dr hab. Barbara Kowalczyk, prof. SGH Zakład Statystyki Matematycznej Instytut Ekonometrii
Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH
TESTY DLA ROZKŁADU NORMALNEGO (NIE JEST KONIECZNA DUŻA PRÓBA) Założenie: mamy n-elementową próbę prostą z rozkładu normalnego 𝑁(𝑚, 𝜎)
Gdy 𝜎 – znane statystyka testowa do testowania hipotez:
a. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 ≠ 𝑚0 b. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 > 𝑚0 c. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 < 𝑚0 przyjmuje postać:
𝑍 = 𝑋̅ − 𝑚0
𝜎 √𝑛
Obszar krytyczny jest odpowiednio postaci a. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼/2 >∪< 𝑧1−𝛼/2; ∞) b. 𝑊 =< 𝑧1−𝛼; ∞)
c. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼 >
gdzie z oznacza kwantyl standardowego rozkładu normalnego odpowiedniego rzędu
Gdy 𝜎 – nie jest znane statystyka testowa do testowania hipotez:
a. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 ≠ 𝑚0 b. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 > 𝑚0 c. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 < 𝑚0 przyjmuje postać:
𝑡 =𝑋̅ − 𝑚0
𝑆 √𝑛
Obszar krytyczny jest odpowiednio postaci:
a. 𝑊 = (−∞;-𝑡𝛼;𝑛−1∗ >∪< 𝑡𝛼;𝑛−1∗ ; ∞) b. 𝑊 =< 𝑡2𝛼;𝑛−1∗ ; ∞)
c. 𝑊 = (−∞;-𝑡2𝛼;𝑛−1∗ >
gdzie 𝑡∗ oznacza wartość krytyczną rozkładu t-studenta o odpowiedniej liczbie stopni swobody.
Statystyka testowa dotycząca testowania układu hipotez dotyczących wariancji 𝐻0: 𝜎2 = 𝜎02 ; 𝐻1: 𝜎2 ≠ 𝜎02
𝐻0: 𝜎2 = 𝜎02 ; 𝐻1: 𝜎2 < 𝜎02 𝐻0: 𝜎2 = 𝜎02 ; 𝐻1: 𝜎2 > 𝜎02 przyjmuje postać:
𝜒2 =(𝑛 − 1)𝑆2 𝜎02 Obszar krytyczny jest odpowiednio postaci
𝑊 =< 0, 𝜒1−𝛼/2;𝑛−12∗ >∪< 𝜒𝛼/2;𝑛−12∗ ; ∞) 𝑊 =< 0, 𝜒1−𝛼;𝑛−12∗ >
𝑊 =< 𝜒𝛼;𝑛−12∗ ; ∞)
gdzie 𝜒2∗ oznacza wartość krytyczną rozkładu chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody.
TESTY DLA DUŻEJ PRÓBY
Założenie: mamy n-elementową próbę prostą z dowolnego rozkładu, gdzie n jest duże.
Statystyka testowa do testowania hipotez a. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 ≠ 𝑚0
b. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 > 𝑚0 c. 𝐻0: 𝑚 = 𝑚0; 𝐻1: 𝑚 < 𝑚0 przyjmuje postać:
𝑍 = 𝑋̅ − 𝑚0
𝑆 √𝑛
Obszar krytyczny jest odpowiednio postaci:
a. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼/2 >∪< 𝑧1−𝛼/2; ∞) b. 𝑊 =< 𝑧1−𝛼; ∞)
c. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼 >
gdzie z oznacza kwantyl standardowego rozkładu normalnego odpowiedniego rzędu
Założenie: mamy n-elementową próbę prostą z rozkładu dwupunktowego, gdzie n jest duże.
Statystyka testowa dotycząca testowania hipotez dotyczących frakcji a. 𝐻0: 𝑝 = 𝑝0; 𝐻1: 𝑝 ≠ 𝑝0
b. 𝐻0: 𝑝 = 𝑝0; 𝐻1: 𝑝 > 𝑝0 c. 𝐻0: 𝑝 = 𝑝0; 𝐻1: 𝑝 < 𝑝0 ma postać:
𝑍 = 𝑝 − 𝑝0
√𝑝0(1−𝑝𝑛 0)
= 𝑚
𝑛 − 𝑝0
√𝑝0(1−𝑝𝑛 0) Obszar krytyczny jest odpowiednio postaci:
a. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼/2 >∪< 𝑧1−𝛼/2; ∞) b. 𝑊 =< 𝑧1−𝛼; ∞)
c. 𝑊 = (−∞;-𝑧1−𝛼 >
gdzie z oznacza kwantyl standardowego rozkładu normalnego odpowiedniego rzędu
Zadanie 1
a)Weryfikujemy hipotezę zerową mówiącą o tym, że średnia zawartość sacharozy w tabletkach homeopatycznych pewnej firmy (średnia w populacji) wynosi 2 mcg, wobec hipotezy alternatywnej mówiącej o tym, iż jest ona większa. Wiadomo z całą pewnością, iż rozkład zawartości sacharozy w tabletkach jest normalny. Zbadano 12 elementową próbę tabletek, której wyniki były następujące: 1, 2,2,2,2,2,2,2,2, 3,3,3. Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,025 zweryfikować odpowiednie hipotezy. b) Dla danych z punktu a) zweryfikować przy poziomie istotności 𝛼 = 0,1 hipotezę zerową mówiącą o tym, że wariancja w populacji jest równa 0,2 wobec hipotezy alternatywnej, że jest większa
Odp. a) średnia z próby= 2,16667; wariancja z próby = 0,3333; wartość statystyki testowej 1,003; Obszar krytyczny < 2,201; +∞), Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej b) Wartość statystyki testowej 18,33; Obszar krytyczny <17,2750; +∞) Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,1 odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej
Zadanie 2
a)Weryfikujemy hipotezę zerową mówiącą o tym, że średnia zawartość sacharozy w tabletkach homeopatycznych pewnej firmy (średnia w populacji) wynosi 2 mcg, wobec hipotezy alternatywnej mówiącej o tym, iż jest ona większa. Wiadomo z całą pewnością, iż rozkład zawartości sacharozy w tabletkach jest normalny. Zbadano 14 elementową próbę tabletek, na podstawie której otrzymano średnią z próby równą 2,4, odchylenie z próby równe 0,1; Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,1 zweryfikować odpowiednie hipotezy. b) Przy tym samym poziomie istotności 𝛼 = 0,1 zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, że wariancja w populacji jest równa 0,008 wobec hipotezy alternatywnej, że jest większa.
Odp. a) wartość statystyki testowej 14,966; Obszar krytyczny < 1,3502; +∞). Odrzucamy hipotezę zerową. b) wartość statystyki testowej 16,25; Obszar krytyczny < 19,8119; +∞) Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
Zadanie 3
Zawartość substancji czynnej w tabletce leku ma rozkład normalny. Zbadano 9 elementową próbę prostą tabletek pewnego producenta i otrzymano wyniki (w 𝜇𝑔): 0,5; 0,5; 0,4; 0,4;
0,5; 0,4; 0,6; 0,5; 0,4 a) Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,05 zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, iż średnia zawartość substancji czynnej w tabletce (w populacji) wynosi 0,5 wobec hipotezy alternatywnej, że jest ona niższa. b) czy decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie gdy b1) przyjmiemy poziom istotności 𝛼 = 0,01, b2) przyjmiemy poziom istotności 𝛼 = 0,1
Odp. a) Wartość statystyki testowej -1,1413; obszar krytyczny (−∞, −1,8595 >. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. b1) Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej b2) odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej
Zadanie 4
Producent luksusowych wyrobów żywności ekologicznej twierdzi, iż średnia zawartość bezwartościowych substancji w opakowaniu jego wyrobu nie przekracza 1 mg w całej produkcji. Zbadano próbę prostą 100 opakowań jego produktu. Średnia zawartość bezwartościowych substancji otrzymana na podstawie 100 elementowej próby prostej wyniosła 1,45 mg, natomiast wariancja 9 (mg2). a) Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,05 zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, ze średnia zawartość bezwartościowych substancji w opakowaniu wyrobu tego producenta w całej produkcji wynosi 1 mg wobec hipotezy alternatywnej mówiącej o tym, że jest ona wyższa. b) Jak zmieniłyby się wyniki zadania (dokonać jeszcze raz weryfikacji odpowiednich hipotez przy tym samym poziomie istotności), gdyby otrzymana średnia i wariancja pochodziły z próby 200 elementowej.
Odp. a) Wartość statystyki testowej: 1,5. Obszar krytyczny 𝑊 = 〈1,645; +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. b) Wartość statystyki testowej: 2,12. Obszar krytyczny 𝑊 = 〈1,645; +∞). Odrzucamy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej.
Zadanie 5
Zawartość substancji czynnej w tabletce leku ma rozkład normalny. Zbadano 10 elementową próbę prostą tabletek pewnego producenta i otrzymano wyniki (w 𝜇𝑔): 3,9; 4,1; 4,2; 3,9;
3,8; 3,7; 4,4; 4,5; 4,0; 4,5. a) Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,1 zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, iż średnia zawartość substancji czynnej w tabletce wynosi 4 wobec hipotezy alternatywnej, że jest ona wyższa. b) Przy poziomie istotności 𝛼 = 0,05, zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, iż wariancja zawartości substancji czynnej w tabletce jest równa 0,05 wobec hipotezy alternatywnej, że jest ona wyższa
Odp. a) Wartość statystyki testowej: 1,09. Obszar krytyczny 𝑊 = 〈1,3830; +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. b) Wartość statystyki testowej: 15,12. Obszar krytyczny 𝑊 = 〈16,9190; +∞). Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
Zadanie 7
Zbadano przebiegi 200 opon i otrzymano wyniki:
Przebieg ( w tys. km): 15-25 25-35 35-45 Liczebność: 80 60 60
Na poziomie istotności 𝛼 = 0,05 zweryfikować hipotezę zerową mówiącą o tym, że wartość przeciętna (średnia) przebiegu opon jest równa 35 tys. km wobec hipotezy alternatywnej mówiącej o tym, że ta wartość przeciętna (średnia) jest niższa.
Zadanie 8 Siłę kiełkowania ziaren mierzy się odsetkiem (procentem) ziaren, którym uda się wykiełkować. Firma wprowadza na rynek zmodyfikowany rodzaj ziarna, który reklamuje jako charakteryzujący się większą siłą kiełkowania niż tradycyjne ziarno siewne o znanej od lat przeciętnej sile kiełkowania wynoszącej 0,97 (97%). Firma postanowiła mocno przygotować się do kampanii reklamowej podpierając się badaniami naukowymi. Eksperci zbadali 500 takich ziaren, z których wykiełkowało 490. Czy na tej podstawie możemy odrzucić hipotezę zerową mówiącą o tym, że średnia siła kiełkowania (tj. odsetek wykiełkowanych) zmodyfikowanych ziaren jest równa klasycznej, czyli 0,97 na korzyść hipotezy alternatywnej mówiącej o tym, że przeciętna siła kiełkowania ziaren jest większa od klasycznej. Odpowiedz na to pytanie przy poziomie istotności: a) ∝= 0,1; 𝑏) ∝= 0,05 𝑐) ∝
= 0,01.
Odpowiedzi:
Wartość statystyki testowej wynosi 1,311
a) Przy poziomie istotności ∝= 0,1 odrzucamy Ho na korzyść hipotezy alternatywnej b) Przy poziomie istotności ∝= 0,05 nie mamy podstaw do odrzucenia Ho
c) Przy poziomie istotności ∝= 0,1 nie mamy podstaw do odrzucenia Ho
