Statystyka matematyczna 3. Metody estymacji
Ćw. 3.1 Mając daną próbę prostą X1, . . . , Xn z danego rozkładu, wyznacz estymator parametru θ dla:
a) rozkładu P oiss(θ),
b) rozkładu jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N }, gdzie θ=N , c) rozkładu ujemnego wykładniczego E(a, λ) o gęstości
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ),
stosując metodę momentów.
Ćw. 3.2 Niech X1, . . . , Xn będzie próbą prostą. Stosując metodę kwantyli, wyznacz esty- mator parametru θ dla:
a) rozkładu jednostajnego U (0, θ),
b) rozkładu normalnego N (µ, σ2), gdzie θ = (µ, σ).
Ćw. 3.3 Dysponując próbą prostą X1, . . . , Xn, znajdź estymator największej wiarogodno- ści (ENW) parametru θ dla rozkładu:
a) geometrycznego G(p), gdzie θ = p oraz θ =√ p, b) Weibulla W e(2, θ) o gęstości
f (x) = 2θ−2xe−(x/θ)21(0,∞)(x), θ > 0, c) o gęstości f (x) = αx−21[α,∞)(x), α > 0,
d) jednostajnego U (θ, θ + 1), θ ∈ R, e) Laplace’a Lapl(µ, λ) o gęstości
f (x) = λ
2e−λ|x−µ|, gdzie θ = (µ, λ).
Ćw. 3.4 * Mierzymy k razy ciężar każdego z n różnych obiektów. Niech Xi,j(i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) będzie wynikiem i-tego pomiaru j-tego obiektu. Pomiary Xi,j, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, są niezależne o rozkładach normalnych N (µj, σ2).
Skonstruuj ENW[(µ1, . . . , µn, σ2)].
