Teoria liczb – podstawy
Mateusz Rapicki 19 października 2017
Definicja (Podzielność). Jeżeli b/a jest liczbą całkowitą, to mówimy że a jest dzielnikiem b (równoważnie: a dzieli b lub b jest podzielna przez a lub też b jest wielokrotnością a). Zapisujemy to jako a|b.
Uwaga (Podstawowe własności podzielności). • Jeżeli a|b oraz b|c, to a|c.
• Jeżeli d|a oraz d|b, to d|ax + by dla dowolnych liczb x, y. W szczególności d|a + b oraz d|a − b.
• Jeżeli w równości a + b = c pewne dwie spośród liczb a, b, c są podzielne przez d, to trzecia z nich również jest podzielna przez d.
Definicja (Dzielenie z resztą). Jeśli a = bq + r, gdzie 0 ¬ r < b, to q nazywamy ilorazem z dzielenia a przez b, zaś r nazywamy resztą z dzielenia a przez b. Iloraz i reszta są wyznaczone jednoznacznie.
Definicja (Liczby pierwsze). Liczbę p > 1 nazywamy pierwszą, jeśli ma tylko dwa dodatnie dzielniki.
Uwaga (Podstawowa własność liczb pierwszych). Jeśli p jest pierwsza oraz p|ab, to p|a lub p|b. Innymi słowy, jeśli liczba pierwsza jest dzielnikiem pewnego iloczynu, to jest też dzielnikiem co najmniej jednego z czynników.
Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Każdą dodatnią liczbę całkowitą można jednoznacznie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Definicja (Liczby względnie pierwsze). Największy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczamy przez NWD(a, b).
Jeżeli NWD(a, b) = 1, to mówimy, że liczby a i b są względnie pierwsze.
Twierdzenie (Warunek równoważny definicji NWD). Dla danych a, b najmniejszą liczbą dodatnią, którą można przedstawić w postaci ax + by jest NWD(a, b).
Wniosek. Liczby a i b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy równanie ax + by = 1 ma rozwiązania.
Definicja (Kongruencje). Mówimy, że a przystaje do b modulo n, gdy n|a−b. Zapisujemy to jako a ≡ b (mod n).
Innymi słowy, a ≡ b (mod n) wtedy i tylko wtedy, gdy a i b dają tę samą resztę z dzielenia przez n.
Uwaga (Podstawowe własności przystawania). • Kongruencje, podobnie jak zwykłe równania, możemy do- dawać, odejmować i mnożyć stronami. Konkretnie, jeżeli a ≡ c (mod n) oraz b ≡ d (mod n), to również a + b ≡ c + d (mod n), a − b ≡ c − d (mod n), ab ≡ cd (mod n).
• Kongruencje można również, pod pewnymim warunkami, dzielić. Konkretnie, jeżeli NWD(c, n) = 1 oraz ac ≡ bc (mod n), to również a ≡ b (mod n).
Definicja (Funkcja φ Eulera). Przez φ(n) oznaczamy liczbę tych liczb ze zbioru {1, 2, ..., n}, które są względnie pierwsze z n.
Uwaga (Podstawowe własności funkcji Eulera). • Oczywiście, φ(1) = 1.
• Oczywiście, jeśli p jest pierwsza, to φ(p) = p − 1.
• Jeśli NWD(a, b) = 1, to φ(ab) = φ(a)φ(b).
1
