Badanie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od częstotliwości

Badanie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od częstotliwości

I.

Cel ćwiczenia: wyznaczenie zaleŜności oporu indukcyjnego i pojemnościowego od częstotliwości, wyznaczenie wartości indukcyjności L cewki i pojemno- ści C kondensatora.

II.

Przyrządy: generator PO-21 lub PO-27, multimetr cyfrowy prądu zmiennego, opor- nik dekadowy, płytka z zamontowaną cewką o indukcyjności L i kondensatorem o pojemności C, przełącznik sześciobiegunowy, prze- wody.

III.

Literatura: H. Hofmokl, A. Zawadzki. Laboratorium fizyczne

D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki t.3, PWN 2003.

IV. Wprowadzenie.

Wprowadzeniem teoretycznym do ćwiczenia E-21 jest rozdział 5.19 „Laboratorium fi- zyczne” H. Hofmokl, A. Zawadzki. lub Podstawy fizyki t.3 , D. Holliday i inni (rozdz. Prąd zmienny, Drgania wymuszone, Trzy proste obwody, Obwód szeregowy RLC, str. 330 - 344).

V. Zasada pomiaru.

RozwaŜmy stosunek amplitudy (lub wartości skutecznej) spadku potencjału na indukcyj- ności L do amplitudy (wartości skutecznej) spadku potencjału na oporności R w szerego- wym obwodzie RL z przemienną siłą elektromotoryczną EEE (rys.1a):E

U U

U U

I L

I R

L R

o L

o R

sk L

sk R o

o

= = ⋅

⋅ωωωω = ωωωω

( 1 ) gdzie ω jest częstością kątową (kołową) siły elektromotorycznej SEM, a I_o - amplitudą natę- Ŝenia prądu płynącego w obwodzie.

R

~

L UR

UL

εεεε

a)

R

~

L UR

UL

εεεε

b)

Rys. 1 Schemat obwodu do badania zaleŜności oporu indukcyjnego w funkcji częstotliwości.

Jak wynika ze wzoru (1) wartość stosunku UoL/UoR nie zaleŜy od wartości natęŜenia prądu, a tym samym i od wartości modułu impedancji obwodu i wartości SEM, w przeciwień- stwie do wartości amplitudy U_oL:

U I L E

R L

oL o L

o

2 2 2

= ⋅ =

+ ⋅

ω ω ω

ω ωωωω ωωωω ( 2 )

gdzie E_o jest amplitudą zmian SEM.

Rzeczywisty obwód RL róŜni się tym od obwodu idealnego (rys.1a), Ŝe uzwojenie o indukcyjności L posiada równieŜ oporność rzeczywistą RL tym większą, im większa jest liczba uzwojeń oraz im cieńszego przewodu uŜyto do wykonania tego uzwojenia. A zatem dla rzeczywistego obwodu RL (rys.1b) otrzymamy:

U U

U U

I R L

I R

R L

R

oL

oR

skL

skR

o L

2 2

o

L

2 2

= = +

= +

ω ωω

ω² ωωωω²

( 3 ) RozwaŜmy dwa skrajne przypadki:

1. ωωωω = 0, a więc przypadek zasilania obwodu prądem stałym. Wówczas zaleŜność (3) przyj- muje postać:

R R U

U U

U _L

skR skL

oR

oL = = ( 4 )

2. ωωωω²L² >> R_L² (dla odpowiednio duŜej częstotliwości). Wówczas:

R f L R

L U

U U

U

skR skL

oR

oL ωωωω 2ππππ

=

≈

= ( 5 )

i wartość stosunku UoL/UoR staje się proporcjonalna do częstotliwości f zmian SEM.

Dla obwodu szeregowego RC (rys. 2) podobny stosunek amplitudy (lub wartości skutecznej) spadku potencjału na pojemności C do amplitudy (wartości skutecznej ) spadku potencjału na oporności R wynosi:

U U

U U

C I

R I CR CR

oC

oR

skC

skR

o

o

= = ⋅

⋅ = =

1

1 1

2 ω

ω ω

ω ωωωω ππππf ( 6 )

Wartość stosunku UoC/UoR jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości f zmian SEM.

Oznaczmy przez kL wartość stosunku U_skL/UskR a przez kC wartość stosunku UskC/UskR .Wówczas z zaleŜności (5) i (6) otrzymamy:

X_L = ωωωωL ≈ k_L⋅⋅⋅⋅R (7a) X_C = 1 ω ω ω

ωC = k_C⋅⋅⋅⋅R ( 7b ) gdzie XL nosi nazwę oporu indukcyjnego, a XC - oporu pojemnościowego.

Zmiany oporu indukcyjnego i pojemnościowego od częstotliwości pokrywają się z za- leŜnością od częstotliwości f stosunków napięć k_L i k_C (w przypadku cewki tak się staje po- wyŜej pewnej częstotliwości f - patrz przypadek 2).

VI. Pomiary.

1. Połączyć przyrządy wg schematu przedstawionego na rys.3a wybierając zakres napięcia wyjściowego generatora 7,75V/6Ω (generator PO-21).

Dla częstotliwości 50 Hz dobrać tak oporność R, oraz napięcie wyjściowe generatora, aby spadki potencjału na oporniku dekadowym i indukcyjności były w przybliŜeniu równe i

R

C UC

UR

E EE

~

E

Rys.2 Układ szeregowy RC

wynosiły około 1V. Wyznaczyć wartość stosunku UskL/UskR w przedziale częstotliwości 25Hz ÷700Hz.

Rys.3 Schemat układu do jednoczesnego pomiaru spadku potencjału UskL na indukcyjności L i UskR ; gdy przełącznik znajduje się w pozycji
woltomierz mierzy spadek potencjału na oporności R, w pozycji  woltomierz mierzy spadek potencjału na indukcyjności L (rys 3a) lub pojemności C (rys 3b).

2. Włączyć w miejsce indukcyjności L pojemność C (rys. 3b). Dobrać tak R i napięcie wyj- ściowe generatora, by spadki potencjałów na oporności i pojemności dla f = 50Hz wynosiły ok. 1V. Wyznaczyć wartość stosunku U_skC/U_skR w przedziale częstotliwości 25Hz ÷ 700Hz.

3. Połączyć przyrządy wg schematu przedstawionego na rys. 4 i wyznaczyć zaleŜność spadku potencjału na oporności R od częstotliwości w przedziale 200Hz ÷ 700Hz. Znaleźć często- tliwość, dla której spadek potencjału osiąga maksimum.

Rys.4 Schemat obwodu do badania rezonansu napięcia ( punkt VI. 3 ).

VII. Opracowanie wyników.

Pomiary napięcia są wykonywane multimetrem cyfrowym (typ MX505, MX280 lub podobnymi). Producenci tych mierników ograniczają zakres pomiarowy napięcia i prądu przemiennego do ok. 500 Hz. Z tego powodu nie są zalecane pomiary znacznie przekraczające 500 Hz, a to właśnie powyŜej tej częstotliwości współczynnik kL dla cewki staje się propor- cjonalny do f i opór indukcyjny X_L wyraŜa relacja (7a). Aby tę trudność ominąć, naleŜy roz- patrzyć dla cewki nie zaleŜność kL = F(f) ale k²_L =F( f² )



R



L PO-21

~V

~ ~

~V R

C

a) b)

PO-21

R L

C

~V

~

PO-21

1a ) Wykreślić zaleŜność kwadratu stosunku (UskL/UskR)² = k od kwadratu częstotliwości f²_L )

f (

L F

2 2 =

k w przedziale częstotliwości 25 ÷ 700 Hz

W przyjętym układzie współrzędnych jest to zaleŜność liniowa:

k ²

2 2

2 2

R f L R

R_L

L 



 

 +



 



= ππππ

(po przekształceniu równania (3)). Kładący =k²_L, x= f²

mamy y = ax + b, gdzie

2

2 2



 



=



 



=

R b R R ,

a ππππL ^L .

b) Obliczyć wartość indukcyjności L cewki: a R

L= 2ππππ oraz niepewność jej wyznaczenia



 



 ∆ +∆

±

=

∆ R

R a L a

2

1 , gdzie ∆R jest niepewnością nastawionej wartości oporu dekado- wego, a ∆a - niepewnością wyznaczenia współczynnika nachylenia a.

c) Obliczyć wartość oporności rzeczywistej R_L uzwojenia cewki: R_L = R b (patrz punkt 1a) i niepewność jej wyznaczenia ∆RL: 



 



 ∆ + ∆

±

=

∆ R

R b R b

R_{L L}

2

1 , gdzie ∆b jest nie- pewnością wyznaczenia współczynnika b prostej.

d) Właściwą wartość oporu indukcyjnego dla danej częstotliwości (z wybranego zakresu pomiarowego) pozwala obliczyć relacja:

L L skR

skL R R X

U

U − =



 ² _{2 2}

lub

( )

kLR ² −RL² = XL , (ostatnie relacje wynikają ze wzoru (3), gdzie X_L = ωL).

Wykreślić zaleŜność oporu indukcyjnego X_L w funkcji częstotliwości f. Porównać otrzymaną zaleŜność z przewidywaniami teoretycznymi.

2a) Wykreślić zaleŜność stosunku k_C = U_skC/U_skR od częstotliwości f w skali liniowej oraz w funkcji 1/f ( x = 1/f, y = k_C ), aproksymując punkty doświadczalne linią prostą (drugi wykres).

b) Znaleźć wartość pojemności C.

Współczynnik a nachylenia prostej doświadczalnej y = ax + b jest równy a = 1/2ππππCR.

Stąd pojemność C = 1/2ππππaR. Niepewność wyznaczonej wartości pojemności:

∆ ∆ ∆

C C R

= ±  + R







a a

gdzie ∆R jest niepewnością nastawionej wartości oporu dekadowego i ∆a niepewnością wyznaczenia współczynnika nachylenia a.

3a) Obliczyć przewidywaną wartość częstotliwości rezonansowej f = 1 2ππππ LC i porów- nać ją z wartością zmierzoną (punkt VI.3).

b) Wykreślić zaleŜność natęŜenia prądu Isk = UskR/ R. od częstotliwości f.

c) Znaleźć wartość całkowitej oporności rzeczywistej obwodu R^’ (R^’ = R + R_L + R_G , gdzie R_G jest wartością oporności wyjściowej generatora).

W rezonansie opór jaki dla prądu przemiennego przedstawia obwód szeregowy RLC jest równy oporowi omowemu (rzeczywistemu) R^’ obwodu i moŜe być obliczony ze wzoru:

R U I

U U R

U

U R

skG

sk '

skG

skR '

skG

skR '

' = = =

gdzie UskG jest skutecznym napięciem wyjściowym generatora, U^'_skR - spadkiem poten- cjału na oporniku R w rezonansie (maksymalna jego wartość).

4. Przeprowadzić dyskusję wyników.