Zadania resztowe
Mateusz Rapicki 25 października 2017
Zadania związane z twierdzeniem o resztach.
1. Danych jest 7 liczb tworzących ciąg arytmetyczny o różnicy 10. Dowieść, że dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 7. Jaką szczególną własność mają liczby 7 i 10, że to działa? Zapisać ogólniejsze sformułowanie tego zadania.
2. Udowodnić, że NWD(a, b) = NWD(a − b, b). Wywnioskować stąd, że to, czy dwie liczby są względnie pierwsze można poznać patrząc jedynie na resztę z dzielenia jednej przez drugą.
3. Udowodnić multiplikatywność funkcji φ Eulera, czyli że dla dowolnych liczb a, b względnie pierwszych mamy φ(ab) = φ(a)φ(b).
Zadania do zabawy kongruencjami.
4. (2OM/1/5) Dowieść, że 7|169n+ 6 dla wszystkich n ∈ N.
5. (4OM/1/4) Dowieść, że 11|255+ 1.
6. (6OM/1/10) Dowieść, że 10|5353− 3333.
7. (8OM/2/1) Dowieść, że 120|n5− 5n3+ 4n dla wszystkich n ∈ N.
8. (12OM/1/9) Dowieść, że 21|24n+ 5 dla wszystkich n ∈ N.
Zadania na własności podzielnościowe kwadratów i sześcianów.
9. (9OM/3/1) Dowieść, że 504|(n3− 1)n3(n3+ 1) dla wszystkich n ∈ N.
10. (7OM/3/4) Dowieść, że jeśli liczby a, b, c spełniają równanie a2+ b2= c2, to:
(a) co najmniej jedna z liczb a, b jest podzielna przez 3, (b) co najmniej jedna z liczb a, b jest podzielna przez 4, (c) co najmniej jedna z liczb a, b, c jest podzielna przez 5.
1
