STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMATYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU

41, s. 385-394, Gliwice 2011

STATECZNOŚĆ I DRGANIA SWOBODNE NIEPRYZMATYCZNEGO UKŁADU SMUKŁEGO PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULEROWSKIEMU

JANUSZ SZMIDLA, MICHAŁ KLUBA

Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska e-mail: szmidla@imipkm.pcz.pl

Streszczenie. W pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne dotyczące stateczności i drgań swobodnych kolumn niepryzmatycznych realizujących wybrane przypadki obciążenia eulerowskiego. W rozważaniach uwzględnia się zmienną sztywność na zginanie wzdłuż długości układu. Zmianę przekroju poprzecznego wzdłuż długości kolumny opisuje się funkcją liniową lub kwadratową przy przyjętym dodatkowym kryterium stałej objętości układu.

Przeprowadza się analizę teoretyczną dotyczącą geometrii układów oraz sformułowania warunków brzegowych.

1. WSTĘP

Stateczność i drgania swobodne układów smukłych nie zależą wyłącznie od charakteru obciążenia (obciążenie typu konserwatywnego lub niekonserwatywnego) oraz rodzaju struktur podporowych, ale również od przekroju poprzecznego i zmiany tego przekroju wzdłuż ich długości.

W literaturze naukowej istnieje wiele kryteriów utraty stateczności układów smukłych.

W niniejszej pracy uwzględnia się dwie metody określenia niestateczności rozważanego układu (por. [1, 2, 3]):

- metodę energetyczną ( kryterium statyczne), polegającą na poszukiwaniu obciążenia, przy którym całkowita energia potencjalna przestaje być dodatnio określona),

- metodę drgań (kryterium kinetyczne), polegającą na znalezieniu takiego obciążenia, przy którym swobodny ruch przestaje być ograniczony.

Wyznaczanie obciążenia krytycznego kolumn niepryzmatycznych przy obciążeniu Eulera jest między innymi tematem publikacji [4 - 6], w których opisano model kolumny obciążonej osiowo, przy jej podziale na n - segmentów. Posługując się metodą elementów skończonych [5], uzyskano wzrost obciążenia o 32.5 % (kolumna wspornikowa) przy parametrze n = 20.

W pracy [6] do optymalizacji kształtu kolumn wykorzystano natomiast algorytm symulowanego wyżarzania. Uwzględniając dwa rozwiązania głowic, realizujących obciążenie eulerowskie oraz podział kolumn na n =128 segmentów, otrzymano wzrost obciążenia o 33.89 %. W publikacji [7] na podstawie rozwiązania zagadnienia statyki wyznaczono krytyczny parametr obciążenia kolumny, zamocowanej z dwóch stron w sposób sztywny i obciążonej osiowo. Uwzględniając różny kształt przekroju poprzecznego (przekrój prostokąta, elipsy i ich odpowiedniki jako przekrojów cienkościennych) oraz podział na dwa lub trzy elementy, wykazano wzrost obciążenia o 36.5%. W pracy [8] w modelu układu

zbudowanego z dwóch segmentów o przekroju kołowym, przyjmując stałą objętość i długość układu, uzyskano poprawę wartości obciążenia krytycznego o 21 %. W publikacji [9]

wyznaczono wartość obciążenia krytycznego kolumn, przy zbieżnym parabolicznie lub sinusoidalnie, wzdłuż długości układu przekroju poprzecznym.

Zagadnienie drgań poprzecznych dwusegmentowych belek przedstawiono między innymi w pracy [10]. Rozważane układy podzielono na trzy zasadnicze grupy w zależności od kształtu pola przekroju poprzecznego. Wyznaczono wartość trzech pierwszych częstości drgań własnych przy różnych warunkach zamocowania. Identyczną analizę zmian częstości drgań własnych przeprowadzono w publikacji [11], w której wzięto pod uwagę układy złożone z trzech i więcej segmentów. W przypadku układu zbudowanego z dowolnej skończonej liczby segmentów z dołączonym elementem dyskretnym w postaci masy skupionej lub sprężyny translacyjnej do wyznaczenia zmian wartości własnych wykorzystano własności funkcji Greena [12]. W publikacjach [13, 14] rozpatrywano układy belek o liniowo zmiennym przekroju poprzecznym, przy czym zmianie podlegał tylko jeden z głównych wymiarów przekroju.

W niniejszej pracy prezentuje się badania teoretyczne i numeryczne dotyczące stateczności i drgań swobodnych kolumn niepryzmatycznych przy obciążeniu eulerowskim. Zmianę szerokości przekroju poprzecznego wzdłuż długości kolumny opisuje się funkcją liniową lub kwadratową przy przyjętym dodatkowym kryterium stałej objętości układu. Na podstawie całkowitej energii mechanicznej formułuje się równania ruchu oraz warunki brzegowe rozpatrywanych układów. Biorąc pod uwagę statyczne kryterium stateczności wyznacza się zakres zmian szerokości przekroju poprzecznego układów, przy których uzyskuje się maksymalną wartość obciążenia krytycznego. Przedstawia się również wyniki badań symulacyjnych dotyczących przebiegów zmian wartości własnych na płaszczyźnie:

bezwymiarowy parametr obciążenia – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych.

2. MODELE FIZYCZNE KOLUMN

Na rys. 1a-c przedstawiono modele fizyczne rozważanych kolumn, realizujące wybrane przypadki obciążenia eulerowskiego. Kolumna jest sztywno zamocowana z jednej strony (x1 = 0) oraz obciążona na drugim końcu układu (xn = L) siłą skupioną P. Kolumna podzielona jest na segmenty (rys. 1c) (indeksy i = 1, 2, …, n) o przekroju prostokątnym, masie przypadającej na jednostkę długości (ρA)i i sztywności na zginanie (EJ)i, gdzie: ρ – gęstość materiału, A – pole przekroju poprzecznego, E – moduł Younga, J – moment bezwładności przekroju poprzecznego względem osi obojętnej zginania. Poszczególne segmenty opisano poprzez szerokość b, grubość h, długość l oraz przemieszczenie poprzeczne Wi(x,t).

W pracy przyjęto następujące założenia:

• stałą grubość h oraz długość l segmentów kolumny,

• stałą całkowitą długość kolumny L (L = n l),

• stałą wartość gęstości materiału ρ oraz modułu sprężystości podłużnej E wszystkich segmentów kolumny,

• stałą sumaryczną objętość v wszystkich segmentów opisujących kształt kolumny,

• wartość szerokości b segmentu kolumny musi być większa lub równa wartości grubości h tego segmentu (b≥h),

• kształt układów opisano za pomocą funkcji liniowej (b(x)=2·a(Z)·x+d, 0 ≤ x ≤ l ) oraz za pomocą funkcji kwadratowej (b(x)=2·[a(p, q)·[x-p]²+q], 0 ≤ x ≤ l ).

Bezwymiarowe współczynniki wykorzystane w opisie wynoszą odpowiednio:

h pr

b⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

κ , ¹− ⋅100%

= L

b

Z b ⁿ ,

L p^*= p,

bpr

q^*= q (1÷4)

przy czym indeksem „pr” we wzorach (1÷4) opisano parametry geometryczne kolumny pryzmatycznej (porównawczej).

Rys. 1. Modele fizyczne rozpatrywanych kolumn (a, b); podział kolumny na segmenty (c) Wprowadza się przykładowe oznaczenia rozważanych w niniejszej pracy kolumn:

• AL(κ, Z) – kolumna obciążona jak na rys. 1a, której kształt opisano funkcją liniową o współczynniku kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z,

• BP(κ, p^*, q^*) – kolumna obciążona jak na rys. 1b, której kształt opisano funkcją kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli p^* i q^* oraz współczynniku kształtu przekroju poprzecznego κ.

3. SFORMUŁOWANIE I ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Zagadnienie brzegowe sformułowano na podstawie zasady Hamiltona:

( )

⁰

2

1

=

∫

−

t

t

dt V

δ T (5)

Energia kinetyczna T, sformułowana zgodnie z teorią Bernoullego-Eulera, rozpatrywanych kolumn wynosi:

( ) ( )

∑

₌

∫

^⎜_⎝^⎛∂ _∂ ^⎟_⎠^⎞

= ⁿ

i

l

i i i

i dx

t t x W T A

1 0

, 2

2

ρ (6)

Całkowita energia potencjalna V rozważanych w pracy kolumn jest sumą energii sprężystej zginania oraz energii potencjalnej obciążenia zewnętrznego:

( ) ( ) ∑ ∫ ( )

∑

₌

∫

^⎛_⎜⎜⎝^∂ _∂ ^⎞_⎟⎟⎠ ⁻ _{= ⎜⎜⎝}^⎛∂ _∂ ^⎞_⎟⎟⎠

= ⁿ

i l

i i

i i n

i

l

i i

i i

i dx

x t x W dx P

x t x W V EJ

1 0

2

1 0

2

2

2 ,

2 ,

2 (7)

Po wykonaniu działania wariacji energii kinetycznej (6) oraz wariacji energii potencjalnej (7) otrzymuje się:

- równania ruchu:

( ) ( )

^,

( ) ( )

^,

( )

^, ₀

2 2

2 2

4 4

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂

t t x A W x

t x P W x

t x

EJ W _i ^{i i}

i i i i

i i

i ρ (8)

- warunki brzegowe zamocowania układu (x1=0):

( )

_,

( )

^, ₀

1 0 1 1 1 0

1

1

1 =

∂

=∂

=

=

x

x x

t x t W

x

W (9a,b)

- warunki ciągłości:

( )

_i, _x1=l = _i+1

(

_i+1,

)

_x1=0

i x t W x t

W ,

( ) ( ) ( ) ( )

0 2

1 1 1 2

2 1 2

1 1

, ,

+ = + + +

= ∂ +

= ∂

∂

∂

xi

i i i i l i x

i i

i x

t x EJ W

x t x EJ W

( ) ( )

1 0 1 1

1 1

, ,

+ = + +

= ∂

=∂

∂

∂

i x i i l i x

i i

x t x W x

t x

W ,

( ) ( ) ( ) ( )

0 3

1 1 1 3

3 1 3

1 1

, ,

+ = + + +

= ∂ +

= ∂

∂

∂

xi

i i i i l i x

i i

i x

t x EJ W

x t x

EJ W (10a÷d)

- warunki brzegowe na swobodnym końcu kolumny (xn=l); układ AL(κ, Z) i AP(κ, p^*, q^*) – wzory (11a÷b) lub układ BL(κ, Z) i BP(κ, p^*, q^*) – wzory (11c÷d):

( )

_,

( )

^, ₀

2 2

∂ =

=∂

=

=

l n x

n n l n x n

n

n x

t x t W

x

W (11a,b)

( )

^, ₀

2 2

∂ =

∂

=l n x

n n

n

x t x

W ,

( ) ( )

^,

( )

^, ₀

2 2

∂ = + ∂

∂

∂

=

= n x l

n n l n x

n n n

n

n x

t x P W x

t x

EJ W (11c,d)

4. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO

Do wyznaczenia obciążenia krytycznego wystarcza zastosowanie statycznego kryterium stateczności (metoda energetyczna). Warunek konieczny istnienia minimum całkowitej energii potencjalnej zapisano w postaci:

=0

δV (12)

Energia potencjalna rozważanych układów (por. wzór (7)), po uprzednim rozdzieleniu zmiennych funkcji Wi(xi,t), względem współrzędnych przestrzennych xi oraz czasu t :

( )

^{x t y}

( ) ( )

^{x t}

W_{i i}, = _{i i} cosω (13)

przyjmuje postać:

( ) _∫ [ ( ) ] _∑∫ [ ^{( )} ]

∑

₌ ⁻ ₌

= ⁿ

i l

i i I i l

i i II i n

i

i P y x dx

dx x EJ y

V

1 0

2

0

2

1 2 2 (14)

Uwzględniając relację (14) w warunku (12), otrzymano równania przemieszczeń:

( )

^{x k y}

( )

^{x i n}

y_i^IV _i + _i² _i^II _i =0, =1... (15)

oraz odpowiednie warunki brzegowe (por. wzory (9a,b), (10a÷d), (11a÷d)), przy czym:

( )

i

i P EJ

k² = / .

Rozwiązania ogólne równań (15) opisano funkcjami

( )

_{i i}1sin

( )

_{i i i}2cos

( )

_{i i i}3 _{i i}4

i x D kx D kx D x D

y = + + + (16)

gdzie: D_iγ są stałymi całkowania (γ =1,…,4).

Na podstawie rozwiązań (16) równań przemieszczeń (15) oraz odpowiednich warunków brzegowych uzyskano układ równań, który w formie macierzowej zapisano w postaci:

=0 Λ Λ

GS (17)

gdzie: Λ=

[

D¹¹ D¹¹ D¹¹ D^{11 ...} Dn¹ Dn² Dn³ Dn⁴

]

^T, a GS oznacza macierz kwadratową stopnia zależnego od liczby n segmentów rozpatrywanego układu.

Równanie przestępne na wartość obciążenia krytycznego jest następujące:

=0 GS

det (18)

Na podstawie rozwiązania zagadnienia brzegowego przy kinetycznym kryterium stateczności wyznaczono zakres zmian częstości drgań własnych ω, w funkcji obciążenia zewnętrznego P, rozpatrywanych kolumn. W tym celu bierze się pod uwagę równania ruchu (8), które po rozdzieleniu zmiennych względem współrzędnych przestrzennych xi oraz czasu t (por. wzór (13)), są postaci:

( )

^{x k y}

( )

^{x y}

( )

^{x i n}

y_i^IV _i + _i² _i^II _i −Ω_i² _{i i} =0, =1... (19) Rozwiązania równań (19) wynoszą:

( )

i i

( )

i i i

( )

i i i

( )

i i i

( )

i i

i x C x C x C x C x

y = ₁ coshα + ₂ cosβ + ₃ sinhα + ₄ sin β (20) gdzie Χγι są stałymi całkowania (γ =1,…,4) oraz:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i i

i i i

i i i

i i i i

i

EJ k P EJ A

k k

k k

=

=

Ω + +

= Ω

+ +

−

=

,

, 25

. 0 5 . 0 , 25

. 0 5 . 0

2 2

5 . 2 0 4 2

5 2 . 2 0 4 2

2

ω Ω ρ

β α

(21a÷d)

Po podstawieniu (20) do odpowiednich warunków brzegowych po rozdzieleniu zmiennych (por. wzory (9a,b), (10a÷d), (11a÷d)) otrzymano układ równań:

{

C¹¹ C²¹ C³¹ C^{41 ...} C¹n C²n C³n C⁴n

}

⁼⁰

D col

G (22)

Wyznacznik macierzy współczynników GD przyrównany do zera jest równaniem przestępnym na częstość drgań własnych ω, rozpatrywanych układów, czyli:

=0 GD

det . (23)

5. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

W niniejszym punkcie zaprezentowano wyniki symulacji numerycznych na podstawie statycznych oraz kinetycznych kryteriów stateczności. Przeprowadzono szereg obliczeń

numerycznych w celu wyznaczenia wpływu zmiany przekroju poprzecznego kolumny wzdłuż jej długości na wartość obciążenia krytycznego oraz na wartość częstości drgań własnych.

W ramach obliczeń numerycznych założono zmienną szerokość przekroju, opisując zmianę parametru b funkcją liniową lub kwadratową. Przyjmując kształt badanego układu, uwzględniono jednocześnie stałą jego grubość (parametr h). Analizę przeprowadzono przy wybranych wartościach współczynnika kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z układów AL(κ, Z), BL(κ, Z) oraz współczynników wierzchołka paraboli p^* i q^* kolumn AP(κ, p^*, q^*), BP(κ, p^*, q^*). W obliczeniach przyjęto podział struktur na n = 200 segmentów.

W zakresie statycznego kryterium stateczności wyniki badań zaprezentowano na rys. 2 i 3.

Wartość obciążenia krytycznego Pkr odniesiono do całkowitej długości kolumny L i sztywności na zginanie kolumny pryzmatycznej (EJ)pr.

( )

pr kr

kr EJ

L P ²

λ = (24)

W przypadku kolumn AL(κ, Z) i BL(κ, Z) wartość bezwymiarowego krytycznego parametru obciążenia λkr kolumny pryzmatycznej (porównawczej) odpowiada λkr przy zbieżności Z = 0%. W przypadku kolumn AP(3.125, p^*, q^*), BP(3.125, p^*, q^*) wartość obciążenia krytycznego układu porównawczego zaznaczono linią przerywaną. Na wykresach opisano również maksymalne wartości bezwymiarowego parametru obciążenia λkr kolumn niepryzmatycznych.

Rys. 2. Zmiana parametru obciążenia krytycznego λkr w funkcji zbieżności Z kolumn: a) AL(κ, Z), b) BL(κ, Z)

W zakresie kinetycznego kryterium stateczności wyniki symulacji numerycznych przedstawiono na rys. 4 i 5. Przebieg krzywych zaprezentowano na płaszczyźnie bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych Ω.

( )

EJ pr

PL²

λ= ,

( )

( )

pr pr

EJ L

A ⁴

2 ρ

Ω =ω (25a,b)

Rys. 3. Zmiana parametru obciążenia krytycznego λkr w funkcji zbieżności Z kolumn: a) AP(3.125, p^*, q^*), b) BP(3.125, p^*, q^*)

Ograniczono się jedynie do określenia charakteru zmian dwóch pierwszych częstości drgań własnych (Ω1, Ω2).

Rys. 4. Krzywe na płaszczyźnie bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych Ω kolumn: a) AL(3.125, Z), b) BL(3.125, Z) Wartość obciążenia krytycznego dla przedstawionych krzywych zmian częstości drgań własnych określona jest dla Ω=0. Otrzymane wyniki wartości krytycznego parametru obciążenia, uzyskane na podstawie kinetycznego kryterium stateczności, są identyczne jak przy zastosowaniu statecznego kryterium stateczności (por. wzór (15), (19)). Przedstawione przebiegi zmian wartości własnych (por. rys. 4 - 5) mają zawsze nachylenie ujemne.

Rozpatrywane układy można zaliczyć więc do układów typu dywergencyjnego.

Biorąc pod uwagę przyjęty do obliczeń numerycznych zakres zmian przekroju poprzecznego, na rys. 6 zaprezentowano kształt kolumn niepryzmatycznych, dla których wartość parametru obciążenia krytycznego λkr osiąga wartość maksymalną, przy rozważanych wartościach współczynnika kształtu przekroju poprzecznego κ i zbieżności Z układów AL(κ, Z), BL(κ, Z) oraz współczynników wierzchołka paraboli p^* i q^* kolumn AP(κ, p^*, q^*),

BP(κ, p^*, q^*). Liniami przerywanymi oznaczono kształt kolumn pryzmatycznych. Dodatkowo podano wartość procentowego wzrostu siły krytycznej δ0,

( ) ( )

^100%

0 − ⋅

=

kr pr kr pr kr

λ λ

δ λ (26)

przy czym: (λkr)pr – krytyczny parametr obciążenia kolumny pryzmatycznej (porównawczej).

Rys. 5. Krzywe na płaszczyźnie bezwymiarowy parametr obciążenia λ – bezwymiarowy parametr częstości drgań własnych Ω kolumn: a) AP(3.125, 0.717, q^*),

b) BP(3.125, 0.233, q^*)

Na rys. 7 zaprezentowano zakres zmian wzrostu obciążenia krytycznego δ0 w funkcji zbieżności Z kolumny BL(κ, Z) - rys.7a lub w funkcji współczynnika wierzchołka paraboli p^* kolumny BP(3.125, p^*, q^*) – rys.7b.

Rys. 6. Kształty kolumn niepryzmatycznych a) AL(2, 0), b) BL(8, 11), c) AP(3.125, 0.467, 0.56), d) BP(3.125, 0.233, 0.612)

Największe wartości procentowego wzrostu siły krytycznej otrzymano w przypadku kolumn typu BL(κ, Z) (δ0 = 19.44 %) oraz BP(κ, p^*, q^*) (δ0 = 14.29 %) (por. rys. 7).

Rozważając układ AL(κ, Z) nie uzyskano wzrostu wartości siły krytycznej (δ0 = 0). Natomiast

w przypadku kolumny AP(κ, p^*, q^*) otrzymano jedynie wzrost wartości procentowego wzrostu siły krytycznej około δ0 = 0.52 %.

Rys. 7. Zmiana wartości wzrostu obciążenia krytycznego δ0 w funkcji: a) zbieżności Z - kolumna BL(κ, Z), b) współczynnika wierzchołka paraboli p - kolumna BP(3.125, p^*, q^*)

Praca wykonana w ramach stypendium i grantu badawczego finansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego oraz grantu nr N N501 117236 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego.

LITERATURA

1. Wesołowski Z.: Zagadnienia dynamiczne nieliniowej teorii sprężystej. Warszawa: PWN, 1974.

2. Ziegler H.: Principles of structural stability. Blaisdell Publ.Comp. 1968.

3. Tomski L.: Obciążenia układów oraz układy swoiste. Rozdz. 1: drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych. W: Praca zbiorowa pod kier. Nauk. i red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007, s.17 – 46.

4. Bochenek B., Tajs-Zielińska K.: Optimization of beams and columns using cellular automata. “Czasopismo Techniczne” z. 5 - Mechanika Z. 4-M. Wyd. Pol. Krak., 2008, s.19 – 30.

5. Simitses G.J., Kamat M.P., Smith C.V.: Strongest column by the finite element method.

“American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal” 1973, 11, 9, p. 1231 – 1232.

6. Szmidla J., Wawszczak A.: Optymalizacja kształtu kolumn realizujących wybrane przypadki obciążenia Eulera za pomocą zmodyfikowanego algorytmu symulowanego wyżarzania. Zesz. Nauk. Pol. Rzesz. s. Mechanika, 258, 74, 2008, s.333-344.

7. Maalawi K. Y.: Buckling optimization of flexible columns. “International Journal of Solids and Structures” 2002, 39, p. 5865–5876.

8. Bogacz R., Imiełowski SZ., Tomski L.: Optimalization and stability of columns on example of conservative and nonconservative systems.”Machine Dynamics Problems”

1998, 20, p. 35 – 47.

9. Lee B. K., Carr A. J., Lee T. E., Kim I. J.: Buckling loads of columns with constant volume. “Journal of Sound and Vibration” 2006, 294, p.381- 387.

10. Naguleswaran S.: Natural frequencies, sensitivity and mode shape details of an Euler- Bernoulli beam with one-step change in cross-section and with ends on classical supports.

“Journal of Sound and Vibration” 2002, 252, p. 751-767.

11. Naguleswaran S.: Vibration of an Euler-Bernoulli beam on elastic end supports and with up to three step changes in cross-section. “International Journal of Mechanical Sciences”

2002, 44, p. 2541-2555.

12. Kukla S., Zamojska I.: Frequency analysis of axially loaded stepped beams by Green’s function method. “Journal of Sound and Vibration” 2007, 300, p. 1034-1041.

13. Naguleswaran S.: Comments on "Vibration of non-uniform rods and beams". “Journal of Sound and Vibration” 1996, 195, p. 331-337.

14. Abrate S.: Vibration of non-uniform rods and beams. “Journal of Sound and Vibration”

1995, 185, p.703-716.

STABILITY AND FREE VIBRATIONS OF

A NON-PRISMATIC SLENDER SYSTEM SUBJECTED TO EULER’S LOAD

Summary. This paper presents theoretical and numerical research concerning stability and free vibrations of non-prismatic columns subjected selected cases of Euler’s load. The text describes the variable flexural rigidity throughout the elements of the system. The change of a cross-section along column’s length is described by a linear or quadratic function using the accepted additional criterion of a constant volume within the system. A theoretical analysis concerning the geometry of systems and the formulation of boundary conditions is being carried out.