6.12.2018, kl 1b
Wzór włączeń-wyłączeń.
Zadanie 1. Zbiory A, B, C mają skończenie wiele elemementów. Udowodnij wzory
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|.
Uogólnij te wzory na przypadek n zbiorów.
Zadanie 2. Ile jest liczb całkowitych od 1 do 2018 podzielnych przez (a) 2 lub 3;
(b) 2 lub 3 lub 5.
Zadanie 3. Niech |A ∪ B ∪ C| = 1000. Czy jest możliwe, by: |A| = 510, |B| = 490, |C| = 427,
|A ∩ B| = 189, |A ∩ C| = 140, |B ∩ C| = 85?
Zadanie 4. Spośród 300 uczniów klas trzecih i czwartych liceum 100 wzięło udział w olimpiadzie ma- tematycznej, 80—fizycznej, 60—informatycznej; w tym 23—w matematycznej i fizycznej, 16— w matematycznej i informatycznej, 14— w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzięło udział
(a) tylko w olimpiadzie matematycznej, (b) tylko w jednej olimpiadzie,
(c) w co najmniej jednej olimpiadzie?
Zadanie 5. Ile jest permutacji 26 liter alfabetu A, B, C, . . . , Z, które nie zawierają żadnego z nastę- pujących słów: PUTNAM, EXAM, DEC, FIRST ?
Zadanie 6. Ile jest ciągów długości 10 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 6}, w których każda z liczb 1, 2, . . . , 6 występuje co najmniej raz.
Ćwiczenia przed klasówką:
Zadanie 7. Zbadaj, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości (a) A ∪ (A ∩ B) = B,
(b) (A ∪ B) \ A = B,
(c) (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) = (A ∩ C) ∪ (A ∩ D) ∪ (B ∪ C) ∪ (B ∪ D), (d) (A ∪ B)4B = A4(A ∩ B).
Zadanie 8. Dowieść, że jeżeli A1 ⊃ A2 ⊃ . . . oraz B1 ⊃ B2 ⊃ . . ., to
∞
\
n=1
(An∪ Bn) = (
∞
\
n=1
An) ∪ (
∞
\
n=1
Bn)
Zadanie 9. Niech Ω będzie zbiorem wszystkich wielokątów o polu równym 1, A—podzbiorem trójką- tów równoramiennych, B—podzbiorem trójkątów równobocznych, C—podzbiorem trój- kątów prostokątnych (wszystko o polu równym 1). Wyznacz zbiory A ∩ B ∩ C, A ∩ B0∩ C, A0∩ B0 ∩ C.
Zadanie 10. Dokończ zdania używając języka i symboli logiki matematycznej:
(a) Liczbę d nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej n, jeśli ...
(b) Mówimy, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n spełnione jest zdanie p(n), jeśli ...
(c) Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych m, n nazywamy liczbę D spełniającą ...
Zadanie 11. Zapisz zdania używając języka i symboli logiki matematycznej:
(a) Każda liczba naturalna ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest liczbą pierwszą.
(b) Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez dwa daje resztę 0 lub 1.
(c) Nie istnieje największa liczba naturalna.
(d) W dowolnym ciągu naturalnym istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych.
Zadanie 12. Udowodnij, korzystając z aksjomatów liczb rzeczywistych, że
(a) Jeśli co najmniej trzy spośród liczb a, b, c, d są dodatnie oraz a < b i c < d, to ac < bd;
(b) x2+ x + 1 > 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x;
Zadanie 13. Wstaw ∧, ∨, → lub ↔ w tak, by otrzymać tautologię:
(a) (p ∧ q) ∨ r ↔ (p ∨ r)(q ∨ r), (b) ((¬p) → p)p.
Zadanie 14. Oceń wartość logiczną zdania
∀x,z∈R∃y∈R(x < y) → ((x < z) ∧ (z < y)).
Zadanie 15. Powtórzyć reguły wnioskowania, zagadki logiczne.
2
