Dla H0 : a = a0 statystyka testowa jest równa Tn=√ n x − a¯ 0 σ

Testowanie hipotez  testy istotno±ci dla warto±ci oczekiwanej  teoria Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Je»eli statystyka testowa Tn nale»y do obszaru krytycznego K, to hipotez¦ zerow¡ H0 odrzu- camy i przyjmujemy hipotez¦ alternatywn¡ H1.

Je»eli statystyka testowa Tnnie nale»y do obszaru krytycznego K, to nie ma podstaw do odrzuce- nia hipotezy zerowej H0.

1. X ∼ N(a, σ²).

(a) Parametr σ² znany.

Dla H0 : a = a₀ statystyka testowa jest równa Tn=√

n x − a¯ 0

σ . Obszary krytyczne:

H1 : a 6= a0 K = (−∞, −t1−α/2) ∪ (t1−α/2, +∞) H₁ : a < a₀ K = (−∞, −t_1−α)

H₁ : a > a₀ K = (t_1−α, +∞) (b) Parametr σ² nieznany.

Dla H0 : a = a₀ statystyka testowa jest równa T_n=√

n x − a¯ ₀ s . Obszary krytyczne:

H₁ : a 6= a₀ K = (−∞, −z_1−α/2) ∪ (z_1−α/2, +∞) H₁ : a < a₀ K = (−∞, −z_1−α)

H1 : a > a0 K = (z1−α, +∞)

Uwaga. Je»eli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powy»szych wzorach na obszary krytyczne z_1−α/2 mo»na zast¡pi¢ przez t1−α/2, a z1−α przez t1−α.

2. X ma rozkªad dowolny, Var X istnieje, n jest du»e.

Dla H0 : a = a₀ statystyka testowa jest równa Tn =√

n x − a¯ ₀

s lub Tn=√

n x − a¯ ₀ ˆ

s lub Tn=√

n x − a¯ ₀ σ₀ . Obszary krytyczne:

H₁ : a 6= a₀ K = (−∞, −t_1−α/2) ∪ (t_1−α/2, +∞) H₁ : a < a₀ K = (−∞, −t_1−α)

H1 : a > a0 K = (t1−α, +∞)

. . . . Oznaczenia: Φ  dystrybuanta rozkªadu normalnego N(0, 1),

t_1−α/2 = Φ⁻¹¡

1 −^α₂¢

, t_1−α = Φ⁻¹(1 − α),

F_tn−1  dystrybuanta rozkªadu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody, z_1−α/2 = F_t⁻¹_n−1¡

1 − ^α₂¢

, z1−α = F_t⁻¹_n−1(1 − α),

s = r

1 n−1

Pn i=1

(xi− ¯x)², n > 2; s =ˆ r

1 n

Pn i=1

(xi− ¯x)².