Wojciech Grudziński

Wojciech Grudziński

Instytut Matematyki PŁ pokój 161 ( I piętro )

http://im0.p.lodz.pl/~wgrudzinski

DyŜury

Czwartki 9:00 – 10:30

Literatura podstawowa

R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN 2001.

Literatura uzupełniająca

M. Balcerzak, J. Rogowski, Wykłady z analizy matematycznej, Wydz. FTIMS PŁ 2002.

J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT 1999.

J. Steward, Calculus, Brookes/Cole Publ. Comp. 1991.

Wykład Literatura obowiązkowa

Wykłady Wojciecha Grudzińskiego

Ćwiczenia

Literatura obowiązkowa

Arkusze zadań zamieszczane w Internecie (lub w wersji „papierowej”

dla chętnych)

Uwaga

Jest to poszerzona wersja wykładu, który Państwa obowiązuje.

Które z poniŜej podanych dowodów będą Państwa obowiązywały ustalimy przed sesją. Większość z opuszczonych tu dowodów znaleźć moŜna w bardziej wersji poszerzonej tego wykładu.

Funkcja „moduł”

Definicja 1.1

Funkcję | ^. | :R → R zdefiniowaną następująco:





<

−

≡ ≥

0

| 0

| x dla x

x dla

x x

nazywamy wartością bezwzględną (modułem).

Wprost z powyŜszej definicji mamy: | 7 | = 7; | - 7| = 7; | 0 | = 0 Pewne obserwacje związane z tą funkcją.

(O1) ∀x∈R ( x ≥ 0 ⇒ |x| = x ∧ x < 0 ⇒ | x | = - x (O2) ∀x∈R | x | = | - x| ≥ 0

(O3) ∀x∈R - | x | ≤ x ≤ | x | (O4) ∀x,y∈R | x^.y | = | x |^.| y |

(O5) ∀x∈R ∀ ε > 0 | x | < ε ⇔ – ε < x < ε (O5’) ∀x∈R ∀ ε > 0 | x | ≤ ε ⇔ – ε ≤ x ≤ ε (O6) Dla dowolnej funkcji f: R→R mamy (*) ∀x ∈R – f(x) ≤ x ≤ f(x) ⇔ | x | ≤ f(x)

y = x y = -x

- ε ε

ε

^{> 0}

(O7) ∀x,y∈R | x + y | ≤ | x | + | y | Dowód

Niech x,y∈R. Z (O3) mamy (1) - | x | ≤ x ≤ | x |

(2) - | y | ≤ y ≤ | y |

Dodając powyŜsze nierówności stronami otrzymujemy (3) – (| x | + | y |) ≤ x + y ≤ | x | + | y |

. RozwaŜmy przypadki (i) x + y ≥ 0 (ii) x + y < 0

Ad(i) W tym przypadku mamy (4) | x + y |

)

(i= x + y

) 3

(≤ | x | + | y | Ad(ii) W tym przypadku mamy (5) – | x + y |

)

(i= ^{x + y}

) 3

(≥– (| x | + | y |) |(-1) stąd

(6) | x + y | ≤ | x | + | y |

(7) Uwaga. Na ogół | x + y | ≠ | x | + | y |. Istotnie | -7 + 5 | = 2 ≠ 7 + 5 = | -7| + | 5 |.

(O8) ∀x∈R x² = | x |

Pewne umowy , oznaczenia i własności (podany informacyjnie)

Umowa 1

Niech n∈N. Wprowadzamy oznaczenie P(n) ≡ {1,2,3,…,n}.

Np. P(4) = {1,2,3,4}

Umowa 2

Niech a₁, a₂, …, a_n∈R. Wprowadzamy oznaczenie a₁ + a₂ + …+ a_n≡

∑

= n

i

ai 1

Np.

∑

= 4

1

1

i i = 1 1+

2 1+

3 1+

4 1 ;

∑

= +

3

2 1

k k

k =

3 2+

4 3

Własności

Niech a₁, a₂, …, a_n ; b₁, b₂, …, b_n ; x ∈R. Wówczas:

I.

∑

= n

i

xai 1

= xa₁ + xa₂ + …+xa_n = x(a₁ + a₂ + …+ a_n) = x

∑

= n

i

ai 1

II. ( )

1 i n

i

i b a +

∑

=

= a1 + b1 + a2 + b2 + …+ an + bn = (a1 + a2 + …+ an) + (b1 + b2 + …+ bn) =

∑

= n

i

ai 1

+

∑

= n

i

bi 1

III.

∑

= n

i

ai 1

2= 0 ⇔ ∀i∈P(n) ai = 0.

IV.

∑

= n

i

ai 1

2≠ 0 ⇔ ∃i∈P(n) ai ≠ 0.

Definicja

Niech A, B będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Zbiór wszystkich par uporządkowanych (a,b) o poprzedniku ze zbioru A i następniku ze zbioru B nazywamy iloczynem kartezjańskim zbioru A przez zbiór B. Piszemy AxB ≡ {(a,b): a∈A ∧ b∈B }

Niech A₁, A₂,…, A_n będą zbiorami niepustymi. Zbiór wszystkich uporządkowanych „n-tek”

(a1, a2, …, an) takich, Ŝe (*) ∀i∈P(n) ai∈Ai

nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A₁, A₂,…, A_n. Piszemy A₁x A₂x…x A_n = {( a₁, a₂, …, a_n ): ∀i∈P(n) ai∈Ai }

Twierdzenie (Nierówność [CBS]) ([Cauchy, Buniakowski, Schwarz]). – Materiał nieobowiązujący Niech n∈N oraz a₁, ..., a_n ; b₁, ..., b_n∈R. Wówczas

n 2

1 k

k kb a 









∑

= ≤ _^









∑

= n

1 k

2

ak 









∑

= n

1 k

2

bk co zapisać oczywiście moŜna i tak ∑

= n

1 k

k kb

a ≤ ∑

= n 1 k

2

ak ∑

= n 1 k

2

bk

Dowód

JeŜeli _^









∑

= n 1 k

2

ak = 0, to ∀k∈P(n) ak = 0 i w [CBS] mamy równość. Przyjmijmy więc, Ŝe _^









∑

= n 1 k

2

ak ≠ 0.

Definiujemy funkcję f:R→R następująco :

∀x∈R f(x) ≡ 



 





∑

= n

k

ak 1

2 x² - 2 _^









∑

= n 1 k

k kb

a x + _^









∑

= n 1 k

2

bk .

ZauwaŜmy, Ŝe dla dowolnego x∈R mamy f(x) = ∑

= −

n

1 k

2 k kx b ) a

( ≥0. Zatem trójmian kwadratowy f przyjmuje tylko wartości nieujemne. Stąd jego wyróŜnik jest niedodatni, czyli ∆≡ 4

n 2

1 k

k kb a 









∑

=

-4 _^









∑

= n

1 k

2

ak 









∑

= n

1 k

2

bk ≤ 0 stąd [CBS].

Wniosek

JeŜeli _^









∑

= n

1 k

2

ak ≠ 0, to w [CBS] mamy równość ⇔∃! c∈R ∀k∈P(n)

b_k = ca_k (czyli układy liczb a₁, ..., a_n ; b₁, ..., b_n∈R są proporcjonalne).

Dowód „⇒”.

Równość w [CBS] oznacza ∆ = 0. Trójmian f ma wówczas dokładnie jeden pierwiastek c∈R.

Mamy 0 = f(c) =

∑

= n −

k

k kc b a

1

)2

( . Stąd teza.

Dowód „⇐”

Zakładamy, Ŝe ∃!c∈R ∀k∈P(n)

b_k = ca_k. Liczba c jest więc pierwiastkiem trójmianu f.

Przypuśćmy, Ŝe równieŜ d∈R jest pierwiastkiem tego wielomianu. Wówczas 0 = f(d) = ∑

= −

n

1 k

2 k kd b ) a

( .

Oznacza to, Ŝe ∀k∈P(n) akd = bk. PoniewaŜ _^









∑

= n

1 k

2

ak ≠ 0, to choć jedna z liczb a1, ..., an jest róŜna od

zera. Niech np. a_s ≠ 0. Mamy wówczas d = b_s a_s = c.

Tak więc c∈R jest jedynym pierwiastkiem trójmianu f, czyli ∆ = 0, a więc mamy równość w [CBS].

Przestrzenie metryczne (materiał nieobowiązujący)

Definicja 1.2

Funkcję d:XxX→R nazywamy metryką (odległością) w zbiorze X jeŜeli:

1. ∀ x,y∈X

d(x,y) = 0 ⇔ x =y,

2. ∀ x,y∈X

d(x,y) = d(y,x), (symetria)

3. ∀ x,y,z∈X

d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) (warunek trójkąta) Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną.

ZauwaŜmy, Ŝe d:XxX→R+4 {0}, bo dla x,y∈X wobec 1), 2) i 3) mamy 0

) 1

(= d(x,x)

) 3

(≤ d(x,y) + d(y,x)

) 2

(= d(x,y) + d(x,y) = 2d(x,y).

Stąd 2d(x,y) ≥ 0 i w konsekwencji d(x,y) ≥ 0

Przykład 1

Definiujemy funkcję d_e:RxR→R następująco: ∀ x,y∈X

d(x,y) ≡ |x – y|. WykaŜemy, Ŝe (R,d_e) jest przestrzenią metryczną.

Istotnie, niech x,y,z∈R. Wykorzystując własności modułu mamy:

1. 0 = d_e(x,y) = |x – y| ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y.

2. d_e(x,y) = |x – y| = |(-1)(y – x )| = |(-1)|^.| y – x | = d_e(y,x).

3. d_e(x,y) = |x – y| = |(x – z) + (z – y)| ≤ |x – z| + |z – y| = d_e(x,z)+ d_e(z,y)

Zdefiniowaną wyŜej metrykę nazywamy naturalną (lub euklidesową) w R.

Przykład 2

W dowolnego zbioru X≠∅ funkcja do:XxX→R zdefiniowana następująco:

(*) ∀ x,y∈X

d_o(x,y) ≡





≠

= y x dla

y x dla 1

0

jest w nim metryką.

Istotnie, niech x,y,z∈X. Mamy:

Wprost z (*) otrzymujemy 1. d_o(x,y) = 0 ⇔ x = y oraz

2. do(x,y) = do(y,x)

3. Przystępujemy do sprawdzenia warunku trójkąta dla d_o. W tym celu rozwaŜmy przypadki:

(i) x = y (ii) x ≠ y

Ad(i) do(x,y) = 0 ≤ do(x,z) + do(z,y) , bo do(x,z) ≥0 ∧ do(z,y) ≥ 0 Ad(ii) Tu mamy

(1) d_o(x,y) = 1 JeŜeli z = x

)

(ii≠^{, to z} ≠ y, więc d_o(x,z) = 0 ∧ d_o(z,y) = 1 i mamy (2) d_o(x,y)

) 1

(= 1 = 0 + 1 = d_o(x,z) + d_o(z,y) JeŜeli natomiast z ≠ x, to do(x,z) = 1 i mamy (3) d_o(x,y)

) 1

(= ^{1 ≤ 1 + d}o(z,y) = d_o(x,z) + d_o(z,y) , bo d_o(z,y) ≥ 0.

Parę (X,d_o) przestrzenią dyskretną.

Funkcja „całość”

Definiujemy funkcję [ . ]: R →R następująco:

(a) ∀x∈R [x] ≡ max{ k∈Z: k ≤ x} ← przyporządkowujemy największą liczbę całkowitą nie przekraczającą wartości x.

Np. [ 2

5] = 2 ; [-4,53] = - 5 ; [7] = 7 itd.

Na wykresie

Łatwo spostrzec, Ŝe:

1. ∀x∈R [x] ≤ x ∧ x – 1 < [x]

W efekcie mamy

2. ∀x∈R [x] ≤ x < [x]+1 y = x - 1

y = x

-2 -1

1 2 3 4

Ciągi Definicja

KaŜdą funkcję a: N → A nazywamy ciągiem elementów zbioru A.

Ciąg jest to więc kaŜda funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.

Umowa

JeŜeli a: N → A, to dla n∈N zamiast pisać a(n), będziemy pisali an.

Obraz zbioru N w odwzorowaniu a oznaczać będziemy symbolem {a_n}_n∈N, czyli a(N) ≡ {an}_n∈N. Tym samym symbolem będziemy oznaczali samą funkcję a: N → A, co nie będzie (jak się okaŜe) prowadziło do nieporozumień.

Sposoby definiowania ciągów

1. Poprzez podanie ogólnego wzoru. (Np. ∀n∈N a_n ≡ _n+1^{n )}.

{an}_n∈N=

{

2 1,

3 2,

4 3, … }

Tu jesteśmy w stanie podać natychmiast podać wartość dowolnego wyrazu ciągu. ( Np. a₇₇ = ⁷⁷₇₈ ).

2. Rekurencyjnie. (Np. a₁ ≡ 3, a2 ≡ 4, ∀n∈N n>2 ⇒ a_n ≡ an-1 –2a_n-2). Tu aby podać wartość kolejnego wyrazu ciągu naleŜy znać wartości wyrazów poprzednich.

{an}_n∈N=

{3, 4, - 2, - 10, … }

3. Poprzez podanie „opisu słownego”. (Np. rosnący ciąg liczb pierwszych).

{an}n∈N=

{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }

Definicja

Ciąg {an}_n∈N ⊂ R nazywamy:

• rosnącym jeŜeli ∀n∈N an+1 > a_n.

• niemalejącym jeŜeli ∀n∈N an+1 ≥ a_n.

• malejącym jeŜeli ∀n∈N an+1 < an.

• nierosnącym jeŜeli ∀n∈N an+1 ≥ a_n.

Wspólna nazwa wymienionych wyŜej rodzajów ciągów, to ciągi monotoniczne.

Definicja

Niech {an}_n∈N ⊂ A i {kn}_n∈N – będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Superpozycję ciągu {a_n}_n∈N z ciągiem {k_n}_n∈N nazywamy podciągiem ciągu {a_n}_n∈N ⊂ A .

Przyjrzyjmy się dokładniej temu co w definicji powiedziano. Mamy (1) a: N → P

(2) k: N → N ∧ ∀n∈N kn < kn+1.

(3) a○k: N → P ∧ ∀n∈N (a○k)(n) = a(k(n)) = a(kn) =

{ }

ak_{n n N}

∈

Podciąg ciągu {a_n}_n∈N, to otrzymanyzeń ciąg przez opuszczenie pewnej ilości wyrazów, z zachowaniem kolejności nieskończonej ilości pozostałych wyrazów.

Przykłady

Podciągiem ciągu

N

n n

n

 ∈







+1 jest

N

n n

n

 ∈





 +1 2

2

Tu mamy ∀n∈N kn = 2n. {k_n}_n∈N = {2n}_n∈N jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych i mamy

N

n n

n

 ∈







+1 =







 ,...

6 ,5 5 ,4 4 ,3 3 ,2 2

1 ;

N

n n

n

∈





 +1 2

2 =







 ,...

9 ,8 7 ,6 5 ,4 3

2 (opuściliśmy tu co drugi wyraz, nie zmieniliśmy

kolejności pozostałej nieskończonej ilości wyrazów) Podciągiem ciągu

N

n n

n

 ∈







+1 nie jest

N

n n

n

 ∈





 +

−

− 1 2

2 . Ten drugi powstaje bowiem przez superpozycję

pierwszego z ciągiem {kn}_n∈N = {-2n}_n∈N , który nie jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Tu mamy

N

n n

n

 ∈





 +

−

− 1 2

2 =







− − − − ,...

9 , 8 7 , 6 5 , 4 3

2 i z ciągiem

N

n n

n

 ∈







+1 =







 ,...

6 ,5 5 ,4 4 ,3 3 ,2 2

1 nie ma nic wspólnego.

Dla rosnącego ciągu liczb naturalnych {n+2}_n∈N podciągiem ciągu

N

n n

n

 ∈







+1 jest

N

n n

n

 ∈





 + +

3

2 .

ZauwaŜmy, Ŝe

N

n n

n

 ∈





 + + 3

2 =







 ...

7 ,6 6 ,5 5 ,4 4

3 .

Ciągi

N

n n

n

 ∈







+1 ,

N

n n

n

 ∈





 + + 3

2 róŜnią się tylko dwoma wyrazami.

Superpozycja

N

n n

n

 ∈







+1 z rosnącym ciągu liczb {n – 1}_n∈N daje

N

n n

n

 ∈





 −1

= 



 ,...

6 ,5 5 ,4 4 ,3 3 ,2 2 ,1

0 - nie jest to podciąg ciągu

N

n n

n

∈







+1 =







 ,...

6 ,5 5 ,4 4 ,3 3 ,2 2

1 , bo

powstał przy pomocy ciągu {n – 1}_n∈N , który wprawdzie jest ciągiem rosnącym, ale nie liczb naturalnych, bo 0∉N.

To ciąg

N

n n

n

 ∈







+1 jest podciągiem

N

n n

n

 ∈





 −1

, bo drugi otrzymujemy składając pierwszy z ciągiem rosnącym {n + 1}_n∈N⊂N.

Definicja

Powiemy, Ŝe ciągi {a_n}_n∈N, {b_n}_n∈N, róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów, jeŜeli (*) ∃k,s∈N∪{0} ∀n∈N an+k = bn+s

Np. ciąg {an}_n∈N = {x, y, z, c1, c2, c3, …} róŜni się od ciągu {bn}_n∈N = {a, b, c, d, e, c1, c2, c3, …} tylko skończoną ilością wyrazów, bo

∀n∈N an+3 = b_n+5 ( a₁₊₃ = a₄ = c₁ = b₆ = b₁₊₅ ; a₂₊₃ = a₅ = c₂ = b₇ = b₂₊₅ ; itd…) Uwaga śaden z ciągów {an}n∈N, {bn}n∈N, nie jest podciągiem drugiego.

Tak więc ciągi {a_n}_n∈N, {b_n}_n∈N, róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów, jeŜeli po opuszczeniu pewnej skończonej ilości początkowych wyrazów pierwszego z nich i pewnej skończonej ilości (niekoniecznie tej samej) początkowych wyrazów drugiego z nich otrzymujemy ten sam ciąg.

Np. ciągi

N

n n

n

 ∈





 −1

= 



 ,...

5 ,4 4 ,3 3 ,2 2 ,1

0 ;

N

n n

n

 ∈







+1 ⁼ 



 ,...

5 ,4 4 ,3 3 ,2 2

1 róŜnią się tylko skończoną ilością wyrazów

Granica ciągu w przestrzeni metrycznej

Zastępując d(x,y) przez |x – y| czytać moŜna ten rozdział jako granicę ciągu w zbiorze liczb

rzeczywistych

Definicja

Powiemy, Ŝe {x_n}_n∈N ciąg elementów przestrzeni metrycznej (X,d) jest zbieŜny, jeŜeli istnieje element x∈X taki, Ŝe

∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(xn,x) < ε Piszemy wtedy _n

n x

∞

lim→ = x. Element x∈X nazywamy wówczas granicą ciągu {xn}_n∈N. Mamy więc

(*)

_n

n x

∞

lim→

= x ≡ ∀ε >0 ∃ k ∈ R ∀ n ≥ k d(x

n

,x) < ε

W zbiorze R definicja ta przyjmuje postać

(*)

_n

n x

∞

lim→

= x ≡ ∀ε >0 ∃ k ∈ R ∀ n ≥ k |x

n

– x| < ε

ZauwaŜmy, Ŝe (*) zapisać moŜemy w postaci (*) _n

n x

∞

lim→ = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n∈N n≥k ⇒ d(xn,x) < ε Uwaga

Wobec powyŜszej definicji ciąg {xn}_n∈N jest zbieŜny jeŜeli posiada granicę. Granicą ciągu {x_n}_n∈N jest (o ile w ogóle istnieje) to element zbioru x o następującej własności:

• dla dowolnie wybranej liczby dodatniej ε, potrafimy wskazać taką liczbę rzeczywistą k, Ŝe dla indeksów wyrazów ciągu {xn}_n∈N większych niŜ k, wszystkie wyrazy ciągu spełniają juŜ nierówność d(x_n,x) < ε (leŜą w kuli K(x,ε) )

Wobec powyŜszej uwagi stwierdzamy, Ŝe na fakt ewentualnej zbieŜności ciągu {x_n}_n∈N nie ma wpływu Ŝadna początkowa skończona ilość wyrazów tego ciągu. Wynika stąd, Ŝe dwa ciągi róŜniące się tylko skończoną ilością wyrazów są albo jednocześnie zbieŜne (maja przy tym tę samą granicę), albo oba nie są zbieŜne.

Ciąg, który nie jest zbieŜny nazywać będziemy rozbieŜnym.

Odnotujmy powyŜsze spostrzeŜenia

Obserwacja 1

Dwa ciągi {x_n}_n∈N {y_n}_n∈N przestrzeni metrycznej róŜniące się tylko skończoną ilością wyrazów są jednocześnie albo rozbieŜne, albo zbieŜne i to do tej samej granicy.

W poniŜej formułowanych twierdzeniach załoŜenia i tezy będzie więc moŜna uogólniać (o ile będzie to miało sens) na przypadek ciągów róŜniących się tylko skończoną ilością wyrazów, co nie zawsze będziemy zapisywali.

Elementarne własności ciągów zbieŜnych w przestrzeniach metrycznych

Twierdzenie 1

KaŜdy ciąg stały w przestrzeni metrycznej jest zbieŜny. Dokładniej , niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech c∈X. Definiujemy ciąg {a_n}_n∈N elementów zbioru X:

∀n∈N an ≡ c. Wówczas _n

n a

∞

lim→ = c.

Dowód

Niech ε>0. Dla k≡1∈R i dowolnego n≥1 mamy d(an,c) = d(c,c) = 0 <ε. Tak więc _n

n a

∞

lim→ =c.

Uwaga

Zgodnie z Obserwacją 1 twierdzenie to moŜemy natychmiast uogólnić na wszystkie ciągi róŜniące się od ciągów stałych tylko skończoną ilością wyrazów, czyli na ciągi od pewnego miejsca stałe. ( dla c∈X ∃p∈n ∀n∈n an+p = c )

Twierdzenie 2 ( o jednoznaczności granicy)

KaŜdy ciąg zbieŜny posiada dokładnie jedną granicę.

Dowód

Niech {a_n}_n∈N będzie ciągiem zbieŜnym w p-ni (X,d). Istnieje wówczas g ≡ _n

nlim a

∞

→ ∈X i mamy (1) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(a_{n ,}g) < ε .

Przyjmijmy, Ŝe równieŜ p∈X jest granią ciągu {an}_n∈N. Wówczas (2) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(an ,p) < ε.

Przypuśćmy, Ŝe (3) p ≠ g.

Wówczas r ≡ d(p,g) > 0.

Dla liczby 1

2 r>0 wobec (1) i (2) istnieją k,m∈R takie, Ŝe (4) ∃k∈R n≥k ⇒ d(an ,g) < 1

2 r (5) ∃m∈R n≥m ⇒ d(an ,p) < 1

2 r.

Niech s ≡ max{k,m,1}. Niech c ≡ [s] + 1 > s. ZauwaŜmy, Ŝe

• c ≥ k ∧ c ≥ m ∧ c ≥ 1

• c∈N ( bo c jest liczbą całkowitą nie mniejszą niŜ 1)

W związku z tym dla liczby c prawdziwe są nierówności występujące w (4) i (5)

UwagaBędzie to bardzo często wykorzystywany motyw w dowodach twierdzeń związanych z granicami ciągów.

Mamy więc

(6) r = d(p,g) ≤ d(a_{c ,}g) + d(a_{c ,}p)

) 5 ( ), 4 ( < 1

2 r + 1

2 r = r ( r < r )

Uzyskana sprzeczność jest konsekwencją przypuszczenia (3) mamy więc p = g.

Definicja

Podzbiór B przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy ograniczonym jeŜeli zawarty jest on w pewnej kuli w tej przestrzeni, czyli gdy

(*) ∃a∈X ∃r>0 B ⊂ K(a,r) [ ∀x∈B d(a,x) < r ]

Definicja

Powiemy, Ŝe ciąg {x_n}_n∈N elementów przestrzeni metrycznej (X,d) jest ograniczony, jeŜeli ograniczony jest zbiór jego wyrazów, czyli wszystkie wyrazy tego jego zawarte są w pewnej kuli, co zapisać moŜemy

(*) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N x_n∈ K(a,r) ( d(x_n,a) < r)

Twierdzenie 3 (O ograniczoności ciągów zbieŜnych) KaŜdy ciąg zbieŜny jest ograniczony.

Dowód

Niech {xn}_n∈N będzie ciągiem zbieŜnym w p-ni metrycznej (X,d) i niech g∈X będzie jego granicą. Wówczas

(1) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(xn,g) < ε

W szczególności dla liczby 1 > 0 mamy (2) ∃k∈R ∀n≥k d(xn,g) < 1

Nierówności w (2) nie spełniają jedynie wyrazy ciągu {x_n}_n∈N, których indeksy są mniejsze niŜ k. Nie wykluczone przy tym, Ŝe nie ma takich wyrazów. Ma to miejsce, gdy k < 1. W przypadku, gdy k ≥ 1, to nierówności w (2) muszą spełniać wyrazy: x₁, x₂,…, x_[k]. Niech

(3) r ≡ max{ d(x1,g), d(x2,g),…, d(x[k],g), 1}

Oczywiście r ≥ 1 > 0 i mamy (4) ∀n∈N d(x_n,g) < r+1,

bo dla n ≥ k mamy wobec (2) d(x_n,g) < 1 ≤ r < r+1,

zaś dla n∈P([k]) d(xn,g) ≤ max{ d(x₁,g), d(x₂,g),…, d(x_[k],g), 1} = r < r+1.

W efekcie wskazaliśmy kulę K(g,r+1) do której naleŜą wszystkie wyrazy ciągu {x_n}_n∈N, co świadczy o jego ograniczoności.

Wniosek

JeŜeli ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) nie jest ograniczony, to jest rozbieŜny.

Lemat

Niech {kn}_n∈N - będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Wówczas:

(*) ∀n∈N kn ≥ n Dowód (indukcyjny)

dla n = 1 k₁ ≥ 1, bo k₁∈N ZałóŜmy, ze dla pewnego n∈N mamy (Z) k_n ≥ n

WykaŜemy, Ŝe (T) k_n+1 ≥ n+1

Istotnie. PoniewaŜ {k_n}_n∈N - jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to (1) ) k_n+1 > k_n

) ( Z≥ n Stąd k_n+1 > n, czyli (2) k_n+1 ≥ n+1.

Twierdzenie 4 (O podciągach ciągu zbieŜnego)

JeŜeli ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) jest zbieŜny do elementu g∈X, to kaŜdy podciąg tego ciągu jest zbieŜny do g∈X.

Dowód

ZałóŜmy, Ŝe ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) jest zbieŜny do elementu g∈X.

Wówczas

1. _n

n x

∞

lim→ = g [ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n∈N d(xn,g) < ε ] Niech

{ }

xk_{n nN}

∈ będzie dowolnym podciągiem ciągu {x_n}_n∈N. jak wiemy wówczas 2. {k_n}_n∈N - jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych

WykaŜemy, Ŝe (.) kn

n x

∞

lim→ = g czyli

(..) ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k d(x_kn,g) < ε Niech ε > 0. Z (1) mamy

3. ∃k∈R ∀n∈N d(xn,g) < ε

Niech n ≥ k. Wykorzystując lemat otrzymujemy kn ≥ n ≥ k, więc dla indeksu kn spełniona jest nierówność w (3) i mamy

4. d(

kn

x ,g) < ε,

co kończy dowód (..) i całego twierdzenia.

Wnioski:

1. JeŜeli ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) posiada dwa podciągi zbieŜne do róŜnych granic, to jest rozbieŜny.

2. JeŜeli ciąg {xn}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) posiada choć jeden ciąg rozbieŜny, to sam teŜ jest rozbieŜny.

Granica ciągów o wartościach rzeczywistych

W rozdziale tym rozwaŜać będziemy ciągi liczb rzeczywistych, czyli elementów przestrzeni (R,d_e). Uwzględniając definicję metryki d_e moŜemy napisać

(*) _n

n x

∞

lim→ = x ≡ ∀ε>0 ∃k∈R ∀n≥k | xn – x | < ε

Przykład 1

Wykazać, Ŝe 2

3 n 2

n 4 lim 1

n =−

+

−

∞

→ .

Dowód

Niech ε>0. Dla ustalonego n∈N nierówność 2 3 n 2

n 4

1 +

+

− < ε równowaŜna jest następującym:

-ε < 7

2n+3 ∧ 7

2n+3 < ε . Pierwszą z nich spełnia kaŜda liczba naturalna, druga jest prawdziwa dla n > 1

2 (7

ε -3). Obie są więc prawdziwe dla n ≥ k ≡ 1 2 (7

ε -3).

Tak więc dla dowolnie wybranej liczby ε>0 wskazaliśmy liczbę k∈R taką, Ŝe dla wszystkich n≥k spełniona jest nierówność: 2

3 n 2

n 4

1 +

+

− < ε, czyli 2

3 2

4

lim 1 =−

+

−

∞

→ n

n

n .

Przykład 2

Wykazać, Ŝe ciąg {(-1)ⁿ}_n∈N jest rozbieŜny.

Dowód

PoniewaŜ {2n}_n∈N ; {2n – 1}_n∈N są rosnącymi ciągami liczb naturalnych, więc ciągi

{x_n}_n∈N ≡{(-1)²ⁿ}_n∈N = { 1 }_n∈N oraz {y_n}_n∈N ≡{(-1)^2n-1}_n∈N = { -1 }_n∈N są podciągami ciągu {(-1)ⁿ}_n∈N . Mamy

n xn

∞

lim→ = lim1

∞

→

n = 1 ≠ lim−1

∞

→

n = _n

n y

∞

lim→

Wskazaliśmy więc dwa podciągi ciągu {(-1)ⁿ}_n∈N zbieŜne do róŜnych granic, co oznacza, Ŝe ciąg {(-1)ⁿ}_n∈N jest rozbieŜny

Uwaga

W rozwaŜaniach związanych z granicami ciągów rzeczywistych duŜe znaczenie będzie miała ich ograniczoność, dlatego zajmiemy się poniŜej bliŜej warunkiem ograniczoności ciągów w (R,d_e)

Przypomnijmy, Ŝe ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (X,d) nazwaliśmy ograniczonym, gdy (*) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N xn∈ K(a,r) ( d(xn,a) < r)

Dla d = de warunek (*) przyjmuje postać

(**) ∃a∈X ∃r>0 ∀n∈N | x_n – a| < ε ( - ε + a < x_n < a + ε. ) Wynika stąd, Ŝe

(***) ∃ m,M∈R ∀ n∈N m < x_n < M

Łatwo sprawdzić (co pozostawię jako ćwiczenie czytelnikom), ze warunek (***) jest z kolei równowaŜny warunkowi

(****) ∃ M > 0 ∀n∈N | x_n | < M.

Ten ostatni warunek zapiać moŜemy jako ∃ M > 0 ∀n∈N | xn – 0 | < M i odczytać jak poniŜej (*****) ∀n∈N x_n∈ K(0,M) (i tu kółeczko się zamknęło – wystartowaliśmy od kuli i na niej skończyliśmy) Z powyŜszych warunków ograniczoności będziemy korzystali w dalszej części wykładu.

Zwróćmy jeszcze uwagę, Ŝe ciąg z przykładu 2 jest ograniczony, ale nie jest zbieŜny.

Definicja

Powiemy, Ŝe ciąg {x_n}_n∈N elementów p-ni metrycznej (R,d_e) jest ograniczony z góry (z dołu) jeŜeli

(*) ∃M > 0 ∀n∈N xn < M ( - M < xn ) Uwaga

Oczywiście kaŜdy ciąg ograniczony {xn}_n∈N⊂ R jest ograniczony z góry i z dołu.

Oczywiście teŜ ciąg {xn}_n∈N ⊂ R jest ograniczony wtedy i tyko wtedy gdy jest ograniczony z góry i z dołu.

***

W przestrzeni (R,d_e) zdefiniujemy dodatkowo jeszcze tak zwane granice niewłaściwe.

Definicja

Niech {a_n}_n∈N⊂ R. Definiujemy (*) _n

n a

∞

lim→ = ∞≡∀M > 0 ∃k∈N ∀n ≥ k a_n > M (**) _n

n a

∞

lim→ = – ∞≡∀M > 0 ∃k∈N ∀n ≥ k a_n < – M

W obu powyŜszych przypadkach widać, Ŝe ciąg {a_n}_n∈N⊂ R jest nieograniczony a więc jest rozbieŜny.

O ciągu spełniającym warunek (*) mówimy, Ŝe jest rozbieŜny do nieskończoności a o ciągu spełniającym warunek (**), ze jest rozbieŜny do minus nieskończoności. Symbole – ∞ , ∞ nazywamy granicami niewłaściwymi.

Uwaga

Ciąg {an}_n∈N⊂ R moŜe być:

• zbieŜny. Wówczas istnieje _n

n a

∞

lim→ ∈R

• rozbieŜny do ∞ (lub - ∞). Wówczas _n

n a

∞

lim→ = ∞ ( _n

n a

∞

lim→ = – ∞ ) (ma granicę niewłaściwą)

• rozbieŜny (nie ma granicy ani właściwej, ani niewłaściwej)

Umowy

• R ≡ R ∪ { – ∞ , ∞ }

• zapis _n

n a

∞

lim→ = a ∈R – oznacza, Ŝe ciąg {an}_n∈N ⊂ R jest zbieŜny i a ∈R jest jego granicą.

• zapis _n

n a

∞

lim→ = a ∈R – oznacza, Ŝe ciąg {an}_n∈N ⊂ R ma granicę właściwą lub nie (niekoniecznie jest zbieŜny)

• zapis _n

n a

∞

lim→ = a ∈R \R – oznacza, Ŝe ciąg {an}_n∈N ⊂ R ma granicę niewłaściwą (jest rozbieŜny do ± ∞)

Przykład

Wykazać, Ŝe

3 n 2 lim n

2

n→∞ + = ∞. Dowód

Niech M∈R₊. Dla ustalonego n∈N nierówność 3 n 2

n²

+ > M równowaŜna jest następującej n²-2nM-3M>0.

Ta ostatnia jest prawdziwa dla n>3M (bo n > 0). Tak więc dla dowolnie wybranego M∈R wskazaliśmy liczbę k ≡ 3M taką, Ŝe dla wszystkich n ≥ k spełniona jest nierówność

3 n 2

n²

+ > M, czyli

3 n 2 lim n

2

n→∞ + = ∞.

Twierdzenie

Dla dowolnego ciągu {a_n}_n∈N ⊂ R jeŜeli _n

n a

∞

lim→ = ∞ [ _n

n a

∞

lim→ = – ∞ ], to kaŜdy podciąg tego ciągu ma granicę równą ∞ [ – ∞ ]

Dowód (samodzielnie – analogiczny do twierdzenia o podciągach ciągów zbieŜnych)

Własności granic ciągów liczb rzeczywistych

Twierdzenie 1( o ciągłości modułu) JeŜeli _n

n

a

lim→∞ = a ∈R , to lim |a_n |

n→∞ = |a|.

Dowód

Niech ε>0. Wobec _n

nlim a

∞

→ = a ∈R mamy (1) ∃k∈R ∀n≥ k | a_n –a |<ε.

Niech n≥k. Mamy | an | = |an-a+a| ≤ |an-a| +|a|, czyli |an| - |a| ≤ |an - a|.

Oraz |a| = |a - a_n + a_n| < |a - a_n| + |a_n|, czyli |a| - |a_n| ≤ |a_n-a|.

Tak więc dla wskazanej w (1) liczby k∈R i dowolnie wybranego n≥k mamy

||an| - |a|| ≤ |an-a|<ε. Stąd teza.

Twierdzenie 2 ( o ciągłości działań arytmetycznych) Niech _n

n a

∞

lim→ = a i _n

n b

∞

lim→ = b i niech obie te granice będą skończone. Wówczas:

(S) lim( _{n n})

n a +b

∞

→ = a + b.

(M) lim( _{n n})

n a b

∞

→ = ab.

(D) JeŜeli ∀n∈N bn≠ 0 ∧ b ≠ 0, to lim( )

n n

n b

a

∞

→ = a

b . Dowód

Ad M) Niech ε>0.

PoniewaŜ ciąg {b_n}_n∈N jest zbieŜny, to jest ograniczony mamy (1) ∃ M > 0 ∀n∈N |bn| ≤ M.

Niech r ≡ ε

|M|+|a| >0.

PoniewaŜ _n

n a

∞

lim→ = a i _n

n b

∞

lim→ = b, to dla liczby r >0 mamy (2) ∃p∈R ∀n≥p |an – a| < r

(3) ∃s∈R ∀n≥s |b_n – b| < r.

Definiujemy k ≡ max{p,s}. Niech n ≥ k. Mamy

|anbn – ab| = | anbn – abn + abn – ab| ≤ |an – a||bn| + |a||bn – b| ≤ |an – a|M + |a||bn – b| < rM + r|a| = ε. Stąd teza.

Dowód (S) samodzielnie, dowód (D) będzie na ćwiczeniach.

Wniosek

Niech c∈R. Wówczas jak wiadomo w dowolnej przestrzeni metrycznej c

nlim→∞ = c. Zatem jeŜeli

n an

∞

lim→ = a ∈R, to na mocy powyŜszego twierdzenia (M) mamy

(C) _n

n ca

∞

lim→ = ca = c^. _n

n a

∞

lim→

Wykorzystując (C) i część (D) twierdzenia dla c = -1 jeŜeli _n

n b

∞

lim→ = b∈R, to lim( _{n n})

n a −b

∞

→ = a – b .

Definicja

Niech ∅≠ D ⊂ R. Funkcję sgn:D→R zdefiniowaną

∀x∈D sgn(x) ≡







<

−

=

>

0 x 1

0 x 0

0 x 1

nazywamy znakiem liczby.

Umowa: -1∞ = ∞ ; 1∞ = ∞. sgn(∞)=1 ; sgn(-∞) = -1.

Twierdzenie 3 ( o symbolach granic) Niech _n

nlim a

∞

→ = a i _n

nlim b

∞

→ = b (nie wykluczamy przy tym , Ŝe jedna lub nawet obie te granice są nieskończone. Wówczas:

(S) JeŜeli a = ∞ = b lub a = ∞∧ |b|<∞, to lim(a_n b_n)

n +

∞

→ = ∞. (Mamy tu do czynienia z symbolem {∞+∞} = ∞) (S-) JeŜeli a =- ∞ = b lub a = -∞∧ |b|<∞, to lim(a_n b_n)

n +

∞

→ = -∞. (Mamy tu do czynienia z symbolem {-∞-∞} = -∞)

(M) JeŜeli a = ∞∧ 0<|b|<∞, to lim(a_nb_n)

n→∞ = sgn(b)∞. (Mamy tu do czynienia z symbolem {∞b}=sgn(b)∞) (M∞) JeŜeli |a| = ∞∧ |b| = ∞, to lim(a_nb_n)

n→∞ = sgn(a)sgn(b)∞.

(Mamy tu do czynienia z symbolem {∞^. ∞}= ∞ lub {-∞^. ∞}= -∞ lub {-∞(-∞)} = ∞ ).

Dowód (w internetowej wersji rozszerzonej )

Wniosek

Z symboli wymienionych w twierdzeniu 3 od razu moŜemy wnioskować o granicy ciągu.

Uwaga

JeŜeli _n

nlim a

∞

→ = ∞∞ i ∞∞ _n

nlim b

∞

→ = -∞∞∞, to w granicy ∞ lim(a_n b_n)

n +

∞

→ mamy do czynienia z symbolem {∞∞∞∞-∞∞∞∞}.

Piszemy wówczas lim(a_n b_n)

n +

∞

→ ={∞∞∞-∞∞∞∞∞}. Jest to tzw. symbol nieoznaczony. ZauwaŜmy, Ŝe dla dowolnego k∈∈∈∈R mamy lim((n k) n)

n + −

∞

→ = {∞∞∞∞-∞∞∞∞} = k. Zatem z samego symbolu {∞∞∞∞-∞∞∞} nie moŜemy wnioskować o granicy ∞ tego ciągu. MoŜna dobrać ciągi równieŜ tak, by granica ta była równa ∞∞∞∞ lub -∞∞∞, np. k = n lub k = - n. ∞

Podobnie jest w przypadku symboli: {0∞∞∞} , {∞ ^∞∞∞∞_∞∞∞∞ }. Te równieŜ nazywamy symbolami nieoznaczonymi.

Poznamy wkrótce jeszcze inne symbole nieoznaczone.

Twierdzenie 4 (O trzech ciągach)

Niech dane będą trzy ciągi {a_n}_n∈N , {b_n}_n∈N , {c_n}_n∈N dla których spełniony jest warunek:

∃k∈R ∀n∈N n≥k ⇒ a_n ≤ b_n ≤ c_n. JeŜeli _n

nlim a

∞

→ = g = _n

nlim c

∞

→ , to _n

nlim b

∞

→ = g ∈ R .

Dowód (tu pomijamy) [ umawiamy się w tym miejscu, Ŝe ∀a∈R - ∞ < a < ∞∧ - ∞ < ∞ ]

Twierdzenie 5 (O przechodzeniu do granicy w nierównościach) Niech {a_n}_n∈N , {b_n}_n∈N będą ciągami spełniającymi warunek

∀n∈N (a_n ≤ b_n ∨ a_n < b_n ) ∧ _n

n

a

lim→∞ = a ∈R i _n

n

b

lim→∞ = b∈R . Wówczas a ≤ b czyli _n

n a

∞

lim→ ≤ _n

n b

∞

lim→ .

Dowód (samodzielnie).( Patrz np. Kołodziej str. 36)

Uwaga. JeŜeli ∀n∈N a_n < b_n, to dla granic mamy nadal nierówność a ≤ b.

Np. ∀n∈N 1+ ¹_n < 1+ ²_n i

n 1 1 lim

n +

∞

→ = 1 =

n 1 2 lim

n +

∞

→ .

***

Przypomnijmy , Ŝe liczbę g (liczbę d) nazywamy kresem górnym (dolnym) niepustego i ograniczonego z góry (dołu) zbioru D⊂R (oznaczenia g = supD ; d = infD) jeŜeli

(*) g = supD ≡ ∀ε>0 ∀x∈D x ≤ g ∧∃y∈D g – ε < y ≤ g (**) d = infD ≡ ∀ε>0 ∀x∈D d ≤ x ∧∃y∈D d ≤ y ≤ d + ε

Ponadto przyjmujemy, ze dla zbioru nieograniczonego z góry (dołu) supD ≡∞ ; infD ≡ - ∞. JeŜeli supD ∈ D, to supremum zbioru D nazywamy maksimum zbioru D i piszemy maxD ≡ supD.

JeŜeli infD ∈ D, to infimum zbioru D nazywamy minimum zbioru D i piszemy minD ≡ infD.

Definicja

Kresem górnym (dolnym) ciągu {a_n}_n∈N⊂ R nazywamy kres górny (dolny) zbioru jego wartości. Mamy więc w przypadku, gdy {a_n}_n∈N jest ograniczony a góry (z dołu (**) )

(*) g = sup{an}_n∈N≡ ∀ε>0 ∀n∈N an ≤ g ∧∃s∈N g – ε < as ≤ g (**) d = sup{a_n}_n∈N≡ ∀ε>0 ∀n∈N a_n ≤ g ∧∃s∈N d < a_s ≤ d + ε

Dla ciągu {a_n}_n∈N⊂ R nieograniczonego z góry (dołu) sup{a_n}_n∈N≡ ∞ ; inf{a_n}_n∈N≡ -∞.

Twierdzenie 6 (O granicy ciągów monotonicznych)

KaŜdy ciąg monotoniczny posiada granicę (niekoniecznie skończoną). Dokładniej jeŜeli:

(a) ciąg {a_n}_n∈N jest niemalejący, to _n

n a

∞

lim→ = sup{a_n}_n∈N ∈R (b) ciąg {a_n}_n∈N jest nierosnący, to _n

n a

∞

lim→ = inf{a_n}_n∈N∈R Dowód … (w wersji rozszerzonej)

Wniosek

KaŜdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieŜny. (Ciąg monotoniczny jest zbieŜny ⇔ jest ograniczony)

Istotnie, jeŜeli ciąg {an}_n∈N jest ograniczony to istnieją jego (skończone) kresy (czyli liczby rzeczywiste) i mamy

(a) jeŜeli ciąg {a_n}_n∈N jest niemalejący, to _n

n

a

lim→∞ = sup{a_n}_n∈N∈R (b) jeŜeli ciąg {an}_n∈N jest nierosnący, to _n

nlim a

∞

→ = inf{an}_n∈N∈R.

JeŜeli ciąg monotoniczny nie jest ograniczony , to w przypadku gdy jest on niemalejący mamy sup{a_n}_n∈N = ∞ (bo z dołu ogranicza go pierwszy wyraz), zaś gdy jest nierosnący mamy inf{an}_n∈N = -∞.

Twierdzenie 7 (Bolzano – Weiersrassa) [B-W]

KaŜdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg zbieŜny.

Dowód poprzedzimy lematem Lemat

KaŜdy ciąg liczb rzeczywistych posiada podciąg posiadający granicę (skończoną lub nie).

Dowód (lematu w wersji rozszerzonej)

Wniosek

KaŜdy ciąg {a_n}_n∈N⊂ R posiada podciąg monotoniczny.

Dowód (twierdzenia B-W)

Niech {an}_n∈N będzie ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych i niech

{ }

ak_{n n N}

∈ będzie jego podciągiem monotonicznym. Ciąg

{ }

akn _nN

∈ jest oczywiście ograniczony zatem ma na mocy twierdzenia o granicy ciągu monotonicznego skończoną granicę, czyli jest zbieŜny.

Granice pewnych specjalnych ciągów liczb rzeczywistych

Twierdzenie 8

• ∀a∈R₊ mamy ^a

n n

∞

lim→ = + ∞ i

n na

lim 1

∞

→ = 0.

• ∀k∈N _n

n a

∞

lim→ = a ⇒ _n^k

n a

∞

lim→ = a^k.

• ∀a∈R₊

! n lim a

n

n→∞ = 0

• ∀a∈R ⁿ

nlim a

∞

→ = 1 ∧ ⁿ

nlim n

∞

→ = 1

• JeŜeli dla pewnego ciągu {an}_n∈N liczb nieujemnych 0 < _n

nlim a

∞

→ < ∞, to ⁿ _n

nlim a

∞

→ = 1

• ∀q∈R











−

≤

>

∞

=

<

∞ =

→

1 q dla . istn nie

1 q dla

1 q dla 1

1

| q

| dla 0

q lim ⁿ

n

•

n

n n

1 1

lim 



 



 +

∞

→ = e , gdzie e jest pewną liczbą niewymierną, której przybliŜona wartość wynosi 2,72 .

• JeŜeli _n

nlim a

∞

→ = ±∞, to

an

n an

1 1

lim 







 +

∞

→ = e. ZauwaŜmy, Ŝe mamy tu do czynienia z symbolem granicy {1^∞}.

Niektóre z dowodów tych twierdzeń będą na ćwiczeniach. Pozostałe znaleźć moŜna w podręczniku W. Kołodzieja lub wersji rozszerzonej.

Z powyŜszych twierdzeń naleŜy korzystać „jak z tabliczki mnoŜenia”.

WaŜne przykłady

1) Niech m∈N i a_m≠0. Wówczas

∞

→

nlim a_mn^m+a_m-1n^m-1+ ... + a₁n+a_o =

∞

→

nlim n^m (a_m+a_m-1¹_n+ ... + a₁

1

nm

1

− +a_o nm

1 )= {∞a_m} = sgn(a_m)∞.

Wniosek: Granica wielomianu zmiennej naturalnej wynosi ∞ gdy współczynnik przy jego najwyŜszej potędze jest dodatni i - ∞ w przeciwnym wypadku. Z wniosku tego jak z tabliczki mnoŜenia

korzystać naleŜy.

2) Niech m∈N i a_m>0. Wówczas

n m-1 1 o

1 - m m

nlim amn +a n +...+a n+a

∞

→ = ⁿ

o m 1

- m m n m

n n

a 1 n ...

a 1 a ) n (

lim + + +

∞

→ = {1^.1} = 1

Wniosek: Granica pierwiastka stopnia n-tego wielomianu zmiennej naturalnej wynosi zawsze 1.

3)

n 7

n 2n 5

3 n

lim 2 



 





− +

∞

→ = {1^∞} =

27 5

5 n 2

27 3

3 n 2

n

5 n 2 1 1

3 n 2 1 1

lim ₋

∞ −

→









































− +











































 +

= ^{2 18}

35 2 21

e

e ⁺ =

4) Nie istnieją granice ciągów: {sin(n^π₂)}_n∈N {(-1)ⁿ}_n∈N, bowiem kaŜdy z nich posiada podciągi zbieŜne do róŜnych granic.