Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012)
3. Metody estymacji
w. 3.1 Dana jest próba prosta X1, . . . , Xn z poni»ej opisanego rozkªadu. Stosuj¡c metod¦ momentów, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkªadu P oiss(θ),
(b) rozkªadu jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N}, gdzie θ=N, (c) rozkªadu ujemnego wykªadniczego E(a, λ) o g¦sto±ci
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ).
w. 3.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z poni»ej opisanego rozkªadu. Stosuj¡c metod¦ kwantyli, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkªadu jednostajnego U(0, θ),
(b) rozkªadu normalnego N(µ, σ2), gdzie θ = (µ, σ).
w. 3.3 Dysponuj¡c prób¡ prost¡ X1, . . . , Xn, znajd¹ estymator najwi¦kszej wiarogod- no±ci (ENW) parametru θ dla rozkªadu:
(a) geometrycznego G(p), gdzie θ = p oraz θ =√ p, (b) Weibulla W e(2, θ) o g¦sto±ci
f (x) = 2θ−2xe−(x/θ)21(0,∞)(x), θ > 0, (c) o g¦sto±ci f(x) = θx−21[θ,∞)(x), θ > 0,
(d) jednostajnego U(θ, θ + 1), θ ∈ R, (e) Laplace'a Lapl(µ, λ) o g¦sto±ci
f (x) = λ
2e−λ|x−µ|, gdzie θ = (µ, λ).
Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012)
3'. Metody estymacji
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 3'.1 Maj¡c dan¡ prób¦ prost¡ X1, . . . , Xn z danego rozkªadu, wyznacz estymator parametru θ dla:
(a) rozkªadu geometrycznego G(θ), (b) rozkªadu wykªadniczego E(θ),
(c) θ=(α, λ) dla rozkªadu gamma G(α, λ), α > 0, λ > 0, o g¦sto±ci
f (x) = 1
λαΓ(α)xα−1e−x/λ1(0,∞)(x), stosuj¡c metod¦ momentów.
Zad. 3'.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ pochodz¡c¡ z rozkªadu Cauchy'ego o g¦sto±ci
f (x) = 1
πβ · 1
1 +
x−α β
2.
Stosuj¡c metod¦ kwantyli, wyznacz estymator parametru θ = (α, β).
Zad. 3'.3 Dysponuj¡c prób¡ prost¡ X1, . . . , Xn, znajd¹ estymator najwi¦kszej wiarogod- no±ci (ENW) parametru θ dla rozkªadu:
(a) dwumianowego B(m, p), gdzie θ = p2, (b) ujemnego wykªadniczego E(a, λ) o g¦sto±ci
f (x) = λe−λ(x−a)1(a,∞)(x), a ∈ R, λ > 0, gdzie θ = (a, λ).
Zad. 3'.4 Entomolog pobieraª próbk¦ losow¡ z du»ej populacji pewnych owadów. No- towaª pªe¢ chwytanych osobników i przerwaª pobieranie próbki, gdy otrzymaª M (M > 1) osobników m¦skich. Otrzymaª próbk¦ o liczno±ci x. Niech θ b¦dzie frakcj¡ osobników m¦skich w populacji. Wyznacz estymator najwi¦kszej wiarogod- no±ci parametru θ.
Zad. 3'.5 (*) Mierzymy k razy ci¦»ar ka»dego z n ró»nych obiektów. Niech Xi,j (i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n) b¦dzie wynikiem i-tego pomiaru j-tego obiektu. Po- miary Xi,j, i = 1, 2, . . . , k, j = 1, 2, . . . , n, s¡ niezale»ne o rozkªadach normalnych N (µj, σ2). Skonstruuj ENW[(µ1, . . . , µn, σ2)].
