6. Zagadnienia postoptymalizacyjne – przykłady.
6.2. Zmiana wektora funkcji celu.
Przykład 6.2.1.
Dla zagadnienia PL w postaci
znana jest tablica simpleks rozwiązania optymalnego:
baza -2 -1 -2 0 0 0
0 0 0 0 1
-2 0 0 1 0
-2 1 1 0 0
0 1 0 0
1) Jakie wartości mogą przybierać współczynniki funkcji celu i aby rozwiązanie pozostało optymalne?
Współczynnik odpowiada trzeciej zmiennej bazowej, rozważamy więc trzeci wiersz.
Z (6.2.4)
Z (6.2.5)
Z (6.2.3) Rozwiązanie PL dla minimum pozostanie optymalne jeśli , a więc dla
maksimum gdy .
Współczynnik odpowiada zmiennej niebazowej zatem z (6.2.2)
czyli .
Rozwiązanie PL dla minimum pozostanie optymalne jeśli , a więc dla maksimum gdy .
2) Jakie zmiany nastąpią, gdy (tzn. w tabeli -3) ?
Współczynnik odpowiada zmiennej bazowej, obliczymy nowe współczynniki optymalności.
Z (6.2.1)
Rozwiązanie pozostaje optymalne ponieważ wszystkie współczynniki optymalności są nieujemne. Zmieni się natomiast wartość funkcji celu (pozostawiamy obliczenia czytelnikowi).
6.3. Zmiana wektora wyrazów wolnych.
Przykład 6.3.1.
Rozważamy problem z przykładu 1.2.1:
Znaleźliśmy rozwiązanie optymalne (4,2).
Przypuśćmy, że uległy zmianie ilości surowców :
W przykładzie 3.4.1 rozpoczynaliśmy metodę simpleks od macierzy , tzn. od
postaci bazowej dla bazy . Okazało się, że bazą optymalną jest , czyli
odczytana z postaci bazowej względem macierz
jest macierzą odwrotną do bazy (wniosek 3.1.3).
Z (6.3.1) wyznaczamy .
Okazuje się, że nie jest bazą dopuszczalną, bo nie jest nieujemny. Stosujemy zatem dalej dualną metodę simpleks.
-2 -3 0 0 0
BAZ A
c
B h0 h1 h2 h3 h4 h5
x3 0 -5 0 0 1 -1 -1/4 Min w kolumnie h0 - kryterium wyjścia
x2 -3 -1 0 1 0 1/2 -1/8
x1 -2 6 1 0 0 0 1/4
0 0 0 3/2 1/8
Wybieramy max – kryterium wejścia
x5 0 20 0 0 -4 4 1
x2 -3 3/2 0 1 -1/2 1 0
x1 -2 1 1 0 1 -1 0
Uzyskaliśmy rozwiązanie dopuszczalne (nieujemne), a więc optymalne (1 3/2 0 0 20).
Przykład 6.3.2.
Rozważamy znów problem z przykładu 6.2.1.
1) Jakie wartości może przyjmować składowa , aby rozwiązanie tego zagadnienia pozostało dopuszczalne i optymalne ?
Wyjściowa tablica simpleks :
baza -2 -1 -2 0 0 0
0 18 1 1 1 1 0
0 10 1 1 2 0 1 0
0 12 2 2 1 0 1
-2 -1 -2 0 0 0
Tablica simpleks rozwiązania optymalnego:
baza -2 -1 -2 0 0 0
0 0 0 0 1
-2 0 0 1 0
-2 1 1 0 0
0 1 0 0
Rozpoczynaliśmy metodę simpleks od postaci bazowej dla bazy . Okazało się, że bazą optymalną jest , czyli odczytana z postaci bazowej względem macierz
jest macierzą odwrotną do bazy (wniosek 3.1.3).
Rozważamy druga kolumnę tej macierzy. Jedynie , więc
z (6.3.3) .
Z (6.3.4)
Rozwiązanie pozostanie dopuszczalne i optymalne, gdy
2) Jakie zmiany nastąpią gdy ?
Rozwiązanie pozostanie dopuszczalne i optymalne, ale zmianie ulegnie wartość zmiennych bazowych.
Z (6.3.1) wyznaczamy . Zmieni się też wartość
funkcji celu (pozostawiamy obliczenia czytelnikowi).
6.4. Dołączenie jednej zmiennej.
Przykład 6.4.1.
Do zadania z przykładu 6.2.1 dołączamy zmienną decyzyjną, której odpowiadają następujące
współczynniki macierzy warunków: oraz współczynnik funkcji celu =2.
Jak taka zmiana wpływa na uzyskane rozwiązanie?
Do tabeli z rozwiązaniem optymalnym dołączamy kolumnę odpowiadającą dołączonej zmiennej – oznaczymy ją tu przez
baza -2 -1 -2 0 0 0 -2
0 0 0 0 1
-2 0 0 1 0
-2 1 1 0 0
0 1 0 0
, obliczamy też współczynnik optymalności.
baza -2 -1 -2 0 0 0 -2
0 0 0 0 1 1
-2 0 0 1 0 0
-2 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0
Rozwiązanie pozostaje zatem optymalne, chociaż nie jedyne.
