METODY OPRACOWANIA OBSERWACJI Metoda najmniejszych kwadratów

Wykład

METODY OPRACOWANIA OBSERWACJI Metoda najmniejszych kwadratów

Kompilacja i opracowanie Tadeusz J. Jopek

(Ad Usum Internum)

Φ1

Φ2

l₂

1

Linia warunkowa l₂−

l l₁ (^ ^ =0)

15.13 15.12

15.13 15.14

A

A

1

2

A₃

A Φ3

Pozna´n AD 31 grudnia 2011

Spis tre´sci

1 Opracowanie obserwacji, koncepcja 3

1.1 Metoda najmniejszych kwadratów . . . . 4

2 Metoda najmniejszych kwadratów 8 2.1 Wst˛ep . . . . 9

2.2 Techniki po´sredniego i bezpo´sredniego wyrównywania obserwacji . . . . 9

2.2.1 Bezpo´srednie wyrównywanie obserwacji . . . . 9

2.2.2 Po´srednie wyrównywanie obserwacji . . . . 11

Zako´nczenie pracy

Rozdział 1

Opracowanie obserwacji, koncepcje

Streszczenie

...

Słowa kluczowe: residua, metoda najmniejszych kwadratów, warunek najmniejszych kwadratów.^a 

a[Modyfikowano AD 2011, Marzec 16.]

4 Opracowanie obserwacji, koncepcja

1.1 Metoda najmniejszych kwadratów

W celu wyznaczenia ko´ncowego rezultatu pomiarów cz˛esto obliczana jest ´srednia aryt- metyczna z wszystkich pomiarów. Przy czym niemal bez wyj ˛atku, nie podaje si˛e jakie- gokolwiek uzasadnienia takiego postepowania, co u cz˛e´sci studentów wywołuje uczucie silnego niedosytu wiedzy. By go osłabi´c proponujemy rozwa˙zania przybli˙zaj ˛ace nas do uzasadnienia powszechnego stosowania ´sredniej arytmetycznej jako warto´sci ko´ncowych wielko´sci pomiarowych.

Rozpatrzmy prosty przypadek polegaj ˛acy na pomiarze warto´sci pojedynczej wiel- ko´sci, np. długo´sci, temperatury, napi˛ecia na zaciskach opornika, etc. Oczywistym jest,

˙ze w takim przypadku, w celu uzyskania jednoznacznej odpowiedzi wystarczy dokona´c jednego pomiaru — minimalna niezb˛edna liczba pomiarów wynowi n₀ = 1. Je´sli wiemy czego nam potrzeba i co nale˙zy czyni´c (znamy model pomiarowy), mo˙zemy przyst ˛api´c do wykonania n₀ pomiarów. Jednak w praktyce wykonujemy wi˛ecej pomiarów, cho´cby ze wzgl˛edu na mo˙zliwo´s´c wyst ˛apienia pomyłki (np. bł˛edu przeoczenia), a przynajmniej tak post˛epuje ka˙zdy dobry praktyk.

Zatem, po zako´nczeniu eksperymentu, dysponujemy n rezultatatami obserwacji, a poniewa˙z n > n₀ to mamy do dyspozycji obserwacje nadliczbowe. Nadmiar pomiarów wyra˙zamy jako ró˙znic˛e

r = n − n₀

zwan ˛a statystyczn ˛a liczb ˛a stopni swobody.

Powstaje teraz ciekawa sytuacja. Gdy obserwacje wzajemnie si˛e ró˙zni ˛a, to dla od- miennego podzbioru n₀obserwacji wzi˛etego ze zbioru wszystkich n obserwacji otrzymu- jemy inn ˛a warto´s´c poszukiwan ˛a w ramach danego problemu. Np. inn ˛a warto´s´c długo´sci mierzonego przedmiotu. Zatem zbiór n rezultatów obserwacji nie opisuje jednoznacznie rozwa˙zanego problemu (modelu). Oczywist ˛a przyczyn ˛a tego stanu rzeczy s ˛a fluktuacje pomiarowe.

Ta szczególna i nieprzyjemna sytuacja usuwana jest w nast˛epuj ˛acy sposób. Zast˛epu- jemy ka˙zdy rezultat obserwacji l_i jego estymatorem oznaczanym symbolem ˆl_i, ale takim,

˙ze ka˙zdy podzbiór n0 estymatorów okre´sla model dokładnie w ten sam sposób.

Pozostaje jedynie poda´c sposób wyznaczenia estymatorów, np. mo˙ze on by´c taki — ka˙zdy z estymatorów traktujemy jako poprawion ˛a obserwacj˛e

ˆl₁ = l₁+ ν₁ ˆl₂ = l₂+ ν₂

. . . ˆl_n = l_n+ ν_n

a tworz ˛ac odpowiednie macierze kolumnowe mo˙zemy te zwi ˛azki uj ˛a´c w formie L = L + νˆ

gdzie ν jest macierz ˛a tzw. residuów, czyli poprawek warto´sci obserwowanych L.

1.1 Metoda najmniejszych kwadratów 5

Oczywi´scie residua ν musz ˛a by´c wyznaczone przed estymatorami ˆL. Istnieje nies- ko´nczona liczba mo˙zliwych zbiorów ν, dla których estymatory ˆL okre´slaj ˛a model jed- noznacznie. Logicznym ¹ jest jednak oczekiwa´c, ˙ze jedynie jeden z takich zbiorów da optymalne²rozwi ˛azanie.

Potrzebujemy zatem warunku (kryterium) optymalno´sci i co mo˙ze nas zaskoczy, do dyspozycji mamy ich do´s´c sporo. Jednym z najpowszechniej wykorzystywanych w astro- nomii i geodezji jest kryterium najmniejszych kwadratów zaproponowane w XVIII stule- ciu przez K. Gaussa.

Procedur˛e znajdywania zbioru estymatorów ˆL ³ w oparciu o pewne kryterium nazy- wamy opracowaniem (wyrównaniem) pomiarów.

Mo˙zna wyrównywa´c dane pomiarowe innymi metodami, np. w przykładzie wyzna- czenia długo´sci stołu, posługujemy si˛e w tym celu ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a pomiarów. Nam jednak potrzeba ogólnej procedury, któr ˛a b˛edziemy stosowali w problemach bardziej zło-

˙zonych od wyznaczania rozmiaru przedmiotów.

Procedura wyrównawcza, w której jako kryterium optymalno´sci stosujemy kryterium najmniejszych kwadratów, nosi nazw˛e metody najmniejszych kwadratów (MNK).

W dalszej cz˛e´sci tego rozdziału zakładamy, ˙ze interesuj ˛ace nas obserwacje s ˛a niesko- relowane i o jednakowej precyzji.

Kryterium najmniejszych kwadratów wymusza by wyznaczone residua ν czyniły za- do´s´c nast˛epuj ˛acemu warunkowi

Φ =

n

X

i=1

ν_i² −→ minimum (1.1)

Zatem, w rachunku wyrównawczym, obok nało˙zonego na estymatory ˆL wymagania jed- noznacznego okre´slenia modelu, na residua ν nakłada si˛e dodatkowo warunek (1.1) — warunek najmniejszych kwadratów.

Przykład wyrównywania obserwacji.

Problem. Wyznaczono odległo´s´c za pomoc ˛a pomiarów bezpo´srednich. Zgodnie z mode- lem tego zagadnienia, w celu jednoznacznego wyznaczenia odległo´sci wystarczyło wy- kona´c jeden pomiar (n₀ = 1). Tymczasem wykonano ich dwa:

l₁ = 15.12 l₂ = 15.14

gdzie jednostk ˛a pomiarow ˛a był metr. Zatem mamy:

n = 2

r = n − n₀ = 1

1W dawnych dobrych czasach nikt w tym miejscu nie mówiłby o logice, po prostu odwołano by si˛e do tzw. chłopskiego rozumu. Jednak dzi˛eki słowu “logicznie “ wypowiadane zdania brzmi ˛a m ˛adrzej i posiadaj ˛a dostojny naukowy charakter.

2Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze mówi ˛ac optymalne, nie zawsze mamy jasno´s´c co owa optymalno´s´c ma oznacza´c.

3Równie dobrze mo˙zna by powiedzie´c: procedur˛e znajdywania wyników ko´ncowych ... .

6 Opracowanie obserwacji, koncepcja

Rozwi ˛azanie. Poniewa˙z pomiary l1, l₂ ró˙zni ˛a si˛e, mamy do czynienia z niejednoznacz- no´sci ˛a, bowiem nie wiemy, który z pomiarów wybra´c jako rezultat ko´ncowy w zadaniu wyznaczenia odległo´sci.

Ale zgodnie z tym co powiedziano wy˙zej, w celu usuni˛ecia nejednoznaczno´sci, na- le˙zy wyznaczy´c wyrównane warto´sci pomiarów, czyli ich estymatory ˆl₁, ˆl₂. Trzeba tak to zrobi´c by oba pomiary opisywały model jednoznacznie, tzn. by spełniony był oczywisty w tym przykładzie warunek

ˆl₁− ˆl₂ = 0 (1.2)

Równanie to nazywamy równaniem warunkowym, jego posta´c a tak˙ze ich liczba (bo wa- runków mo˙ze by´c wiecej) zale˙z ˛a od konkretnego problemu pomiarowego.

Estymatory wyznaczane s ˛a za po´srednictwem poprawek (residuów) ˆl1 = l1+ ν1

ˆl₂ = l₂+ ν₂

Wiemy tak˙ze, ˙ze residua, dla których estymatory spełniaj ˛a równanie warunkowe (1.2) mo˙zna poda´c na wiele sposobów, np.:

ν₁ = 0.0 ν₂ = −0.02 lub

ν1 = 0.01 ν₂ = −0.01 lub

ν₁ = 0.015 ν₂ = −0.005

Wszystkie powy˙zsze pary czyni ˛a zado´s´c warunkowi (1.2), ale je´sli policzymy odpowia- daj ˛ace im warto´sci funkcji (1.1), otrzymamy w metrach kwadratowych:

Φ1 == 4 10⁻⁴ Φ₂ == 2 10⁻⁴ Φ₃ == 2.5 10⁻⁴

S ˛a to ró˙zne warto´sci, a φ2 jest z nich najmniejsze, ale czy jest najmniejsze z wszystkich mo˙zliwych? Znalezienie odpowiedzi ułatwi nam rysunek (1.1) przedstawiaj ˛acy geome- tryczn ˛a interpretacj˛e zastosowania warunku najmniejszych kwadratów do badanego przez nas problemu. Osie układu współrz˛ednych odpowiadaj ˛a pomiarowi numer 1 i 2, odpo- wiednio. Poło˙zenie punktu A odpowiada warto´sciom obserwacyjnym l₁ i l₂. Prosta o równaniu

lˆ2− ˆl1 = 0

1.1 Metoda najmniejszych kwadratów 7

Φ1 Φ2

l₂

1

Linia warunkowa l₂−

l l₁ (^ ^ =0)

15.13 15.12 15.13

15.14

A A

1 2

A₃

A Φ3

Rysunek 1.1: Interpretacja metody najmniejszych kwadratów zastosowanej w problemie wyrównywanina dwóch pomiarów. Opis w tek´scie.

tzw. prosta warunkowa, reprezentuje warunek jaki musz ˛a spełni´c estymatory ˆl₁, ˆl₂ aby model pomiarowy (wyznaczona długo´s´c) był opisany jednoznacznie.

W omawianym przykładzie procedur˛e wyrównywania obserwacji mo˙zna wyobrazi´c sobie jako zast˛epowanie punktu A innym punktem, byle tylko znajduj ˛acym si˛e na prostej warunkowej. Jak widzimy mo˙zna czyni´c to rzeczywi´scie na bardzo wiele sposobów, np.

posługuj ˛ac si˛e wektorem ~AA1 o długo´sci√

Φ1 przesuwamy punkt A do punktu A1. Ale równie dobrze mo˙zemy posłu˙zy´c si˛e innymi wektorami ~AA₂, ~AA₃, . . ..

Jednak ze wszystkich mo˙zliwych jedynie jedna para ν₁, ν₂spełnia kryterium najmniej- szych kwadratów (1.1). S ˛a to residua, z pomoc ˛a których punkt A przesun ˛ał si˛e do A2. Wektor ~AA₂jako prostopadły do linii warunkowej, ma najmniejsz ˛a długo´s´c. Residua, dla których punkt A przemieszcza si˛e w A₂ spełniaj ˛a warunek najmniejszych kwadratów, a jednocze´sniepunkt A2 le˙zy na prostej warunkowej, spełnia równanie warunkowe. W ten sposób model postawionego problemu jest okre´slony optymalnie i jednoznacznie. Pami˛e- tajmy jednak, ˙ze jest to optymalnie w sensie najmniejszych kwadratów, bo niekoniecznie uzyskana przez nas odpowied´z jest najdokładniejsz ˛a, najbli˙zsz ˛a odpowiedzi prawdziwej, bo tej przecie˙z nikt z nas nie zna.

Zatem ostatecznie, wyrównane warto´sci pomiarów l₁, l₂ wynosz ˛a ˆl₁ = ˆl₂ = 15.13 [m]

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze w przypadku dwóch lub wi˛ecej pomiarów odległo´sci, je´sli po- miary maj ˛a jednakow ˛a precyzj˛e oraz s ˛a nieskorelowane, w celu znalezienia ”najlepszej”

odległo´sci wystarczy obliczy´c ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a ˆ

x = l₁ + l₂

2 = 15.13 [m]

Rzeczywi´scie, dla wielu zagadnie´n szczegółowych mo˙zna poda´c odpowiednie przepisy pozwalaj ˛ace na usuni˛ecie niejednoznaczno´sci opisu badanego modelu. Warto jednak opa- nowa´c aparat pozwalaj ˛acy na wyrównanie obserwacji w ka˙zdym przypadku. I dlatego w dalszych wykładach powrócimy do metody najmniejszych kwadratów.

Rozdział 2

Techniki najmniejszych kwadratów

Streszczenie.

Słowa kluczowe: Warunek najmniejszych kwadratów, równania warunkowe, równania normalne, technika bezpo´srednia, technika po´srednia.^a 

a[Modyfikowano AD 2008, kwiecie´n, 23]

2.1 Wst˛ep 9

2.1 Wst˛ep

W rozdziale1.1 przedstawiono jedynie zarys koncepcji wyrównywania obserwacji me- tod ˛a najmniejszych kwadratów (MNK). Obecnie, rozwiniemy ten temat rozpoczynajac od przedstawienia dwóch podstawowych technik: bezpo´sredniego i po´sredniego wyrów- nywania obserwacji.

Nie s ˛a to jedyne techniki, jest ich wi˛ecej, a konstruowano je w celu uproszczenia roz- wi ˛aza´n rozmaitych problemów, dlatego techniki te wzajemnie ró˙zni ˛a si˛e, ale pewne ele- menty s ˛a w nich podobne. Np. zawsze dotycz ˛a modelu okre´slonego przez n0 wielko´sci, które wyznaczamy za popmoc ˛a obserwacji. Funkcjonalna cz˛e´s´c modelu wyra˙zona jest w formie równania, albo cz˛e´sciej, układu tzw. równa´n warunkowych¹, wi ˛a˙z ˛acych ze sob ˛a wszystkie wielko´sci obserwowane. Je´sli obserwator zamiast n0wykonał n > n0obserwa- cji, mamy do czynienia z nadmiarem r = n − n₀ (liczba stopni swobody), a w rezultacie z niejednoznaczym rozwi ˛azaniem interesuj ˛acego nas problemu. Bowiem w efekcie nie- uchronnych niepewno´sci pomiarowych, ka˙zdy podzbiór o liczebno´sci n0 wzi˛ety spo´sród n obserwacji opisuje model w inny sposób. W celu usuni˛ecia niejednoznaczno´sci, wyzna- czenia “najlepszego” zestawu n₀interesuj ˛acych nas wielko´sci posługujemy si˛e kryterium najmniejszych kwadratów.

2.2 Techniki po´sredniego i bezpo´sredniego wyrównywa- nia obserwacji

O konkretnej technice wyrównaczej stanowi ˛a: posta´c równa´n warunkowych, oraz sposób usuwania zaistniałej (wobec niezerowego nadmiaru r) niejednoznaczno´sci. Jako pierwsz ˛a poznamy technik˛e bezpo´sredniego wyrównywania obserwacji.

2.2.1 Bezpo´srednie wyrównywanie obserwacji

Technika ta ma nast˛epujace cechy:

• liczba równa´n warunkowych wynosi r = n − n₀,

• poza wielko´sciami obserwowanymi bezpo´srednio, równania warunkowe nie zawie- raj ˛a ˙zadnych niewiadomych parametrów,

• w ka˙zdym równaniu warunkowym mo˙ze wyst ˛api´c od 1 do n wielko´sci obserwowa- nych.

1Po´sród astronomów zamiast równania warunkowe, cz˛e´sciej napotkamy na okre´slenie równania obser- wacyjne.

10 Metoda najmniejszych kwadratów

Przykład 1. Postanowiono wyznaczy´c kształt trójkata płaskiego. W tym celu zmie- rzono trzy k ˛aty:

α₁ = 41^◦33⁰, α₂ = 78^◦57⁰, α₃ = 59^◦27⁰ Wyznacz wyrównane warto´sci tych k ˛atów.

Łatwo ustalimy, ˙ze liczba pomiarów n = 3 a minimalna liczba pomiarów koniecz- nych do jednoznacznego rozwi ˛azania problemu n0 = 2. Bo przecie˙z w celu okre´slenia kształtu trójk ˛ata wystarczyło zmierzy´c jedynie dwa katy. St ˛ad liczba stopni swobody r = 1 a zatem, zgodnie z tym co powiedziano wy˙zej, musimy napisa´c jedno równanie warunkowe.

Posta´c równania warunkowego stanowi zmienny element w MNK, a odnajdywanie jej wymaga od nas swego rodzaju zdolno´sci kreatywnych. W naszym przykładzie nie musz ˛a to by´c wybitne zdolno´sci, dlatego napiszemy bez ˙zadnych ceregieli, ˙ze model funkcjo- nalny rozwa˙zanego zagadnienia okre´slony jest jednoznacznie, je´sli estymatory obserwacji czyni ˛a zado´s´c równaniu:

ˆ

α₁+ ˆα₂+ ˆα₃ = 180^◦

A zgodnie z definicj ˛a estymatorów wielko´sci obserwowanych ˆl_i = l_i+ ν_i: (α₁ + ν₁) + (α₂ + ν₂) + (α₃+ ν₃) = 180^◦

gdzie ν_is ˛a niewielkimi najcz˛esciej poprawkami zwanymi te˙z residuami.

Po podstawieniu warto´sci zmierzonych k ˛atów

ν₁+ ν₂+ ν₃ = 180^◦− (41^◦33⁰+ 78^◦57⁰+ 59^◦27⁰) ν₁+ ν₂+ ν₃ = 3⁰

Zatem równanie warunkowe naszego zagadnienia mo˙ze mie´c posta´c:

ν3 = 3⁰− ν1 − ν2 (2.1)

Wyrównywanie obserwacji αi sprowadza si˛e do znalezienia takich warto´sci residuów νi, które jednocze´snie, spełniaj ˛a równanie warunkowe oraz czyni ˛a zado´s´c warunkowi naj- mniejszych kwadratów. Warunek ten oznacza, ˙ze funkcja skalarna:

Φ = ν₁²+ ν₂²+ ν₃² = ν₁²+ ν₂²− (3⁰− ν₁²− ν₂²)

dla poszukiwanych warto´sci residuów osi ˛aga minimum, co poci ˛aga:

∂Φ

∂ν₁ = 2ν₁− 2(3⁰− ν₁− ν₂) = 0

∂Φ

∂ν₂ = 2ν₂− 2(3⁰− ν₁− ν₂) = 0

2.2 Techniki po´sredniego i bezpo´sredniego wyrównywania obserwacji 11

Po uproszczeniach, jako warunek najmniejszych kwadratów, otrzymujemy równania zwane tradycyjnie równanami normalnymi:

2ν₁+ ν₂ = 3⁰ ν₁+ 2ν₂ = 3⁰

W wyniku rozwi ˛azania tego układu, oraz skorzystania z równania warunkowego (2.1), mamy ν₁ = ν₂ = ν₃ = 1⁰.

Ostatecznie wyrównane warto´sci k ˛atów badanego trójk ˛ata wynosz ˛a:

ˆ

α₁ = α₁+ ν₁ = 41^◦34⁰ ˆ

α₂ = α₂+ ν₂ = 78^◦58⁰ ˆ

α3 = α3+ ν3 = 59^◦28⁰

Sprawdzaj ˛ac czy suma wyrównanych k ˛atów wynosi 180^◦, mamy mo˙zliwo´s´c cz˛e´sciowej kontroli poprawno´sci wykonanych oblicze´n.

2.2.2 Po´srednie wyrównywanie obserwacji

W tej technice wyrównywania danych obserwacyjnych:

• liczba równa´n warunkowych jest równa liczbie obserwacji n,

• ka˙zde równanie warunkowe zawiera co najwy˙zej jedn ˛a obserwacj˛e ze współczyn- nikiem równym 1,

• obok pojedynczej obserwacji równania warunkowe zawieraj ˛a dodatkowo u niewia- domych parametrów.

Ze wzgl˛edu na nadmiar r = n − n0zachodzi potrzeba sformułowania dokładnie r równa´n warunkowych. Gdy piszemy n takich równa´n, to mamy ich o n − r za du˙zo. Dlatego w tej technice w równaniach warunkowych wyst˛epuje u = n − r dodatkowych parametrów, które nie posiadaj ˛a ˙zadnej warto´sci a priori, i które nale˙zy wyznaczy´c wraz z residuami.

Przykład 2. Czterokrotnie zmierzono w stopniach odległo´s´c k ˛atow ˛a mi˛edzy dwoma obiektami na sferze niebieskiej:

l₁ = 32.51, l₂ = 32.48 l₃ = 32.52, l₄ = 32.53

Wyznacz wyrównana warto´s´c odległo´sci k ˛atowej α.

Mamy zatem n = 4, n₀ = 1, nadmiar oraz r = 4 − 1 = 3. Zgodnie z wymogami tej techniki nale˙zy uło˙zy´c 4 równania warunkowe zawieraj ˛ace u = n − r = 1 parametrów.

12 Metoda najmniejszych kwadratów

Równania maj ˛a posta´c : l₁+ ν₁ = α l₂+ ν₂ = α l₃+ ν₃ = α l₄+ ν₄ = α

(2.2)

Albo

ν₁ = α − l₁ ν₂ = α − l₂ ν₃ = α − l₃ ν₄ = α − l₄

Ich kształt wynika z oczywistego spostrze˙zenia — gdyby wszystkie pomiary odległo´sci k ˛atowej dały taki sam rezultat α mieliby´smy jednoznaczn ˛a odpowied´z na postawiony problem. Podobnie jak w przykładzie poprzednim, resiudua νi musza czyni´c zado´s´c wa- runkowi najmniejszych kwadratów, czyli szukamy takich ich warto´sci by funkcja:

Φ = ν₁²+ ν₂²+ ν₃²+ ν₄² = (α − 32.51)²+ (α − 32.48)²+ 2(α − 32.52)²+ 2(α − 32.53)² osi ˛agała minimum, co poci ˛aga warunek:

∂Φ

∂α = 2(α − 32.51) + 2(α − 32.48) + (α − 32.52) + (α − 32.53) st ˛ad po rozwi ˛azaniu wyrównana warto´s´c odległo´sci k ˛atowej wynosi

α = 32.51

Jak powiedziano technika po´srednia wyrównywania obserwacji pozwala na wyznacze- nie pewnych parametrów tkwi ˛acych w modelu pomiarowym. Własno´s´c ta jest cz˛esto wykorzystywana gdy interesuj ˛a nas wła´snie parametry a nie estymatory wielko´sci obser- wowanej bezpo´srednio.

Rozwa˙zmy kolejny przykład.

Przykład 3.

- X [cm] Y[cm]

P₁ 2 3.2

P₂ 4 4.0

P3 6 5.0

Wyznaczono poło˙zenie trzech punktów, o których wia- domo, ˙ze le˙z ˛a na jednej prostej. W tym celu zmierzono ich współrz˛edne prostok ˛atne, patrz tabelka obok. Zakładaj ˛ac,

˙ze jedynie pomiary współrz˛ednych Y obci ˛a˙zone były nie- pewno´sciami (współrz˛edne X jakims cudem okre´slono w sposób dokładny), metod ˛a najmniejszych kwadratów wy- znaczy´c współczynniki równania tej prostej.

Modelem funkcjonalnym tego problemu, jego równaniem warunkowym jest równa- nie prostej na płaszczy´znie spełnione prez estymatory, czyli wyrównane wielko´sci pomia- rowe:

ˆ

y = ax + b

2.2 Techniki po´sredniego i bezpo´sredniego wyrównywania obserwacji 13

v1

v2

v3

X

2 4 6

4

3 5

Y

Rysunek 2.1: Dopasowanie prostej do trzech punktów pomiarowych. Warto´sci współ- rz˛ednych X−sowych s ˛a dokładne, warto´sci współrzednych Y −kowych wyznaczono za pomoc ˛a pomiarów.

W rzeczywisto´sci, w wyniku nieuchronnych niepewno´sci pomiarowych punkty pomia- rowe nie musz ˛a nale˙ze´c do wspólnej prostej. Oczekujemy jednak, ˙ze dla danych obser- wacyjnych, po´sród niesko´nczenie wielu linii prostych, istnieje pewna prosta najlepiej do nich dopasowana. Mianowicie taka, na której le˙z ˛a punkty pomiarowe wyrównane me- tod ˛a najmniejszych kwadratów (patrz rysunek 2.1). Parametry prostej mo˙zna okre´sli´c jednoznacznie za pomoc ˛a dwóch punktów, st ˛ad w naszym zagadnieniu mamy n0 = 2, a skoro liczba wykonanych pomiarów wynosi n = 3 to nadmiar r = 1. A poniewa˙z stosujemy technik˛e po´sredniego wyrównywania obserwacji musimy napisa´c n równa´n warunkowych zawieraj ˛acych u = n − r = 2 parametry. B˛ed ˛a to równania:

ˆ

y₁− ax₁− b = 0 ˆ

y₂− ax₂− b = 0 ˆ

y₃− ax₃− b = 0

a po skorzystaniu z definicji estymatorów ˆy_i: ν₁+ y₁− ax₁ − b = 0

ν2+ y2− ax2 − b = 0 ν₃+ y₃− ax₃ − b = 0

Wprowadzaj ˛ac za y_i warto´sci liczbowe ν₁ = 2a + b − 3.2 = 0

ν₂ = 4a + b − 4.0 = 0 ν3 = 6a + b − 5.0 = 0

Parametry a i b wyznaczymy z warunku najmniejszych kwadratów:

Φ = ν₁²+ ν₂² + ν₃² = (2a + b − 3.2)²+ (4a + b − 4.0)²+ 2(6a + b − 5.0)² Minimalizacja tej formy kwadratowej poci ˛aga warunki

∂Φ

∂a = 2(2a + b − 3.2) · 2 + 2(4a + b − 4.0) · 4 + 2(6a + b − 5.0) · 6 = 0

∂Φ

∂b = 2(2a + b − 3.2) + 2(4a + b − 4.0) + 2(6a + b − 5.0) = 0

14 Metoda najmniejszych kwadratów

st ˛ad

56a + 12b = 52.4 12a + 3b = 12.2

i w rezultacie a = 0.45, b = 2.27 [cm].

Bibliografia