Wyznacz wszystkie funkcje rzeczywiste f : R → R speªniaj¡ce równanie 2f (x) + f (1 − x) = x + 7

LIGA MATEMATYCZNA im. Zdzisªawa Matuskiego

FINAŠ 26 marca 2019

SZKOŠA PONADPODSTAWOWA

ZADANIE 1.

Wyznacz wszystkie funkcje rzeczywiste f : R → R speªniaj¡ce równanie 2f (x) + f (1 − x) = x + 7

dla ka»dej liczby rzeczywistej x.

ZADANIE 2.

Ania napisaªa kilka kolejnych liczb naturalnych. W±ród nich s¡ trzy liczby pierwsze, trzy liczby podzielne przez 3 i trzy liczby parzyste. Ile co najwy»ej mo»e by¢ równa suma liczb napisanych przez Ani¦?

ZADANIE 3.

Znajd¹ wszystkie trójki liczb rzeczywistych (x, y, z) speªniaj¡ce ukªad równa«

( x

+ y

+ z

= 14 x + 2y + 3z = 14.

ZADANIE 4.

Czy liczba sze±ciocyfrowa, której cyframi s¡ liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ka»da u»yta jeden raz) mo»e by¢ podzielna przez 11?

ZADANIE 5.

Pole trójk¡ta ABC jest równe p. Odcinek DE równolegªy do AB odcina trójk¡t o polu q. Niech F b¦dzie dowolnym punktem le»¡cym na podstawie AB. Oblicz pole czworok¡ta DF EC.

ZADANIE 6.

Wyka», »e je»eli liczby dodatnie a, b, c speªniaj¡ warunek abc = 1, to 1

1 + a

b + 1

1 + bc

= 1.

ZADANIE 7.

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych (p, q, r) speªniaj¡ce ukªad równa«

( q = p

+ 6

r = q

+ 6.