4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym (O19)
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego kryształu koloidal- nego metodą dyfrakcji światła laserowego.
Zagadnienia do przygotowania:
– struktura krystaliczna (sieć przestrzenna, baza);
– komórka elementarna, komórka prosta;
– podstawowe rodzaje sieci dwuwymiarowych;
– sieć odwrotna;
– monokryształy i polikryształy;
– dyfrakcja promieniowania elektromagnetycznego na kryształach (prawo Bragga, równania Lauego, konstrukcja Ewalda);
– wykonanie w postaci pisemnej trzech zadań z podrozdziału 4.15.1.
Literatura podstawowa: [26] rozdział 1 i 2; literatura dodatkowa: [34], [33], [32].
4.15.1 Podstawowe pojęcia i definicje Sieć przestrzenna
Klasyczna definicja kryształu mówi, że jest to ciało stałe, którego gęstość ρ (~r) jest funkcją niezmienniczą względem przesunięcia o wektor sieci przestrzennej tj. ρ (~r) = ρ
~r+ ~L
. Wektor ~L = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 jest wektorem sieci przestrzennej (sieci rzeczywistej, sieci krystalicznej), gdzie ~a1, ~a2, ~a3 są wektorami bazowymi sieci prze- strzennej (nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie), a n1, n2, n3 są liczbami całkowitymi (rysunek 4.15.1). Wektory bazowe sieci definiują komórkę elementarną, czyli elementar- ną przestrzeń kryształu, której motyw (tj. rozmieszczenie atomów) jest periodycznie powtarzany w całym krysztale. Dlatego, aby opisać strukturę kryształu, wystarczy znać:
– parametry komórki elementarnej, tj. długości wektorów bazowych oraz kąty mię- dzy nimi,
– motyw komórki elementarnej tego kryształu.
W badanym koloidalnym heksagonalnym krysztale 2-wymiarowym komórka ele- mentarna jest rombem, którego boki tworzą kąt 120◦. Komórka elementarna tego krysz- tału ma tylko jeden parametr – długość boku (oznaczany jako a), którego wyznaczenie jest celem ćwiczenia.
Sieć odwrotna
Płaszczyzny sieciowe, tj. płaszczyzny przechodzące przez węzły sieci przestrzennej, określają zewnętrzne ściany kryształu. Kierunki prostopadłe do tych płaszczyzn (oraz do ścian) są określone przez wektory sieci odwrotnej ~L∗= h1~a∗1+ h2~a∗2+ h3~a∗3 (rysunek
L*=h .a * + h .a * + h .a *1 1 2 2 3 3
L=n .a + n .a + n .a1 1 2 2 3 3
a
2a
1a
1a
3a
2Rys. 4.15.1: Trójwymiarowa i dwuwymiarowa sieć krystaliczna.
4.15.1). Wektory sieci odwrotnej określają także kierunki promieniowania rozproszo- nego na badanym krysztale (promieniowania rentgenowskiego bądź elektronów czy neutronów dla kryształu lub światła laserowego w przypadku kryształu koloidalnego).
Różnica ∆~k między wektorem falowym promieniowania padającego ~k0 i promieniowa- nia rozproszonego ~k jest równa dokładnie wektorowi sieci odwrotnej:
∆~k = ~k − ~k0 = ~L∗. (4.15.1) Ten tzw. warunek Lauego (rysunek 4.15.2) określa warunki dyfrakcji. Jest on równo- ważny warunkowi Bragga oraz tzw. konstrukcji Ewalda.
2Q k
0k
0k L * = Dk
Rys. 4.15.2: Dyfrakcja na krysztale – warunek Lauego.
Relacja między siecią przestrzenną i siecią odwrotną
Wektory sieci przestrzennej definiują wektory sieci odwrotnej (V jest objętością komórki elementarnej):
~a∗1 = 2Vπ (~a2× ~a3) , ~a∗2 = 2Vπ(~a3× ~a1) , ~a∗3 = 2Vπ(~a1× ~a2) , V = ~a1[~a2× ~a3] = ~a2[~a3× ~a1] = ~a3[~a1× ~a2] .
(4.15.2)
Dlatego też na podstawie doświadczeń dyfrakcyjnych (określających parametry sieci odwrotnej, takich jak długości wektorów ~a∗1, ~a∗2, ~a∗3 oraz kąty między nimi) możemy określić parametry komórki elementarnej.
Na rysunku 4.15.3 przedstawiona jest sieć ukośnokątna. Jest to najbardziej ogólny przypadek dwuwymiarowej sieci przestrzennej. Oprócz sieci ukośnokątnej wyróżniamy jeszcze cztery typy dwuwymiarowych sieci przestrzennych: sieć kwadratową (a1 = a2; α = 90◦), sieć prostokątną i prostokątną centrowaną (a1 6= a2; α = 90◦) oraz sieć heksagonalną (a1= a2; α = 120◦).
a
2a
3a*
1a*
2a*
3a
1Rys. 4.15.3: Dwuwymiarowa sieć ukośnokątna (puste kółka) i jej sieć odwrotna (pełne kółka).
Zadanie 1. Znajdź:
1. związek między wektorami bazowymi ~a1 i ~a2 dwuwymiarowej sieci kryształu kolo- idalnego a wektorami ~a∗1i ~a∗2jego sieci odwrotnej oraz oblicz kąt miedzy wektorami
~a∗1 i ~a∗2. Wskazówka: skorzystaj z relacji (4.15.2); jako ~a3 przyjmij wektor jednost- kowy w kierunku prostopadłym do płaszczyzny sieci dwuwymiarowej. Odpowiedź:
szukany kąt winien mieć 60◦;
2. związek między długością a∗ wektora sieci odwrotnej i parametrem a komórki elementarnej kryształu koloidalnego (stałą sieci przestrzennej). Odpowiedź: a∗ =
4π a√ 3;
3. długość dowolnego wektora sieci odwrotnej
L~∗h1h2
= |h1~a∗1+ h2~a∗2|. Odpowiedź:
L~∗h1h2
=a∗ph21+ h22+ h1h2. Dyfrakcja na krysztale
Warunek Bragga dla dyfrakcji określa położenie n-tego maksimum dyfrakcyjnego uzyskanego dla promieniowania o długości λ rozpraszanego na układzie równoległych płaszczyzn sieciowych przy odległości międzypłaszczyznowej dh1h2h3:
2dh1h2h3sin Θ = nλ. (4.15.3) Maksimum to występuje dla określonej przez powyższy warunek wartości kąta Θ (patrz rysunek 4.15.4). Jest to kąt między płaszczyznami sieciowymi a kierunkiem ~k0 promie- niowania padającego. Jednocześnie jest to kąt między tymi płaszczyznami a kierunkiem
~k promieniowania rozproszonego. Natomiast 2Θ to kąt między ~k0 i ~k.
2Q
Q Q
Q
k k
k
0L *
Rys. 4.15.4: Dyfrakcja na układzie równoległych płaszczyzn sieciowych.
Odległość dh1h2h3 między równoległymi płaszczyznami sieciowymi można łatwo ob- liczyć, jeśli znamy długość wektora ~L∗h1h2h3 określającego orientację tych płaszczyzn (wektora prostopadłego do nich):
dh1h2h3 = 2π
~L∗h
1h2h3
. (4.15.4)
Jeżeli h1, h2, h3 nie są liczbami względem siebie pierwszymi to prawą stronę równania (4.15.4) należy pomnożyć przez liczbę naturalną większą od jedności.
Doświadczalny układ dyfrakcyjny przypomina układ stosowany w dyfrakcji elek- tronów na kryształach mających postać warstwy o grubości A (patrz rysunek 4.15.5).
Kąt 2Θexpjest określony w eksperymencie przez relację:
2Q k k0
k0
ekran Rh h h
1 2 3
L h h h*
1 2 3
4 /p A D
A | |k0 =| |k = 2p l
Rys. 4.15.5: Schemat układu do badania dyfrakcji na krysztale w postaci cienkiej warstwy.
2Θexp= arctanRh1h2h3
D , (4.15.5)
gdzie D – odległość kryształu do ekranu (kliszy); Rh1h2h3 – odległość na ekranie (kliszy) od plamki centralnej rozpraszania do plamki odpowiadającej wektorowi sieci odwrotnej L~∗h1h2h3.
Zadanie 2. Korzystając z L∗h1h2 obliczonego dla kryształu koloidalnego oraz równań (4.15.3) i (4.15.4) oblicz, dla n = 1 (maksimum dyfrakcyjne pierwszego rzędu), teo- retyczną wartość kąta Θth, dla którego powinniśmy uzyskać maksimum dyfrakcyjne.
Wyznaczone eksperymentalnie wartości kąta Θexp porównasz z wartościami teoretycz- nymi, aby wyznaczyć parametr a komórki elementarnej.
Monokryształy i polikryształy
Ciało krystaliczne, dla którego orientacja sieci przestrzennej we wszystkich jego punktach jest identyczna nazywamy monokryształem. Dyfrakcja na monokrysztale da- je plamki dyfrakcyjne określone przez dyskretne węzły sieci odwrotnej. W przypadku badanego kryształu koloidalnego plamki dyfrakcyjne dadzą sieć heksagonalną. W ota- czającym nas świecie stosunkowo rzadko spotykane są monokryształy o rozmiarach większych od średnicy wiązki promieniowania użytego do dyfrakcji. Najczęściej bada- ne ciała krystaliczne są konglomeratem wielu monokrystalicznych ziaren, różniących się orientacją sieci przestrzennej. Takie substancje określa się mianem polikryształów (proszków krystalicznych).
Obraz dyfrakcyjny otrzymany dla polikryształu to obraz wielu identycznych, ale różnie zorientowanych, sieci odwrotnych o wspólnym węźle (h1 h2 h3) = (0 0 0) (tj. dla L~∗ = 0~a∗1+ 0~a∗2+ 0~a∗3 = 0). Węzeł ten jest określony przez plamkę centralną obrazu dy-
frakcyjnego. W wyniku nałożenia obrazów tych różnie zorientowanych sieci odwrotnych otrzymujemy obraz dyfrakcyjny w postaci współśrodkowych sfer o promieniach odpo- wiadających wartościom
~L∗h
1h2h3
(rysunek 4.15.6). W przypadku badanego kryształu koloidalnego obraz dyfrakcyjny jego obszaru polikrystalicznego ma postać koncentrycz- nych pierścieni o promieniach określonych zależnością
L~∗h
1h2
=a∗ph21+ h22+ h1h2.
L h h h*
1 2 3 (h h h)
1 2 3
IL h h h* 1 2 3I (000)
Rys. 4.15.6: Polikryształ i jego obraz dyfrakcyjny.
Zadanie 3. Oblicz promienie kolejnych pierścieni dyfrakcyjnych i przypisz im pary wskaźników (h1 h2). Odpowiedź: powinieneś otrzymać następujące pary wskaźników:
(1 0), (1 1), (2 0), (2 1), (3 0), ... .
4.15.2 Przebieg pomiarów Układ pomiarowy
W skład układu doświadczalnego, przedstawionego na rysunku 4.15.7, wchodzą:
laser He-Ne, przesłona, specjalnie spreparowany dwuwymiarowy kryształ koloidalny, ekran służący do obserwacji i rejestracji obrazu dyfrakcyjnego. Ponadto do dyspozycji jest papier fotograficzny, wywoływacz i utrwalacz oraz kuwety do utrwalenia obrazu dyfrakcyjnego.
Laser He - Ne
P K E
Rys. 4.15.7: Schemat układu służącego do otrzymywania obrazu dyfrakcyjnego dwuwymiarowego kryształu koloidalnego (P - przesłona, K- kryształ koloidalny, E- ekran/klisza fotograficzna).
Przebieg doświadczenia
Wykonać obserwację struktury badanego dwuwymiarowego kryształu koloidalne- go pod mikroskopem - notatkę umieść w protokole pomiarowym. Wykonać pomiary pozwalające na obliczenie stałej sieci badanego kryształu.
Wykonać obserwację obrazu dyfrakcyjnego (oddzielnie dla obszaru monokrystalicz- nego i polikrystalicznego próbki) na ekranie znajdującym się w odległości około 2 m od kryształu. Wykonać pomiary pozwalające na obliczenie stałej sieci badanego kryształu.
Utrwalić obraz dyfrakcyjny (oddzielnie dla obszaru monokrystalicznego i polikry- stalicznego próbki) na papierze fotograficznym ustawionym jako ekran w odległości około 15 cm od kryształu.
4.15.3 Opracowanie wyników
Na podstawie pomiarów wykonanych pod mikroskopem obliczyć wartość stałej sieci badanego kryształu i oszacować niepewność pomiarową (niepewność pomiarowa wiel- kości mierzonej bezpośrednio).
Korzystając z wyników uzyskanych w zadaniach 1–3 znaleźć wyrażenie pozwalające wyznaczyć wartość stałej sieci badanego kryształu na podstawie pomiarów wykonanych na obrazie dyfrakcyjnym.
Wyznaczyć wartość stałej sieci badanego kryształu (oddzielnie dla obszaru mo- nokrystalicznego i polikrystalicznego próbki) na podstawie pomiarów wykonanych na obrazie dyfrakcyjnym obserwowanym na ekranie znajdującym się w dużej odległości od kryształu. Oszacować niepewności pomiarowe (metodą różniczki zupełnej lub pro- pagacji odchylenia standardowego dla pomiarów pośrednich). Należy zwrócić uwagę, czy uzyskane wyniki są zgodne w granicach niepewności pomiarowej.
Przerysować zdjęcia obszaru monokrystalicznego i polikrystalicznego próbki na przeźroczystą folię, zaznaczając tylko najmocniejsze refleksy (istotne z punktu widzenia dalszego opracowania). Ponumerować refleksy, zmierzyć i zapisać w odpowiedniej tabeli odległości refleksów pozwalające na wyznaczenie promieni Rh1h2. Wyznaczyć wartość stałej sieci badanego kryształu (oddzielnie dla obszaru monokrystalicznego i polikry- stalicznego próbki) oraz oszacować niepewności pomiarowe. Czy uzyskane wyniki są zgodne w granicach niepewności pomiarowych?
Przeprowadzić dyskusję zgodności wyników uzyskanych na podstawie pomiarów wykonanych pod mikroskopem, na ekranie umieszczonym w dużej odległości od bada- nego kryształu oraz na kliszy fotograficznej, zarówno dla obszarów poli- jak i mono- krystalicznych. Należy pamiętać, że stosowane było przybliżenie małych kątów. Które pomiary są najbardziej precyzyjne?
Sformułować wnioski końcowe i podać uzyskaną w eksperymencie wartość stałej sieci badanego dwuwymiarowego kryształu koloidalnego (wraz z niepewnością pomia- rową).
