38, s. 205-212, Gliwice 2009
DRGANIA SWOBODNE KOLUMN O OPTYMALNYM KSZTAŁCIE ZE WZGLĘDU NA WARTOŚĆ OBCIĄŻENIA KRYTYCZNEGO
PODDANYCH OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU
JANUSZ SZMIDLA, ANNA WAWSZCZAK
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: szmidla@imipkm.pcz.czest.pl
Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej, Politechnika Częstochowska e-mail: a.wawszczak@gmail.com
Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne dotyczące drgań swobodnych kolumn poddanych obciążeniu eulerowskiemu.
W rozważaniach uwzględnia się zmienną sztywność na zginanie układów oraz sprężystość węzła konstrukcyjnego, modelującego sposób zamocowania kolumn.
Przeprowadza się analizę teoretyczną dotyczącą geometrii układów oraz sformułowania warunków brzegowych. Przebieg częstości drgań własnych wyznacza się dla rozkładu sztywności na zginanie kolumn, przy którym uzyskuje się maksymalne wartości obciążenia krytycznego.
1. WSTĘP
Smukłe układy sprężyste charakteryzuje określony przebieg krzywych częstości drgań własnych w funkcji obciążenia zewnętrznego. W zależności od sposobu utraty stateczności oraz charakteru zmian częstości drgań własnych wyróżnić można układy typu dywergencyjnego, flatterowego oraz dywergencyjnego pseudoflatterowego (por.[1]). Istnieją jeszcze układy hybrydowe, które łączą cechy układu typu dywergencyjnego oraz flatterowego.
W przypadku obciążenia eulerowskiego (por. [2]) o stałym punkcie zaczepienia i stałym kierunku działania, krzywa częstości drgań własnych na płaszczyźnie: obciążenie - częstość drgań własnych ma zawsze nachylenie ujemne [3].
Analizie swobodnych drgań poprzecznych belek Bernoullego - Eulera charakteryzujących się zmiennym przekrojem poprzecznym poświęcono szereg publikacji naukowych. Wyróżnić można prace, w których rozpatrywane układy złożone są z segmentów o skokowo zmiennym polu przekroju poprzecznego (por.[4 - 9]) lub takie, w których przekrój zmieniał w sposób ciągły (por. [10 - 13]). W modelach belek uwzględniono dodatkowo elementy dyskretne, w tym sprężyny translacyjne i rotacyjne oraz masy skupione. Dołączone elementy dyskretne mocowano na końcach układu (por. [5, 12]) lub umieszczono w miejscach zmiany przekroju poprzecznego belki (por. [4, 6, 9, 13]).
W pracy [6] przedstawiono zagadnienie drgań poprzecznych dwusegmentowych belek, które podzielono na trzy zasadnicze grupy w zależności od kształtu pola przekroju poprzecznego układów. Wyznaczono wartość trzech pierwszych częstości drgań własnych przy różnych warunkach zamocowania. Identyczną analizę zmian częstości drgań własnych
poprzecznym, przy czym zmianie podlegał tylko jeden z głównych wymiarów przekroju.
Zmianę przekroju poprzecznego oraz momentu bezwładności przekroju określono funkcją liniową i kwadratową. W pracach [12, 13] modele układów rozbudowano o dodatkowe elementy dyskretne w postaci sprężyn: translacyjnej i rotacyjnej oraz masy skupionej [12] lub dowolnej liczby mas skupionych [13].
W niniejszej pracy przedstawia się wyniki badań teoretycznych i numerycznych dotyczących drgań swobodnych kolumn poddanych działaniu wybranych przypadków obciążenia eulerowskiego. Biorąc pod uwagę modele fizyczne kolumn, sposób podparcia układów oraz rozwiązania konstrukcyjne głowic realizujących obciążenie, formułuje się całkowitą energię mechaniczną układów. Na podstawie rozwiązania zagadnienia brzegowego, które uzyskuje się przy uwzględnieniu kinetycznego kryterium stateczności, prezentuje się przebieg krzywych zmian wartości własnych na płaszczyźnie: obciążenie – częstość drgań własnych. Zakres zmian częstości drgań własnych wyznacza się przy wybranych sztywnościach węzła konstrukcyjnego, modelującego sposób zamocowania kolumn. Przyjęty do obliczeń numerycznych rozkład sztywności na zginanie kolumn odpowiada układom, dla których uzyskuje się maksymalne wartości obciążenia krytycznego, przy przyjętym warunku optymalizacyjnym stałej objętości struktury [14].
2. MODELE FIZYCZNE KOLUMN
Na rys. 1a-b przedstawiono modele fizyczne kolumn, realizujących rozważane przypadki obciążenia eulerowskiego. Kolumna jest sprężyście zamocowana (C1 – współczynnik sprężystości zamocowania) z jednej strony (x1 = 0) oraz obciążona na końcu układu (xn = l) siłą skupioną P o stałym kierunku działania. Obciążenie realizowane jest poprzez strukturę obciążającą, składającą się z głowicy wywołującej i przejmującej obciążenie (por. [16]).
Głowica wywołująca obciążenie zbudowana jest dwóch elementów liniowych (rys.1a) lub z jednego elementu liniowego (rys.1b). Głowicę przejmującą obciążenie stanowi element kołowy (łożysko toczne). Elementy głowic realizujących omawiane przypadki obciążenia Eulera są obiektami rzeczywistymi (por. [15]), stosowanymi w badaniach eksperymentalnych układów smukłych (por. [16]). Kolumna podzielona jest na segmenty (rys. 1c) (indeksy i = 1 ..
n) o przekroju kołowym i sztywności na zginanie (EJi), gdzie: Ji jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego i – tego segmentu kolumny względem osi obojętnej zginania.
Segmenty opisane są przez długość l, średnicę di oraz przemieszczenie poprzeczneWi(xi,t).
Przyjmuje się następujące założenia i oznaczenia stosowane w pracy:
- stałą całkowitą długość kolumnn L oraz stałą długość jej segmentów l (L = n l)
- stałą wartość modułu sprężystości podłużnej E oraz gęstości materiału r wszystkich segmentów kolumny,
- stałą sumaryczną objętość wszystkich segmentów opisujących kształt kolumny.
Wprowadza się przykładowe oznaczenia rozważanych w niniejszej pracy kolumn:
Rys.1. Modele fizyczne kolumn przy obciążeniu eulerowskim
- AO(c*10), BO(c*10) – kolumny optymalizowane o skokowo zmiennej sztywności na zginanie, przy współczynniku sprężystości zamocowania c* = 10, realizujące obciążenie Eulera.
- AP(c*5), BP(c*5)– kolumny porównawcze o stałej sztywności na zginanie EJ (J jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego kolumny porównawczej względem osi obojętnej zginania), przy współczynniku sprężystości zamocowania c* = 5, realizujące obciążenie Eulera.
Bezwymiarowy współczynnik sprężystości zamocowania c* wynosi:
EJ L
c* =C1 (1)
Objętość kolumn AP(c*), BP(c*) jest identyczna jak sumaryczna objętość wszystkich segmentów opisujących kształt układów AO(c*), BO(c*).
3. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO
Zagadnienie brzegowe formułuje się na podstawie zasady Hamiltona, która w przypadku układów konserwatywnych przyjmuje postać:
( )
ò2 - =
1
0
t t
dt V
d T (2)
Energia kinetyczna T prezentowanych w pracy kolumn zgodnie z teorią Bernoullego Eulera jest wyrażona wzorem:
( ) ( )
i n
i
l i i
i dx
t t x W T å A òi
= úûù
êëé
¶
= ¶
1 0
, 2
2
r (3)
1 0û û ë
û ë
ë x=
W zasadzie Hamiltona (2) wykorzystuje się przemienność operacji całkowania (względem xi oraz t) i obliczania wariacji. Po wykonaniu działania wariacji energii kinetycznej (3) oraz wariacji poszczególnych członów energii potencjalnej (4) otrzymuje się:
- równania ruchu rozważanych układów:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i nt t x A W
x t x P W x
t x
EJ W i i i
i i i i
i
i i , , , 0, 1..
2 2 2
2 4
4 = =
¶ + ¶
¶ + ¶
¶
¶ r (5)
- warunki brzegowe odnośnie do punktu zamocowania kolumn:
( )
0, 0,( )
,( )
, 01 0 1 1 1 0 2
1 1 1 2 1
1 1
¶ = - ¶
¶
= ¶
=
= x
x x
t x c W x
t x t W
W (6a-b)
- warunki ciągłości:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 2
1 1 1 2 2 1
2
1 0 1 1
0 3 1
1 3 1
3 1 3 1
1 1
1
, , ,
, ,
, , ,
, 0 ,
+ = + + +
=
+ = + +
=
+ = + + +
= +
+ +
+
¶
= ¶
¶
¶
¶
= ¶
¶
¶
¶
= ¶
¶
= ¶
j j
j
j j
j
j j
j
j x j j j
l x
j j j j x
j j l
x
j j j
j x j j j
l x
j j j j
j j
x t x r W
x t x W x
t x W x
t x W
x t x r W
x t x t W
W t l W
(7a-d)
- warunki brzegowe na swobodnym końcu kolumn (xn = l); układ AO(c*))- wzory (8a-b)) lub układ BO(c*) – wzory (8c-d)):
( ) ( )
, 0 ,
0
, 2
2
¶ =
= ¶
=n
n l
x
n n n n
n x
t x t W
l
W (8a-b)
( ) ( ) ( )
, 0 , ,
, 0 2
3 3 2
2 =
¶ + ¶
¶
= ¶
¶
¶ n=n n=n xn=ln
n n n n
l x
n n n l
x
n n n
x t x k W
x t x W x
t x
W (8c-d)
gdzie: j = 1..(n-1), c1 =C1/
( )
EJ1 , kn2 =P/(
EJn)
, rj+1 =(
EJj+1) ( )
EJj .Rozwiązanie ogólne równań (5) po uprzenim wykonaniu operacji rozdzielenia zmiennych funkcji Wi(xi, t) względem czasu t i współrzędnych xi w postaci:
( )
x t y( ) ( )
x tWi i, = i i cosw (9)
można zapisać następująco:
( )
i i(
i i)
i(
i i)
i(
i i)
i(
i i)
i x C x C x C x C x
y = 1 cosha + 2 cosb + 3 sinh a + 4 sin b (10)
gdzie Cmi są stałymi całkowania (m =1..4) oraz:
( ) ( )
( ) ( )
i i i( )
ii
i i i
i i
i i
i
EJ k P
EJ A
k k
k k
=
=
+ +
= +
+ -
=
,
25 . 0 5
. 0 ,
25 . 0 5
. 0
2 2
5 . 2 0 4 2
5 2 . 2 0 4 2
2
w W r
W b
W a
(11a-d)
Podstawienie rozwiązań (10) do warunków brzegowych (6a-b), (7a-d) oraz (8a-b) lub (8c-d) (po uprzednim rozdzieleniu zmiennych względem czasu t i współrzędnych xi) prowadzi do równania przestępnego na częstość drgań własnych w.
4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH.
W publikacji [14] wykonano stosowne obliczenia odnośnie do optymalizacji kształtu kolumn AO(c*), BO(c*). Biorąc pod uwagę statyczne kryterium stateczności oraz zmodyfikowany przez autorów algorytm symulowanego wyżarzania, wyznaczono wartości parametrów geometrycznych poszczególnych segmentów kolumn, przy których uzyskuje się maksymalne wartości obciążenia krytycznego. Przykładowe kształty optymalizowanych kolumn AO(c*), BO(c*) przy podziale na n = 128 segmentów oraz przy wybranych wartościach współczynnika sprężystości zamocowania c* przedstawiono na rys. 2. Liniami przerywanymi zaznaczono kształt kolumn porównawczych AP(c*), BP(c*). Dodatkowo podano wartość parametru krytycznego obciążenia lc rozpatrywanych układów oraz procentowy wzrost d0 siły krytycznej kolumn AO(c*), BO(c*) w odniesieniu do kolumn porównawczych. Wartość obciążenia krytycznego odnosi się do całkowitej długości kolumny L oraz sztywności na zginanie kolumny porównawczej EJ, czyli:
Rys.2. Kształt optymalizowanych kolumn: a-d) kolumna AO(c*), e-h) kolumna BO(c*) [14]
AO(c), BO(c) w funkcji obciążenia zewnętrznego przy uwzględnieniu zmiennej sztywności na zginanie kolumn (por. rys.2). Ograniczono się (rys.3, rys.4) do określenia charakteru zmian dwóch pierwszych podstawowych częstości drgań własnych w formie bezwymiarowej (W1, W2) w funkcji bezwymiarowego parametru obciążenia l przy wybranych wartościach parametru c* modelującego sposób zamocowania kolumn, przy czym:
( ) ( )
EJ L A EJPL2 2 4
, r w
W
l = = (13a-b)
Rys.3. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr częstości drgań własnych W (układ AO(c*))
Rys.4. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr częstości drgań własnych W (układ BO(c*))
Krzywe (1), (7) – rys.3 oraz krzywe (6) – rys.4 opisują przebieg wartości własnych dla kolumn granicznych odpowiednio: kolumny zamocowanej przegubowo (c* = 0) i kolumny wspornikowej (1/c* = 0). Wartość obciążenia krytycznego otrzymano przy parametrze W = 0.
Rys.5. Krzywe na płaszczyźnie parametr obciążenia l - parametr podstawowej częstości drgań własnych W : a-b) kolumny AO(c*), AP(c*); c-d) kolumny BO(c*), BP(c*)
Na rysunkach 5a-d zaprezentowano zakres zmian podstawowej częstości drgań własnych kolumn AO(c*), BO(c*) (linie ciągłe) oraz kolumn porównawczych AP(c*), BP(c*) (linie przerywane) przy wybranych wartościach parametru c*. Przedstawione przebiegi zmian wartości własnych (por. rys. 3 - 5) mają zawsze nachylenie ujemne. Charakter ich zmian pozwala zaliczyć rozpatrywane układy do układów typu dywergencyjnego. Otrzymane wyniki wartości obciążenia krytycznego, uzyskane na podstawie kinetycznego kryterium stateczności są identyczne jak przy zastosowaniu statycznego kryterium stateczności [14].
Praca wykonana w ramach badań własnych BW – 1-101/202/08/P oraz badań statutowych BS – 1-101/302/99/P.
LITERATURA
1. Tomski L.: Obciążenia układów oraz układy swoiste. Rozdział 1: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych. Praca zbiorowa wykonana pod kierunkiem naukowym i redakcją L. Tomskiego. Warszawa : 2007, WNT, s. 17 – 46.
2. Timoshenko S. P., Gere J. M.: Teoria stateczności sprężystej. Warszawa : Wyd. Arkady, 1963.
3. Leipholz H.H.E.: On conservative elastic systems of the first and second kind. “Ingenieur- Archive” 1974, 43, p. 255 – 271.
4. De Rosa M., Belles N.,. Maurizi M.: Free vibrations of stepped beams with intermediate elastic supports. “Journal of Sound and Vibration” 1995, 181, p. 905-910.
5. Maurizi M., Belles P.: Natural frequencies of one-span beams with stepwise variable cross- section. “Journal of Sound and Vibration” 1993, 168, p. 184-188.
2002, 44, p. 2541-2555.
8. Li Q.: Free longitudinal vibration analysis of multi-step non-uniform bars based on piecewise analytical solutions. “Engineering Structures” 2000, 22, p. 1205-1215.
9. Kukla S., Zamojska I.: Frequency analysis of axially loaded stepped beams by Green’s function method. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 300, p. 1034-1041.
10. Naguleswaran S.: Comments on "Vibration of non-uniform rods and beams". “Journal of Sound and Vibration” 1996, 195, p. 331-337.
11. Abrate S.: Vibration of non-uniform rods and beams. “Journal of Sound and Vibration”
1995, 185, p. 703-716.
12. . Auciello N: Transverse vibrations of a linearly tapered cantilever beam with tip mass of rotatory inertia and eccentricity. “Journal of Sound and Vibration” 1996, 194, p. 25- 34.
13. Wu J., Chen D.: Bending vibrations of wedge beams with any number of point masses.
“Journal of Sound and Vibration” 2003, 262, p. 1073-1090.
14. Szmidla J., Wawszczak A.: Optymalizacja kształtu kolumn realizujących wybrane przypadki obciążenia Eulera za pomocą zmodyfikowanego algorytmu symulowanego wyżarzania. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, seria: Mechanika, 258, 74, 2008, s.321 – 332.
15. Kasprzycki A.: Opis techniczny struktur obciążających kolumny. Rozdział 2: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych.
Praca zbiorowa wykonana pod kierunkiem naukowym i redakcją L. Tomskiego.
Warszawa : WNT, 2007, s. 47 – 60.
16. Tomski L., Szmidla J.: Local and global instability and vibration of overbraced Euler’s column. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2003, 41, 1, p. 137-154.
FREE VIBRATIONS OF COLUMNS WITH OPTIMAL SHAPE CONNECTED WITH CRITICAL LOAD, WHEN EXPOSED TO
EULER’S LOAD
Summary. In this work theoretical and numerical investigations concerning free vibrations of columns under Euler’s load are presented. In considerations one takes into account variable of the flexural rigidity on the lengths of the system and elasticity of constructional joint modelling the method of mounting the column.
Theoretical analysis concerning geometry of the systems and formulation of the boundary condition has been carried out. The course of the natural frequency curves has been calculated for optimal shape columns, for which maximal critical load has been obtained.
