wordt, wordt voor het totale massatraagheidsmoment Jp gelijk aan M44 genomen. Uitgewerkt levert dit voor de totale dempingsterm voor gyroscopie:

-Ctot65 = Ctot56 = (M44 * + (0.0183 nPe)D5 (Ae)2

Z A°

Dit is de man ier waarop de gyroscopische termen in de verdere berekeningen verwerkt

zijn.

=

.

Wanneer de toevoeging dM44 op de massaterm t/144, well wordt meegenornenc kan de dempingsterm geschreven worden als volgt:

Ctotoo.71(M44+dM44)* Q) + 0.01837cPwD5 (Ae) 21 Z

A,

r 2 0.0703

-p.Dsc)

P

HA

D Ao dN/144 rEZ M44= Jle

Dif ilevert ingevuld:

2

0t070 .p-D5

D Ao

-Ctot65 = C10t56.= (Pp + Q) + (0.0183 ThPu3D5 (AS).

nZ Z _t.AOI

'Er kan opgemerld warden dat het: boek "Vibration Control in _{Ships"' [Veritec, 1985]1 voor}

de toevoeging op M44 een formule geeft die geldig is voor torsietrillingsberekeningen.. Echter niet voor buigeigenfrekwentieberekeningen.

en Met:

3. Asondersteuningen

Voor het bepalen van bet dynamisch gedragi van schroefassystemen is het van groot

belang oak de asondersteuningen nauwkeurig te modelleren. [Hylarides, 1975]. Het

dynamisch gedrag van een

smeerfilm hi

een glijlager

kan in het algemeen gemodelleerd warden met een veer-demper systeem.

Dit hoofdstuk is gericht op het Iberekenen van de smeerfilmstijfbeidstermen en de

smeerfilmdempingstermen van glijlagers

een matrix vorm. De termen worden

bepaald bij een steady-state conditie van dynamisch belaste lagers. Dit betekent dat bij het bepalen van de dynamische eigenschappen uitgegaan wordt van gemiddelde constante belasting en constante smeerfilmeigenschappen. Wanneer iuitgegaan wordt van een steady-state conditie, kunnen er voor enkele gevallen analytische oplossingen voor de stijfheid en de demping bepaald warden. De smeerfilmeigenschappen kunnen

afhankelijk van de omstandigheden aanzienlijk varieren. Bijvoorbeeld

temperatuurveranderingen zijn van grate invloed op de eigenschappen

van het

smeermiddel. Op dergelijke invloeden als temperatuursveranderingen wordt in dit

rapport niet ingegaan. Verder kan als gevolg van de verschillende krachten op de smeerfilm instabiel gedrag van de asbeweging ontstaan. Instable' gedrag kan trillingen en geluid veroorzaken en moet daarom warden vermeden. Het is dus nuttig na te gaan

wanneer instabiel igedrag optreedt..

3.1 Stijfheidsmatrix

De algemene notatie

voor de

stijfheid van

het lager kan analoog aan de

schroefstijfheidsmatrix in x y en z-richtingen en in drie rotaties am die richtingen worden weergegeven. De matrix met stijfheidstermen kan,, zoals in de inleiding van hoofdstuk 2

is weergegeven, geschreven warden in de vorm:

il K12. Kl3 Kl4 K15 K16 21 Kn K23 K24 K26 Km, Km K32 K33 Km K35 K35, K41 K42 K43 K44 K45 K45 Km 'K52 K53 K54 K55 K56 K61 K62 K63 K64 K65 K66, stirtheidsma1nx

Verondersteld wordt dat de stijfheden in rotatie richting nul zijn. De momenten in y- en z-richting, welke worden uitgeoefend op de as door de asondersteuning, zijn immers

verwaarloosbaar klein. Zie hientoor hoofdstuk 4.2. Er wordt bovendien verondersteld

dat een glij,lager geen stijfheid in de x-richting heeft. In de algemene matrix vopr in

stijfheidstermen kan voor veel termen 01 ingevuld warden. _{De ingevulde matrix van} stijfheden wordt de asondersteuningsmatrix genoemd en heeft de vorm:

Er is weer gekozen voor he

_{weergeven van de stijfheidsmatrices met 6}

vrijheidsgraden omdat deze matrices oak bij de eindige elementen methode direct gebruikt kunnen worden. De stijfheid van een asondersteuning is opgebouwd uit drie delen. Namelijk:

constructie of fundatie lagermateriaal

smeerfilm

De stijfheden van de verschillende bijd'ragen kunnen weer :in de volgende matrixvorm geschreven warden: Kconstrublie Klagermatenaal = Ksmeertilth = 0 0 0 0 O 110 O K 22 0 0 0

0

0 0 _K33 0 0 0' 0 0 0

0

0 0

₀

0 0 10 0 0 G

9

0 0: 0 0 0' o KL22 0 0 0 01 K133

0

o 0 0 0 0 0 a 0 0 04 0 D 0 o 0 0 '0 a 0 0 0 40

0

0 0 0 K22 K23 0 0 0 0 K32 K33 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 40 40 04 0 0 0 01 0 0: 0 0 0 0 0 0 KA22 KA,23 0 0 !X) 0 KA32 KA33 0

0

a sondersteuning = 0 0 0 0 0,

0

o 0 o 0 pi U 0 0 volledig 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

smeerfilm

II

K22 _{b.S33, K} 23 K32

De termen kunnen warden samengesteld tot 'de asondersteuningsstijfheid volgens een

serieschakeling van stijfheden:

K asondersteuningK

constructie lagermatenaal r smeerfilm

flit betekent dat voor de matrices van de verschillende bijdragen de inverse matrix bepaald moet warden:

I '0

I 0

0 constrOctie

-Kr .K,

₃₃ 0 lb i 0, Or Ot Xcn 0 0 0.

oK

c 22 oR o

e

0 0 1 J O ilagermatenaal = .K_{122 0} g-33

0

0'

De stijfheid van de constructie, is vriji eenvoudig te berekenen met _{een 'bekende}

geometrie en met materiaaleigenschappen. Dit geldt oak voor het lagermateriaa1. Materiaaleigenschappen kunnen meestal warden opgevraagd btj lagerfabrikanten. De numerieke waarden van de stijfheid van het lagermateriaal zijn meestal een orde hoger

dan de waarden van de smeerfilm. De waarden van de stijfheden van de

ondersteunende constructie zij'n meestal nog grater dan van het lagermateriaal. Dit is

uiteraard

_{afhankelijk van de constructieve}

_{uitvoering van}

_{het gehele systeem}

[Goodwin, 1989]. Bij de bovenstaande samensteliing betekent idit,, dat de stijfheid van

de smeerfilm veelal de bepalende factor is.

De stijfheden van de verschillende _{bijdragen ikunnen opgeteld warden}

tot totale termen. Vervolgens kan de matrix geinverteerd warden op idezelfde manier als de matrix voor

Xi v0 Oi OJ 0 K33 33 0 0 0 0 KL22 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0' 0

0

0

PiOt

0 0 K33 K23 0 0 0 0

K32

K b 0 10' 0 0 0

₀

_.0 0 10 0

a

0

₀

O.

0

₀ 0 _{0 JO} 1 1 1

-

+ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K-1 0 0 0 ₀ 0 0

de smeerfilmstilfheid. be .asondersteuningsstijfheidsmatrIx kan dus bepaaldrworden volgens:

Oct 94?-4-1).kt/at ca

(met: im en n = 2,3),

Er wordt nu verder gegaan met het berekenen van alleen de smeerfilmstijfheid. De smeerfilmstijfheidstermen 'the van belang zijn kunnen geschreven worden in de matrix:

K22 K23) Ksmeerfilm _1K

K33

De smeerfilmstijfheidstermen zijn niet eenvoudig, te bepalen. In lhet verleden zijn

smeerfilmstijfheidstermen bepaald uit metingen en weergegeven in karakteristieken _die

grafisch zijn uitgezet. [Hagg en Sankey, 1958] Uit metingen bleek dat bij het draaien

van de as, een elliptische baan (orbit) van de hartlijn van de as ten opzichte _{van het}

lager ontstond. In de karakteristieken staan de maximale en minimale waarden van

stijfheid en demping uitgezet van diverse lagers. Voor verschillende _{lengte-diameter}

verhoudingen waren karakteristieken bepaald, echter voor lagers met lengte-diameter verhouding > 1 zijn geen grafieken beschikbaar. Bovendien zijn er bij de experimenten

geen koppelingstermen (de termen K23 en K32) Imeegenomen welke _{een belangrijke rdl}

kunnen spelen bij de dynamische stijfheids-. en dempingsberekeningen [Goodwin,

19891

Recentere rbepalingen, van smeerfilmstijfheid en dempingscoefficienten zijn gebaseerd op de Reynolds vergelijking. Dit is een basis differentiaalvergelijking in de tribotechniek die is afgeleid met behulp van de impulsbalans en de massabalans. Voor het bepalen van stijfheden van smeerfilms moet de Reynolds vergelijking uitgewerkt moeten worden [Kramer, 1993]. iDit moet meestal numeriek gebeuren omdat de vergelijking voor praktische systemen snel, erg ingewikkeld wordt. Ter illustratie van de complexiteit wordt de Reynolds vergelijking hier weergegeven. De Reynolds vergelijking wordt voqr

smeerfilms in glijlagers, a's, volgt geschreven:

a (h3 ap) a (113 el, an Oh

+ = 6U -x ± 12

Voor het lbeplen van smeerfilmstijfheden _{warden, de trillingsamplitudes van (de as zo}

0 0 or KAsondersteuniog 0 0 K10133 -,Ktot32 K10,23, K10t22

v

ntot22 .Kit6133 tot23 4Ctot32 0 0 0

0, 0

0

0 0 0 oi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' 0 0 b 0 0

.41,24

/

C-Waarbij:

+ KLmn 1 K mn

gradienten rond een steady-state excentriciteitstoestand. Krachten zullen dan proportioneel zijn

_{met amplitude en snelheid. Hierdoor zullen de coefficienten}

proportioneel zijn met de stijfheids- en de dempingscoefficienten.

De smeerfilmstijfheden en dempingen blijken dan alleen af te hangen van de

lagergeometrie en het kental van Sommerfeld. Voor korte en lange cilindrische lagers

met constante smeerfilmeigenschappen kan de Reynolds _{vergelijking zo}

vereenvoudigd worden dat er analytische uitdrukkingen gevonden kunnen worden.

Voor een relatief kort lager bijvoorbeeld zal de drukverandering in omtreksrichting _klein

zijn in vergelijking tot de drukverandering in axiale richting. Hierdoor kunnen termen in de Reynolds vergelijking worden verwaarloosd waardoor de vergelijking eenvoudiger op te lossen is. Er wordt dan gesproken over korte lagertheorie. Verder wordt hierbij uitgegaan van zuiver cilindrische lagers en laminaire stroming. Ook voor lange lagers

kan de Reynolds vergelijking opgelost worden. De drukverandering in de smeerfilm zal

dan in axiale richting klein zijn ten opzichte van de omtreksrichting. Er wordt dan gesproken van lange lagertheorie. Voor uitgebreide afleidingen wordt verwezen naar de literatuur [Kramer, 1993], [Hamrock, 1994] en [Szeri,1998]. Er wordt over korte lagers gesproken wanneer de lengte/diameter (LID) verhouding kleiner is dan 0,5. De lange

lager theorie is geldig wanneer de lengte/diameter verhouding grater is dan 2. _(zie

Figuur 3)

Figuur 3: glifiager.

In de lager theorie zijn er verschillende manieren om de vergelijking op te lossen. Voor het oplossen van de Reynolds vergelijking kan gebruik gemaakt worden van een bekende druk of een bekende stroming op een bepaalde pleats in het lager, Dit worden ook wel eenduidigheidsvoorwaarden genoemd. Voor het bepalen van de verschillende integratie constanten voor een cilindrisch lager wordt uitgegaan van verschillende

eenduidigheidsvoorwaarden. _{Eenduidigheidsvoorwaarden die gebruikt zijn door}

Gumbel [Heijningen, 1992] blijken goed aan te sluiten bij metingen aan lagers. Er wordt in dit rapport volstaan met het weergeven van de bepaalde relaties voor de smeerfilmstijfheid. Voor korte en lange cilindrische lagers kunnen daarmee de volgende

relaties

voor de

smeerfilmstijfheid (dimensieloos) als

_{functie van de}

_relatieve

kRR

IkRT =

kTR =

k =

lange Ilagertheorie korte lagertheode

24716(2 + s') 87:21+ c(2:)(21.17

(2 + 62)20 -62)2 (1-62)2

lD)

-

67E2

(2 +62)20

-EV"'

_{0 -}

ET?

[))

67E2(2

-

E2 +284)

72(1+2EWLY

(2+82)(1i-62)2 (1 - EY" E:/)

-127TE - 4ne 111..)2

(12)2 k,D)

(2 +.0)2(1

s2"),

De indices slaan op de tangentiale en radiale richting van het glijlager. (zie lEiguur 3) IHet tangentiale en radiale assenstelsel maakt een hoek met het absolute (horizontale en vertikale) assenstelsel. Deze hoek wordt de standhoek genoemd van het lager. De

stijfheidscoefficienten zijn dus afhankelijk van de lagerexcentriciteit.

Ook het

Sommerfeld kentat kan voor de korte en lange lagertheorie uitgedrukt worden als functie van de lagerexcentriciteit.

(2 -E-c2)(1e2) (i_62)2 (D)2

67./462+ TC2(1 e2) rcci7c2(1 s2) + 16E2

Het Ikental van Sommerfeld van een cilindrisch lager is in het algemeen gedefinieerdl als:

iNIDL(Ry

F N = toerental [Vs) asdiameter [m] = lagerlengte [m]I = lagerbelasting IIR = lagerstraal {=d/2} 1m]J ic = lagerspeling {=(d-Dy2) [m] = viscositeit smeermiddel [Ns/m2]

De standhoek kan voor de korte en lange, lagertheorie bepaald _{worded volgens::}

arctan 2, s, arctan J(rt -ft

sr)

4 .c S =r = Met: D = L F _[Ni 1

-Hierin zijn alle variabelen bekend. Via het kental van Sommerfeld can de excentriciteit

bepaald worden. Met de excentriciteit kunnen vervolgens de stijfheden bepaald

worden. Er zijn enkele aandachtspunten.

De lagerexcentriciteit bevindt zich impliciet in de formules van Sommerfeld en van de stijfheden. Met iteratie is de excentriciteit te bepalen.

In de praktijk komen alleen eindige lagerlengtes voor. De korte lagertheorie is

toepasbaar voor lagers met een maximale LID verhouding van 0.5. De lange lager theorie is toepasbaar voor lagers met een LID verhouding van grater dan 2. Voor tussengelegen waarden van LID blijken de stijfheden tussen de waarden van de stijfheden bepaald bij LID = 0,5 en 2 in te liggen. Dit kan warden nagegaan met de grafieken van Sassenfeld en Walther [Heijningen en van Beek, 1992]. De afwijking die voor dergelijke lagers bij het lineair interpoleren optreedt is te verwaarlozen voor de gewenste berekeningen. Het achterlager heeft het grootste ondersteuningseffect op het buigtrillingsgedrag. Echter voor het achterlager wordt, afhankelijk van de uitvoering, door classificatieburo's geeist [Jakeman, 1992] dat verhouding LID

minimaal 2 is.

De stijfheden die hierboven zijn weergegeven hebben in

dit geval (vertikale

belasting) betrekking op een assenstelsel dat met de standhoek verdraaid is. Voor

het bepalen van stijfheden in het absolute y-z-assenstelsel

moet op de

smeerfilmstijfheidsmatrix een coordinatentransformatie warden toegepast. Wanneer nu alleen de smeerfilmstijfheidstermen die van belang zijn in een matrix warden gezet, kan warden geschreven:

kRT

TerwijI de smeerfilmstijfheidsmatrix in _{het absolute assenstelsel (horizontaal en}

vertikaal) geschreven wordt als:

K22 K11\

K

=.K K)

Om de stijfheden in radiale en tangentiale richting (bij een standhoek) te schrijven in

bet absolute y-z assenstelsel te schrijven, moet

_{er een transformatie bepaald}

warden. Deze absolute stijfheden zijn niet erg eenvoudig

vanwege de

koppelingstermen. [Szeri,1998] De stijfheidstermen bij een vertikale belasting

K33 = -kRR COS 2 4) -(kTT + CRT ) sin2 4) +_{(kTR ± kRT -}CT'.) sin2(1)

-f 0 2 2 2 E CTT

2)COS2 CO + kTRsin2 (I) +(k

-kR +

cm. )sin20 +f-9coscl) K32 = (kRT -TT R 2 2 E CD,- sin 24) '14 + cos ci)

K23 = -k TR cos 2 CI) ± (kRT - cIT )sin22 11) ± (kTT - kRR ± CRT )

2 2 E CRT _{Cu sin 24) f,} c 2 L., ci n2 _i_ 1., ),...,0 CO - rRR ....)11I (t) T- (IART kTo ₎ K 22 = -Oci-r + 2

'

_{2 2 E}

Bij een vertikale belasting

zijn de belastingsfactoren

_{f = 0 en}

_{f, = De}

dempingswaarden voor de c,ctermen warden bepaald in _{paragraaf 3.2.}

De afgeleide smeerfilmstijfheidstermen zijn dimensieloos. _{Voor het gebruik van de}

smeerfilmstijfheidstermen in berekeningen moet de stijfheid in N/m bepaald worden. Dit kan door de volgende vergelijking te bepalen:

Ksmeerfilm = r \

.1-INIDL

/RV.

F

F C) C

De dempingsmatrix ter plaatse van de asondersteuning kan op een soortgelijke manier bepaald worden. Dit wordt uitgewerkt in paragraaf 3.2.

3.2 Dempingsmatrix

Ook voor het bepalen van de dempingsmatrix ter plaatse van een asondersteuning weer onderscheid gemaakt warden in de demping ten gevolge van de constructie, het lagermateriaal en ten gevolge van de smeerfilm. De algemene dempingsmatrix ter plaatse van het asondersteuningspunt'kan geschreven warden als:

C111 C/2

C/3 am

C15 C16

dempingsmatrix

Verondersteld wordf dat, net als bij de stijfheden, de dempingstermen in rotatie richting nul zijn. Bovendien dat een as in een glijlager oak geen demping in x-richting heeft. De

volgende matrix met demping,stermen is dan bij,_{asondersteuningen van belang:.}

Er wordt nu verder gekeken naar 'het, bepalen _{van de smeerfilmdemping. Den ka'n}

worden geschreven als:

0 0

0 ooq

Net als bij de smeerfilmstijfhedeb kunnen er ook dempingstermen bepaald worden volgens de korte en lange lagertheorie. Voor korte en lange cilindrische 'lagers kunnen daarmee de volgende relaties voor de smeerfilmstijfheid (dimensieloos) als functie van

de relatieve excentriciteit worden afgeleid _{[Szeri, 1998]c}

0 Oi Oi

D 0 0

0 C

0 0 0

0 C

0 0 0

C,asondersteuning ₌ 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 .0i 0 '0 0 0, D 0 0 C22

C23 D 0 d

o C32 _c33 '0 0 Csmeerrilm = o

o ood

o o o 01 _{o o} o o o o d 1C21 C22, C23 C24 C25 C26 C311 C32

C33, C C35

_C36 C41 C42 C43 C44 C.45 C46p IC51

C52 C C54,

C55 C

C C63 C64 C65 C661 kan 062 0 0 C23 033

9C-n- = 127[2

(2+0)2(1-62)ln

27t2 (Ly

(1-62)312

[))

Voor het kental van Sommerfeld en de standhoek gelden dezelfde formules als bij het

bepalen van de smeerfilmstijfheden. De bepaalde dempingstermen zijn _dimensiloos,

Voor het gebruik van de smeerfilmdempingstermen in berekeningen ,moet de demping in Ns/m bepaald warden. De smeerfilmdemping kan bepaald worden door:

TINDL(R)2*IF

F _LC) C,

Om de dempingstermen in radiale en, tangentiale richting

_{(bij een standhoek) te}

schrijven in het absolute y-z-assenstersei moet er een transformatie bepaald worden. Deze zijn weer niet erg eenvoudig vanwege de koppelingstermen. Volgens [Szeri,19913] kunnen dempingstermen bij een vertikale belasting in het horizontale en vertikale assenstelselgeschreven worden als:

3C33, = cRR cos214 _{C TR} sin 2+ _2ft2 sin+

sin 2+ 2f4 C:32 = P- TR sin 24) CRP 2 + cos sin 2+ 2f,, '623 = TR 'COS2 . _{2 sin+} E sin 2+ 21* C422 = CRR sill'2. CTR 2 + cos+ E

Bij een vertikalebelasting is fm= 0 en f = 1.

4 S

In de berekeningen in hoofdstuk 4 en 5 zijn geen berekeningen gemaakt waarbij smeerfilmdemping is meegenomen. De invloed van deze dempingstermen op die berekeningen zou verder onderzocht kunnen worden. De dempingstermen zijn in deze paragraaf bepaald, omdat ze van invloed zijn op de smeerfilmstabiliteit.

CRR, CRT CT-R = lange lager 12m it 2 theorie 8 II

korte lager theorie 27(2(1+282)(02 (1-0)312 24ns 742 +E.2)1i (1 E2 )512 LID) Sits L) 2 (2 +82)(1 247t --E2 )2 LID) 8ric L)2 +0)(1-1E2) (1 82 )2 L 1:0 2 ) (2

3.3 Smeerfilmstabiliteit

en turbulentie

In de vorige paragrafen zijn smeerfilmstijfheden en smeerfilmdempingen bepaald van glijlagers. Hierbij zijn ook de koppelingstermen bepaald. In de praktijk blijkt dat, onder bepaalde omstandigheden, cilindrisch glijlagers instabiel gedrag kunnen vertonen. Het is dus van groot praktisch belang de criteria te weten wanneer een systeem zich stabiel

dan wel instabiel zal gedragen. Smeerfilminstabiliteit of _{hydrodynamische instabiliteit}

wordt veroorzaakt door krachten die gegenereerd worden in de smeerfilm van het lager. [Pinkus en Sternlicht, 1961] Krachten kunnen zo gericht zijn op de as dat ze zorgen voor een rondgaande beweging van de hartlijn van de as. Dit wordt oak wel whirling genoemd. Wiskundig gezien kan als gevolg van de koppelingstermen in de

stijfheidsmatrix, k32 en k23, instabiel gedrag optreden. [Kramer, 1993]

Tenslotte wordt er in deze paragraaf kort ingegaan op laminaire en turbulente stroming.

Wanneer turbulentie in het smeermiddel optreedt, zullen de _{afgeleide uitdrukkingen}

voor stijfheid en demping in de vorige paragrafen niet meer geldig zijn.

3.3.1 Smeerfilmstabiliteit

Er wordt nu een stabiliteitsanalyse gemaakt voor gebruik bij gelineariseerde stijfheids en dempingscoefficienten. (zie § 3.1 en § 3.2) Om na te gaan wanneer er instabiliteit als gevolg van de smeerfilm optreedt (dit wordt ook we! "oil whirl" genoemd) is het

noodzakelijk het smeerfilmgedrag te bekijken. Hiervoor zijn acht gelineariseerde

stijfheids en dempingstermen bepaald [Goodwin, 1989]. De _{bewegingsvergelijkingen}

voor net smeermiddel kunnen warden geschreven als:

M333z C33oz --1- C326y k 338z k32 y =0

M226y c23 4-C228y + k236z ±k226y =

Hierin is: M22 = M33 = M

Er wordt nu de volgende substitutie gebruikt:

67 = Tz _{en 6Y =(1)e'}

Hierin zijn (p, en (py de trillingsamplitudes in _{horizontale en in vertikale richting. VVanneer}

deze substituties worden gebruikt in de bewegingsvergelijkingen, kan na sorteren warden geschreven:

M .22 C 3 3 +k3 3) y C 3 2-A + k3 2 = 0 (Py(M?'24-C22X±k22)+(1).2(C23A. k23 0

Deze uitdrukking kan warden; geschreven als een verhouding van (Pz en levert: (Py z

(C32"A. +1(32

)-2 (MA, +c22X-i-k22) R4= (M22, + ck + k33 ) _{(c23X. +k23)}

Dit kan herschreven worden als:

(m2 )4 _{+ (c33NA c22NA)?,3} rs C32 C23 + k 32M -I- k221V1)A2 + (k 22C33 C22k3:3 k32C23 C32k23 + (k33k22 k32k23 ) = 0

Deze vergelijking is in de vorm van:

+a,k3 +a2X.2 +a,X+a =0

Nu zijn uit deze karakteristieke vergelijking vier wortels te bepalenvoor A.. Om nu na te

gaan of het systeem stabiel is moet gekeken worden naar wat er gebeurt wanneer er een kleine verplaatsing gegeven wordt aan de stationair draaiende as. Dus of de

hartlijn van de as weer terug

keert naar de stationaire

positie bij een kleine

verplaatsing. Het systeem zal dus stabiel zijn wanneer bij een bepaalde uitwijking de waarden voor verplaatsing z en y afnemen in de tijd. Dit betekend negatieve waarden

voor X. In het algemeen hebben de wortels voor beiden een reeel en een imaginair

deel. De omstandigheden waaronder het reele deel van alle oplossingen negatief zijn is gegeven door Routh-Hurwitz stabiliteitscriterium. [Goodwin, 1989] Aan de volgende condities moet voor stabiliteit warden voldaan:

alle coefficienten van de karakteristieke vergelijking moeten hetzelfde teken hebben. de volgende determinanten moeten positief zijn:

R, = a, a, a, a, a, 1R3 = a; a2 a, a, a, a3. a, a, 0 0 a,

al

a a, a, a, a, a:, a_ a, a, a, A.

1Dit betekent uftgewerkt a0 k33lk22 - kzakza al kzzczz C22k33 k32C23 C32k23 az = kaaM k22M C33C22 C32C23 aa = c33M c22M a4 = M2

be waarden voor de an coefficienten moeten dus eenzelfde teken hebben. De diverse Routh-Hurwitz determinanten kunnen worden uitgewerkt tot:

R, =

R2 = a1a2 -a3a0,

R3 = a1(a2a3-a4a1) - a0(a32 -ua1a5) - as(a0a3 - + a2(a1a3 - _{a,(a,a, -ia,ao)} a5(a0a1

-- a4(a12 --0) + a3(a1a2-- a3a0)

vyaarbij de 'waardert voor Rn positief moeten zifp.

Het is nu dus mogelijk, in een bepaalde steady-state situatie, voor een smeerfilm een

voorspelling te geven voor stabiel dan wel instable!' gedrag. Het is bij deze methode niet

mogelijk een uitspraak te doen hoe stabiel of onstabiel de situatie is. Er zijn

o.a.

grafische methodes om daarover een uitspraak te doen. 1Hiervoor wordt verwezen naaf

de Iliteratuur. [Kramer, 1993]1

3.3.2 Turbulentie

Er 2ijn twee belangrijke aannames gedaan bif het bepaleri van de stijfheids en

dempingstermen in de voorgaande iparagrafen. Dit zijrr.

11. laminaire stroming van het smeermiddel

2. constante

uniformesmeermiddelviscositeit-Het is be'kend dat er twee soorten stroming zijn, _{laminair en turbulent. De laminaire}

stroming in de smeerfilm van een glijlager kan omslaan _{naar turbulente stroming. Er}

treden dan eerst bij bijvoorbeeld steeds hoger wordende rotatiesnelheden van de as zogenaamde Taylor-wervels op. Dit zijn torusvormige om de as liggende wervels, die om en om tegengesteld draaien. [Leijdens, 1992] Bij hogere rotatiesnelheden kan de stroming turbulent worden.

Er kan onderzocht worden wanneer de stroming _{taminair of turbulent is. Dit kan met}

bijvoorbeeldi bifurcatie analyse. [Szeri, 1998] In dit rapport wordt daar verder niet

uitgebreid op ingegaan., Voor twee concentrische

cilinders kunnen eenvoudige kentallen warden bepaald die de omslag van de stromingen weergeeft. Dit kan een eerste benadering geven voor een beschouwing van de stroming. Als voorbeeld wordt

Figuur 3 genomen waarbijc = 0.

:

=

=

+

Er is een kritisch Reynolds getal bepaald, voor het geval dat er geen excentriciteit is,

dus tussen twee concentrische cilinders. Het kritische getal is:

Recr = 41.2

Met:

r = asstraal

C = lagerspeling

En het getal van Reynolds in een glijlager is te bepalen _{met de formule:}

Re -RDC V Met: o.) = rotatiefrekwentie v _{= kinematische viscositeit}

De omslag van laminaire naar turbulente stroming kan dus beInvloed worden door het veranderen van

de lagergeometrie

de smeermiddel viscositeit

het toerental

Voor lagers met excentriciteit worden de _{oplossingen \reel ingewikkelder en wordt}

verwezen naar [Szeri, 1998.] De excentriciteit is dan afhankelijk van de belasting.

Hierdoor kan oak door bepaalde lagerbelastingen de stroming in het smeermiddel

turbulent worden.

Ook de temperatuur van het smeermiddel _{beinvloedt het omslag punt van laminaire}

naar turbulente stroming. Voor de termische effecten _{op de smeermiddelviscositeit}

wordt weer verwezen naar [Szeri, 1998].

Voor een goed beeld van dynamisch gedrag van glijlagers met koppelingstermen is het nuttig stabiliteit en de stroming van de smeerfilm nader te beschouwen.

0.5

4. Vereenvoudigd model

In

_{hoofdstuk twee en due}

_zijn

_{modellen gemaakt voor de schroef}

_{en de}

asondersteuningen. In dit hoofdstuk worden de uitkomsten gebruikt voor het maken van een vereenvoudigd model om buigeigenfrekwenties van schroefassen te voorspellen. Dit wordt gedaan met behulp van eigenfrekwentieanalyse waarbij analytisch waarden van buigeigenfrekwenties bepaald worden. Hierbij kan op een eenvoudige manier een afschatting warden gemaakt van de buigeigenfrekwenties van het schroefassysteem. Een klassieke methode is die van Jasper. [Jasper, 1956] De schroef wordt hierbij vereenvoudigd tot een schijf. Bij deze methode zijn echter de invloed van de asmassa

en ondersteuningsstijfheid niet meegenomen. Gebleken is

_{dat de asmassa en de}

ondersteuningsstijfheden voor veel gevallen een niet te verwaarlozen invloed hebben.

[Hylarides, 1975] In dit hoofdstuk worden _{correcties voor asmassa en}

ondersteuningsstijfheid voor de methode van Jasper uitgewerkt. Vervolgens zijn in bijlage 2 een aantal berekeningen gemaakt met deze aanpassingen op de methode van Jasper. Er zijn van een aantal representatieve en zich duidelijk onderscheidende schroefassystemen, bij Damen Shipyards eigenfrekwentieberekeningen gemaakt. De keuze van de schroefassystemen is gemaakt op basis van diverse kentallen. Zie bijlage

3.

4.1 Methode van Jasper

Bij de methode van Jasper is uitgegaan van een massaloze as opgelegd op twee stijve ondersteuningen. Zie Figuur 4. Hieraan is een schijf bevestigd met massa M, een

massatraagheid om de dwarsas_{en een polair massatraagheidsmoment (Jd en Jr).}

Figuur 4: Globaal schroefasmodel volgens_Jasper.

De as heeft een elasticiteitsmodulus E, een buigtraagheidsmoment I en lengte L, + L2.

Door [Jasper, 1956] is een uitdrukking afgeleid voor het bepalen van de ongedempte

eigenfrekwentie van het in Figuur 4 geschetste geval. Na enig herleidingswerk _{kan die}

formule geschreven warden als:

Mo-id,Jp,we L2 _L1

*2 1(3 MI + Jd 7-1 We 2

Met

We = de gewenste ongedempte eigenfrekwentie van het systeem [1/s]

ik2 _{stijfheid tegen dwarsverplaatsing van het middelpunt van de schijf ten}

gevolge van een dwarskracht [N/m]

k30 = stijfheid tegen hoekverdraaiing van hetImiddeipunt van de schijf ten

igevolge van een moment [Nm/rad]

k5 _{stijfheid tegen hoekverdraaiing van het middelpunt van de schijf ten!}

gevolge van een dwarskracht of de dwarsverplaatsing van bet middelpunt van de schijf ten gevolge van een moment [Nm/m]

M massa van de schroef [kg]

Jp _{= polaire massatraagheidsmoment [kg ml}

= diametrale massatraagheidsmoment [kg m1;

q = orde getal (= we/C2) [-]

rotatie hoeksnelheid van 'de schroefas.,[1/a],

Voor het bereketien ijn dus de asstijfheden k2, Ik3 en k, benodigd. Zie Figuur 8 voor dei gebruikte richtingen. Deze kunnen bepaald warden door gebruik te maken van de zogenaamde "vergeet-me-nietjes". [Klein Woud,, 1993] Voor het geschetste geval in Figuur 4 zijn die stijfheden:

12E1(_1 +3L2) _ k2 41_1L32 + 314 12E1(_1 +L2) k3 414_2 + 3L22 16E1(2L + 3L 2) k!4! _{414_22 +3L} Met E a elasticiteitsmodulus IN/m2] Tr

= Ibuigtraagheidsmoment van de schroefas (_{= -6-4-1}

D =. diameter van de schroefas [m]'

= lengte tussen de achterste twee lagers [m]

12 lengte tussen achterste lager ep! schro.ef 1011

[ml

= = k3 k \2 k2k3 k52 2 ( M J_d = = = Jd =

-In bijlage 2 zijn voor een aantal schepen berekeningen gemaakt met het model van

Jasper. (berekening 1,2 en 3) Daarnaast zijn

in bijlage 2 met behulp van eindige

elementen berekeningen eigenfrekwenties bepaald. (berekening 8 en 9) Hierbij zijn de

verschillen in resultaten groot. Voor een realistische benadering van de

buigeigenfrekwenties van een schroefas met het model van Jasper is het noodzakelijk het model op een aantal punten te corrigeren. De belangrijkste zijn:

de correctie van de asmassa

de correctie van de ondersteuningsstijfheden

4.2 Asondersteuningspuntcorrectie

Over de bepaling van het effectieve ondersteuningspunt van het achterlager lopen de meningen in de literatuur nogal uiteen. Doordat de schroefas zal doorbuigen als gevolg

van het grote schroefgewicht zal met name ter plaatse van het achterlager het

effectieve asondersteuningsreactie niet op de helft van de lagerlengte aangrijpen. Als aangrijpingspunt voor het achterlager wordt vaak 1/4 van de lagerlengte genomen

gerekend vanaf de achterzijde. [Rosmalen 1994] Oak de waarde 1/3 wordt

wel

genoemd. [Zwienen, 1994] Een betere manier is door middel

van dimensieloze kentallen het effectieve lagerreactiepunt met name van het achterste lager afhankelijk

te maken van de bedrijfsomstandigheden en lagereigenschappen. Dit blijkt

_{in bet}

verleden uitgezocht te zijn. [Hill en Martin, 1979]. Deze manier is geldig voor olie gesmeerde lagers. Voor water gesmeerde lagers zou dezelfde manier gevolgd kunnen worden als voor oliegesmeerde lagers, echter met aangepaste smeermiddelviscositeit. Maar watergesmeerde lagers hebben meestal een aanzienlijk afwijkende constructieve vorm met meerdere groeven en ander lagermateriaal. Hierdoor wordt het minder

eenvoudig voorspellingen te doen over het gedrag. Veelal worden eigenschappen van

dergelijke achterlagers door fabrikanten empirisch bepaald. Voor _{watergesmeerde}

lagers wordt de vaste waarde van een derde van de lagerlengte voor het

achterlagerondersteuningspunt genomen welke wordt aanbevolen door Lloyds Register of Shipping [Jakeman, 1992].

Voor de overige lagers bestaat meer eensgezindheid in de literatuur en wordt het

aangrijpingspunt in

het midden genomen.

_Hierbij is ervan uitgegaan

dat de

lagerreacties ter plaatse, kleiner zijn dan in het achterste schroefaslager.

Hill en Martin hebben een ontwerp-kaart gemaakt voor bet bepalen van het effectieve

achterlagerondersteuningspunt. Voor het achterlager wordt

nu de manier met de

ontwerp-kaart toegelicht.

_{Hill en Martin hebben de oplossing grafisch uitgezet als}

functie van verschillende parameters. In bet Figuur 5(b) iste zien dat:

z,

hetgeen gelijk is aan:

Cg.

Ma

W L

is uitgezet tegen de zogenaamde load parameter. In de grafiek zijn tevens verschillende aL

uitlijningsparameter _Cr waarden uitgezet. Het is dus mogelijk

bij een bekende

ctL

-

waarde in grafiek (b) een effectief _{asondersteuningspunt te}

C,

loadparameter en

vinden door w te bepalen. Bij een bekende lengte van het achterlager kan de

Figuur 5: Ontwerp-kpart., LID 21.51

0

.11

0

0

lilertictuaris .Section in vertical longitudinal plane 2 4 6 e 10 IS 20 30 401 Load parameter, W' 1--41-92)2 VIOL

5na"rii

ncsritalicv 466orts44.: 60 A 4 _{6 8 10}

_{15 20 30 40 60}

Load parameter W' -zoo 100

sinmanin

Shaft CL

laillala ILIM

ON MII111111

ma

RIM

ME

113111111MMIEWIE

gig

MktlirlialiMOOMM

analin:

EMMEN

iiii

'

Cr haw, iW

MMAMMEMB

MWSMEMO

M

WWI

IRE

ZS

MUNMENMEMUM

ozmammmwrionamme

aiLMOIMM.WOWIlaisNa

IMINE MS

.

IJ.0

PIONMIIIII3

....a...

...

...

=EMI

To-, P.04

'III

a

al

_{NM NM M}

%MIMS

1 11111 1

I

swanugman

N

IIIIMIIMM,

01(4 ring L. IS LID 0.0

In Figuur 5(a) is de load parameter W' (= vergelijkbaar_{met Sommerfeld):}

W (CD)2

ri

DLN \D)

Met:

= de verschuiving van het effectieve lagerondersteuningspunt als gevolg _{van de}

hoek die de as maakt met het lager ten opzichte van het lagermidden [m]

L = de lagerlengte [m]

Ma _{= het moment dat de ender een hoek staande as op het lager geeft [Nm]}

W = lagerreactiekracht [N]

W' _{= de belastingsparameter (equivalent met het kental van Sommerfeld) [-]}

= de dynamische viscositeit [Ns/m2]

D _{= lagerdiameter [m]}

N = astoerental [omw/s]

CD _{= diametrale lagerspeling [m]}

Verder geldt-"± =

a

.L en is in de orde van 0.02 - 0.2. Nu kan ingezien worden dat

L W

het moment dat het lager op de as uitoefent, Ma, meestal klein zal zijn. Dit kan worden ingezien omdat

tGL

Z Z L Z L

M = lw WL-,

GL

-

GL 3 I- L. 2 L2 1-2 2

Me/

= lengte tussen het achterlager en de schroef [m] = gewicht van de schroef [N]

Or,ASX-CA---:.

Hierin zijn en _{klein. Het achterlager kan dus als een ondersteuning met}

eventueel een bepaalde stijfheid gemodelleerd worden. De tussenlagers oefenen een

nog kleiner moment op de as dan het achterlager mede doordat de lagerlengte van de tussenlagers ook aanzienlijk kleiner is en kunnen dus zeker verwaarloosd worden.

Voor een berekening is bet nuttig de lijnen uit de ontwerp-kaart om te zetten in

wiskundige benaderings formules. Hiervoor zijn _{de grafische lijnen uit Figuur 5(b) bij}

een aantal punten afgelezen. Vervolgens zijn met de kleinste kwadraten methode de diverse trendlijnen bepaald, die het beste bij de opgegeven punten passen.

De resultaten van zes schepen, die gekozen zijn volgens bijlage 3, zijn bepaald. De

waarden zijn in Figuur 6 weergegeven.

Schip

Verschuiving [ml! Smeermiddel

bn 5547 bn 5646 bn 6901 bn 6914 bn 3158 bn 7919

Figuur 6: Verschuiving van het effect/eve achtertager ondersteuningspunt met de ontwerp-kaart.

Deze methode van asondersteuningspuntcorrectie

_{voor het achterlager van een}

schroefas wordt voorgesteld te gebruiken bij zowel het vereenvoudigde _analytische

model als bij het eindige elementen model.

0,056 0,063 0,038 0,043 0,053 0,066 Vet Water Water Olie Olie Olie

4.3,Asmassacorrectie

Bij het berekenen van de buigeigenfrekwenties van _{schroefassen met het}

vereenvoudigde model van Jasper, wordt de asmassa verwaadoosd. Ook is bekend dat

afhankelijk van de uitvoering van de schroefas, een net te verwaarlozen _invloed

kan hebben op het resultaat van de berekening [Beek, 1976]. In het vededen zijn iverschillende manieren gebruikt om de iinvloed van de asmassa te verdisconteren in het model. Een bekende methode om voor asmassa te corrigeren in het model van Jasper is de zogenaamde Dunkerley asmassacorrectie. [Rao, 1995] en [Goodwin, 1989] Hierbij kan voor de eerste mode eigenfrekwentie van het Jasper model met

asmassa een benadering gevonden worden door een polynoom te bepalen. Voor _een

uitgebreide afleiding wordt verwezen naar het boek

_{van Rao. Voor een gegeven}

analytisch model is de berekende buigeigenfrekwentie bij deze methode altijd lager dan

wanneer eigenfrekwentie exact bepaald wordt. De oorzaak hiervan is dat hogere _mode

eigenfrekwenties verwaarloosd warden. De fout is afhankelijk van nabijheid van de

tweede en hogere mode eigenfrekwenties. De asmassacorrectie van Dunkerley is dus

9

een benaderingsmethode, en is voor praktisch gebruik minder aantrekkelijk. _Zei'4,7J--nn

Het modell volgens Jasper Ikan ook op andere manieren worden gecorrigeerd. Nu kan voor het verdiskonteren van de asmassa in de methode van Jasper een massa ten gevolge van de asmassa toegevoegd worden aan de schroefnnassa. Het berekenen van de eigenfrekwentie met deze fictieve massa van de schroef moet dan een zelfde waarde opleveren als het resultaat van een model met asmassa. De eerste mode eigenfrekwentie van een Jasper model met asmassa kan eenvoudig met behulp van de

eindige elementen methoden bepaald worden. Deze fictieve _{toevoeging van}

schroefmassa waarmee gerekend wordt is uiteraard afhankelijk van verschillende

parameters. [Beek, 1976] In

Figuur 8 zijn de grootheden die van invloed zijn

opgesomd. Voor het model van Jasper zijn dat:

1), m M, L,, L. Jp, El

Deze grootheden hebben 3 basiseenheden. (tijd, massajengte) _{Met: de 9 ,groothecleh,}

kunnen dan 9 - 3 = 6 onafhankelijke kentallen bepaald worden.

Met dimensie analyse kunnen er voor het model van Jasper diverse kentallen worden bepaald. De van iinvloed zijnde parameters kunnen in kentall vorrn geschreven worden

als !11

L

Jci , Jo en m1_13 M IL2 M 22 co, Jd 2 SI El

mL3

lEr wordt van ulitgegaan dat de kentallen ='Fi en 1

Q2 Eli konstant iiin en

daardoor' een zeer kleine Ibijdrage leveren aan de massatoevoeging. De orde Vati

dit,

1,

Jp

grOOtte van het traagheidSkental

_{m is ongeveer 2. Voor het bepalen van de}

sid

massatoevoeging wordt dit kental dan niet meegenomen.

Met:

M = schroefmassa [kg]

rn = asmassa [kg]

L.., = lengte tussen de twee asondersteuningen [m]

L2 = lengte van de schroefoverhang [m]

Jd _{= massatraagheidsmoment van de schroef am een dwarsas (y en z richting)}

[kg ml

= eerste mode eigenfrekwentie volgens Jasper [1/s]

S-2 = rotatiefrekwentie van de as [1/s]

Er wordt uitgegaan van een machtsbenadering. Deze manier wordt ook door

Schwanecke gebruikt voor het bepalen van schroefmassatoevoegingen. De toe te voegen massa kan dan in de vorm geschreven worden:

eM = A*M

Met:

OM _{= toe te voegen massa aan de schroef ten gevolg van de asmassa}

[kg]

A,B,C, D en E = fitconstanten.

Hierbij is dus rekening gehouden met de invloedskentallen. Voor de dimensie van de toe te voegen massa staat in de formule de schroefmassa in het rechterlid. De fit-constanten A,B,C, D en E moeten nu nog bepaald warden. Hiervoor zijn verschillende berekeningen gemaakt van diverse schepen. Er is gekozen voor vijf verschillende schepen met zeer uiteenlopende schroefasconfiguraties om zo goed mogelijk te fitten. Dit zijn de eerste vijf van de zes gekozen schepen in bijlage 3. Er kunnen hiermee vijf

vergelijkingen opgeteld warden met vijf onbekenden welke

_{op te lossen ?rim De}

bepaalde waarden voor de constanten zijn berekend: A = 0,0384

B = 1,5421

C = 1,7612

D = 0,2181

E = 0,1847

Zodat de massatoevoeging aan de schroef voor asmassacorrectie in het Jasper model

word t:

(MBIL NC( J,

)\M) ,L2) \ ML22 \ 01) NE M

17612\O2181

8M = 0,0384 *M(NA) 1,5421

\Iv

(MI_22 M Li 6 ? ,7 /21- A a kr

De eerste twee kentallen hebben dus een veel grotere invloed op de massatoevoegina. dan de laatste twee kentallen.

?

Bij controle met schroefasconfiguraties in andere (Damen Shipyards) schepen blijkt het resultaat van de eigenfrekwentieberekening goede benaderingen te geven. Zie Figuur 7. De eigenfrekwenties berekend met de eindige elementen methode en de methode van Jasper met asmassacorrectie zijn in het schema naast elkaar gezet. Hierbij is het

model van Jasper gebruikt zonder nog te corrigeren voor asondersteuningsstijfheid.

Schip

Eigenfrekwentie met Jasper [Hz] Eigenfrekwentie met E.E.M. [Hz]

bn 5547 bn 5646 bn 6901 bn 6914 bn 3158 bn 7919

Figuur 7: Vergekking eindige elemente berekening van asmassacorrectie.

9--/),2

/x6

L

fv71-rig

aft

Ot- 4,ct0-k( 3 '74

c---z

1/4-et- e* it" 29,8 34,7 22,8 9,8 13,5 12,9 29,8 34,7 22,8 9,8 13,5 12,8

4.4 Asondersteuningsstijfheidscorrectie

Voor het corrigeren op asondersteuningsstijfheid

_{wordt nu het model beschouwd}

volgens Jasper maar dan in twee flexibele asondersteuningen (lagers). Hierbij kunnen dus de stijfheden van de asondersteuningen in horizontale en vertikale richtingen ongelijk zijn. (anisotrope asondersteuningen)

Voor dit model kunnen weer net als door Jasper een 4-tal bewegingsvergelijkingen in

y-en z-richting opgesteld wordy-en. [Kramer, 1984] Om inzicht

_{te geven wat er bij het}

gebruiken van asondersteuningsstijfheden _{gebeurt, wordt het stelsel vergelijkingen}

nader beschouwd. Er wordt weer uitgegaan van het gebruikelijk assenstelsel, zoals in

Figuur 8

L2

Kb2

Z41,

Figuur 8: Keuze van het assenstelsel_{en asondersteuningen}

Hierbij wordt rekening gehouden met gyroscopie ten gevolge van de

schroefmassaoverhang en de stijfheden. We gaan uit van de homogene vergelijkingen

voor het bepalen van buigeigenfrekwenties. Dit 'evert

_{net als bij de afleiding van}

Jasper:

of korter geschreven:

M04-Ga +Ku =0

Echter nu zij de stijfheidstermen in de _{K matrix:}

k, # k2 k3 # k4 k, -k, = k6 k7 = ks k, 0 0 k4 k, 0 0 k7 0

k2 k 0

0 k, k3 0 _Ty

MO

0 0 M 0 0

00

00

Jci 0 0 J, 2 (.13y q)z

00

00

00

00

0 0 0

JpQ

0 0 Jpf2 0 2 Kb, E, I, m, Ka, k5

Dit is een homogeen stelsel gekoppelde lineaire differentiae' vergelijkingen. De tweede matrix G is gevuld met termen ten gevolge van de gyroscopie. Deze zorgt er voor dat

de eigenfrekwenties afhangen van de asrotatiefrekwentie.

_{Er kan nu onderzocht}

worden hoe de eigenfrekwenties worden uitgewerkt. Nu hebben de asondersteuningen in horizontale en vertikale richting verschillende stijfheden. Er wordt een substitutie

toegepast:

u = ye'

hierdoor kan het stelsel vergelijkingen worden geschreven _als:

(Mo2 + Go + K)v = 0

Dit geeft van 0 verschillende oplossingen voor:

Mo2 +GO +K =0

Voor het bepalen van eigenfrekwenties moet de matrix nul gesteld warden. Dit levert na uitwerking van het stelsel de karakteristieke vergelijking. De vergelijking is achtste graads (dit komt dus neer op het bepalen van een 4*4 determinant):

+ a6 (06 + a4 Cil4 _{+ a2CO}2 _{+ a0 = 0}

met als coefficienten:

k1+k2 k3 + k4 +1(J\ 2Q2 a6= Jd J 10(2 k3k4 _{k2k3 -k62 +k1k4 +k2k4 +k3k1 -k72}

a -

4 m2 j 2

a, -

_{m2 jd2}

MJd

j \2

id) (k2k3 -k5 2)k1 +(k1k4 -k72)k2 _{(k2k3 -k5}

az -

(kika -k72)k3 (2)k4

j2

_P kik2 + Q2

M2 jd

m2

d

'id) M2 (k2k3 k52)(k1k4 -k72)

De karakteristieke vergelijking heeft acht oplossingen _{voor het algemene geval. Door}

even denkbeeldig te substitueren van o2 = p in de _{vergelijking, kan warden}

geschreven:

p4 + ad? + a4p2 + a2p + a0 = 0

en is een vierde graads vergelijking. Deze vergelijking is niet direct analytisch op te

lossen. Jasper ging uit van oneindig stijve _{ondersteuningen. VVanneer de}

ondersteuningsstijfheden oneindig stijf zijn, dus met

+k2