DRGANIA SWOBODNE TELESKOPOWEGO SIŁOWNIKA HYDRAULICZNEGO PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULERA

(1)

DRGANIA SWOBODNE TELESKOPOWEGO SIŁOWNIKA HYDRAULICZNEGO

PODDANEGO OBCIĄŻENIU EULERA

Sebastian Uzny

^1a

, Łukasz Kutrowski

^1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska

auzny@imipkm.pcz.pl, ^bkutrowski@imipkm.pcz.pl

Streszczenie

W niniejszej pracy przedstawiono zagadnienie brzegowe dotyczące drgań swobodnych teleskopowego siłownika hydraulicznego jednostronnego działania, poddanego obciążeniu Eulera. Na podstawie zagadnienia brzegowego, sformułowanego na podstawie kinetycznego kryterium stateczności (przy wykorzystaniu zasady Hamiltona) przeprowadzono obliczenia dotyczące drgań poprzecznych układu. W pracy rozważano siłownik zamocowany przegubowo na obydwu jego końcach. Wyniki obliczeń numerycznych otrzymane na podstawie zagadnienia brzegowego przedstawiono w postaci bezwymiarowej. Określono wpływ parametrów siłownika (parametry grubości cylindrów oraz grubości uszczelnień) na wartość pierwszej częstości drgań własnych układu. Wyniki przeprowadzonych symulacji numerycznych przedstawiono w postaci krzywych charakterystycznych (krzywych na płaszczyźnie obcią- żenie – częstość drgań własnych).

Słowa kluczowe: poprzeczne drgania swobodne, teleskopowy siłownik hydrauliczny, zasada Hamiltona, siła ściskająca

FREE VIBRATIONS OF A HYDRAULIC TELESCOPIC CYLINDER SUBJECTED TO EULER’S LOAD

Summary

This thesis revolves around boundary value problem involving free vibrations of a hydraulic telescopic single act- ing cylinder, subjected to Euler’s load. Calculations concerning free transverse vibrations were performer based on boundary value problem, formulated in reference to kinetic stability criterion (using Hamilton’s principle). In this paper hydraulic cylinder was considered to be a simply supported system. The results, based on boundary value problem, were presented in non-dimensional form. Influence of cylinder parameters (parameter of cylinder thickness and sealing thickness) on first natural frequency were determined in this paper. The results of numerical simulations were presented on characteristic curves (curves in the plane load – natural frequency).

Keywords: free transverse vibrations, telescopic hydraulic cylinder, Hamilton’s principle, compressive load

1. WSTĘP

Siłowniki są szeroko stosowanymi w przemyśle silnikami, w których energia czynnika roboczego jest przekształca- na w energię mechaniczną ruchu postępowego. Podsta- wowym kryterium podziału siłowników jest rodzaj medium, które wykonuje pracę czynną. Zgodnie z tym kryterium rozróżnia się siłowniki pneumatyczne, hydrauliczne oraz elektryczne. W dwóch pierwszych konstruk- cjach medium roboczym są odpowiednio sprężone powie- trze oraz olej hydrauliczny. W trzecim rozwiązaniu ruch

roboczy tłoczyska realizowany może być za pomocą silnika elektrycznego połączonego z mechanizmem śrubowym. Ze względu na sposób działania rozróżnia się siłowniki jedno- oraz dwustronnego działania.

W pierwszym przypadku ciśnienie czynnika roboczego wykorzystywane jest przy ruchu tłoczyska w jedną stronę (przy rozsuwaniu siłownika). Zsuwanie do pozycji wejściowej realizowane jest poprzez inny układ, np.

sprężysty. W przypadku siłowników stosowanych

(2)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski w podnośnikach warsztatowych wykorzystany jest

wpływ podnoszonej masy, która po ustaniu ciśnienia w układzie zasilającym samoczynnie powoduje zsunięcie siłownika. W siłownikach dwustronnego działania z pewnione jest sterowanie zarówno wysuwaniem, jak i zsuwaniem tłoczyska siłownika. W zależności od stopni siłownika rozróżnia się siłowniki jednostopniowe oraz wielostopniowe (teleskopowe). Siłowniki jednosto niowe, a w szczególności siłowniki pneumatyczne wane są w automatyce przemysłowej, gdzie nośność takich siłowników nie jest zbyt wysoka

niki hydrauliczne jednostopniowe najczęściej spotyka się we wszelkiego rodzaju maszynach budowlanych (kopa kach, koparko – ładowarkach, zwyżkach

wane są jako napędy poszczególnych członów roboczych maszyny. Innym zastosowaniem siłowników hydraulic nych jednostopniowych są napędy pras hydraulicznych warsztatowych oraz stojaków hydraulicznych o małym zasięgu roboczym.

Siłowniki hydrauliczne wielostopniowe się występowaniem większej liczby cylindrów la na zwielokrotnienie zasięgu roboczego

Stosowane są wówczas, gdy pożądane jest uzyskanie dużej siły ruchu roboczego w połączeniu z koniecznością szerokiego zakresu jego pracy. Wykorzystywane najczęściej w układach udźwigu naczep w samochodach ciężarowych, górniczych stojakach hydraulicznych oraz windach o zasięgu kilku pięter.

W niniejszej pracy rozważa się drgania własne telesk powego siłownika hydraulicznego poddanego działaniu obciążenia osiowego, o kierunku zgodnym z nieodkszta coną osią układu. Dwa modele obliczeniowe, odnośnie do siłowników hydraulicznych, opracował Tomski Pierwszy z nich odnosi się do poprzecznych drgań sw bodnych oraz do stateczności statycznej siłowników.

Model ten stosuje się w siłownikach charakteryzujących się dużą smukłością [4]. Drugi z nich odnosi się do drgań wzdłużnych. Stosuje się go w układach

smukłości [6] oraz gdy sztywność elementó

wpływa znacząco na obniżenie częstości drgań wzdłu nych. Stosowalność danego modelu obliczeniowego determinują wartości częstości drgań własnych analiz wanego układu.

Poprzeczne drgania swobodne siłowników hydraulic nych jednostopniowych rozważane były w pracach Zaprezentowano w nich wyniki symulacji numerycznych określających wpływ parametrów siłownika na jego stateczność oraz drgania własne. W pracach uwzględniono różne sposoby zamocowań siłownika oraz następujące parametry siłownika: sztywności zamocowań siłownika, sztywności tłoczyska oraz cylindra, stopień przekrycia, sztywności uszczelnień oraz prowadzeń.

W pracy [2] opisano przypadek drgań poprzecznych siłownika odnośnie do siłownika krępego oraz smukłego,

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski wykorzystany jest

, która po ustaniu ciśnienia w układzie zasilającym samoczynnie powoduje zsunięcie

dwustronnego działania za- pewnione jest sterowanie zarówno wysuwaniem, jak i

W zależności od liczby stopni siłownika rozróżnia się siłowniki jednostopniowe Siłowniki jednostop- w szczególności siłowniki pneumatyczne, stoso- , gdzie wymagana nośność takich siłowników nie jest zbyt wysoka. Siłow- niki hydrauliczne jednostopniowe najczęściej spotyka się we wszelkiego rodzaju maszynach budowlanych (kopar-

ładowarkach, zwyżkach), gdzie stoso- członów roboczych maszyny. Innym zastosowaniem siłowników hydraulicznych jednostopniowych są napędy pras hydraulicznych warsztatowych oraz stojaków hydraulicznych o małym

Siłowniki hydrauliczne wielostopniowe charakteryzują cylindrów, co pozwa- la na zwielokrotnienie zasięgu roboczego siłownika.

dane jest uzyskanie dużej siły ruchu roboczego w połączeniu z koniecznością Wykorzystywane są ej w układach udźwigu naczep w samochodach ciężarowych, górniczych stojakach hydraulicznych oraz

W niniejszej pracy rozważa się drgania własne teleskopowego siłownika hydraulicznego poddanego działaniu

o kierunku zgodnym z nieodkształ- Dwa modele obliczeniowe, odnośnie do

opracował Tomski [4,6].

Pierwszy z nich odnosi się do poprzecznych drgań swobodnych oraz do stateczności statycznej siłowników.

charakteryzujących ]. Drugi z nich odnosi się do drgań ach o mniejszej oraz gdy sztywność elementów zasilania wpływa znacząco na obniżenie częstości drgań wzdłuż-

Stosowalność danego modelu obliczeniowego determinują wartości częstości drgań własnych analizo-

Poprzeczne drgania swobodne siłowników hydraulicz- żane były w pracach [2-9].

nich wyniki symulacji numerycznych określających wpływ parametrów siłownika na jego stateczność oraz drgania własne. W pracach uwzględniono różne sposoby zamocowań siłownika oraz sztywności zamocowań siłownika, sztywności tłoczyska oraz cylindra, stopień przekrycia, sztywności uszczelnień oraz prowadzeń.

] opisano przypadek drgań poprzecznych siłownika odnośnie do siłownika krępego oraz smukłego,

wypełnionego powietrzem oraz czynnikiem hydraulic nym. W pracy [4] przedstawiono przypadek występow nia luzu w węzłach siłownika (

tłoczyska oraz cylindra). W razie pojawiania się węzłowych w układzie występuje podłużne zginanie [4]) W pracach [9,10] przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych odnośnie do jednostopniowego siłownika hydraulicznego, potwierdzające poprawność modeli obliczeniowych.

Celem badań prowadzonych w ramach niniejszej pracy jest określenie wpływu dwóch bezwymiarowych param trów siłownika, parametrów grubości cyli

grubości uszczelnień, na wartość pierwszej częstości drgań własnych teleskopowego siłownika hydraulicznego.

Otrzymane wyniki zostaną przedstawione w postaci krzywych charakterystycznych na płaszczyźnie be miarowej (parametr obciążenia zewnętrznego pierwszej częstości drgań własnych).

2. ZAGADNIENIE BRZEGOWE

Na rys. 1. przedstawiono schemat rozważanego n – stopniowego siłownika hydraulicznego

składa się z n-1 cylindrów oraz pracy rozważa się siłownik w pełni

zamocowany przegubowo na obu jego końcach.

W przedstawionym modelu uwzględnia się

pomiędzy kolejnymi członami siłownika, modelowane za pomocą sprężyn rotacyjnych CRi

uszczelniających i prowadzących

członów siłownika zostały uzależnione od średnicy tłoczyska d^t, grubości cylindrów oraz grubości uszcze nień. Średnice kolejnych cylindrów

wewnętrzną) można obliczyć na podstawie następuj cych zależności:

= +2( − ) +2( − )

zi t U R

d d n i g n i g

= +2( − ) +2( −1)

wi t U R

d d n i g n g

gdzie: gU i gR są odpowiednio grubościami uszczelnień oraz cylindrów.

Rys. 1. Schemat teleskopowego siłownika hydraulicznego poddanego działaniu obciążenia Eulera

oraz czynnikiem hydraulicz- ] przedstawiono przypadek występowa- w węzłach siłownika (pomiędzy elementami

razie pojawiania się luzów węzłowych w układzie występuje podłużne zginanie (por.

przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych odnośnie do jednostopniowego siłownika hydraulicznego, potwierdzające poprawność

Celem badań prowadzonych w ramach niniejszej pracy jest określenie wpływu dwóch bezwymiarowych parame-

parametrów grubości cylindrów oraz na wartość pierwszej częstości drgań własnych teleskopowego siłownika hydraulicznego.

Otrzymane wyniki zostaną przedstawione w postaci krzywych charakterystycznych na płaszczyźnie bezwy-

zewnętrznego – parametr pierwszej częstości drgań własnych).

ZAGADNIENIE BRZEGOWE

przedstawiono schemat rozważanego hydraulicznego. Układ ten cylindrów oraz tłoczyska. W niniejszej w pełni rozsunięty oraz przegubowo na obu jego końcach.

modelu uwzględnia się sztywności pomiędzy kolejnymi członami siłownika, modelowane za

Ri oraz masę elementów uszczelniających i prowadzących mi. Wymiary kolejnych ależnione od średnicy grubości cylindrów oraz grubości uszczel- nień. Średnice kolejnych cylindrów (zewnętrzną oraz

można obliczyć na podstawie następują-

= +2( − ) +2( − )

zi t U R

d d n i g n i g (1)

= +2( − ) +2( −1)

wi t U R

d d n i g n g (2)

są odpowiednio grubościami uszczelnień

siłownika hydraulicznego ia Eulera

(3)

Każdy z członów siłownika charakteryzuje się odpo- wiednio sztywnością na zginanie (EI)ⁱ i masą przypada- jącą na jednostkę długości (ρA)ⁱ. Ponadto uwzględniono masę czynnika roboczego, znajdującego się w poszcze- gólnych cylindrach (ρA)ci ((ρA)cn=0). Człony o indek- sach 1,2…(n-1) odpowiadają kolejnym cylindrom siłow- nika, natomiast człon n odpowiada tłoczysku.

Zagadnienie brzegowe odnośnie do drgań własnych rozważanego siłownika formułuje się na podstawie zasady Hamiltona. Energię potencjalną V oraz kinetycz- ną T rozpatrywanego układu można zapisać w następu- jącej formie:

( )

( ) ( )

+

=

− =

+ +

= + =

∂ 

=   +

 ∂ 

∂ 

−   +

 ∂ 

∂ ∂ 

 

+ −

∂ ∂

 

 

∑∫

∑

1 2 2

2 1 0

2

1 0

2 1

1 1

1 1 0

1 , 2

, ,

1 2

i

i i

i

n l

i i

n l

i i

i

i i

x l

n

i i i i

Ri

i i i x

Y x t

V EJ dx

x

Y x t

P dx

x

Y x t Y x t

C x x

(3)

( )

ρ

= =

−

=

−

=

∂ 

=  ∂  +

∂ 

 

+ +

 ∂ 

 ∂ 

 

 ∂ 

 

∑ ∫

∑

∑ ∫

2

1 0 2

1

1 2

1

1 0

( , ) 1

2

( , ) 1

2

( , ) 1

2

i

n l

i i

i x l

n

i i

i

i l

n

i i

ci i i

Y x t

T A dx

t Y x t

m t

Y x t

A dx

t

(4)

Po uwzględnieniu energii potencjalnej i kinetycznej oraz wykonaniu niezbędnych przekształceń matematycz- nych uzyskuje się różniczkowe równania ruchu układu oraz naturalne warunki brzegowe. Różniczkowe równa- nia ruchu po uwzględnieniu rozwiązania harmonicznego Yi(x,t) = yi(xi)cos(ωt) można zapisać następująco:

( )

( ) ( )

( )

ρ ω

+ − +

− = =

4 2 2

2

4 2 2

2 2

2 0 1...

i i i i i i

i i

i i i

i i

ci

i

d y x d y x d y x

EI P A

dx dx dx

d y x

A dla i n

dx ⁽⁵⁾

Warunki brzegowe (geometryczne oraz naturalne) są w postaci:

1(0) 0=

y (6a)

= ( ) 0

n n

y l (6b)

( )

=

1 0

2

1 1

1 2

1

( ) 0 d y x x

EI d x ^(6c)

( )

=

− =

2

( ) 0

n n

x l

n n

d y x

EI d x ^(6d)

= +₁

( ) (0)

i i i

y l y (6e)

( )

( ) ( )

+

=

+ +

+ =

− +

 

 

− − =

 

 1 

2

1 1

1 0

0

i i

i

x l

i i

x l

i i i i

Ri

i i x

d y x EI dx

dy x dy x

C dx dx

(6f)

( )

( ) ( )

+

+ +

+

+ =

=

+ +

+ =

+

 

 

+ − =

 

 

1

1 2

1 1

1 2

1 0

1 1

1 0

0

i

i i

i

i i

i

i x

x l

i i i i

Ri

i i x

d y x

EI dx

dy x dy x

C dx dx

(6g)

( )

( ) ( )

ω

+

=

+ +

+

+ =

=

+ +

+ =

=

+

− +

+ =

1

1 3

3

1 1

1 3

1 0

1 1

1 0

2 ( ) 0

i i

i

i i

i

i i

x l

i i

i

i x

x l

i i i i

i i x

x l

i i i

d y x EI dx

d y x

EI dx

dy x dy x

P P

dx dx

m y x

(6h)

Rozwiązanie równań różniczkowych (5) można przed- stawić za pomocą funkcji:

α α

β β

= + +

+ +

( ) cosh( ) sinh( )

cos( ) sin( )

i i i i i i i i

i i i i i i

y x A x B x

C x D x

(7)

gdzie:

α = − + + Ω β = + + Ω

2 4 2 4

2 2

2 4 ; 2 4

i i i i

k k k k

(8,9)

ρ + ρ ω

Ω = =

2

2 (( ) ( ) ) 2

( ) ; ( )

i ci

i i

A A P

EI k EI ^(10,11)

Podstawiając rozwiązania (7) do warunków brzegowych (6a-h), otrzymuje się układ równań, którego wyznacznik macierzy współczynników przyrównany do zera jest równaniem przestępnym, wykorzystywanym do wyzna- czania częstości drgań własnych układu.

(4)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski

3. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

W niniejszej pracy przedstawiono wyniki obliczeń num rycznych odnoszących się do wpływu bezwymiarowych parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cyli drów na krzywe charakterystyczne przy różnej liczbie określającej stopień siłownika. Wyniki przedstawione na płaszczyźnie obciążenie – częstość drgań własnych są istotne w przypadku układów, na które działa obciążenie ściskające. Uwzględniając fakt, że rozpatrywanym w pracy układem jest siłownik, w przypadku którego istnieje duże prawdopodobieństwo oddziaływania na niego sił zmiennych w czasie mogących powodować powstawanie rezonansu, uzasadniona jest prezentacja wyników w postaci krzywych charakterystycznych.

Krzywe charakterystyczne przedstawion bezwymiarowej (parametr obciążenia

parametr pierwszej częstości drgań własnych). Ponadto w pracy zaprezentowano wykresy, na których przedst wiono zmianę parametru pierwszej częstości drgań

Rys. 2a-e. Krzywe charakterystyczne na płaszczyźnie parametr obciążenia różnych wartościach parametru ζGR oraz różnych stopni siłownika Na rys. 2a-e zaprezentowano wpływ

parametru grubości cylindrów na kształt krzywych charakterystycznych. Przy wybranych

parametru ζ^GR wraz z jego wzrostem obserwuje się przecinanie krzywych charakterystycznych uwzględnieniu jedno- oraz dwustopniowego siłowni Wykazano, że w większości rozpatrywanych przypa ków, zwiększając grubość cylindrów, zwiększa się ró nież częstość drgań własnych. W siłowniku jednosto

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski

OBLICZEŃ

W niniejszej pracy przedstawiono wyniki obliczeń nume- bezwymiarowych parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylin-

przy różnej liczbie Wyniki przedstawione na częstość drgań własnych są , na które działa obciążenie że rozpatrywanym w pracy układem jest siłownik, w przypadku którego istnieje duże prawdopodobieństwo oddziaływania na niego sił zmiennych w czasie mogących powodować niona jest prezentacja wyników w postaci krzywych charakterystycznych.

przedstawiono w postaci bezwymiarowej (parametr obciążenia zewnętrznego – parametr pierwszej częstości drgań własnych). Ponadto na których przedsta- parametru pierwszej częstości drgań

własnych, odpowiadającemu połowie wartości siły krytycznej, w zależności od zmian parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów

siłownika. W analizowanym przypadk

średnicę tłoczyska, a długości poszczególnych jego członów dobrano tak, aby całkowita długość

była stała. W przedstawionych obliczeniach przyjęto nieskończoną sztywność pomiędzy kolejnymi elementami (1/CRi = 0). Wpływ parametru sztywności pomiędzy członami na drgania teleskopowego siłownika hydra licznego był rozpatrywany w pracy [

wartościach parametrów ζGR oraz

parametry siłownika zdefiniowano następująco

ζ = ζ = λ= Ω =

2 2 4

; ; ;

( ) ( )

U R C n C

GU GR

t t n n

g g Pl A l

d d EI EI

gdzie: ζGU – parametr grubości uszczelnień, metr grubości cylindrów, λ –

zewnętrznego, Ω* - parametr pierwszej częstości drgań własnych.

Krzywe charakterystyczne na płaszczyźnie parametr obciążenia – parametr pierwszej częstości drgań własnych różnych stopni siłownika

e zaprezentowano wpływ bezwymiarowego na kształt krzywych . Przy wybranych wartościach wraz z jego wzrostem obserwuje się przecinanie krzywych charakterystycznych przy

oraz dwustopniowego siłownika.

Wykazano, że w większości rozpatrywanych przypad- zwiększając grubość cylindrów, zwiększa się rów- nież częstość drgań własnych. W siłowniku jednostop-

niowym i dwustopniowym zaobserwowano, że przy odpowiednio dużej grubości cylindra częstość drgań własnych może charakteryzować się mniejszą

w porównaniu z układem, w którym zastosowano cyli der (cylindry) o mniejszej grubośc

występuje jednak do pewnej wartości siły obciążającej i przy małej liczbie stopni. Przy większych siłach z wnętrznych częstość drgań układu o grubszych cyli drach jest zawsze większa od częstości siłownika z

, odpowiadającemu połowie wartości siły krytycznej, w zależności od zmian parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów, różnych stopni W analizowanym przypadku przyjęto stałą długości poszczególnych jego by całkowita długość siłownika przedstawionych obliczeniach przyjęto nieskończoną sztywność pomiędzy kolejnymi elementami Wpływ parametru sztywności pomiędzy na drgania teleskopowego siłownika hydraulicznego był rozpatrywany w pracy [11] przy wybranych

oraz ζGU. Bezwymiarowe zdefiniowano następująco:

= = = Ω =ω ρ

2 2 4

* ( )

; ; ;

( ) ( )

U C n C

t t n n

g Pl A l

d d EI EI

(12)

parametr grubości uszczelnień, ζGR – para- – parametr obciążenia parametr pierwszej częstości drgań

parametr pierwszej częstości drgań własnych przy

niowym i dwustopniowym zaobserwowano, że przy odpowiednio dużej grubości cylindra częstość drgań nych może charakteryzować się mniejszą wartością , w którym zastosowano cylin- o mniejszej grubości. Taka własność występuje jednak do pewnej wartości siły obciążającej i przy małej liczbie stopni. Przy większych siłach ze-

częstość drgań układu o grubszych cylindrach jest zawsze większa od częstości siłownika z

(5)

mniejszą grubością ścianek cylindrów. Stosując zwię szoną liczbę stopni siłownika, częstość drgań własnych zwiększa się wraz ze wzrostem grubości cylindró

nika (w rozpatrywanym zakresie przyjętych do badań grubościach rur cylindrów), niezależnie od wartości ściskającej siły zewnętrznej. W siłownikach o większej liczbie członów przy uwzględnionych wartościach par metru ζ^GR nie zaobserwowano przecinania

Rys. 3a-e. Krzywe charakterystyczne na płaszczyźnie parametr obciążenia nych wartości parametru ζGU dla różnych stopni siłow

Na rys. 3a-e przedstawiono wpływ bezwymiarowego parametru grubości uszczelnień i prowadzeń

krzywych charakterystycznych. Zaobserwowano,

ze wzrostem tego parametru następuje przesunięcie krzywych charakterystycznych w kierunku wyższych wartości częstości drgań własnych. Zmiana parametru ζGU wpływa bezpośrednio na zmianę sztywno

układu Wraz ze wzrostem wartości

Rys. 4a,b. Zależność bezwymiarowego parametru pierwszej częstości drgań własnych w funkcji parametru przy uwzględnieniu różnej liczby określającej stopień siłownika

mniejszą grubością ścianek cylindrów. Stosując zwięk- częstość drgań własnych zwiększa się wraz ze wzrostem grubości cylindrów siłow-

(w rozpatrywanym zakresie przyjętych do badań niezależnie od wartości siłownikach o większej liczbie członów przy uwzględnionych wartościach para-

nie zaobserwowano przecinania się krzywych

charakterystycznych. Zmiana parametru wzrost sztywności oraz masy całego układu

ści od liczby stopni siłownika wpływ zmiany grubości cylindrów na sztywność układu oraz masę całkowitą jest inny. Z tego powodu występują

przecięcia krzywych charakterystycznych mniejszej liczbie stopni.

charakterystyczne na płaszczyźnie parametr obciążenia – parametr pierwszej częstości drgań własnych dla ró dla różnych stopni siłownika

e przedstawiono wpływ bezwymiarowego i prowadzeń na postać krzywych charakterystycznych. Zaobserwowano, że wraz ze wzrostem tego parametru następuje przesunięcie krzywych charakterystycznych w kierunku wyższych . Zmiana parametru wpływa bezpośrednio na zmianę sztywności całego wartości parametru ζGU

zwiększeniu ulegają średnice cylindrów, przy zachowaniu stałej ich grubości. Wpływ tego parametru na wartość przesunięcia krzywych jest tym większy, im wyższy jest stopień siłownika. Wynika to ze zwielokrotnienia uszczelnień w danym układzie. Większy wpływ grubości uszczelnienia i prowadzenia na częstości drgań własnych zaobserwowano przy większych obciążeniach zewnętr nych.

. Zależność bezwymiarowego parametru pierwszej częstości drgań własnych w funkcji parametru ζ przy uwzględnieniu różnej liczby określającej stopień siłownika

charakterystycznych. Zmiana parametru ζ^GRwpływa na wzrost sztywności oraz masy całego układu. W zależno- ści od liczby stopni siłownika wpływ zmiany grubości cylindrów na sztywność układu oraz masę całkowitą jest Z tego powodu występują charakterystyczne charakterystycznych siłowników o

częstości drgań własnych dla róż-

kszeniu ulegają średnice cylindrów, przy zachowaniu . Wpływ tego parametru na wartość przesunięcia krzywych jest tym większy, im wyższy jest stopień siłownika. Wynika to ze zwielokrotnienia liczby ładzie. Większy wpływ grubości uszczelnienia i prowadzenia na częstości drgań własnych obserwowano przy większych obciążeniach zewnętrz-

ζGR (4a) oraz ζGU (4b)

(6)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski Na rys. 4a przedstawiono wpływ parametru

na wartość bezwymiarowej pierwszej częstości drgań własnych siłownika przy uwzględnieniu różnych jego stopni oraz siły zewnętrznej równej połowie siły kr tycznej. Zgodnie z wcześniejszymi wynikami

że wpływ zmiany parametru ζ^GR na parametr pierwszej częstości drgań własnych rośnie wraz z liczbą stopni siłownika. Zaprezentowane relacje Ω*(ζG

Przy mniejszej liczbie określającej stopień

wpływ grubości rury na częstość drgań własnych jest niewielki.

Na rys. 4b przedstawiono wpływ parametru na wartość parametru pierwszej częstości drgań wł snych siłownika. Wyniki zaprezentowano przy różnych stopniach siłownika (1÷5). Wykazano, że im mniejsza liczba określająca stopień siłownika, tym wpływ grubości uszczelnienia i prowadzenia jest również mniejszy.

4. PODSUMOWANIE

W niniejszej pracy rozważano zagadnienie brzegowe odnośnie do poprzecznych drgań własnych teleskopow go siłownika hydraulicznego, poddanego działaniu

Literatura

1. Liu, F., Liu, B., Liu, H. et al.: Vertical vibration of strip mill with hydraulic cylinder. “ Int. J. Precis. Eng. Manuf.

2. Monroig-Saltar F. M.: Transverse vibration pro tions.

3. Sochacki W., Tomski L.: Free vibration and Problems” 1999, 23(4), p. 91-104.

4. Tomski L.: Elastic carrying capacity of a hydraulic prop

5. Tomski L.: Elastic stability of hydraulic props of longwall supports 217-231.

6. Tomski L.: Dynamika stojaków hydraulicznych obudów górniczych 17.

7. Tomski L.: Forced vibrations of hydraulic props of longwall supports p. 19-33.

8. Tomski L., Uzny S.: Stateczność i drgania swobodne siłownika hydraulicznego sprężyście zamocowanego Rzeszów: Pol. Rzesz., 2008. ZN Pol.

9. Tomski L., Uzny S.: A hydraulic cylinder subjected to taking into account discrete elastic elements

3, p. 769-785.

10. Uzny S.: Free vibrations and stability of hydraulic cylinder fixed elastically on both ends Mech.” 2009, 9, p. 303-304.

11. Uzny S., Kutrowski Ł.: The effect of torsional lic cylinder subjected to Euler’s load Vol. 16, No. 3, p. 117-122, 2017.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creat http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski przedstawiono wpływ parametru ζ^GR

pierwszej częstości drgań przy uwzględnieniu różnych jego oraz siły zewnętrznej równej połowie siły kry- . Zgodnie z wcześniejszymi wynikami wykazano,

na parametr pierwszej częstości drgań własnych rośnie wraz z liczbą stopni

GR) są nieliniowe.

Przy mniejszej liczbie określającej stopień siłownika wpływ grubości rury na częstość drgań własnych jest

przedstawiono wpływ parametru ζGU stości drgań wła- snych siłownika. Wyniki zaprezentowano przy różnych

no, że im mniejsza liczba określająca stopień siłownika, tym wpływ grubości uszczelnienia i prowadzenia jest również mniejszy.

W niniejszej pracy rozważano zagadnienie brzegowe drgań własnych teleskopowego siłownika hydraulicznego, poddanego działaniu

obciążenia Eulera. Wyniki obliczeń numerycznych przedstawiono w postaci bezwymiarowej oraz odniesiono do sztywności na zginanie, masy jednostkowej tłoczyska oraz długości całkowitej siłownika.

bezwymiarowych parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów na wartość pierwszej częstości drgań własnych rozpatrywanego układu.

ne przeprowadzono w przypadku różnej liczby, określ jącej stopień siłownika (uwzględniono siłown

stopnie wynoszą 1÷5). W kolejnych pracach odnośnie do rozważanego siłownika hydraulicznego można prowadzić badania, mające na celu określenie wpływu sztywności elementów uszczelniających i prowadzących oraz luzów występujących w miejscach oddz

nych elementów wchodzących w skład układu, na jego stateczność oraz drgania własne. Wyniki zaprezentowane w niniejszej pracy mogą być wykorzystywane przez konstruktorów układów hydrauliki siłowej w szczególn ści wtedy,gdy tego typu układy stosowane są w miejscu, w którym istnieje zagrożenie wzbudzenia drgań o okr ślonej częstości.

ertical vibration of strip mill with the piecewise nonlinear constraint Eng. Manuf.” 201, 16: 1891. doi:10.1007/s12541-015-0246

Transverse vibration properties of hydraulic cylinders. Purdue University

vibration and dynamic stability of a hydraulic cylinder set.

ity of a hydraulic prop. “Engineering Transactions” 1977 stability of hydraulic props of longwall supports. “Archives of Mining Science

Dynamika stojaków hydraulicznych obudów górniczych. Częstochowa 1979.

vibrations of hydraulic props of longwall supports. “Archives of Mining Science

Stateczność i drgania swobodne siłownika hydraulicznego sprężyście zamocowanego . Rzesz., s. Mechanika, 258, 74, s. 369-380.

hydraulic cylinder subjected to Euler's load in aspect of the stability taking into account discrete elastic elements. “Archives of Civil and Mechanical Engineering

vibrations and stability of hydraulic cylinder fixed elastically on both ends

The effect of torsional rigidity between elements on free vibrations of a telescopic hydra s load. “Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

obciążenia Eulera. Wyniki obliczeń numerycznych ci bezwymiarowej oraz odniesiono zginanie, masy jednostkowej tłoczyska oraz długości całkowitej siłownika. Określono wpływ bezwymiarowych parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów na wartość pierwszej częstości drgań układu. Symulacje numerycz- w przypadku różnej liczby, określa- (uwzględniono siłowniki, których W kolejnych pracach odnośnie do rozważanego siłownika hydraulicznego można prowadzić mające na celu określenie wpływu sztywności elementów uszczelniających i prowadzących oraz luzów występujących w miejscach oddziaływania poszczegól- nych elementów wchodzących w skład układu, na jego stateczność oraz drgania własne. Wyniki zaprezentowane w niniejszej pracy mogą być wykorzystywane przez konstruktorów układów hydrauliki siłowej w szczególno-

dy stosowane są w miejscu, w którym istnieje zagrożenie wzbudzenia drgań o okre-

nonlinear constraint arising from 0246-3

Purdue University 2003. Disserta-

c stability of a hydraulic cylinder set.”Machine Dynamics

1977, 25(2), p. 247-263.

Science” 1978, 23(3), p.

zęstochowa 1979. Praca habilitacyjna nr

Archives of Mining Science” 1979, 24(1),

Stateczność i drgania swobodne siłownika hydraulicznego sprężyście zamocowanego.

stability and free vibrations Archives of Civil and Mechanical Engineering” 2011, Vol.11, No.

vibrations and stability of hydraulic cylinder fixed elastically on both ends. “Proc. Appl. Math.

rigidity between elements on free vibrations of a telescopic hydrau- mputational Mechanics” 2017,

ive Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.