PORÓWNANIE METOD APROKSYMACJI POCHODNYCH ROZWIĄZAŃ OTRZYMYWANYCH ZA POMOCĄ METODY PURC W ZAGADNIENIACH BRZEGOWYCH

PORÓWNANIE METOD APROKSYMACJI POCHODNYCH ROZWIĄZAŃ OTRZYMYWANYCH ZA POMOCĄ METODY PURC

W ZAGADNIENIACH BRZEGOWYCH

AGNIESZKA BOŁTUĆ,EUGENIUSZ ZIENIUK

Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku e-mail: aboltuc@ii.uwb.edu.pl, ezieniuk@ii.uwb.edu.pl

Streszczenie. W pracy zaprezentowano technikę aproksymacji pochodnych rozwiązań zagadnień brzegowych otrzymywanych za pomocą metody PURC.

Celem jej opracowania było uniknięcie obliczania tych pochodnych analitycznie (co jest dość skomplikowane, a nawet niemożliwe) lub numerycznie w konkretnych punktach (ze względu na czasochłonność i nieefektywność).

Efektywność zaproponowanej techniki polega na obliczaniu pochodnych w sposób ciągły i w dowolnych punktach na brzegu oraz w obszarze za pomocą otrzymanych szeregów aproksymujących. Wiarygodność i dokładność strategii została przetestowana na przykładach z rozwiązaniami analitycznymi.

1. WSTĘP

Parametryczny układ równań całkowych (PURC) [4] jest metodą od lat rozwijaną jako efektywna alternatywa dla klasycznych metod elementowych [2], służących do rozwiązywania różnorodnych zagadnień brzegowych. Jego główne zalety to: brak dyskretyzacji brzegu i obszaru modelowanego zagadnienia, wysoka dokładność otrzymywanych rozwiązań oraz mniejsze wykorzystanie zasobów komputerowych. Zalety te potwierdziły się, gdy wzięto pod uwagę przetestowane dotychczas zagadnienia brzegowe modelowane różnymi równaniami różniczkowymi [4,5,6]. Pozostaje jednak wciąż szereg problemów i pytań, na które należy odpowiedzieć, aby potwierdzić uniwersalność i efektywność PURC w porównaniu z metodami klasycznymi.

Podobnie jak w przypadku klasycznych metod elementowych aktualnym problemem pozostaje efektywne obliczanie pochodnych cząstkowych funkcji będących rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Pochodne te są potrzebne w wielu zagadnieniach brzegowych, np.

w zagadnieniach teorii sprężystości do obliczenia odkształceń czy naprężeń. Potrzeba obliczania pochodnych występuje też w wielu zagadnieniach dotyczących identyfikacji bądź optymalizacji, a także w zagadnieniach plastycznych, co było głównym bodźcem do badań.

Przy ich rozpatrywaniu należy wielokrotnie obliczać naprężenia, które są niezbędne w procesie iteracyjnym zastosowanym do rozwiązania tego typu zagadnień.

W przypadku klasycznych metod numerycznych problem ten był rozwiązywany różnymi technikami. W MEB próbowano stosować różniczkowanie analityczne, w wyniku czego była otrzymana tożsamość całkowa, która ostatecznie wymagała całkowania numerycznego w celu obliczenia pochodnych w wybranych punktach obszaru. W zagadnieniach plastycznych

funkcje podcałkowe w tożsamości całkowej okazały się jednak silnie osobliwe, co znacząco utrudniało proces obliczeniowy. Innym sposobem było bezpośrednie różniczkowanie funkcji kształtu zastosowanych do aproksymacji rozwiązań na poszczególnych elementach.

Stosowano też numeryczne obliczanie pochodnych polegające na wykorzystaniu znanych rozwiązań w blisko oddalonych od siebie punktach. Wspomniane techniki dają wartości pochodnych w poszczególnych, wcześniej zadeklarowanych węzłach. Istnieje możliwość ich bezpośredniego zastosowania także w metodzie PURC i zdaniem autorów mogą one być skuteczne, jednak są też czasochłonne. Bardziej efektywnym i uniwersalnym sposobem byłoby obliczanie pochodnych na podstawie bezpośredniego podstawienia punktów (współrzędnych) do otrzymanych wyrażeń matematycznych aproksymujących pochodne cząstkowe wymaganego rzędu.

Celem pracy jest uzyskanie matematycznych wyrażeń aproksymujących pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Zostały one otrzymane na bazie uogólnienia wcześniej przetestowanych wyrażeń aproksymujących zastosowanych do uzyskania rozwiązań (funkcji brzegowych) w metodzie PURC. Wyrażeniami tymi są uogólnione na dwie zmienne szeregi aproksymujące, dające możliwość efektywnego obliczenia pochodnych w obszarze i na jego brzegu. Ponadto wiarygodność otrzymanej aproksymacji przetestowana została na konkretnych przykładach, a wyniki porównano z wynikami analitycznymi.

2. ALGORYTM APROKSYMACJI POCHODNYCH ROZWIĄZAŃ

Proponowana w pracy aproksymacja pochodnych rozwiązań bazuje na wykorzystaniu i uogólnieniu na większą liczbę zmiennych szeregów (z funkcjami wielomianowymi) stosowanych w PURC do aproksymacji rozwiązań na brzegu. W odróżnieniu od wspomnianych szeregów będą to jednak szeregi zależne od dwóch zmiennych, a za ich pomocą będą interpolowane rozwiązania na brzegu oraz w obszarze. W ich przypadku bez problemów można analitycznie obliczyć pochodne wymaganego rzędu względem wszystkich zmiennych. Ostatecznie otrzymuje się wyrażenie na podstawie którego, w sposób ciągły, można wyznaczać pochodne rozwiązań w dowolnych punktach obszaru i brzegu.

Algorytm aproksymacji zademonstrowano na przykładach płaskich zagadnień teorii sprężystości. Kolejne etapy realizacji omawianej techniki można opisać w sposób następujący:

KROK 1: rozwiązanie PURC dla zadanego kształtu obszaru oraz warunków brzegowych i uzyskanie rozwiązań na brzegu.

Sposób modelowania kształtu brzegu oraz numerycznego rozwiązywania PURC dla zagadnień sprężystych opisano m.in. w [6].

KROK 2: uzyskanie rozwiązań w obszarze na podstawie tożsamości całkowej.

W przypadku prezentowanej techniki najważniejszym elementem jest wybranie odpowiednich punktów z obszaru i/lub brzegu, na bazie których będą interpolowane rozwiązania. Na podstawie otrzymanego wyrażenia będą następnie aproksymowane pochodne w sposób ciągły w całym obszarze wraz z brzegiem. Rozmieszczenie wspomnianych punktów ma istotny wpływ na dokładność dokonywanej aproksymacji.

KROK 3: zastosowanie odpowiedniego wariantu doboru punktów, w których uzyskujemy rozwiązania (rozpatrywane warianty opisano ze szczegółami w punkcie 3. pracy).

KROK 4: wybranie i zastosowanie określonego wariantu rozmieszczenia punktów dobranych

do otrzymania rozwiązań w kroku 3.

KROK 5: uogólnienie szeregu interpolującego z jedną zmienną na szereg z dwiema

zmiennymi; przykładowo w zagadnieniach płaskiej teorii sprężystości dla przemieszczeń u _x jest on przedstawiany w następującej postaci

) ( ) ( )

, (

1

0 1

0

y T x T a y

x

S _{j l}

k

j k

l l k j

u_x













  , (1)

gdzie k jest liczbą punktów (pokazanych na Rys. 1a), w których brane są rozwiązania.

) ( ), (x T y

T_{j l} to dowolne wielomianowe funkcje bazowe. W pracy wykorzystano wielomiany Czebyszewa I rodzaju, które są zdefiniowane w postaci rekurencyjnej [1]

), ( )

( 2 ) ( , ) ( , 1 )

( _{1 1 2}

0 x T x x T x xT x T x

T   _j  _j  _j (2)

zaś a_jkl są niewiadomymi współczynnikami w szeregu S (x,y)

ux (1). Wspomniane współczynniki otrzymywane są na podstawie rozwiązania układu równań (3). Powstaje on w wyniku zapisania szeregu (1) w odpowiednio dobranych i rozmieszczonych n k² punktach obszaru i/lub brzegu i przyrównaniu szeregów do rozwiązań w tych punktach (uzyskanych za pomocą PURC i tożsamości całkowej)





























































































































) , (

...

) , (

) , (

...

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) (

...

...

...

...

...

...

...

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) (

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) ( ...

) ( ) (

1 1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 0

1 1 1 1 1

0 1 1 1

1 1 0 1

0 1 0

1 1 1 1 1

0 1 1 1

1 1 0 1

0 1 0

0 1 0 1 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0

n n xn

x x

n

n k n k n

n k n

k n n

n

k k

k k

k k

k k

y x u

y x u

y x u

a a a

y T x T y

T x T y

T x T y

T x T

y T x T y

T x T y

T x T y

T x T

y T x T y

T x T y

T x T y

T x T

, (3)

gdzie u_x0(x₀,y₀),u_x1(x₁,y₁),...,u_xn1(x_n1,y_n1) to wspomniane rozwiązania, w tym przypadku są to wartości przemieszczeń u uzyskane w _x n punktach (x_i,y_i),i0,1,...,n1. Zastosowanie tej techniki jest równoważne z otrzymaniem wyrażenia matematycznego aproksymującego rozwiązania w obszarze i na brzegu. Innymi słowy otrzymano szereg interpolujący rozwiązania, będący wielomianową funkcją dwóch zmiennych łatwo różniczkowalną.

KROK 6: bezpośrednie zróżniczkowanie szeregów interpolujących rozwiązania względem poszczególnych zmiennych w efekcie prowadzi do otrzymania szeregów aproksymujących pochodne rozwiązań np.

). ) (

( )

, (

), ) ( ( )

, ), (

) ( ( )

, (

1

0 1

0 2

2 1 2

0 1

0 2

1 2

0 1

0

y y T x

x a T

y x

y x S

y x T

x a T

x y x y S

x T x a T

x y x S

j l k

j k

l

l k j u

l k j

j k

l l k j u

l k j

j k

l l k j u

x

x x







 









 







 















































(4)

Za pomocą szeregów (4) można obliczyć pochodne rozwiązań w sposób ciągły w dowolnych punktach obszaru i/lub brzegu. Niezbędne jest jednak wyznaczenie pochodnych cząstkowych wielomianów Czebyszewa względem poszczególnych zmiennych. W tym celu można wykorzystać następujące wzory rekurencyjne [1]

1 , ) ( ) ( ) 1 ( ) ), (

) ( (

2 2

2

1 



 



 





 x

x U x T j j

x x x T

x jU x

T _{j j j}

j

j (5)

gdzie T_j( x) - to wielomiany Czebyszewa I rodzaju, zaś U_j( x) - to wielomiany Czebyszewa II rodzaju [1].

Pokazany na przykładzie przemieszczeń u algorytm może być stosowany analogicznie _x dla dowolnych poszukiwanych rozwiązań.

3. TECHNIKI DOBORU I ROZMIESZCZANIA PUNKTÓW DO INTERPOLACJI

Jak już wspomniano we wcześniejszej części pracy, istotnym elementem algorytmu jest odpowiednie dobieranie punktów, w których będą otrzymywane rozwiązania. W związku z tym zachodziła potrzeba przetestowanie różnych wariantów, w zależności od potrzeb związanych z rozpatrywanym zagadnieniem. W pracy zastosowano i przebadano trzy warianty dobierania punktów, w których niezbędne są dyskretne rozwiązania do aproksymacji pochodnych: 1) tylko w obszarze, 2) na brzegu i w obszarze, 3) tylko na brzegu. Wariant trzeci był wprowadzony na potrzeby aproksymacji pochodnych jedynie na brzegu. Biorąc pod uwagę dwa pozostałe warianty możliwym jest otrzymywanie pochodnych rozwiązań w dowolnych punktach obszaru i brzegu. Warto jednak podkreślić, iż w przypadku rozpatrywania punktów tylko z obszaru, pochodne na brzegu otrzymujemy w wyniku ekstrapolacji.

Kolejnym problemem było zastosowanie odpowiedniej techniki rozmieszczania punktów w ramach wybranego, opisanego powyżej wariantu ich dobierania. Powstawało pytanie czy będzie to miało wpływ na dokładność uzyskiwanych wartości pochodnych. W pracy wybrano i zbadano trzy warianty rozmieszczenia punktów zaprezentowane na rys.1 (na przykładzie

81



n dla 1 wariantu doboru punktów). Początkowo punkty rozmieszczono w sposób najbardziej intuicyjny, a mianowicie równomiernie (rys.1a). Następnie rozpatrywano rozmieszczanie punktów w miejscach odpowiadających miejscom zerowym wielomianów Czebyszewa I rodzaju n-tego stopnia (rys.1b). Takie rozmieszczenie jest znane jako optymalne rozmieszczenie punktów w jednowymiarowych zagadnieniach interpolacji, pozwalające na uniknięcie efektu Rungego. Jako trzeci wariant wybrano rozmieszczenie punktów w węzłach odpowiadających pierwiastkom wielomianu Legendre’a n-tego stopnia (rys. 1c).

a) b) c)

Rys.1. Warianty rozmieszczenia punktów: a) równomierne, b) Czebyszewa, c) Legendre’a W przypadku rozmieszczeń punktów w miejscach pierwiastków wielomianów Czebyszewa lub Legendre’a są one zagęszczone przy krawędziach obszaru i rzadziej, ale równomiernie rozłożone w jego środku. Przy czym w przypadku wielomianów Czebyszewa skrajne punkty są bliżej krawędzi brzegu aniżeli w przypadku wielomianów Legendre’a (rys.1b,c), dlatego też zdecydowano się na przetestowanie obu wariantów rozmieszczeń.

Ostatnim krokiem związanym z tym etapem algorytmu jest automatyczne odwzorowanie wybranego rozmieszczenia punktów, wygenerowanego dla obszaru kwadratowego 11, na dowolnie zmodyfikowany kształt obszaru (rys. 2).

Rys.2. Odwzorowanie rozmieszczenia punktów na dowolnie zmodyfikowany obszar

4. ANALIZA REZULTATÓW

Wiarygodność i dokładność zaproponowanej aproksymacji pochodnych została pokazana na przykładach z zakresu teorii sprężystości. Obliczano naprężenia na brzegu i w obszarze.

Wymagało to znajomości odkształceń, które są pochodnymi cząstkowymi przemieszczeń. W tym celu wykorzystywane są równania konstytutywne [2]

, 2 ),

2 ( 1 2 2

), 2 (

1

2 _x 2 _{x y z y y x y z y xy}

x G

v G Gv

v

G Gv          

   

 





 



 (6)

oraz geometryczne [4] opisujące stan izotropowego, jednorodnego ciała liniowo-sprężystego ), 1 (

: , 0 : ), (

5 . 0 ,

, _y ^y _xy ^{x y} _{z z x y}

x

x v

PSN v x PSO

u y u y

u x

u      

 



 

 





 



 



  (7)

gdzie G to moduł Kirchhoffa, zaś  to współczynnik Poissona. Uzyskane za pomocą zaprezentowanej techniki naprężenia porównano z rozwiązaniami analitycznymi.

W przykładzie pierwszym rozważono kwadratową tarczę 2x obciążoną siłą zginającą 2 przyłożoną wzdłuż jednego z boków (rys.3a). Zagadnienie rozwiązano w PSO, zaś użyte do obliczeń stałe materiałowe to E 1 oraz współczynnik Poissona  0.3.

a) b)

Rys.3. Rozważane geometrie: a) kwadratowa tarcza, b) obszar nieregularny Rozwiązania analityczne [3] przedstawione są za pomocą następujących wzorów

x y

x u

y x

u_x 0.195 ² 0.455( 1)², _y 0.91 ( 1), _x 0, _y  . (8) Na podstawie dostępnych rozwiązań dokładnych (8) wyznaczono wartości błędów względnych dla naprężeń  na brzegu (w 40 punktach, po 10 na każdym boku) i w obszarze _y w wybranym przekroju poziomym 1x1 oraz y0.7. Do otrzymania wyników aproksymacji pochodnych uwzględniano 16 punktów z obszaru oraz brzegu (wariant 2) i wszystkie sposoby ich rozmieszczenia. Rezultaty analizy dla naprężeń w obszarze zaprezentowano na rys.4. W przypadku naprężeń na brzegu średni błąd względny wyniósł 0.039% (dla rozmieszczenia równomiernego).

Jak wynika z rys.4 najbardziej efektywnym jest równomierne rozmieszczanie punktów do interpolacji rozwiązań, gdyż błąd, jakim są obarczone naprężenia, jest minimalny dla różnej liczby tych punktów. W przypadku rozmieszczeń charakteryzujących się zagęszczeniem punktów przy brzegach błąd rośnie wraz ze wzrostem liczby punktów przyjętych do interpolacji. Bardzo mały jest jedynie dla 16 punktów, zaś przy większej ich liczbie rośnie diametralnie, szczególnie w przypadku rozmieszczenia w miejscach pierwiastków wielomianów Czebyszewa. Wynika to z faktu, iż skrajne punkty dobrane do interpolacji znajdują się w bardzo bliskiej odległości od brzegu (rys.1b). Ma to wpływ na większy błąd jakim są obarczone rozwiązania uzyskane w tych punktach, co przekłada się na błąd aproksymacji pochodnych. W przypadku rozmieszczenia w miejscach pierwiastków wielomianów Legendre’a rozwiązania są nieco lepsze, jednak również mamy do czynienia ze wzrostem błędu wraz ze wzrostem liczby punktów przyjętych do interpolacji rozwiązań.

Rys.4. Średnie błędy względne dla naprężeń  w rozpatrywanym przekroju _y

Podsumowując, technika z doborem punktów na brzegu i w obszarze do interpolacji rozwiązań (zastosowanych następnie do aproksymacji pochodnych) dała zadowalające wyniki (wartości naprężeń) dla wszystkich wariantów rozmieszczenia punktów przy małej ich liczbie. W przypadku stosowania większej liczby punktów najlepszy okazał się wariant rozmieszczania równomiernego.

W przykładzie drugim rozważono obszar nieregularny pokazany na rys.3b. Zadanie rozwiązano w PSO, biorąc pod uwagę wartości stałych materiałowych, takie jak w przykładzie pierwszym. Warunki brzegowe zadano na podstawie bardziej złożonych niż poprzednio rozwiązań analitycznych dla pola przemieszczeń

3 2

3

2 2 , 6 2

6xy y u x y x

u_x   _y   . (9)

Na ich podstawie wyznaczono pole naprężeń wykorzystując wzory (6,7) ) (

12 ,

24 ,

24Gxy _y Gxy _xy G x² y²

x      

 . (10)

W przykładzie przebadano wszystkie warianty dobierania punktów do interpolacji rozwiązań oraz ich rozmieszczenia. Pierwszy etap dotyczył analizy naprężeń  w _x dziewięciu punktach przekroju 0.5 x4.5 oraz 3 y5, zaś wyniki tej analizy dla dwóch wariantów dobierania punktów do interpolacji przedstawiono na rys. 5.

Zaprezentowane na rys. 5 rezultaty potwierdziły wnioski wyciągnięte w poprzednim przykładzie. Ponownie najbardziej uniwersalnym wariantem jest równomierne rozmieszczenie punktów do interpolacji rozwiązań, zarówno w samym obszarze, jak i w obszarze i na brzegu. W obu przypadkach średni błąd względny dla naprężeń wyniósł praktycznie 0% (na takim też poziomie pozostaje przy zwiększającej się liczbie punktów do

interpolacji). Przy niewielkiej liczbie punktów do interpolacji (n16,25,36) dużą dokładnością charakteryzują się wszystkie warianty rozmieszczenia, jednak im więcej tych punktów tym bardziej gwałtownie rośnie błąd. Błąd, jakim obciążone są rozwiązania uzyskane z wykorzystaniem tzw. rozmieszczenia w miejscach zerowych wielomianu Czebyszewa, jest wyższy niż dla wielomianu Legendre’a przy tej samej liczbie punktów.

Rozmieszczenia punktów zagęszczone przy brzegach dają również nieco większy błąd, przy tej samej liczbie punktów, gdy rezultaty aproksymuje się, korzystając z wariantu 1 doboru punktów (np. dla n49 rozmieszczenie Legendre’a dla wariantu 2 generuje błąd 0.012%, zaś dla wariantu 1 błąd 2.5%).

a)

b)

Rys.5. Średnie błędy względne  dla wariantów doboru punktów: a) z brzegu i obszaru _x (wariant 2), b) tylko z obszaru (wariant 1).

W kolejnym etapie aproksymowano naprężenia na brzegu. Przetestowano trzy wymienione warianty doboru punktów do interpolacji rozwiązań, gdzie brano pod uwagę 16 równomiernie rozmieszczonych punktów. Wyliczono średni błąd względny dla naprężeń  uwzględniając _x rozwiązania z 36 punktów na brzegu. I tak przy wariancie dobierania punktów z obszaru i brzegu uzyskano błąd 0.013%

x

 . Tę samą procedurę zastosowano, biorąc pod uwagę tylko rozwiązania z obszaru, gdzie naprężenia na brzegu wyznaczono na zasadzie ekstrapolacji. Ponownie średni błąd względny dla tych rozwiązań jest bliski zera:

0.062%

x 

 . Niepowodzeniem (w tym przykładzie) zakończyła się próba zastosowania wariantu dobierania rozwiązań do aproksymacji jedynie z brzegu, gdzie otrzymany błąd przekroczył 20%.

5. WNIOSKI

Zaprezentowane przykłady potwierdziły efektywność zaproponowanej techniki aproksymacji pochodnych dowolnego rzędu. Technika bazuje na interpolacji znanych rozwiązań w wybranych punktach i zróżniczkowaniu wielomianów w szeregach interpolacyjnych. Przetestowano różne warianty dobierania punktów oraz ich rozmieszczenia.

Warianty z rozmieszczeniem na brzegu i w obszarze oraz tylko w obszarze okazały się najbardziej uniwersalne, zaś rozmieszczenie jedynie na brzegu dało poprawne wyniki tylko w niektórych przykładach. Wersja z rozmieszczeniem równomiernym dała dokładne i stabilne wyniki, zaś koncepcje umieszczania ich w miejscach pierwiastków wielomianów Czebyszewa czy Legendre’a okazały się skuteczne tylko dla niewielkiej liczby punktów. Można stwierdzić, że zaproponowana technika pozwala na efektywne rozwiązywanie zagadnień, w których wymagana jest znajomość pochodnych cząstkowych rozwiązań. Dlatego też zachęcające jest jej zastosowanie do rozwiązywania zagadnień plastycznych, gdzie napotkano problem konieczności obliczania silnie osobliwych całek obecnych w tożsamości całkowej dla naprężeń oraz zagadnień identyfikacji bądź optymalizacji.

LITERATURA

1. Abramowitz M., Stegun I. A.: Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. New York: Dover, 1965.

2. Ameen M.: Computational elasticity. Harrow: Alpha Science International Ltd., 2005.

3. Panzeca T., Fujita Yashima H., Salerno M.: Direct stiffness matrices of BEs in the Galerkin BEM formulation. “European Journal of Mechanics and Solids” 2001, 20, p.

277-298.

4. Zieniuk E.: Potential problems with polygonal boundaries by a BEM with parametric linear functions. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2001, 25, p. 185-190.

5. Zieniuk E., Bołtuć A.: Bézier curves in the modeling of boundary geometry for 2D boundary problems defined by Helmholtz equation. “Journal of Computational Acoustics” 2006, 14/3, p. 353-367.

6. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined on polygonal domains modeled by Navier equation. “International Journal of Solid and Structures” 2006, 43, p. 7939-7958.

THE COMPARISON OF METHODS FOR THE APPROXIMATION OF DERIVATIVE OF SOLUTIONS OBTAINED USING PIES METHOD

IN BOUNDARY PROBLEMS

Summary. The paper presents a technique for the approximation of the derivatives of boundary problems solutions obtained by PIES. The main aim was to avoid calculating these derivatives analytically (which is quite complicated, even impossible) or numerically at specific points (because it is time consuming and inefficient). The effectiveness of the proposed technique consists of computing the derivatives in a continuous way and at any points of the boundary and area by developed approximating series. The reliability and accuracy of the strategy has been tested on examples with analytical solutions.