OBLICZENIA SYMBOLICZNE W PROBLEMIE WAHADŁA PODWÓJNEGO
Andrzej Icha
1a,b1
Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku
a
majorana38@gmail.com,
bandrzej.icha@apsl.edu.pl
Streszczenie
Praca dotyczy wykorzystania ograniczonego systemu obliczeń naukowych TeX-PostScript w celu analizy dynamiki wahadła podwójnego. Wykorzystując formalizm lagranżowski, otrzymano układ równań opisujący ruch wahadła i zaprezentowano rozwiązania numeryczne przy użyciu pakietu makr postscriptowych PSTricks. Przedstawiono również dwie wybrane animacje ruchu ruchu wahadła. Rozważono także możliwość rozszerzenia obliczeń na przy- padek ruchu wahadła potrójnego.
Słowa kluczowe: drgania, wahadło podwójne, system obliczeń symbolicznych, TeX, PostScript
SYMBOLIC COMPUTATIONS IN DOUBLE PENDULUM PROBLEM
Summary
The paper concerns the use of the restricted scientific computations system TeX-PostScript, to pendulum dynam- ics analysis. On the basis of the lagrangian formalism, the set of equations describing the pendulum motion is ob- tained. The numerical solutions are presented, using the macro package PSTricks. Two selected animations of penulum motion are showed also. The possibility of extending calculations for case of triple pendulum is men- tioned.
Keywords: vibrations, double pendulum, system of symbolic computations, TeX, PostScript, PSTricks
1. WSTĘP
Obliczenia symboliczne stanowią intensywnie rozwijającą się i bardzo rozbudowaną gałąź matematyki stosowanej.
Świadczy o tym m.in. fakt, że problematyka ta jest odnotowana w Matematycznej Klasyfikacji Tematycznej (MSC2010) pod numerami 33F10 - Symbolic computa- tion oraz 68W30 - Symbolic computation and algebraic computation. Zasadniczym celem tego podejścia ba- dawczego jest próba algorytmicznego ujęcia wszelkiego rodzaju operacji naukowych poprzez tworzenie zintegro- wanych systemów obliczeń symbolicznych. Systemy takie, zwane CAS (Computer Algebra System), zaczęły pojawiać się na początku lat 70. ub. wieku. Pionierskie prace w tym zakresie były prowadzone m.in. przez ho- lenderskiego fizyka Martinusa Veltmana, który w latach 60. zaprojektował program komputerowy Schoonschip umożliwiający symboliczną manipulację równaniami matematycznymi, uważany obecnie za pierwszy kompu- terowy system algebry [4].
W dalszym ciągu pracy wprowadzono następujące okre- ślenia.
Definicja 1. Systemem obliczeń naukowych nazywa się zintegrowane środowisko obliczeniowe zawierające pro- cedury symboliczne, numeryczne i hybrydowe, umożli- wiające wizualizacje graficzne i przetwarzanie danych.
Definicja 2. Ograniczonym systemem obliczeń nauko- wych nazywa się środowisko obliczeniowe zawierające procedury symboliczne i (lub) numeryczne, umożliwiają- ce wizualizacje graficzne i przetwarzanie danych.
Przykładami znanych i popularnych systemów obliczeń są Maple, Mathematica i Matlab (systemy komercyjne) oraz Maxima, Octave i Scilab (systemy typu public domain) [2]. Relatywnie mało znanym, ograniczonym systemem obliczeń, jest rozpowszechniany na zasadzie dobra wspólnego bez interfejsu graficznego - system
TeX-PostScript (PSTricks). Celem pracy jest krótkie przedstawienie możliwości obliczeniowych i graficznych tego systemu w zastosowaniu do opisu dynamiki waha- dła podwójnego. Rezultaty obliczeń zaprezentowano w formie graficznej oraz przedstawiono dwie przykłado- we animacje ruchu wahadła dla dwóch konfiguracji początkowych. Pełne animacje dostępne są na żądanie pod adresem (andrzej.icha@apsl.edu.pl).
Rys. 1. Wahadło podwójne - szkic
2. WAHADŁO MATEMATYCZNE PODWÓJNE
Definicja 3 [1, s. 55]. Wahadłem matematycznym podwójnym nazywa się układ mechaniczny o dwóch stopniach swobody znajdujący się w stacjonarnym jed- norodnym polu siły ciężkości o przyspieszeniu g, złożony z dwóch wahadeł jednokrotnych o masach m1, m2 sku- pionych na końcach wahadeł i długościach l1 i l2, z których drugie jest zamocowane przegubowo do pierw- szego.
Szkic geometryczny rozpatrywanego układu przedstawia rys. 1. Ruch wahadła odbywa się w ustalonej płaszczyź- nie przechodzącej przez linię pionu. Jako współrzędne uogólnione wybrano kąty ɔ1i ɔ2 odchyleń wahadeł od pionu. Znaleziono równania ruchu wahadła, wykorzystu- jąc formalizm lagranżowski. Współrzędne i prędkości zawieszonych punktów wynoszą:
ሺݔଵǡ ݕଵሻ ൌ ሺ݈ଵݏ݅݊߮ଵǡ െ݈ଵܿݏ߮ଵሻǡሺݔଶǡ ݕଶሻ ൌ ሺ݈ଵݏ݅݊߮ଵ ݈ଶݏ݅݊߮ଶǡ െ݈ଵܿݏ߮ଵെ ݈ଶܿݏ߮ଶሻǡ
ሺݔଵሶ ǡ ݕଵሶ ሻ ൌ ሺ݈ଵ߮ଵሶ ܿݏ߮ଵǡ ݈ଵ߮ଵሶ ݏ݅݊߮ଵሻǡሺݔଶሶ ǡ ݕଶሶ ሻ ൌ ሺ݈ଵ߮ଵሶ ܿݏ߮ଵ ݈ଶ߮ଶሶ ܿݏ߮ଶǡ ݈ଵ߮ଵሶ ݏ݅݊߮ଵ ݈ଶ߮ଶሶ ݏ݅݊߮ଶሻǤ
Następnie znaleziono energie - kinetyczną T i potencjalną U wahadła
ܶ ൌͳ
ʹ݉ଵݒଵଶͳ
ʹ݉ଶݒଶଶൌͳ
ʹ݉ଵ൫ݔଵሶଶ ݕଵሶଶ൯ ͳ
ʹ݉ଶ൫ݔଶሶଶ ݕଶሶଶ൯
ൌͳ
ʹ݉ଵ݈ଵଶ߮ଵሶ ଶͳ
ʹ݉ଶ൫݈ଵଶ߮ଵሶ ଶ ݈ଶଶ߮ሶଶଶ ʹ݈ଵ݈ଶ߮ଵሶ ߮ଶሶ ሺ߮ଵെ ߮ଶሻ൯
ൌͳ
ʹሺ݉ଵ ݉ଶሻ݈ଵଶ
߮ଵሶ ଶͳ ʹ݉ଶ݈ଶଶ
߮ଶሶ ଶ ݉ଶ݈ଵ݈ଶ߮ଵሶ ߮ଶሶ ሺ߮ଵെ ߮ଶሻǤ
ܷ ൌ ݉ଵ݃ݕଵ ݉ଶ݃ݕଶൌ െሺ݉ଵ ݉ଶሻ݈݃ଵܿݏ߮ଵെ ݉ଶ݈݃ଶܿݏ߮ଶ.
na podstawie których obliczono lagrangian układu L= T-U. Wykorzystując równania Lagrange’a [3],
݀
݀ݐቆ߲ܮ
߲ݍሶఫቇ െ ߲ܮ
߲ݍൌ Ͳǡ ݆ ൌ ͳǡʹ
Znaleziono równania ruchu wahadła podwójnego, zapisane w postaci dogodnej do obliczeń
߮ଵሷ ൌ ߤ
ߣ߮ଶሶ ଶሺ߮ଵെ ߮ଶሻ ݃
݈ଵ߮ଵͳ
ʹ ߤ ൫ʹሺ߮ଵെ ߮ଶሻ൯ ߮ଵሶ ଶെ ߤ݃
݈ଵ߮ଶ ሺ߮ଵെ ߮ଶሻ ߤ ଶሺ߮ଵെ ߮ଶሻ െ ͳ
߮ଶሷ ൌ ͳ
ʹ ߤ ൫ʹሺ߮ଵെ ߮ଶሻ൯ ߮ଶሶଶ݃
݈ଶ߮ଵ ሺ߮ଵെ ߮ଶሻ ߣ߮ଵሶଶሺ߮ଵെ ߮ଶሻ െ݃
݈ଶ߮ଶ ͳ െ ߤ ଶሺ߮ଵെ ߮ଶሻ
(1)
(2)
gdzie Ɋα m2/(m1 + m2) , ɉ = l1/l2 . Równania (1) - (2) tworzą układ dwóch sprzężonych nieliniowych równań zwy- czajnych drugiego rzędu, którego efektywna analiza może być dokonane tylko metodami numerycznymi. Znajdzie się przykładowe rozwiązania tego układu, wykorzystując możliwości obliczeniowe systemu TeX-PostScript i wybierając następujące dane wejściowe i warunki początkowe:
݀ܽ݊݁ݓ݆݁äܿ݅ݓ݁ ሼ݉ ǡ ݉ ǡ ݈ ǡ ݈ ǡ ݃ሽ ൌ ሼǤ ͷ ݇݃ǡ Ǥͷ ݇݃ǡ ʹ ݉ǡ ͳ ݉ǡ ͻǤͺͳ ݉ݏିଶሽǡ
Poniżej zaprezentowany jest kod źródłowy zawierający procedury obliczeniowe i graficzne dla układu równań (1) - (2), zapisane zgodnie ze składnią zdefiniowaną w pakiecie makr pstricks-add [5]. Kluczowe znaczenie mają tu linie 11-28, opisujące prawe strony równań (1) - (2) i warunki (3) - (4). Realizacja programu jest przedstawiona na dwóch animacjach oraz czterech rysunkach poniżej.
Kod źródłowy 1. Wahadło podwójne
Rys. 2. Trajektorie wahadła podwójnego w czasie rzeczywistym (t
dla warunków początkowych (3)
Rys. 3. Trajektorie wahadła podwójnego w czasie rzeczywistym (t
dla warunków początkowych (4)
Rys. 5. Zależność ɔ2 = ɔ2(t) dla warunków początkowych (3)
Rys. 6. Zależność ɔ1 = ɔ1(t) dla warunków początkowych (3)
3. UWAGI KOŃCOWE
Należy podkreślić, że obliczenia i generowanie grafiki w systemie obliczeń TeX-Postscript są równoczesne.
Jakość grafiki postscriptowej oraz całkowita swoboda w opisie rysunków stawia ten system wyżej niż systemy komercyjne, w tym np. Maple. Dzięki mechanizmowi dołączania czcionek grafika jest całkowicie przenośna i nie zdarzają się przy- kre niespodzianki związane np.
z substytucją fontów. Tworzenie animacji w formacie pdf wymaga dodatkowego przetwarzanie plików formaterem pdflatex, ale sprawia, że ich jakość jest nieporównywalna z archaicznymi, obecnymi w Maple, animacjami gif.
Z punktu widzenia praktyki naukowej i dydaktycznej systemu TeX-Postscript nie należy traktować konkuren- cyjnie, ale raczej komplementarnie w stosunku do in- nych. Autor dostosował i sprawdził omawiane kody w zagadnieniach klasycznego wahadła matematycznego, wahadła o zmiennej długości, wahadła obrotowego i wahadła Kapicy, uzyskując rezultaty zgodne z literatu- rą przedmiotu. Próby realizacji kodu obliczeniowego w przypadku wahadła potrójnego są na razie w fazie początkowej; wstępne wyniki wydają się być zachęcające, chociaż nie udało się jeszcze przy tworzeniu animacji, wygenerować grafiki torów ruchu wahadeł: górnego i środkowego (p. rys. 8).
Rys. 8. Tor ruchu wahadła potrójnego (wahadło dolne)
Literatura
1. Calkin M. G,: Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Singapore: World Scientific, 1998.
2. Krzyżanowski P.: Obliczenia naukowe. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2011.
http://mst.mimuw.edu.pl/wyklady/ona/wyklad.pdf.Dostęp: 06.10.2016.
3. Landau L. D., Lifszyc I. M.: Mechanika. Warszawa: PWN, 2006.
4. Veltman M. J. G., Williams D. N.: Schoonschip '91. http://arxiv.org/pdf/hep-ph/9306228.pdf. Dostęp:
06.10.2016.
5. Voss H.: PSTricks: Graphics and PostScript for TeX and LaTeX. Cambridge: UIT, 2011.
Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.
http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl
