25. Prosz¦ pokaza¢, »e przy przeniesieniu równolegªym wektora ξ wzdªu» innitezymalnego rów- nolegªoboku rozpi¦tego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

Zadania z OTW (zestaw 4)

23. Prosz¦ wyliczy¢ skªadowe tensora krzywizny dla metryki 2-sfery ds ² = R ² (dθ ² + sin ² θdφ ² ) . 24. Prosz¦ rozwi¡za¢ równanie geodezyjnej dla metryki na S ² :

ds ² = dθ ² + sin ² θdφ ² ,

dla geodetyk dla których φ 6=const. Rozwi¡zanie prosz¦ przedsawi¢ w postaci θ = θ(φ).

25. Prosz¦ pokaza¢, »e przy przeniesieniu równolegªym wektora ξ wzdªu» innitezymalnego rów- nolegªoboku rozpi¦tego na wektorach δu, δv (rys.1) zmiana wektora ξ wynosi:

δξ ^α (p) = −R ^α _βµν (p)ξ ^β (p)δu ^µ δv ^ν .

Wskazówka: W punkcie, w którym liczymy δξ wygodnie jest wybra¢ ukªad lokalnie lo- rentzowski.

p ^-

δu q



δv r



s −δu

−δv

rys.1

26. Prosz¦ pokaza¢, »e w wyniku przeniesienia równolegªego wektora u = u ^θ ~ e _θ + u ^φ ~ e _φ po po- wierzchni sfery o promieniu r, wzdªu» innitezymalnego równolegªoboku o bokach dθ~e θ i dφ~ e _φ , z dokªadno±ci¡ do wyrazów liniowych w dΩ = sin θdθdφ, dªugo±¢ wektora nie ulega zmianie, natomiast wektor obraca si¦ o k¡t dΩ.

Wskazówka: wektory nale»y porówna¢ w bazie ortonormalnej.

~ e _θ i ~e φ oznaczaj¡ wektory bazy wspóªrz¦dno±ciowej: g(~e θ , ~ e _θ ) = r ² , g(~e φ , ~ e _φ ) = r ² sin ² θ . 27. To zadanie b¦dzie prawdopodobnie rozwi¡zane na wykªadzie, ale podaje je ze wzgl¦du na

nast¦pne zadanie. Rozwa»my geodetyki γ 0 i γ 1 sparametryzowane parametrem anicznym t , tzn. u ^µ ∇ _µ u ^α = 0 , gdzie u ^µ = dx ^µ

dt    γ

(i analogicznie dla γ 1 ). Wprowad¹my parametr s, który ro±nie w sposób ci¡gªy pomi¦dzy γ 0 i γ 1 , a na γ 0 , γ 1 przyjmuje staª¡ ustalon¡ warto±¢.

Deniujemy wektor w ^µ = dx ^µ ds

   γ

. Prosz¦ pokaza¢, »e

u ^µ ∇ _µ (u ^ν ∇ _ν w ^α ) = R ^α _βγδ u ^β u ^γ w ^δ .

28. Prosz¦ rozwa»y¢ dwie s¡siednie geodetyki (koªa wielkie) na 2-sferze o promieniu R: równik (γ 0 ) i geodetyk¦ (γ 1 ), która w φ = 0 jest równolegªa do równika i lekko odchylona na póªnoc od równika o k¡t δθ = . Wektor w ^α deniujemy tak jak w poprzednim zadaniu. Korzystaj¡c z wyników poprzednich zada« prosz¦ pokaza¢, »e

d ² w ^θ

dφ ² = −w ^θ , d ² w ^φ dφ ² = 0,

i wypisa¢ rozwi¡zania tych równa«. Nast¦pnie, uwzgl¦dniaj¡c powy»sze warunki pocz¡tkowe

prosz¦ poda¢ zale»no±¢ θ(φ) dla geodetyki γ 1 .

29. Niech g αβ = η _αβ + h _αβ , gdzie h αβ opisuje pole grawitacyjne. Prosz¦ pokaza¢ »e przy zaªo»e- niach:

(a) pole grawitacyjne jest sªabe (tzn. mo»emy zaniedba¢ wyrazy O(h ² αβ ) ) (b) pole grawitacyjne jest statyczne (∂ 0 h _αβ = 0 )

(c) cz¡stka próbna poruszaj¡ca sie w polu grawitacyjnym jest nierelatywistyczna (|dx ⁱ /dx ⁰ | << 1 )

równanie geodezyjnej czasowej dla cz¡stki próbnej pokrywa si¦ z równiem Newtona dla cz¡st- ki poruszaj¡cej si¦ w polu grawitacyjnym zadanym potencjaªem Φ, je±li g 00 = −(1 + 2Φ) . 30. Metryka w pobli»u powierzchni Ziemi jest w przybli»eniu równa

ds ² = −(1 + 2Φ)dt ² + (1 − 2Φ)dr ² + r ² (dθ ² + sin ² θdφ ² ) gdzie Φ = −GM/r jest potencjaªem newtonowskim.

(a) Prosz¦ porówna¢ czas wªasny wskazywany przez dwa zegary: jeden na powierzchni Ziemi i drugi na wysoko±ci h nad powierzchni¡ Ziemi.

(b) Satelita porusza si¦ po geodetyce koªowej na wysoko±ci h nad równikiem. Prosz¦ znale¹¢

okres obiegu satelity mierzony przez zegar umieszczony w satelicie oraz przez zegar u- mieszczony na powierzchni Ziemi.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/