Wyznacz estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów β0 i β1

Ekonometria, lista zada« nr 2

1. Rozwa»my nast¦puj¡cy model:

y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , 20.

Wiadomo, »e P yi = 50, P yi2 = 225, P xi = 30, P xi2 = 100, P xiy_i = 135. Wy- znacz estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów β0 i β1. Oblicz sumy kwadratów. Oblicz wspóªczynnik determinacji.

2. Rozwa»my nast¦puj¡cy model:

y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , n.

Wiadomo, »e P(ˆyi − y_i)² = 10000, ¯y = 1400, P xi = 104, P xi2 = 1520, n P xi2 − n²x¯² = 1344, P xiyi = 162400. Wyznacz estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów β0 i β1. Oblicz sumy kwadratów. Oblicz wspóªczynnik determinacji.

3. Wyznacz estymatory metody momentów parametrów β0 i β1 w nast¦puj¡cym modelu:

y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , 20,

je±li wiadomo, »e P(ˆyi− y_i)² = 4, 8, P yi = 108, P xi2 = 40, 20 P xi2− (P x_i)² = 544, P x_iy_i = 100. Dodatkowo oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji.

4. Rozwa»amy dwa nast¦puj¡ce modele:

x_i = α₀+ α₁y_i+ δ_i, y_i = β₀+ β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , 30.

Dokonano estymacji parametrów β0 i β1 metod¡ najmniejszych kwadratów i otrzymano:

βˆ₀ = 1, ˆβ₁ = 0, 8. Wiadomo równie», »e P xi = 60 oraz »e P(xi − ¯x)² = P(y_i − ¯y)². Znajd¹ estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów α0 i α1.

5. Na podstawie tych samych danych dokonano estymacji metod¡ najmniejszych kwadratów dwóch modeli liniowych. Otrzymano nast¦puj¡ce równania:

ˆ

x_i = ˆα₁y_i− 2, yˆ_i = 0, 81x_i+ 2, 57, i = 1, 2, . . . , n.

Wiadomo równie», »e ¯x = 3. Znajd¹ ˆα₁ i wspóªczynnik determinacji.

6. Wyznacz estymatory metody najmniejszych kwadratów parametrów α0 i α1 w modelu xi = α0 + α1yi+ δi, i = 1, 2, . . . , n,

je±li wiadomo, »e ¯y = −0, 25, wspóªczynnik determinacji wynosi 0, 36 a po oszacowaniu parametrów modelu

yi = β0+ β1xi+ εi, i = 1, 2, . . . , n za pomoc¡ metody najmniejszych kwadratów otrzymano:

ˆ

yi = 0, 5(1 − xi), i = 1, 2, . . . , n.

7. Wyznacz estymator metody najmniejszych kwadratów parametru β1w nast¦puj¡cym mo- delu:

y_i = β₁x_i+ ε_i, i = 1, 2, . . . , n.

Zrób to na dwa sposoby: poprzez minimalizacj¦ odpowiedniej sumy kwadratów oraz po- przez rozwa»enie szczególnego przypadku w zapisie macierzowym.

8. Rozpatrujemy nast¦puj¡c¡ prób¦ z dwuwymiarowego rozkªadu:

X: −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Y: 15 6 −1 −6 −9 −10 −9 −6 −1 6 15

Zaznacz punkty na wykresie i spróbuj zgadn¡¢, ile wynosi próbkowy wspóªczynnik korela- cji liniowej Pearsona obliczony na podstawie tej próby. Nast¦pnie oblicz ten wspóªczynnik.

Jak s¡dzisz, jak si¦ zmieni ten wspóªczynnik, je±li pominiesz dwie ostatnie obserwacje?

Sprawd¹ to.

9. Badano zale»no±¢ wydatków konsumpcyjnych od dochodów w gospodarstwach domowych.

W tym celu przebadano wydatki i dochody 10 rodzin. W tabeli podano miesi¦czny dochód oraz wydatek konsumpcyjny w przeliczeniu na osob¦ (w PLN) w przebadanych rodzinach.

Wydatki: 110 200 130 150 120 180 220 130 250 320 Dochody: 200 320 150 310 240 210 270 180 360 490

Narysuj wykres badanej zale»no±ci. Na podstawie tych danych oszacuj metod¡ najmniej- szych kwadratów model regresji liniowej wpªywu dochodów na wydatki konsumpcyjne w gospodarstwie domowym. Oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji.

10. Analityk bankowy interesuje si¦ prognozowaniem podstawowej bankowej stopy procento- wej(PBSP) za pomoc¡ regresji liniowej, w której zmienn¡ niezale»n¡ jest stopa procentowa Funduszu Rezerwy Federalnej (FRF). Zebrano wyniki obserwacji obu tych wielko±ci z 12 losowo wybranych tygodni. Otrzymano nast¦puj¡ce dane:

FRF: 6,23 6,87 5,54 5,90 6,45 6,55 5,75 6,00 6,20 6,70 7,00 7,23 PBSP: 7,75 8,50 6,85 6,78 8,00 7,80 7,05 7,35 7,30 8,00 8,69 8,86 Narysuj wykres badanej zale»no±ci. Oszacuj parametry równania regresji dla PBSP wzgl¦- dem FRF. Oblicz sumy kwadratów i wspóªczynnik determinacji.

11. Ostatnio podj¦to wiele wysiªków, by opracowa¢ prognoz¦ udziaªu pewnej rmy w rynku na podstawie informacji o jako±ci jej produktu. Przypu±¢my, »e dost¦pne s¡ nast¦puj¡ce dane o procentowym udziale w rynku (Y) i o jako±ci produktu, mierzonej pewnym obiektywnym wska¹nikiem przyjmuj¡cym warto±ci z przedziaªu [0, 100] (X):

X: 27 39 73 66 33 43 47 55 60 68 70 75 82

Y: 2 3 10 9 4 6 5 8 7 9 10 13 12

Narysuj wykres badanej zale»no±ci. Oszacuj parametry prostej regresji udziaªu w rynku wzgl¦dem wska¹nika jako±ci produktu. Oblicz te» sumy kwadratów i wspóªczynnik deter- minacji.