Miejsca zerowe

(1)

Miejsca zerowe

(2)

Musimy umieć sprawnie znajdować miejsca zerowe danej funkcji kwadratowej korzystając ze odpowiednich wzorów.

(3)

Liczba miejsc zerowych

Funkcja kwadratowa y = ax²+ bx + c ma dwa miejsca zerowe, jeśli ∆ > 0, ma jedno miejsce zerowe, jeśli ∆ = 0, nie ma miejsc zerowych, jeśli ∆ < 0, gdzie ∆ = b²− 4ac.

(4)

Przykłady 1

Oblicz, ile miejsc zerowych mają poniższe funkcje kwadratowe

a) y = x²+ 3x − 1 Współczynniki: a = 1, b = 3, c = −1. Obliczamy

∆ = 3²− 4(1)(−1) = 9 + 4 = 13 > 0. Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

b) y = 2x²− 3x + 5 Współczynniki: a = 2, b = −3, c = 5. Obliczamy

∆ = (−3)²− 4(2)(5) = 9 − 40 = −31 < 0. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

c) y = 3x²+ 6x − 2 Współczynniki: a = 3, b = 6, c = −2. Obliczamy

(5)

Przykłady 1

a) y = x²+ 3x − 1

Współczynniki: a = 1, b = 3, c = −1. Obliczamy

(6)

Przykłady 1

a) y = x²+ 3x − 1 Współczynniki: a = 1, b = 3, c = −1.

Obliczamy

(7)

Przykłady 1

∆ = 3²− 4(1)(−1) = 9 + 4 = 13 > 0.

Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

(8)

Przykłady 1

(9)

Przykłady 1

b) y = 2x²− 3x + 5

Współczynniki: a = 2, b = −3, c = 5. Obliczamy

(10)

Przykłady 1

b) y = 2x²− 3x + 5 Współczynniki: a = 2, b = −3, c = 5.

Obliczamy

(11)

Przykłady 1

∆ = (−3)²− 4(2)(5) = 9 − 40 = −31 < 0.

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

(12)

Przykłady 1

(13)

Przykłady 1

c) y = 3x²+ 6x − 2

Współczynniki: a = 3, b = 6, c = −2. Obliczamy

(14)

Przykłady 1

c) y = 3x²+ 6x − 2 Współczynniki: a = 3, b = 6, c = −2.

Obliczamy

(15)

Przykłady 1

∆ = 6²− 4(3)(−2) = 36 + 24 = 60 > 0.

(16)

Przykłady 1

(17)

Przykłady 2

a) y = 5 − x − x² Współczynniki: a = −1, b = −1, c = 5. Obliczamy

∆ = (−1)²− 4(−1)(5) = 1 + 20 = 21 > 0. Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

b) y = 4x − 5x² Współczynniki: a = −5, b = 4, c = 0. Obliczamy

∆ = (4)²− 4(−5)(0) = 16 − 0 = 16 > 0. Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

c) y = 8 + 3x² Współczynniki: a = 3, b = 0, c = 8. Obliczamy

∆ = 0²− 4(3)(8) = 0 − 96 = −96 < 0. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

(18)

Przykłady 2

a) y = 5 − x − x²

Współczynniki: a = −1, b = −1, c = 5. Obliczamy

(19)

Przykłady 2

a) y = 5 − x − x² Współczynniki: a = −1, b = −1, c = 5.

Obliczamy

(20)

Przykłady 2

∆ = (−1)²− 4(−1)(5) = 1 + 20 = 21 > 0.

(21)

Przykłady 2

(22)

Przykłady 2

b) y = 4x − 5x²

Współczynniki: a = −5, b = 4, c = 0. Obliczamy

(23)

Przykłady 2

b) y = 4x − 5x² Współczynniki: a = −5, b = 4, c = 0.

Obliczamy

(24)

Przykłady 2

∆ = (4)²− 4(−5)(0) = 16 − 0 = 16 > 0.

(25)

Przykłady 2

(26)

Przykłady 2

c) y = 8 + 3x²

Współczynniki: a = 3, b = 0, c = 8. Obliczamy

(27)

Przykłady 2

c) y = 8 + 3x² Współczynniki: a = 3, b = 0, c = 8.

Obliczamy

(28)

Przykłady 2

∆ = 0²− 4(3)(8) = 0 − 96 = −96 < 0.

Funkcja nie ma miejsc zerowych.

(29)

Przykłady 2

(30)

Miejsca zerowe

Jeśli dla danej funkcji kwadratowej y = ax²+ bc + c, ∆ 0, to miejscami zerowymi tej funkcji są:

x = −b ±√

∆ 2a

(31)

Przykłady 3

Oblicz miejsca zerowe poniższych funkcji:

a) y = x²+ 3x + 2

Współczynniki: a = 1, b = 3, c = 2. ∆ = 1 > 0. Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

b) y = x²− 6x + 5 Współczynniki: a = 1, b = −6, c = 5. ∆ = 16 > 0. Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

c) y = 2x²+ 5x − 3 Współczynniki: a = 2, b = 5, c = −3. ∆ = 49 > 0. Miejsca zerowe

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(32)

Przykłady 3

a) y = x²+ 3x + 2 Współczynniki: a = 1, b = 3, c = 2.

∆ = 1 > 0. Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(33)

Przykłady 3

a) y = x²+ 3x + 2 Współczynniki: a = 1, b = 3, c = 2. ∆ = 1 > 0.

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(34)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2

x1= −1, x2 = −2.

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(35)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(36)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

b) y = x²− 6x + 5

Współczynniki: a = 1, b = −6, c = 5. ∆ = 16 > 0. Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(37)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

b) y = x²− 6x + 5 Współczynniki: a = 1, b = −6, c = 5.

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(38)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

b) y = x²− 6x + 5 Współczynniki: a = 1, b = −6, c = 5. ∆ = 16 > 0.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(39)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2

x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(40)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(41)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

c) y = 2x²+ 5x − 3

Współczynniki: a = 2, b = 5, c = −3. ∆ = 49 > 0. Miejsca zerowe

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(42)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

c) y = 2x²+ 5x − 3 Współczynniki: a = 2, b = 5, c = −3.

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(43)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

c) y = 2x²+ 5x − 3 Współczynniki: a = 2, b = 5, c = −3. ∆ = 49 > 0.

Miejsca zerowe

x = −5 ±√ 49 4 x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(44)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

Miejsca zerowe

x = −5 ±√ 49

x₁= ¹₂, x₂ = −3.

(45)

Przykłady 3

Miejsca zerowe

x = −3 ±√ 1 2 x1= −1, x2 = −2.

Miejsca zerowe

x = 6 ±√ 16 2 x1= 5, x2 = 1.

Miejsca zerowe √

(46)

Wejściówka

Na wejściówkę trzeba umieć znaleźć miejsca zerowe danej funkcji kwadratowej.

(47)

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.