1 Zadanie 1
Pewna firma zajmująca się dystrybucją urządzeń biurowych postanowiła zbadać w jakim stopniu sprzedaż kserokopiarek (yt – w setkach szt.) zależy od ich przeciętnej ceny (x2t – w tys. zł) oraz od średniej rentowności przedsiębiorstw, będących głównym odbiorcą kserokopiarek (x3t – wskaźnik rentowności w %). W tym celu zebrano dane dotyczące sprzedaży w ciągu kolejnych ośmiu lat:
rok (t) yt x2t x3t
1993 4 12 10 1994 9 11 7 1995 15 9 4 1996 10 8 4 1997 25 9 6 1998 40 7 8 1999 45 6 6 2000 71 5 9
a) Metodą najmniejszych kwadratów oszacuj parametry modelu:
t t t
t x x
y =α1+α2 2 +α3 3 +ε Informacja pomocnicza:
( )
•
• −
• − −
− =
03017 ,
00,00284 02535
,
00,19312 0,17988 95650
,
1 2 X XT
b) Podaj interpretację parametrów modelu.
c) Oblicz i zinterpretuj średni błąd szacunku oraz współczynnik determinacji R2.
Zadanie 2
Dany jest model postaci:
t t
t x
y =α0 +α1 +ε Wiadomo też, że:
162400
1
∑
== t
T t
ty x
=1400 y
( )
•
= −
−
002 , 0
024 , 0 347 ,
1 0 X XT
Oszacuj parametry α0 i α1 metodą najmniejszych kwadratów wiedząc, że w modelu wykorzystano dane roczne z lat 1981-1990.
2 Zadanie 3
Na podstawie obserwacji z okresu 1982 – 1999 skonstruowano dwie wersje liniowego modelu opisującego kształtowanie się kosztów produkcji pewnej huty żelaza.
Wersja 1:
t t
t
t W P Z
Kˆ =89,585+0,811 +0,283 −0,035 średnie błędy ocen parametrów, kolejno:
(102,4) (0,082) (0,232) (0,021) gdzie:
Kt – całkowite koszty produkcji w mln $ w roku t, Wt – produkcja stali w tys. ton w roku t,
Pt – wartość produkcji ubocznej w mln $ w roku t, Zt – średnia liczba zatrudnionych w roku t.
Średni błąd szacunku: 82,4 Średni względny błąd szacunku: 5,7 % Współczynnik determinacji R2: 0,952 Wersja 2:
t t
t W Z
Kˆ =167,441+0,548 +0,057
średnie błędy ocen parametrów, kolejno:
(55,6) (0,069) (0,019) Średni błąd szacunku: 98,5 Średni względny błąd szacunku: 6,6 % Współczynnik determinacji R2: 0,944
a) W której wersji modelu czynniki przypadkowe bądź inne czynniki nie uwzględnione w modelu słabiej oddziałują na poziom kosztów wytwarzania?
b) Która wersja modelu wydaje się być bardziej poprawna merytorycznie?
c) Zbadaj istotność parametrów w obu wersjach modelu za pomocą testu t-Studenta (wartości krytyczne testu znajdują się w tablicy). W której wersji wyniki tego testu są korzystniejsze?
d) Który model uważasz za bardziej odpowiedni do prognozowania? Na podstawie tego modelu wyznacz prognozę kosztów produkcji w kolejnym roku wiedząc, że huta zatrudni w przyszłym roku 2100 pracowników i będzie realizowała zamówienia na 33000 ton stali (wartość produkcji ubocznej przy takich zamówieniach wyniesie około 10 mln $).
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A B C D E F G H I J
i - nr gospodarstwa domowego
y - wydatki na rozrywkę w gospodarstwie domowym w zł na osobę rocznie x1 - dochody w gospodarstwie domowym w tys. zł na osobę rocznie x2 - średni wiek dorosłych członków gospodarstwa domowego
i yi x1i x2i model 1
1 921 8 21 =REGLINP(B7:B16;C7:C16;PRAWDA;PRAWDA)
2 1221 16 28 94,20761 -230,4028
3 579 10 55 18,73952 262,8214
4 1650 20 33 0,759564 225,2643
5 1079 16 41 25,27289 8
6 864 11 45 1282448 405952,2
7 507 11 61
8 1721 18 25 model 2
9 579 10 55 =REGLINP(B7:B16;C7:D16;PRAWDA;PRAWDA)
10 1293 15 31 -15,16331 71,17407 679,5007
2,71965 9,530531 202,8371 0,955809 103,2419 #N/D!
75,70153 7 #N/D!
1613788 74612,22 #N/D!
Zapisz równania obu modeli. Zinterpretuj wyniki pod względem ekonomicznym i statystycznym.
Który model lepiej nadaje się do prognozowania?
Wyznacz na podstawie wybranego modelu prognozę wydatków na rozrywkę w gospodarstwie osiągającym dochody 17000 zł na osobę rocznie, w którym przeciętny wiek wynosi 42 lata.
4 Załącznik
Wartości krytyczne rozkładu t-Studenta
poziom istotności stopnie swobody
0,1 0,05 0,01
1 6,314 12,706 63,656 2 2,920 4,303 9,925 3 2,353 3,182 5,841 4 2,132 2,776 4,604 5 2,015 2,571 4,032 6 1,943 2,447 3,707 7 1,895 2,365 3,499 8 1,860 2,306 3,355 9 1,833 2,262 3,250 10 1,812 2,228 3,169 11 1,796 2,201 3,106 12 1,782 2,179 3,055 13 1,771 2,160 3,012 14 1,761 2,145 2,977 15 1,753 2,131 2,947 16 1,746 2,120 2,921 17 1,740 2,110 2,898 18 1,734 2,101 2,878 19 1,729 2,093 2,861 20 1,725 2,086 2,845 21 1,721 2,080 2,831 22 1,717 2,074 2,819 23 1,714 2,069 2,807 24 1,711 2,064 2,797 25 1,708 2,060 2,787 26 1,706 2,056 2,779 27 1,703 2,052 2,771 28 1,701 2,048 2,763 29 1,699 2,045 2,756 30 1,697 2,042 2,750 31 1,696 2,040 2,744 32 1,694 2,037 2,738 33 1,692 2,035 2,733 34 1,691 2,032 2,728 35 1,690 2,030 2,724 36 1,688 2,028 2,719 37 1,687 2,026 2,715 38 1,686 2,024 2,712 39 1,685 2,023 2,708 40 1,684 2,021 2,704
