Stosując kryterium d’Alemberta do szeregu ∞ X n=1 kfn000k

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

327. Niech

fn(x) =cos(n! · x) (3n)! .

Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą dodatnią k udowodnić, że szereg

∞ X n=1

f_n^(k) jest jednostajnie zbieżny, ale szereg

∞ X n=1

f_n^(k+1) nie jest jednostajnie zbieżny.

Rozwiązanie:

Niech k = 3. Wówczas

f_n^(k)(x) = f_n⁰⁰⁰(x) =(n!)³· sin(n! · x)

(3n)! ,

skąd

kf_n⁰⁰⁰k = (n!)³ (3n)!. Stosując kryterium d’Alemberta do szeregu

∞ X n=1

kf_n⁰⁰⁰k =

∞ X n=1

(n!)³

(3n)! (1)

otrzymujemy

((n + 1)!)³

(3n + 3)! ·(3n)!

(n!)³ = (n + 1)³

(3n + 1) · (3n + 2) · (3n + 3)→ 1 27< 1 . Zatem szereg liczbowy (1) jest zbieżny, a w związku z tym szereg funkcyjny

∞ X n=1

f_n⁰⁰⁰ jest jednostajnie zbieżny.

Ponadto

f_n^(k+1)(x) = f_n⁽⁴⁾(x) =(n!)⁴· cos(n! · x)

(3n)! ,

skąd

f_n⁽⁴⁾ =(n!)⁴

(3n)!. (2)

Stosując kryterium d’Alemberta do ciągu (2) otrzymujemy ((n + 1)!)⁴

(3n + 3)! ·(3n)!

(n!)⁴ = (n + 1)⁴

(3n + 1) · (3n + 2) · (3n + 3)→ +∞ > 1 . Zatem ciąg liczbowy (2) jest rozbieżny do +∞, skąd w szczególności

f_n⁽⁴⁾ 6→ 0 , a w związku z tym szereg funkcyjny

∞ X n=1

f_n⁽⁴⁾ nie jest jednostajnie zbieżny.

Inne wnioskowanie: Z kryterium d’Alemberta jak wyżej, szereg ^P∞

n=1f_n⁽⁴⁾(0) = ^P∞

n=1 (n!)⁴ (3n)!

jest rozbieżny, więc ^P∞

n=1f_n⁽⁴⁾ nie jest nawet punktowo zbieżny, a co dopiero jednostajnie.

Lista 9P - 59 - Strony 59–60

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

328. Niech

f_n(x) =cos^2n_n^· x^

_3n n

4 .

Wskazując odpowiednią liczbę całkowitą dodatnią k udowodnić, że szereg

∞ X n=1

f_n^(k) jest jednostajnie zbieżny, ale szereg

∞ X n=1

f_n^(k+1) nie jest jednostajnie zbieżny.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że

f_n^(k)(x) =

_2n n

k

· jsin^2n_n^· x^

_3n n

4 , gdzie jsin jest jedną z funkcji ± sin lub ± cos. Stąd

f_n^(k) =

_2n n

_k

_3n n

₄ . (3)

Stosując kryterium d’Alemberta do szeregu

∞ X n=1

f_n^(k) =

∞ X n=1

_2n n

k

_3n n

₄ (4)

otrzymujemy

_2n+2 n+1

_k

_3n+3 n+1

₄·

_3n n

₄

_2n n

k =

_2n+2 n+1

_k

_2n n

k ·

_3n n

₄

_3n+3 n+1

₄ =

= (2n + 1) · (2n + 2) (n + 1)²

!k

· (2n + 1) · (2n + 2) · (n + 1) (3n + 1) · (3n + 2) · (3n + 3)

!4

→4^k· 4⁴

27⁴ =2^2k+8 3¹² =





2^k+4 3⁶



 2

= g . Ponieważ 3⁶= 729, zachodzą nierówności 2⁹< 3⁶< 2¹⁰. Zatem dla k = 5 otrzymujemy g < 1. Wobec tego na mocy kryterium d’Alemberta szereg liczbowy (4) jest zbieżny, a w związku z tym szereg funkcyjny

∞ X n=1

f_n⁽⁵⁾ jest jednostajnie zbieżny.

Odnosząc powyższe kryterium d’Alemberta do ciągu (3) otrzymujemy g > 1 dla k = 6, skąd wynika, że ciąg liczbowy (3) jest rozbieżny do +∞. W szczególności

f_n⁽⁶⁾ 6→ 0 , a w związku z tym szereg funkcyjny

∞ X n=1

f_n⁽⁶⁾ nie jest jednostajnie zbieżny.

Odpwiedź: Warunki zadania są spełnione przez k = 5.

Lista 9P - 60 - Strony 59–60