4. Nierówność Craméra - Rao
Zadanie 1. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu N (µ, σ2). Oblicz informację Fishera In(θ) dla:
a) θ = µ ∈ R, b) θ = σ > 0, c) θ = σ2 > 0.
Ile wynosi informacja Fishera I(θ) zmiennej losowej X z rozważanego rozkładu w przy- padku a), b) i c)?
Zadanie 2. Na podstawie nierówności Craméra - Rao wyznacz dolne ograniczenie dla wariancji nieobciążonego estymatora wariancji σ2 w rozkładzie N (0, σ2).
Zadanie 3. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dwumianowym B(1, p). Pokaż, że ¯Xn realizuje dolne ograniczenie w nierówno- ści Craméra - Rao. Jaka własność ¯Xn stąd wynika?
Zadanie 4. Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu P oiss(λ). Roz- ważmy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji g(λ) = P (X1 = 0) postaci
T (X1, . . . , Xn) =
1 − 1
n
n
P
i=1
Xi
.
Sprawdź, czy wariancja tego estymatora osiąga dolne ograniczenie w nierówności Craméra - Rao i wysuń odpowiednie wnioski.
Zadanie 5. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (0, θ). Udowodnij, że statystyka
T (X) = n + 1 n Xn:n
jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Pokaż, że estymator ten jest superefek- tywny.
Zadanie 6. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą prostą z rozkładu N (µ, σ2). Wyznacz parametr a tak, aby estymator
T (X) = a
n
X
i=1
|Xi− µ|
był estymatorem nieobciążonym parametru σ. Oblicz jego efektywność.
1
