Twierdzenie Taylora, uoglniony wz´or ca lkowy Cauchy’ego, funkcje ca lkowite, Twierdzenie Liouville’a
Definicja 1.
D ⊂ C, f : D → C. Powiemy, ˙ze f jest analityczna w obszarze D je´sli dla ka˙zdego z0 ∈ D istnieje D(z0, ε) ⊂ D taki, ˙ze f rozwija sie w szereg f (z) =, P∞
n=0cn(z − z0)n w D(z0, ε).
Twierdzenie 1.(o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora)
D ⊂ C, D-obszar. Je˙zeli funkcja f ∈ H(D), z0 ∈ D, D(z0, r) ⊂ D, to f mo˙zna przedstawi´c w tym kole w postaci sumy szeregu potegow, ego,
f (z) =
∞
X
n=0
cn(z − z0)n i cn= 1 2πi
Z
∂D(z0,r)
f (ζ)
(ζ − z0)n+1dζ, gdzie ∂D(z0, r) jest zorientowany dodatnio.
Wniosek 1.
Z twierdzenia o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego wynika lo, H(D) ⊆ A(D)., Z twierdzenia Taylora wynika, ˙ze A(D) ⊆ H(D). Zatem A(D) = H(D).
Uwaga 1.
Poniewa˙z wsp´o lczyniki szeregu Taylora sa wyznaczone jednoznacznie zatem, cn= f(n)(z0)
n! oraz cn = 1 2πi
Z
∂D(z0,r)
f (ζ)
(ζ − z0)n+1dζ, to
f(n)(z0) = n!
2πi Z
∂D(z0,r)
f (ζ)
(ζ − z0)n+1dζ.
Wynika stad nast, epuj, ace twierdzenie.,
Twierdzenie 2.(o uog´olnionym wzorze ca lkowym Cauchy’ego)
Je˙zeli funkcja f jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednosp´, ojnego D i na jego brzegu ∂D,
∂D jest konturem, to dla ∀z ∈ D
f(n)(z) = n!
2πi Z
∂D
f (ζ) (ζ − z)n+1dζ,
1
gdzie n = 0, 1, 2, . . . . Uwaga 2.
Funkcja holomorficzna w obszarze D ma w tym obszarze pochodne dowolnie wysokiego rzedu., Uwaga 3.
Je˙zeli f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest holomorficzna w obszarze D, to funkcje u i v maja, pochodne czastkowe dowolnie wysokiego rz, edu.,
Twierdzenie 3. (odwrotne do podstawowego tw. ca lkowego Cauchy’ego)(Morery) D ⊂ C, D-obszar jednosp´ojny. Je˙zeli funkcja f ∈ C(D) i dla ka˙zdego konturu K ⊂ D
Z
K
f (z)dz = 0, to f ∈ H(D).
Szeregi Taylora funkcji elementarnych 1. ez = 1 + 1!z + z2!2 + +z3!3 + . . . =P∞
k=0 zk k!. 2. sin z = z − z3!3 +z5!5 − z7!7 + . . . =P∞
k=0(−1)k z(2k+1)!2k+1 . 3. cos z = 1 − z2!2 + z4!4 − z6!6 + . . . =P∞
k=0(−1)k z(2k)!2k . 4. cosh z =P∞
k=0 z2k (2k)!. 5. sinh z =P∞
k=0 z2k+1 (2k+1)!.
6. Rozwina´,c w szereg Taylora o ´srodku w punkcie z0 6= 0 ga la´,z logarytmu.
Wiadomo, ˙ze w obszarze jednosp´ojnym, nie zawierajacym 0 i ∞, istnieje ga l, a´,z loga- rytmu. Zatem promie´n r ko la o ´srodku w punkcie z0 w kt´orym szereg bedzie zbie˙zny, musi spe lnia´c r < |z0|. Policzymy pochodne f (z) = Lnz.
f0(z) = z−1, f00(z) = −z−2, . . . f(n)(z) = (−1)n−1(n − 1)!z−n. Stad,
Lnz = Ln(z0) + z − z0
z0 − 1 2
z − z0 z0
2
+ . . . + (−1)n−1 n
z − z0 z0
n
+ . . . ....
2
Przyjmujac z, 0 = 1 i zastepuj, ac z przez 1 + z otrzymamy dla warto´sci g l´, ownej logarytmu rozwiniecie,
Ln(1 + z) = z − z2 2 + z3
3 + . . . + (−1)n−1zn
n + . . . ....
w kole |z| < 1.
Twierdzenie 4.(nier´owno´s´c Cauchy’ego)
Je˙zeli f ∈ H(D(z0, R)) oraz istnieje M > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego z ∈ D(z0, R), zachodzi
|f (z)| ≤ M . Wtedy wsp´o lczynniki szeregu Taylora funkcji o ´srodku w z0 spe lniaja nier´, owno´s´c
|cn| ≤ M
Rn, n = 0, 1, 2, . . .
Definicja 2.
Funkcje holomorficzn, a w ca lej p laszczy´, znie C nazywamy funkcja ca lkowit, a., Wielomiany, ez, sin z, cos z sa funkcjami ca lkowitymi.,
Twierdzenie 5.(Liouville’a)
Funkcja ca lkowita i ograniczona jest sta la.
Twierdzenie 6. (d’Alamberta-podstawowe tw. algebry)
Ka˙zdy wielomian stopnia n ≥ 1 w dziedzinie zespolonej ma co najmniej 1 pierwiastek.
Wniosek 2. (Twierdzenie Bezout)
Ka˙zdy wielomian stopnia n ≥ 1 ma w dziedzinie zespolonej dok ladnie n pierwiastk´ow.
Definicja 3.
Punkt a nazywamy zerem funkcji holomorficznej je´sli f (a) = 0. Punkt a nazywamy zerem k-krotnym funkcji holomorficznej je´sli f (a) = f0(a), . . . , f(k−1)(a) = 0, fk(a) 6= 0.
Twierdzenie 7. (o zerach funkcji holomorficznej)
D ⊂ C, D-obszar, f ∈ H(D), f 6= const, a ∈ D. Je´sli a jest zerem funkcji f , to ∃k ∈ N i otoczenie U punktu a takie, ˙ze f (z) = (z − a)kφ(z), gdzie φ ∈ H(D), φ(z) 6= 0 w pewnym otoczeniu U punktu a.
3
Wniosek 3.
Pukty zerowe funkcji holomorficznej sa izolowane., Wniosek 4.
Funkcja ca lkowita ma przeliczalnie wiele zer w C.
Twierdzenie 8. (o jednoznaczno´sci funkcji holomorficznej)
D ⊂ C, D-obszar, f1, f2 ∈ H(D). Niech F bedzie podzbiorem D maj, acym pukt skupienia, a ∈ D oraz ∀z ∈ F zachodzi f1(z) = f2(z). Wtedy ∀z ∈ D zachodzi f1(z) = f2(z).
4
