1 − |2nx − 3| dla n1 ¬ x ¬ 2n i fn(x

Ćwiczenia (8), AM I, 15.4.2019

Twierdzenia Diniego i Polyá oraz wzór (^Pf_n(x))⁰ =^Pf_n⁰(x)

Zadanie 1. Podac przykład ciągu (f_n) funkcji ciągłych na przedziale [0, 1] takiego, że szereg^P∞_n=1fn

jest zbieżny jednostajnie na [0, 1], a jednocześnie ^P∞_n=1sup_x∈[0,1]|f_n(x)| = +∞.

Zadanie 2. Wykorzystaj twierdzenie Diniego i uzasadnij, że ciąg f_n(x) = ^qx²+ _n¹₂ jest zbieżny jednostajnie na [−1, 1].

Zadanie 3. Zbadaj założenia i tezę twierdzenia Diniego dla poniższych ciągów funkcyjnych (a) I = [0, 2], f_n(x) = 1 − |2nx − 3| dla _n¹ ¬ x ¬ ²_n i f_n(x) = 0 w przeciwnym przypadku;

(b) I = (0, 1], f_n(x) = _nx+1¹ dla x ∈ E;

(c) I = [1, ∞), f_n(x) = _x+n^x , x ∈ E;

(d) I = [0, 1], f_n(x) = 1 − nx dla 0 ¬ x ¬ _n¹ i f_n(x) = 0 w przeciwnym przypadku.

Zadanie 4. Znajdź sumy (a) ^P∞_n=1²_n+1^nxn, (b) ^P∞_n=1³ⁿ⁺¹_n·4^xn²ⁿ,

(c) _1·2^x2 − _2·3^x3 +_3·4^x4 − . . ..

Zadanie 5. Wyznacz dziedzinę funkcji s(x) =^P∞_n=1^sin(nx)_n3 . Ile raz jest ona różniczkowalna?

Zadanie 6. Udowodnij, że jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale domkniętym [a, b] oraz f_n(x) = n(f (x + ¹_n− f (x)), to f_n⇒ f⁰.

Zadanie 7. Funkcję dzeta Riemanna definiuje się wzorem ζ(x) = ^P∞_n=1n¹x, gdzie x > 1. Udowodnij, że f jest gładka, tj. f ∈ C^∞(1, ∞).

Zadanie 8. Oblicz ^P∞_{n=1(1−xn)(1−x}^xn _n+1). Zadanie 9. Oblicz ^P∞_n=11+n^x2x².

Zadanie 10. Oblicz ^P∞_n=1⁽⁻¹⁾_nxⁿ⁻¹.

Zadanie 11. Niech w₀(x) = 0, w_n+1(x) = w_n(x) + ^x2−(w₂^n(x))2 dla x ∈ [−1, 1]. Udowodnij, że ciąg wielomianów w_n jest jednostajnie zbieżny do funkcji |x| na [−1, 1].

Zadanie 12. [Wielomiany Bernsteina] Dla f : [0, 1] → R definiujemy wielomiany Bnf wzorem (B_nf )(x) :=

n

X

k=0

n k

!

x^k(1 − x)^n−kf (k n).

Załóżmy, że f spełnia warunek Lipschitza ze stałą M . Wykaż, że

|(B_n(f )(x) − f (x)| ¬ M 2√

n.

Zadanie 13. Wykazać, że jeśli w_n(x) są wielomianami i w_n⇒ f na R, to f jest wielomianem.

Zadanie 14. Oblicz (a) Π^∞_n=1cos₂^xn, (b) Π^∞_n=1¹⁺²ⁿ

√x

2 , gdzie x > 0, (c) Π^∞_n=1(1 + x²ⁿ), gdzie |x| < 1.