6.12.2018, kl 1b
Wzór wª¡cze«-wyª¡cze«.
Zadanie 1. Zbiory A, B, C maj¡ sko«czenie wiele elemementów. Odowodnij wzory
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|,
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|.
Uogólnij te wzory na przypadek n zbiorów.
Zadanie 2. Ile jest liczb caªkowitych od 1 do 2018 podzielnych przez (a) 2 lub 3;
(b) 2 lub 3 lub 5.
Zadanie 3. Niech |A ∪ B ∪ C| = 1000. Czy jest mo»liwe, by: |A| = 510, |B| = 490, |C| = 427,
|A ∩ B| = 189, |A ∩ C| = 140, |B ∩ C| = 85?
Zadanie 4. Spo±ród 300 uczniów klas trzecih i czwartych liceum 100 wzi¦ªo udziaª w olimpiadzie ma- tematycznej, 80 zycznej, 60informatycznej; w tym 23w matematycznej i zycznej, 16 w matematycznej i informatycznej, 14 w zycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzi¦ªo udziaª we wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzi¦ªo udziaª
(a) tylko w olimpiadzie matematycznej, (b) tylko w jednej olimpiadzie,
(c) w co najmniej jednej olimpiadzie?
Zadanie 5. Ile jest permutacji 26 liter alfabetu A, B, C, . . . , Z, które nie zawieraj¡ »adnego z nast¦- puj¡cych sªów: PUTNAM, EXAM, DEC, FIRST ?
Zadanie 6. Ile jest ci¡gów dªugo±ci 10 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 6}, w których ka»da z liczb 1, 2, . . . , 6 wyst¦puje co najmniej raz.
wiczenia przed klasówk¡:
Zadanie 7. Zbadaj, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodz¡ równo±ci (a) A ∪ (A ∩ B) = B,
(b) (A ∪ B) \ A = B,
(c) (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) = (A ∩ C) ∪ (A ∩ D) ∪ (B ∪ C) ∪ (B ∪ D), (d) (A ∪ B)4B = A4(A ∩ B).
Zadanie 8. Dowie±¢, »e je»eli A1 ⊃ A2 ⊃ . . .oraz B1 ⊃ B2 ⊃ . . ., to
∞
\
n=1
(An∪ Bn) = (
∞
\
n=1
An) ∪ (
∞
\
n=1
Bn)
Zadanie 9. Niech Ω b¦dzie zbiorem wszystkich wielok¡tów o polu równym 1, Apodzbiorem trójk¡- tów równoramiennych, Bpodzbiorem trójk¡tów równobocznych, Cpodzbiorem trój- k¡tów prostok¡tnych (wszystko o polu równym 1). Wyznacz zbiory A∩B ∩C, A∩B0∩ C, A0∩ B0 ∩ C.
Zadanie 10. Doko«cz zdania u»ywaj¡c j¦zyka i symboli logiki matematycznej:
(a) Liczb¦ d nazywamy dzielnikiem liczby naturalnej n, je±li ...
(b) Mówimy, »e dla dostatecznie du»ych liczb naturalnych n speªnione jest zdanie p(n), je±li ...
(c) Najmniejsz¡ wspóln¡ wielokrotno±ci¡ liczb naturalnych m, n nazywamy liczb¦ D speªniaj¡c¡ ...
Zadanie 11. Zapisz zdania u»ywaj¡c j¦zyka i symboli logiki matematycznej:
(a) Ka»da liczba naturalna ma przynajmniej jeden dzielnik, który jest liczb¡ pierwsz¡.
(b) Ka»da liczba naturalna przy dzieleniu przez dwa daje reszt¦ 0 lub 1.
(c) Nie istnieje najwi¦ksza liczba naturalna.
(d) W dowolnym ci¡gu naturalnym istnieje niesko«czenie wiele liczb zªo»onych.
Zadanie 12. Udowodnij, korzystaj¡c z aksjomatów liczb rzeczywistych, »e
(a) Je±li co najmniej trzy spo±ród liczb a, b, c, d s¡ dodatnie oraz a < b i c < d, to ac < bd;
(b) x2+ x + 1 > 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x;
Zadanie 13. Wstaw ∧, ∨, → lub ↔ w tak, by otrzyma¢ tautologi¦:
(a) (p ∧ q) ∨ r ↔ (p ∨ r)(q ∨ r), (b) ((¬p) → p)p.
Zadanie 14. Oce« warto±¢ logiczn¡ zdania
∀x,z∈R∃y∈R(x < y) → ((x < z) ∧ (z < y)).
Zadanie 15. Powtórzy¢ reguªy wnioskowania, zagadki logiczne.
2
