1. Pokaza¢, »e Fn

(1)

procesy stochastyczne I rok matematyki II-go stopnia

lista 3

1. Pokaza¢, »e F n = σ(X ₁ , X ₂ , . . . , X _n ) jest najmniejsz¡ ltracj¡ tak¡, »e ci¡g (X n ) _n∈N jest adop- towany do ltracji (F n ) _n∈N .

2. Niech (F n ) _n∈N b¦dzie ltracj¡. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne a) {τ ≤ n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N,

b) {τ = n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N.

3. Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe te» s¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N :

a) τ − 1;

b) τ + 1;

c) τ ² ; d) √

τ .

4. Rozwa» poprzednie zadanie dla ltracji {F t : t ∈ [0, ∞)} .

5. Udowodnij, »e zmienna losowa τ ≡ a jest momentem stopu wzgl¦dem dowolnej ltracji.

6. Niech τ 1 , τ ₂ b¦d¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T . Udowodni¢, »e wówczas τ 1 ∨ τ ₂ oraz τ 1 ∧ τ ₂ s¡ równie» momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T .

7. Niech (X n ) _n∈N b¦dzie ci¡giem zmiennych losowych adaptowanych wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . a) Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem

stopu.

b) Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) po chwili τ jest momentem stopu.

c) Udowodni¢, »e chwila k-tej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem stopu.

8. Rzucamy monet¡. Niech X 1 , X ₂ , . . . b¦d¡ zmiennymi losowymi, okre±lonymi nast¦puj¡co - zmi- enna losowa X i przyjmuje warto±¢ 1 je±li w i-tym rzucie wypadªa reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe s¡ momentami stopu wzgl¦dem naturalnej

ltracji F k = σ(X ₁ , . . . , X _k ), k = 1, 2, . . . . a) τ = 1;

b) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n = 2} ; c) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n ≥ 2} ; d) τ = inf{n ∈ N : X n+1 = −1}

e) τ = inf{n ∈ N : X n = −1} ; f) τ = inf{n ∈ N : X n−1 = −1} ;

g) τ + 1, gdzie τ jest równe ilo±ci reszek w pierwszym rzucie

(2)

9. Niech F ∞ = σ( S

t∈T

) oraz τ - (F t ) -moment stopu. Zdeniujmy rodzin¦ zdarze« obserwowalnych do chwili τ

1. Pokaza¢, »e Fn

procesy stochastyczne I rok matematyki II-go stopnia

lista 3

1. Pokaza¢, »e F n = σ(X ₁ , X ₂ , . . . , X _n ) jest najmniejsz¡ ltracj¡ tak¡, »e ci¡g (X n ) _n∈N jest adop- towany do ltracji (F n ) _n∈N .

2. Niech (F n ) _n∈N b¦dzie ltracj¡. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne a) {τ ≤ n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N,

b) {τ = n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N.

3. Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe te» s¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N :

a) τ − 1;

b) τ + 1;

c) τ ² ; d) √

τ .

4. Rozwa» poprzednie zadanie dla ltracji {F t : t ∈ [0, ∞)} .

5. Udowodnij, »e zmienna losowa τ ≡ a jest momentem stopu wzgl¦dem dowolnej ltracji.

6. Niech τ 1 , τ ₂ b¦d¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T . Udowodni¢, »e wówczas τ 1 ∨ τ ₂ oraz τ 1 ∧ τ ₂ s¡ równie» momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T .

7. Niech (X n ) _n∈N b¦dzie ci¡giem zmiennych losowych adaptowanych wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . a) Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem

stopu.

b) Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) po chwili τ jest momentem stopu.

c) Udowodni¢, »e chwila k-tej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem stopu.

8. Rzucamy monet¡. Niech X 1 , X ₂ , . . . b¦d¡ zmiennymi losowymi, okre±lonymi nast¦puj¡co - zmi- enna losowa X i przyjmuje warto±¢ 1 je±li w i-tym rzucie wypadªa reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe s¡ momentami stopu wzgl¦dem naturalnej

ltracji F k = σ(X ₁ , . . . , X _k ), k = 1, 2, . . . . a) τ = 1;

b) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n = 2} ; c) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n ≥ 2} ; d) τ = inf{n ∈ N : X n+1 = −1}

e) τ = inf{n ∈ N : X n = −1} ; f) τ = inf{n ∈ N : X n−1 = −1} ;

g) τ + 1, gdzie τ jest równe ilo±ci reszek w pierwszym rzucie

9. Niech F ∞ = σ( S

t∈T

) oraz τ - (F t ) -moment stopu. Zdeniujmy rodzin¦ zdarze« obserwowalnych do chwili τ

F _τ := {A ∈ F ∞ : ∀ _t∈T A ∩ {τ ≤ t} ∈ F _t }.

Pokaza¢, »e

a) F τ jest σ-ciaªem;

b) je±li t 0 ∈ T oraz τt 0 , to F τ = F _t

;

c) je±li tau ≤ σ, gdzie σ jest (F t ) -momentem stopu, to F τ ⊂ F _σ ;

d) F τ ∧σ = F _τ ∩ F _σ .

1. Pokaza¢, »e Fn

procesy stochastyczne I rok matematyki II-go stopnia

lista 3

1. Pokaza¢, »e F n = σ(X 1 , X 2 , . . . , X n ) jest najmniejsz¡ ltracj¡ tak¡, »e ci¡g (X n ) n∈N jest adop- towany do ltracji (F n ) n∈N .

2. Niech (F n ) n∈N b¦dzie ltracj¡. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne a) {τ ≤ n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N,

b) {τ = n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N.

3. Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) n∈N . Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe te» s¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) n∈N :

a) τ − 1;

b) τ + 1;

c) τ 2 ; d) √

τ .

4. Rozwa» poprzednie zadanie dla ltracji {F t : t ∈ [0, ∞)} .

5. Udowodnij, »e zmienna losowa τ ≡ a jest momentem stopu wzgl¦dem dowolnej ltracji.

6. Niech τ 1 , τ 2 b¦d¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) t∈T . Udowodni¢, »e wówczas τ 1 ∨ τ 2 oraz τ 1 ∧ τ 2 s¡ równie» momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) t∈T .

7. Niech (X n ) n∈N b¦dzie ci¡giem zmiennych losowych adaptowanych wzgl¦dem ltracji (F n ) n∈N . a) Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem

stopu.

b) Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) n∈N . Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) n∈N w zbiorze B ∈ B(R) po chwili τ jest momentem stopu.

c) Udowodni¢, »e chwila k-tej wizyty ci¡gu (X n ) n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem stopu.

8. Rzucamy monet¡. Niech X 1 , X 2 , . . . b¦d¡ zmiennymi losowymi, okre±lonymi nast¦puj¡co - zmi- enna losowa X i przyjmuje warto±¢ 1 je±li w i-tym rzucie wypadªa reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe s¡ momentami stopu wzgl¦dem naturalnej

ltracji F k = σ(X 1 , . . . , X k ), k = 1, 2, . . . . a) τ = 1;

b) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X 2 + . . . + X n = 2} ; c) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X 2 + . . . + X n ≥ 2} ; d) τ = inf{n ∈ N : X n+1 = −1}

e) τ = inf{n ∈ N : X n = −1} ; f) τ = inf{n ∈ N : X n−1 = −1} ;

g) τ + 1, gdzie τ jest równe ilo±ci reszek w pierwszym rzucie

9. Niech F ∞ = σ( S

t∈T

) oraz τ - (F t ) -moment stopu. Zdeniujmy rodzin¦ zdarze« obserwowalnych do chwili τ

F τ := {A ∈ F ∞ : ∀ t∈T A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t }.

Pokaza¢, »e

a) F τ jest σ-ciaªem;

b) je±li t 0 ∈ T oraz τt 0 , to F τ = F t

;

c) je±li tau ≤ σ, gdzie σ jest (F t ) -momentem stopu, to F τ ⊂ F σ ;

d) F τ ∧σ = F τ ∩ F σ .

1. Pokaza¢, »e F n = σ(X ₁ , X ₂ , . . . , X _n ) jest najmniejsz¡ ltracj¡ tak¡, »e ci¡g (X n ) _n∈N jest adop- towany do ltracji (F n ) _n∈N .

2. Niech (F n ) _n∈N b¦dzie ltracj¡. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne a) {τ ≤ n} ∈ F n dla ka»dego n ∈ N,

3. Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe te» s¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N :

c) τ ² ; d) √

4. Rozwa» poprzednie zadanie dla ltracji {F t : t ∈ [0, ∞)} .

5. Udowodnij, »e zmienna losowa τ ≡ a jest momentem stopu wzgl¦dem dowolnej ltracji.

6. Niech τ 1 , τ ₂ b¦d¡ momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T . Udowodni¢, »e wówczas τ 1 ∨ τ ₂ oraz τ 1 ∧ τ ₂ s¡ równie» momentami stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _t∈T .

7. Niech (X n ) _n∈N b¦dzie ci¡giem zmiennych losowych adaptowanych wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . a) Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem

b) Niech τ b¦dzie momentem stopu wzgl¦dem ltracji (F n ) _n∈N . Udowodni¢, »e chwila pierwszej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) po chwili τ jest momentem stopu.

c) Udowodni¢, »e chwila k-tej wizyty ci¡gu (X n ) _n∈N w zbiorze B ∈ B(R) jest momentem stopu.

8. Rzucamy monet¡. Niech X 1 , X ₂ , . . . b¦d¡ zmiennymi losowymi, okre±lonymi nast¦puj¡co - zmi- enna losowa X i przyjmuje warto±¢ 1 je±li w i-tym rzucie wypadªa reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy nast¦puj¡ce zmienne losowe s¡ momentami stopu wzgl¦dem naturalnej

ltracji F k = σ(X ₁ , . . . , X _k ), k = 1, 2, . . . . a) τ = 1;

b) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n = 2} ; c) τ = inf{n ∈ N : X 1 + X ₂ + . . . + X _n ≥ 2} ; d) τ = inf{n ∈ N : X n+1 = −1}

) oraz τ - (F t ) -moment stopu. Zdeniujmy rodzin¦ zdarze« obserwowalnych do chwili τ

F _τ := {A ∈ F ∞ : ∀ _t∈T A ∩ {τ ≤ t} ∈ F _t }.

b) je±li t 0 ∈ T oraz τt 0 , to F τ = F _t

c) je±li tau ≤ σ, gdzie σ jest (F t ) -momentem stopu, to F τ ⊂ F _σ ;

d) F τ ∧σ = F _τ ∩ F _σ .