Analityczno-różnicowa metoda wyznaczania rozkładów temperatury przy przepływie gazu przez złoże materiału ziarnistego

(1)

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: E N E R G E T Y K A z. 124

1995 N r kol. 1278

Tadeusz K R U C Z E K

ANALITYCZNO-RÓŻNICOWA M ETODA WYZNACZANIA ROZKŁADÓW TEMPERATURY PRZY PRZEPŁYWIE GAZU PRZEZ ZŁOŻE MATERIAŁU ZIARNISTEGO

S tr e sz c z e n ie . W a rty k u le p rzedstaw iono analityczno-różnicow ą me

todę w yznaczania ro zkła d ó w te m p e ra tu ry w fazie stałej i gazowej p rzy podgrzew aniu (lu b chłodzeniu) złoża m a te ria łu ziarnistego za pomocą przepływającego gazu. M etoda polega n a połączeniu ilo ra z u różnicowe

go przedniego z a n a lity c z n y m w yznaczaniem te m p e ra tu ry czynników w obszarze elem entu różnicowego. W ykonano p rzykładow e obliczenia.

AN ANALYTICAL-DIFFERENCE METHOD OF DETERM INATION OF THE TEM PERATURE FIELD AT THE FLOW OF GAS THROUGH THE GRANULAR MATERIAL BED

Sum m ary. The paper presents an a n lytica l-d iffe re n ce m ethod o f the te m p e ra tu re fie ld d e te rm in a tio n in solid and gaseous phase at h e a tin g (or cooling) o f g ra n u la r m a te ria l by means o f th e gas flo w in g th ro u g h th e bed. The m ethod is based on a connection o f the fo rw a rd tim e difference scheme w ith a n a ly tic a l d e scrip tio n o f solid as w e ll as gas te m p e ra tu re in th e area o f difference elem ent. The exem plary calcula

tio n s have been ca rrie d out.

AHAJIHTHHECKH-PA3HOCTHOM M ETO fl OnPER,EJIEHHJi TEMIIEPA- TYPHOrO nOJIfl nPM nEPEIIJIblEE TA3A HEPE3 CJIOH 3EPHMCTOrO MATEPHAJIA

Pe3K)Me. B padoxe npegcxaBjieH Mexog onpeflejiemui TeMnepaTypHoro nona npH noflorpeBe h j i h oxjiaxcgeHHH 3epHHcroro Maxepuaaa c noMoigbio nepenjiHBaromero ra3a. B Mexofle Hcnojib3yeTca cocahhchhc cxeMu nepeąHero OTHOuieHHs pa3H0CTeü c aHajiHTHHecKHM onacaHHeM KOHBeKTHBHoro nepeHOca T c r u ia Mexc^y ra30M h cjiocm. Bm j i h cp;ejiaHbi BUVHCJieHHH.

(2)

174 Tadeusz Kruczek

1. W STĘP

C hłodzenie lu b podgrzewanie m a te ria łu ziarnistego za pomocą gazu przepływającego przez złoże występuje często w różnych procesach przem ysło

w ych. P rzykła d e m re a liz a c ji ta k ic h procesów w przem yśle h u tn ic z y m są zja

w is k a zachodzące w tra k c ie spiekania ru d y żelaza na taśm ie spiekalniczej, podgrzew ania m ieszanki spiekalniczej przed zapłonem oraz chłodzenia spie

ku. W czasie spiekania ru d y żelaza zachodzi jednoczesne chłodzenie górnej w a rs tw y spieku znajdującej się ponad stre fą spalania k o k s ik u oraz podgrze

w anie dolnej w a rs tw y m ieszanki spiekalniczej poniżej tej s tre fy za pomocą pow stających spalin. W tra k c ie ty c h procesów ulegają zm ianom własności fizyczne cia ł biorących w n ich u d z ia ł oraz zm ie n ia ją się w a ru n k i w ym iany ciepła. W tej sytu a cji opis a n a lity c z n y zachodzących z ja w is k je s t na ogół tru d n ie js z y n iż m odelowanie num eryczne badanych procesów. Podstawowym zadaniem w ystępującym w opisyw anym zagadn ieniu je s t wyznaczenie ro zkła dów te m p e ra tu ry w złożu m a te ria łu stałego oraz przepływającego gazu.

P ro sty opis m ający zarazem w yra źn ą in te rp re ta c ję fizyczną dają metody różnicowe w ykorzystujące bilanse e n e rg ii d la rozp a tryw a n ych elem entów róż

nicowych. P rzy przepływ ie gazu przez złoże m a te ria łu ziarnistego zachodzi p rze p ływ ciepła w m a te ria le z ia rn is ty m na s k u te k przewodzenia, ja k również p ro m ie n io w a n ia pom iędzy cząstkam i w a rs tw y . Ponadto następuje w ym iana ciepła pom iędzy przepływ ającym gazem i fazą sta łą na drodze konwekcyjnej.

W zależności od tego, czy do w yznaczenia przewodzonych s tru m ie n i ciepła używ a się te m p e ra tu ry fazy stałej z początku czy z końca k ro k u czasu lub w a rto ści średniej, o trzym u je się schem at ilo ra z u różnicowego przedniego, wstecznego lu b centralnego. K ażdy z ty c h schem atów cechuje się określonym i w łaściw ościam i; je d n ą z n ich je s t ograniczenie n a k ro k czasu występujące p rz y ilo ra z ie prze d n im i c e n tra ln y m [2]. W ró w n a n iu do w yznaczania konwe

kcyjnego s tru m ie n ia ciepła w ystę p u ją te m p e ra tu ry fazy stałej i gazu. W zależ

ności od tego, k tó ra te m p e ra tu ra fazy stałej w elemencie różnicow ym (z początku, z końca k ro k u czasu lu b te m p e ra tu ra średnia) oraz k tó ra tem pera

tu ra gazu (te m p e ra tu ra gazu dopływającego, odpływającego z elem entu ró żn i

cowego lu b te m p e ra tu ra średnia ważona) zostanie u ż y ta do wyznaczenia konw ekcyjnego s tru m ie n ia ciepła, o trzym u je się różne schem aty różnicowe.

K ażdy z n ich c h a ra kte ryzu je się określonym i w łaściw ościam i dotyczącymi sposobu w y lic z a n ia te m p e ra tu ry w ko le jn ych k ro ka ch czasu, stabilności oraz zbieżności rozw iązania. P roblem stabilności oraz fizycznej poprawności o trzy

manego rozw ią za n ia wiąże się z ograniczen iam i w podziale różnicow ym ciała oraz długością k ro k u czasu [1, 2]. Użycie do wyznaczenia elem entarnych s tru m ie n i ciepła przekazyw anych na drodze k o n w e kcji i przewodzenia tem pe

r a tu r y fazy stałej i gazu z początku k ro k u czasu spowoduje, że poza momen

tem początkow ym obliczone s tru m ie n ie ciepła będą większe od rzeczywiście

(3)

Analityczno-różnicowa metoda wyznaczania. 175

istniejących. Jeżeli p rze d zia ł czasu będzie z b y t d łu g i, w yw oła to nadm ierne podgrzewanie lu b ochładzanie się rozpatryw anego elem entu różnicowego i elem entów sąsiednich, a także gazu przepływającego przez element. S k u t

k ie m tego w ko le jn ych k ro ka ch czasu mogą następować zm ia n y k ie ru n k u p rze p ływ u ciepła. Może to objaw ić się oscylacjam i te m p e ra tu ry fazy stałej i gazu d la kole jn ych kro k ó w czasu.

W p rzyp a d ku nagrze w a n ia (lu b chłodzenia) m a te ria łu ziarnistego za pomo

cą przepływ ającego gazu o w y m ie n io n y m wyżej zja w is k u w pierwszej kolejno

ści decyduje s tru m ie ń ciepła w y m ie n ia n y m iędzy fazą sta łą i gazem, k tó ry osiąga w ty m przypadku stosunkow o duże w artości. Jest to spowodowane w zględnie w y s o k im i w a rto ścia m i konw ekcyjnego w spółczynnika w n ik a n ia ciepła p rz y p rze p ływ ie gazu przez m a te ria ł z ia rn is ty oraz stosunkowo ro zw i

n ię tą pow ie rzch n ią w y m ia n y ciepła. P rze p ływ ciepła pom iędzy w a rs tw a m i m a te ria łu ziarnistego (na s k u te k przew odzenia i p ro m ie n io w a n ia ) nie odgry

w a tu większej ro li, ponieważ jego intensyw ność je s t znacznie m niejsza w porów nan iu z w y m ia n ą konw ekcyjną.

W n in iejszej pracy proponuje się m etodę różnicow o-an alityczną wyznacza

n ia rozkładów te m p e ra tu ry w fazie stałej i gazie p rz y jego p rze p ływ ie przez złoże m a te ria łu ziarnistego. W m etodzie tej w y e lim in o w a n o podstawową n ie dogodność, k tó rą było is to tn e ograniczenie k ro k u czasu, zachowując jed n o cześnie ja w n ą postać rozw iązyw anego u k ła d u rów nań.

2. OPIS M E T O D Y

N a ry s u n k u 1 przedstaw iono fra g m e n t różnicowego p odziału złoża. Podane z w ro ty s tru m ie n i ciepła dotyczą p rzyp a d ku podgrzew ania złoża za pomocą gazu.

D la i-tego elem entu różnicowego sporządza się bilanse e nergii dla fazy stałej i gazu, a także w y k o rz y s tu je się ró w n a n ia opisujące w ym ia n ę ciepła pom iędzy fazą s ta łą i gazem. Poniżej przedstaw iono założenia szczegółowe, na k tó ry c h opiera się prezentow ana metoda:

a) P rzepływ gazu i ciepła w fazie stałej je s t jedn o w ym ia ro w y.

b) T e m p e ra tu ra m a te ria łu stałego je s t w yró w n a n a w całej objętości elem entu różnicowego w danym k ro k u czasu.

c) S tru m ie n ie ciepła przepływ ające w m a te ria le z ia rn is ty m w przedziale cza

su (przez przewodzenie i p ro m ie n io w a n ie ) w yznacza się na podstawie te m p e ra tu ry fa zy stałej z początku k ro k u czasu.

d) K ażdy z elem entów różnicow ych je s t podgrzew any (lub chłodzony) konwe

k c y jn ie przez czas za pomocą jednorazow o doprowadzonej do elem entu p o rc ji gazu o w yrów nanej te m p e ra tu rze , w ilo ści f ń Gt A t.

(4)

176 Tadeusz Kruczek

Rys. 1. Podział różnicowy złoża Fig. 1. Difference division of the bed Faza stała:

AQi t dx + A i t(TG - T s)dx = W sijt dT

e) Z m ia n y te m p e ra tu ry fazy stałej i gazu w obszarze ele

m e n tu różnicowego dla roz

patryw anego przedziału czasu wyznacza się w spo

sób a nalityczny; tem peratu

ra końcowa fazy stałej jest te m p e ra tu rą początkową w następnym k ro k u czasu, n a to m ia s t te m peratura końcowa gazu je s t tem pera

tu r ą p o rcji gazu doprowa

dzonej do kolejnego elemen

tu różnicowego.

Poniżej przedstawiono ró w n a n ia różniczkowe b i

la n su e nergii dla i-tego ele

m e n tu różnicowego, opisu

jące zm iany te m p e ra tu ry fazy stałej i gazu w okresie t-tego k ro k u czasu.

oraz faza gazowa:

gdzie:

(1)

A i;t(T G - T s)dx = - W )G i_1>t Ax d T G (2)

A^t — f^AXi oik i—i ,t W s ¡ t = fAXj ps CpS

W Gi_i,t = fń Gt (M cp)Gi_lit

AQi>t = aQpt + bQi-i^t - cQ it

W sp ó łczyn n iki a, b, c p rz y jm u ją w artości zero lu b 1 w zależności od tego, dla k tó re j w a rs tw y fo rm u łu je się ró w n a n ia . D la pierw szej w a rs tw y należy przyjąć a, c = 1, b = 0, n a to m ia st dla o sta tn ie j a, b = 1, c = 0. D la elementów różnicow ych w ew nętrznych zachodzi a = 0, b, c = 1. W dalszym zapisie dla uproszczenia po m ija się in d e ksy dotyczące n u m e ru elem entu różnicowego i k ro k u czasu. Zależności (1) i (2) stanow ią u k ła d ró w n a ń różniczkowych, w któ-

(5)

Analityozno-różnicowa metoda wyznaczania. 177

ry m z m ie n n y m i są: te m p e ra tu ra fazy stałej, gazu oraz czas. A b y rozwiązać ten u k ła d , za pomocą ró w n a n ia (2) e lim in u je się w (1) różniczkę czasu otrzym ując w re zu lta cie ró w n a n ie różniczkow e zaw ierające zm ienne T s i T G. U zyskane ró w n a n ie rozw iązuje się, a następnie ponow nie za pomocą (2) e lim in u je te m p e ra tu rę T s. W konsekw encji o trzym u je się kolejne ró w n a n ie o postaci:

gdzie:

T G = ? - A — + C i ( 3 )

z = - H dT r + E (4)

d t n atom iast:

AQ W G At

E

W . A

WgAt + Ws

W s

At h = f w g |

Z k o le i w yrażenie (3) zróżniczkow ano obustronn ie względem czasu, a nastę

pnie za pomocą (4) w ye lim in o w a n o w uzyskanej zależności pochodną d T G/d x otrzym u ją c ła tw e do ca łko w a n ia ró w n a n ie różniczkow e o zm iennych rozdzie

lonych:

j H dz

dx = — —r — (5)

Po o bustronn ym scałkow aniu tego ró w n a n ia w granicach (0, x) i (z1; z) oraz odpow iednim przekszta łce n iu w celu w yra ż e n ia zm iennej w fu n k c ji czasu o trzym u je się:

r t-,2 >v z = Zj exp

V F z x

H (6)

W ielkość z l w y n ik a z w yra ż e n ia (4), gdzie w artość w ystępującej w n im pochodnej d la początku k ro k u czasu wyznacza się w yko rzystu ją c rów nanie (2) i w a ru n e k początkow y, w edług którego d la x = 0 zachodzą relacje T G = T Gi_l t oraz T s = T s i t, po zastosow aniu k tó ry c h o trzym u je się:

(6)

178 Tadeusz Krućzek

H A (T Gi_l t - T s it )

Zl = ; + Ej

W G At

(7)

Po po d sta w ie n iu zależności (6) do (3) i dokona niu odpowiednich prze

kształceń otrzym ano rów nanie opisujące zm ia n y te m p e ra tu ry rozważanej p o rc ji gazu w okresie przyjętego k ro k u czasu podczas podgrzewania (lub chłodzenia) rozpatryw anego elem entu różnicowego:

Z m ia n y te m p e ra tu ry fazy stałej w okresie przyjętego p rzedziału czasu wyznacza się na podstaw ie zależności (2) po w y e lim in o w a n iu w niej pochodnej d T c /d i za pomocą (8):

W ystępująca w powyższym ró w n a n iu te m p e ra tu ra T G w y n ik a bezpośrednio z zależności (8). N astępnie po p o d sta w ie n iu w ró w n a n ia ch (9) i (10) czasu

t = At wyznacza się te m p e ra tu rę p o rc ji gazu odpływającego z analizowanego elem entu (a dopływającego do następnego):

Z biory w artości te m p e ra tu ry fazy stałej i gazu, obliczonych według (10) i (11) dla kolejnych elem entów różnicow ych oraz kro kó w czasu, stanowią rozw iązanie postawionego zadania.

3. W Y N IK I P R Z Y K ŁA D O W Y C H O B L IC Z E Ń

W yko rzystu ją c przedstaw ioną m etodę przeprowadzono przykładow e ob li

czenia num eryczne dla podgrzew ania i chłodzenia m a te ria łu ziarnistego

(

8

)

gdzie:

(9)

T Gi,t = T G(T = AT) ⁽10⁾

oraz te m p e ra tu rę fazy stałej n a początku następnego k ro k u czasu:

T s i,t+i = Ts(t = At) (11)

(7)

o własnościach zbliżonych do m ieszanki spiekalniczej i spieku wielkopiecow e

go. O bliczenia przeprowadzono d la następujących danych: skła d m olow y fazy gazowej: [C 0 2] = 0,10; [ 0 2] = 0,04; [N 2] = 0,86; gęstość s tru m ie n ia gazu 0,018 k m o l/(m 2s); grubość złoża m a te ria łu ziarnistego 0,4 m; zastępczy w spółczyn

n ik przew odzenia ciepła w złożu 0,5 W /(m K ); pojemność cieplna w łaściw a m a te ria łu ziarnistego 0,9 k J /(k g K); długość k ro k u czasu 10 s. D la przypadku podgrzew ania te m p e ra tu ra gazu dopływającego do złoża b yła sta ła i w ynosiła 500 K , n a to m ia s t te m p e ra tu ra początkow a m a te ria łu ziarnistego b yła je d n a kow a w całym złożu i w y n o siła 298 K, d la p rz y p a d k u zaś chłodzenia tem pera

tu r a gazu i fazy stałej w yn o siła odpowiednio 298 K i 500 K. O trzym ane w y n ik i przedstaw iono n a ry su n ka ch 2 i 3.

4. U W A G I K O Ń C O W E

P rzedstaw ion y sposób w yznaczania ro zkła d ó w te m p e ra tu ry p rzy przepły

w ie gazu przez złoże m a te ria łu zia rn iste g o sta n o w i połączenie m etody ilo ra z u różnicowego przedniego z opisem a n a lity c z n y m w y m ia n y ciepła w ty m złożu.

U jęcie a nalityczne dotyczy opisu w y m ia n y ciepła m iędzy m a te ria łe m sta łym i gazem. Przeprowadzone obliczenia num eryczne, z k tó ry c h w ybrane w y n ik i p rzedstaw iono na ry su n ka ch 2 i 3, p o tw ie rd z a ją przydatność opracowanego a lg o rytm u . Jednocześnie m etoda ta je s t dogodna do obliczeń, ponieważ o trzy

m ane ró w n a n ia d la poszczególnych elem entów różniczkow ych tw o rzą system ja w n y .

P rezentow ana koncepcja może znaleźć zastosowanie także w przypadkach, gdy oprócz w y m ia n y ciepła zachodzi w y m ia n a m asy m iędzy fazą stałą i gazo

w ą lu b zachodzą reakcje chemiczne, k tó ry c h intensyw ność zależy is to tn ie od te m p e ra tu ry . P rzykła d e m może być tu proces podgrzew ania i jednoczesnego podsuszania m ieszanki spiekalniczej przed zapłonem.

Opis a n a lity c z n y zja w isk, k tó re są związane z in te n s y w n y m przekazyw a

niem , w yd zie la n ie m lu b p o chłan ianiem ciepła w połączeniu z m etodą różnico

w ą, u m o ż liw ia popraw ę dokładności ro zw ią za n ia oraz znaczne w ydłużenie dopuszczalnego k ro k u czasu w p o ró w n a n iu z p rzyp a d kie m opisu w szystkich z ja w is k w sposób różnicowy. W złożach m a te ria łó w zia rn is ty c h , często m ine

ra ln y c h , ze w zględu na m a łą intensyw ność p rz e p ły w u ciepła w fazie stałej, e fe kt b ra k u sta bilności ro zw ią za n ia w ystępuje dopiero p rz y stosunkowo d łu gich k ro k a c h czasu. W prezentow anej m etodzie określenie m aksym alnego k ro k u czasu je s t bardziej złożone n iż w sytu a cji, gdy tra n s p o rt ciepła w ciele odbywa się ty lk o n a drodze przew odzenia [2]. W n in ie js z y m a rty k u le przed

staw iono w fo rm ie opisowej je d y n ie częściowe w y n ik i w stępnych przem yśleń tego zagadnienia. Problem je s t je d n a k in te re su ją cy i zasługuje n ie w ą tp liw ie na dokładniejszą analizę.

Praca została zrealizow ana w ram ach g ra n tu K B N 9 S603 053 06.

(8)

180 Tadeusz Kruczek

a )

•S

N 03i—

13

2

8

^.

E

£

b )

zf 1CD

2 Z!

£ aE

|2

Grubość warstwy, m

Rys. 2. Rozkłady tem peratury w złożu i w gazie dla podanych czasów - przypadek nagrze

wania; a - złoże, b - gaz; 1 - 40 s; 2 - 80 s; 3 - 120 s; 4 - 160 s; 5 - 200 s; 6 - 240 s; 7 - 280 s; 8 - 320 s

Fig. 2. Temperature distributions in the bed and gas for mentioned periods - case of heating; a - bed, b - gas

(9)

a)

500

300 1111111 11-1 111111 M i ł i

0.0 0.1 0.2

0.1 0.2 0.3

Rys. 3. Rozkłady tem peratury w złożu i w gazie dla podanych czasów - przypadek chłodze

nia; a - złoże, b - gaz; 1 - 40 s; 2 - 80 s; 3 - 120 s; 4 - 160 s; 5 - 200 s; 6 - 240 s; 7 - 280 s;

8 - 320 s

Fig. 3. Temperature distributions in the bed and gas for mentioned periods - case of cooling; a - bed, b - gas

(10)

182 Tadeusz Kruczek

O Z N A C Z E N IA

cp, (Mcp) — pojemność cieplna w łaściw a, J /(kg K ), J /(k m o l K), C - sta ła całkow ania,

f - pow ierzchnia elem entu różnicowego w k ie ru n k u prostopadłym do p rze p ływ u gazu, m 2,

I - s tru m ie ń e n ta lp ii, W,

ń - gęstość s tru m ie n ia gazu, k m o l/(m 2 s),

Q - s tru m ie ń ciepła p rzepływ ający m iędzy w a rs tw a m i m a te ria łu zia r

nistego na s k u te k przew odzenia i p rom ieniow an ia, odniesiony do p ow ierzchni f elem entu różnicowego, W,

Qf - s tru m ie n ie ciepła doprowadzane do pierwszego lu b ostatniego ele

m e n tu różnicowego, w yn ika ją ce z w a ru n k ó w brzegowych, W, T - te m p e ra tu ra , K,

a - ko n w e kcyjn y w sp ó łczyn n ik w y m ia n y ciepła, W /(m 2K), x - czas, s,

A t - długość k ro k u czasu,

Ax - grubość elem entu różnicowego, m,

£ - pow ierzchnia je dnostko w a m a te ria łu ziarnistego, m 2/m 3.

IN D E K S Y

G - dotyczy gazu,

i - dotyczy i-tego elem entu, k - dotyczy konw ekcji,

s - dotyczy fazy stałej,

t - dotyczy t-tego k ro k u czasu.

Recenzent: Prof. d r inż. Ja n Szargut

W płynęło do Redakcji: 23. 03. 1995 r.

L IT E R A T U R A

[1] K ruczek T.: W yznaczanie rozkładów te m p e ra tu ry p rz y p rzepływ ie gazu przez złoże m a te ria łu ziarnistego. Zeszyty N aukow e Pol. SI., M echanika, z. 113,1993, s. 205 + 210.

[2] S zargut J. (red.): M odelow anie num eryczne pól te m p e ra tu ry. W NT, W arszaw a 1992.

[3] S zargut J. i in.: Przem ysłow a energia odpadowa. W N T, W arszawa 1993.

(11)

A b stract

The h e a tin g or cooling o f g ra n u la r m a te ria l bed by means o f gas often occurs in th e m e ta llu rg ic a l and chem ical in d u s try . The p re h e a tin g o f sin te r m ix on a s in te r s tra n d before ig n itio n , s in te rin g process or the cooling o f the s in te r a fte r aglom eratio n can be ta k e n as th e exam ples o f these phenomena [3]. The paper describes an a lg o rith m fo r th e ca lc u ltio n o f the gas as w e ll as solid te m p e ra tu re w h ile th e gas flow s th ro u g h th e g ra n u la r m a te ria l bed. T his m ethod applies th e fo rw a rd tim e difference scheme and a n a ly tic a l description o f solid as w e ll as gas te m p e ra tu re in th e area o f difference elem ent. The bed of th e g ra n u la r m a te ria l is d ivid e d in to difference elem ents, Fig. 1. A t the b eginn ing o f th is process th e te m p e ra tu re d is trib u tio n in th e g ra n u la r m a te ria l m u s t be know n. F o r each difference elem ent th e d iffe re n tia l energy balances fo r solid- and gaseous-phase are fo rm u la te d . The he a t fluxes inside the solid-phase re s u ltin g fro m th e th e rm a l c o n d u c tiv ity and heat ra d ia tio n are determ ined according to th e te m p e ra tu re o f th e solid m a te ria l at the b e ginn ing o f th e tim e step. D u rin g th e p eriod o f th e c u rre n t tim e step the convection he a t flu x exchanged between gas and solid is described a n a ly tic a l

ly. As a re s u lt, th e set o f tw o d iffe re n tia l equations is obtained. T h is equation set has been solved a n a ly tic a lly . The te m p e ra tu re o f th e solid-phase fo r i = A t corresponds w ith th e solid te m p e ra tu re a t th e end o f th e considered tim e step and s im u lta n e o u s ly a t th e b e g in n in g o f th e n e x t step. The gas te m p e ra tu re corresponds w ith th e te m p e ra tu re o f gas flo w in g to the next difference elem ent. Presented m ethod allow s to e lim in a te some lim ita tio n s concerning th e size o f th e difference elem ent and size o f th e tim e step.

F u rth e rm o re , th e a n a ly tic a l d e scrip tio n o f some phenomena im proves the accuracy o f th e fin a l solution.