Electromagnetische velden in de energietechniek

ELECT

ROM.AGNETISCHE

VELDEN

IN DE

ENERGIET ECHNIEK

H.

Blok

-: "

...

'

1IIIl

illllllllllili

111I11111I11111111111 1111111'111 1111111"'11:111111 lIli!'I"1111111 11111 1111111111111111 1I1III 11111I1I!lllll!

1~l

l

111111lilili111111I1111111,1 1111I 111 1111, 11I'IIII IIIIIJiillil

'

1

I

ELECTROMAGNETISCHE VELDEN

.

IN DE ENERGIETECHNIEK

DR. IR. H. Blok

Vakgroep theoretische elektriciteitsleer

Afdeling der Elektrotechniek

Technische Hogeschool Delft

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1824 5182

11111111 1111I

C 558760

iii

woord vooraf

In deze handleiding wordt de theorie van het electromagnetische veld behan-deld, waarbij bijzondere aandacht wordt besteed aan die aspecten van de theo-rie die van belang zijn voor de electrische energietechniek. Als zodanig dient deze handleiding als leidraad bij het derdejaarscollege 'Elektromagnetisch veld I A(l I I)' dat in de Afdeling der Elektrotechniek aan de studenten in de rich-ting energietechniek wordt gedoceerd. De gepresenteerde stof is iets uitvoeri-ger dan die in het college kan worden behandeld. De keuze van de onderwer-pen, alsmede de juiste omvang van de collegestof, zal in overleg met de toe-hoorders worden bepaald.

De gepresenteerde stof valt globaal in twee delen uiteen: een deel waarin de grondslagen van de theorie van het electromagnetische veld worden behandeld en een deel waarin aan de orde worden gesteld een aantal onderwerpen die speciaal van belang zijn voor de toepassing van de theorie op problemen uit de electrische energietechniek. Bij de behandeling van de grondslagen geschiedt het invoeren van het electromagnetische veld op axiomatische wijze. Dit deel sluit nauw aan - zowel wat de opzet als wat de notatie betreft - bij de wij-ze waarop in de Afdeling der Electrotechniek het overeenkomstige college aan studenten in de richting telecommunicatietechniek en electronica wordt ver-zorgd.

Wat de noodzakelijke voorkennis betreft, wordt ondersteld, dat de lezer op de hoogte is van de fenomenologische electriciteitsleer, zoals deze in de pro-paedeutische studie wordt onderwezen. Het benodigde wiskundige gereedschap is elementair. Kennis van de vectoralgebra en de vectoranalyse is noodzakelijk; de in de handleiding gebruikte formules hieruit zijn in een aanhangsel opge-nomen.

De theorie is systematisch ondergebracht in hoofdstukken en paragrafen. Bij-na iedere paragraaf wordt besloten met een aantalvraagstukken, waarin de theorie nader wordt toegelicht en waarmee de lezer kan nagaan in hoeverre hij de behandelde stof beheerst.

Tot slot wil ik mijn dank uitbrengen aan prof. dr. ir. A. T.de Hoop, voor de vele discussies die wij over het onderwijs in de theorie van het electromagne-tische veld voerden. Zijn kennis en ervaring op dit gebied hebben bij het tot-standkomen van deze handleiding een grote rol gespeeld . Verder ben ikdan k verschuldigd aan ir. G. Mur, die het manuscript grondig en kritisch heeft doo r-genomen en wiens opmerkingen tot vele verbeteringen hebben geleid. De Ver -eniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft wil ik danken voor het doen uitgeven van deze handleiding en de heer J. E. Schievink voor de plezie-rige wijze waarop de verwerking van het manuscript is afgehandeld.

iv

inhoudsopgave

Woord voor af _iii

I. ELEC T ROMAG NETISCHE VELD EN IN DE ENERG IETEC HN IE K 1. Inleiding

IJ. ELECT ROMAG NETISC HE VELD ENIN AANWEZIG HE IDVAN

NIET-BEWE GEND EMATERI E 7

2. Invoering van de elect ro magnetische veldvect or en 7

3. De vergelijkingenvan Maxwell in vacuüm 2 I

4. De vergelijkingen van Maxwell in aanwezigheid van

niet-bewegendematerie 27

5. De electromagnetische constitutieve vergelijkingen 30 6. De randvoorwaarden aan het scheidingsvlak vantwee

verschillende media 38

7. Uitwisseling van energie in het electromagnetische veld 46

8. Sinusvormigmet de tijd veranderende electromagnet isch e

velden.De complexe rekenwijze 53

9. Statische velden en velden van stationairestro me n 60

10.Het magnetischeveld van stationaire st ro men 63 11. Het magnetische veld van permanente magneten 75 12.Het electrostatische veld en het electrischeveld van

stationaire stromen 80

13.Stroomverdringing(skin effect) 91

14.Transmissie van transversale electromagnetische golvenlangs

eencilindrischstelselvan geleiders 99

lIl. ELEC T R OMAG NETI SC HE VELD ENIN AANWEZI GH EID VAN

BEWEG END EMATERI E 109

15.Korte inleiding in despeciale relativiteitstheorie 109

16. Benaderingen voorhet geval v/co

<

I.Practisch e

toepassingen van de theorie; de algemene inducti ewet

van Faraday 114

AANHANGSEL

A.Vectoranalyse 121

B. Stationaire stroming in een metalen geleider;het verschijnselvan Hall 125

C. Afleiding van de relaties tussen de veldgroothedenin een R-syste em

en een L-systeem 126

D.Afleiding van de formule van Helmholtz 129

.

-

- --~- - -

-I.

ELECTROMAGNETISCHE VELDEN IN DE

ENERGIETECHNIEK

1. Inleiding.

Electromagnetische velden spelen in de electrotechniek een fundamentele rol. Het is daarom van belang om inzicht te krijgen in het gedrag van electrornag -netische velden zoals die in electrotechnische configuraties kunnen voorkomen. In deze leidraad zal de theorie van het electromagnetische veld worden behan-deld, speciaal in samenhang met de rol van electromagnetische velden in een onderdeel van de electrotechniek, de energietechniek. Daarbij heeft men door-gaans te maken met electromagnetische verschijnselen op macroscopische schaal. De door ons te behandelen theorie zal dan ook een macroscopische theorie zijn.

De in de theorie optredende veldgroo theden zijn fu ncties van de plaats van waarnemen in de driedimensionale ruimte en van het tijdstip van waarnemen. Om van een waarnemer die de electromagnetische verschijnselen bestudeert, de plaats vast te leggen, gebruiken wij een vast, rechts-cyclisch (bv. Cartesiaans) assenstelsel. De Cartesiaanse coördinaten van een punt in de ruimte geven wij aan met x, y, z. De eenheidsvectoren langs de X-, de y- en de z-as geven wij aan met respectievelijk i , i_{-x -y} en i ; zij vormen in deze volgorde een rechts-_rt: cyclisch stelsel. De tijd coördinaat wordt aangegeven met t. Om x, y en z te kunnen meten, heeft de waarnemer een standaardmeetlat nodig; om t te kunnen meten moet hem een stand aard klok ter beschikking staan (Fig I). Ter bekorting zal de plaats in de ruimte vaak aangegeven worden met de plaatsvector

(1.1) r=xi_{- -x} +yi_-y +zi,_-z

die op ondubbelzinnige wijze met x, y en z samenhangt (Fig. 2).

eJT

(f' L

t.

Fig. I.Waarnemer in de driedimensionale ruimte.

Een algemeen kenmerk van de grootheden in een macroscopische theorie is, dat zij stuksgewijs continue en stuksgewijs continu differentieerbare func-ties van x, y, z en t zijn. De partiële differentiaties naar x,y en z zullen wij

2 INLEIDING Par. 1 - --..

_---x-,:~ ~/ : I'~ : I : I , I iz

r-- --

i~---.rr--­

:6

:

·r---:l~Y~---~~J-_~

• Ix : ,,---._-- ---.J.','

Fig.2. Waarnemer in de driedimensionale ruimte (plaatsvector en tijd).

aangeven met respectievelijk de operatoren a x' ay en a z; de partiële differen-tiatie naar t zullen wij aangeven met de operator at. In een aantal gevallen is het voordelig de partiële differentiaties naar x, y en z samen te vatten in de vectoriële nabla-operator

(1.2) Ij'=ia +ia +ia.

" X - y y - Z z

In hoofdstuk 11 zullen wij onze beschouwingen beperken tot het geval dat de aanwezige materiële.voorwerpenten opzichte van elkaar niet bewegen.Het hierboven ingevoerde vaste assenstelsel wordt dan zodanig gekozen,dat het ten opzichte van de materiële voorwerpen in rust is:wij vatten deze keuze samen door te zeggen, dat de materie in rust verkeert.Beperken wij ons niet tot in rust verkerende materie, dan wordt het ontwikkelen van de theorie van het electromagnetische veld aanzienlijk gecompliceerder. In de energietechniek echter, o.a.waar het electrische machines betreft, hebben wij juist te maken met configuraties waarin aanwezige materiële voorwerpen ten opzichte van elkaar bewegen. Wij kunnen ons derhalve niet beperken tot de bovengenoemde situatie. In hoofdstuk III zullen wij de theorie van het electromagnetische veld in aanwe-zigheid van bewegende materie behandelen.Een van de moeilijkheden daarbij is gelegen in de omstandigheid, dat het formuleren van de electromagnetische eigenschappen van het materiaal waaruit een voorwerp bestaat,een niet-eenvou-dig vraagstuk is voor een waarnemer die ten opzichte van dit voorwerp beweegt. De bestudering van de electrornagnetische verschijnselen onder zulke omstan-digheden is het onderwerp van despeciale relativiteitstheorie. Ook voor de analyse van configuraties uit de energietechniek waar de snelheden waarmee de voorwerpen ten opzichte van elkaar bewegen in het algemeen klein zijn ten opzichte van de snelheid van electromagnetische golven in vacuüm, blijkt het noodzakelijk bij het ontwikkelen van de daartoe benodigde theorie van het electromagnetische veld, een beroep te doen op de resultaten van de speciale rela tiviteitstheorie.

De experimentele basis voor de theorie van het electromagnetische veld in aanwe-zigheid van materie die in rust verkeert,is gelegen ineen aantal proefondervinde-lijk opgestelde wetten die door James Clerk Maxwell (I831 -1879) zijn samenge-vat in de naar hem genoemde twee wetten ('eerste' en 'tweede wet van Maxwell').

Par.1 INLEIDING 3

Uitgangspunt voor onze beschouwingen zijn de electromagnetische verschijn-selen in vacuüm en hun samenhang met de beweging van geladen deeltjes. Daarna worden materiële media in de theorie ingevoerd. Dit geschiedt op tamelijk axiomatische wijze, hetgeen voor een macroscopische theorie de meest consequente opzet is.De nadruk ligt hierbij op het opstellen van een consistent geheel van grond vergelijkingen.Inhet gedeelte dat de grondslagen van de theorie behandelt, komen als voornaamste onderwerpen aan de orde: (a) de electromag-netische veldvergelijkingen in vacuüm,(b) de electromagnetische veldvergelij-kingen in een materieel medium, (c) de electromagnetische constitutieve verge-lijkingen (deze beschrijven het electromagnetische gedrag van een medium), (d) de rand- of grensvoorwaarden aan het scheidingsvlak van twee media die zich in electromagnetisch opzicht verschillend gedragen, (e) de uitwisseling van energie in het electromagnetische veld.

De formulering van deze grondslagen stelt ons in staat ieder electromagnetisch probleem in wiskundige vorm te gieten;daarna kan het - althans in beginsel -worden opgelost.

4 INLEIDING Par.J

Als voornaamste wiskundige gereedschap voor het overzichtelijk hanteren van de grond vergelijkingen van de theorie van het electromagnetische veld dient de vectoranalyse. (Soms dienen ook tensoren in de beschouwing te worden betrok-ken.) Met het oog hierop is in Aanhangsel A een overzicht van de belangrijkste formules uit de vectoralgebra en de vectoranalyse opgenomen.

Als eenhedenstelsel gebruiken wij het Internationale Stelsel van Eenheden,bij afkorting het SI genoemd (International System of Units, Système International d'Unités). Dit stelsel is op zes grondeenheden gebaseerd, nl. de meter(rn),het kilogram (kg), de seconde (s), de ampère (A), de kelvin (K) en de candela (cd) als eenheid van respectievelijk lengte, massa, tijd, electrische stroom, thermody-namische temperatuur en lichtsterkte. De in dit stelsel optredende eenheden worden SI-eenheden genoemd.De norm NEN 950 van het Nederlands Norma-lisatie-instituut geeft een uiteenzetting over de grondslagen van het Internationale Stelsel van Eenheden (SI), over de grootheden die met deze eenheden worden gemeten en over de vergelijkingen waarin de betrekkingen tussen deze groothe-den zijn vastgelegd. Tabel I geeft een overzicht van de basisgroothegroothe-den,de grondeenheden en de gronddimensies van de grootheidsoorten van het SI. Wat de symbolen voor de eenheden betreft, gebruiken wij de genormaliseerde schrijfwijze. Deze houdt in, dat negatieve machten van een eenheid worden vermeden door toepassing van een schuine breukstreep; de schuine breukstreep wordt niet toegepast als uitsluitend negatieve machten optreden (voorbeeld: misvoor 'meter per seconde', maarS-I voor 'per seconde').

Tabel 1. Basisgrootheden, grondeenheden en gronddimensies van het Internationale Stelsel van Eenheden.

Basisgroot heid Grondeenheid Gronddimensie

naam symbool naam symbool symbool

lengte meter m L

massa m kilogram kg M

tijd t seconde s T

(electrische) stroom I ampere A I

(thermod ynamische) temperatuur T kelvin K 0

lichtsterkte i candela cd J

In Tabel 2 wordt een overzicht gegeven van de voornaamste grootheden en hun eenheden, die wij in de verdere hoofdstukken zullen tegenkomen.

--

- - - -

-Par. I INLEIDING 5

Tabel 2. Grootheden en eenheden van het Internationale Stelsel van Eenheden (SI).

Grootheid Eenheid

naam symbool naam symbool

volume V kubieke meter m3

concentratie N per kubieke meter m-3

snelheid v meter per seconde mIs

oppervlakte A vierkante meter m 2

(electrische)lading q coulomb _C(Ais)

(electrische) ladingsdichtheid p coulomb per kubieke meter _CIm (electrische) stroomdichtheid ₁ ampère per vierkante meter A/m2

(electrische) stroom I arnpere _A

(electrische)

op pervla kteladingsd ich theid _Os coulomb per vierkante meter C/m2

(electrische)

o ppervJaktestroo mdich theid

₁

s ampère per meter A/m

electrisch moment _E coulomb meter Cm

ampère meter-kwadraat 2

magnetisch moment _!TI Am

kracht _!:: newton N (kgrn/s2)

moment van kracht (koppel) _I newton meter Nm

volumedichtheid van kracht _f. newton per kubieke meter N/m3 volumedichtheid van het

momentvan kracht

(koppel) _! newton per vierkante meter N/m2

electrische veldsterkte _~ volt per meter V/m

magnetischeveldsterkte _!:! ampère per meter A/m

permeabiliteit van het vacuüm _IlO henry per meter H/m (Vs/Am)

permittiviteit van het vacuüm _EO farad per meter FIrn (As/Vrn) snelheid van electromagnetische

golven in vacuüm

_C

_o

meter per seconde mIs

co nvectiestroo mdich theid ₁ ampère per vierkante meter A/m2 electrische polarisatie

_r.

coulomb per vierkante meter C/m2

magnetisatie _M am père per meter Alm

electrische fluxdichtheid ₁₂ coulomb per vierkante meter C/m2

magnetische flux Cl> weber

we

(Vs)

magnetische flux dichtheid _~ tesla T(Vs/m2)

soortelijkege le id in g

°

siemens per meter Slm (A/VOl)

electrische susceptibiliteit _Xe magnetische susceptibiliteit _Xm

(absolute) permiltiviteit E farad per meter FIrn

(absolute) permeabiliteit ₁₁ henry per meter H/m

relatieve perrnittiviteit _Er relatieve permeabiliteit Il_r

electrische veldenergie _We joule J (V As)

magnetische veldenergie W_m joule J

electromagnetisch vermogen P walt W (VA)

volumedichtheid van

electr ische veldenergie we joule per kubieke meter J/m3 volumedichtheid van

magnètische veldenergie .\ V_rn joule per kubieke meter JIm3

poyntingvector _~ watt per vierkante meter W/m2

vector potentiaal _A volt seconde per meter Vs/m

magnetische scalaire

potentiaal _liJ ampere A

electrische scalaire potentiaal u,V volt V (kg m 2Is 3A) coëfficiënt van wederkerige

6 VRAAGSTUKKEN Par. 1

capaciteitscoëfficiënt coëfficiënt van electrostatische

inductie

weerstandscoëfficiënt conductantiecoëfficiënt

farad

volt per ampère seconde ohm siemens F (As/V) V/As 12(V/A) S (A/V) Vraagstukken.

Vraagstuk 1.1. Bepaal a x!_ ,a_{y! en az!' waarin r = xi}- -x +yi-y+zi .-z Antwoord: ax!.=!x;ay!=iy;az!=iz·

Vraagstuk 1.2. Bepaal axR, ayR en azR, waarin R= [(x- x p)2

+

(y.-Yp)2

+

1

+(z - Zp)2]2 ;;" O.

Antwoord: axR = (x - xp)/R; ayR =(y - Yp)/R; azR = (z - zp)/R. Vraagstuk 1.3. Bepaal a x R, a y Ren a z R, waarin R = [(x - xp)2 +

p p p

1

+

(y _ _Yp)2

+

(Z _ Zp)2 (2;;" O.

Antwoord: axpR=(xp - x)/R; aypR = (Yp - y)/R; azpR = (zp - z)/R. Vraagstuk 1.4. Bepaal IJR en IJpR, waarin R = [(x- X_p)2

+

(y - Yp)2

+

1

+ (z - Zp)2]2;;" 0 en IJp =_{ixaxp + !yayp + i za zp'}

Antwoord: IJR =

<r -

!p )/R en IJp R =

<I

p - r)/R, met !.= xix +Y!y+ziz en I p = xpix +Yp!y+_zpiz'

11. ELECTROMAGNETISCHE VELDEN IN AANWEZIGHEID

VAN NIET-BEWEGENDE MATERIE

2. Invoering van de electromagnetische veldvectoren.

(a) Ladingsdichtheid, stroomdichtheid, wet van behoud van lading.

Om de macroscopische begrippen (electrische) ladingsdichtheid en (electrische) stroomdichtheid in te voeren, gaan wij na tot welke gemiddelde effecten op grote schaal een zwerm bewegende, electrisch geladen deeltjes aanleiding geeft. Wij onderstellen, dat de afmetingen van de deeltjes verwaarloosbaar klein zijn ten opzichte van hun onderlinge afstand en noemen de deeltjes dan puntvormig. Wat mechanische eigenschappen betreft, is een puntvormig deeltje gekenmerkt door zijn (rust)massa m_o' zijn plaats in de ruimteI,zijn snelheid yen zijn impuls-moment

12.

Dit impulsmoment wordt veroorzaakt door de rotatie van het deeltje om zijn as. Wat electromagnetische eigenschappen betreft, blijkt een puntvormig deeltje, behalve wederom door zijn plaats, gekenmerkt te zijn door zijn (electri-sche) lading q en zijn magnetisch (spin)moment!TI.Ook dit magnetisch (spin)-moment Dl wordt veroorzaakt door de rotatie van het deeltje om zijn as. Uit ex-perimenten blijkt, dat voor alle deeltjes m_o

>

0; voor q is dit niet het geval: voor een positief geladen deeltje (bv.proton) is q

>

0, voor een negatief geladen deeltje (bv. electron) is q

<

0, terwijl voor een neutraal deeltje (bv. neutron) geldt q

=

O.

Proefondervindelijk is vastgesteld, dat de hoeveelheid electrische lading discreet of gequantiseerd is: als -e de lading van een electron voorstelt, blijkt de lading van een willekeurig deeltje altijd een veelvoud van e te bedragen. Uit experimen-ten blijkt dat

e

=

1.602 x 10-19 coulomb (As).

Alvorens de macroscopische eigenschappen van een zwerm bewegende electrisch geladen deeltjes te bestuderen, zullen wij een aantal macroscopische grootheden invoeren die verband houden met de beweging van een zwerm willekeurige deel-tjes. Daartoe beschouwen wij een begrensd gebied

V

in de ruimte, waarin zich een zwerm bewegende deeltjes bevindt. Laat t:Nde inhoud zijn van een ruimte-lijk deelgebied

LiV

van

V

dat een gekozen punt van waarneming met Cartesiaanse coördinaten x, yen z en plaatsvectorI als inwendig punt bevat. Verder voeren wij een standaardgebiedje

V

in met als kenmerk, dat de maximale diameter

gr

klein is ten opzichte van de afmetingen van het beschouwde macroscopische systeem, terwijl de minimale diameter altijd zo groot blijft, dat

V

zeer vele

gr

deeltjes bevat (Fig. 3).

V

is op te vatten als de kleinste korrel (Eng.:grain)

gr

materiaal waarop de macroscopische fysische wetten nog van toepassing zijn. Verder veronderstellen wij, dat de fysische eigenschappen van een brok mate-riaal dat uit zulke korrels is opgebouwd, continu met de plaats in de ruimte veranderen ('continuümshypothese').Het is duidelijk dat bij deze beschrijvings-wijze wordt afgezien van het discreet zijn van de elementaire bouwstenen van de materie.

8 LADINGSDICHTHEID,STROOMDICHTH EID Par.2

Fig.3.Concentratieenconvectiesnelheid van een zwerm deeltjes.

Laat nu b.N het aantal op het tijdstip t in b.

V

aanwezigedeeltj eszijn.Als

con centratie N= N(r,t) van de deeltjes op het tijdstip t en in het punt van waar-neming met plaatsvector I voeren wij in

(2.1) Ndef lim b.Njb.V ,

AV'"

V

gr

waarbij! een inwendig punt van

V

grblijft. Op grond van de con t in u ü mshy po -these is N '" N(r,t) een continue functie van I:

Opmerking. Ter bekorting hebben wij N(r,t) geschreven in plaats van Nïx.y.z.t ). Deze notatie ,die in de natuurkunde veelwordttoegepast,zullen wijoveral gebruiken waar hetonde rscheid tusse n x,y enz voor het resultaat niet wezenlijk is.

Met behulpvan dedefinitie(2.1) is vo or het tot aalaant al n= n(t ) op het tijd-stip t in V aanwezige deeltjes te schrijven

(2.2)

n=JJJv

NdV,

waarin dV =dxdydz.

Vervolgens nummerenwij de in b.V aanwezige deeltjesen wel met het ran gnum-mer k (k= I,...,b. N). Laat Y_k de snelheid van het deeltj emet rangnumm er k zijn,dan is de gemiddelde snelheid

<y>

van de inb.Vaanwezigedeeltjesgegeven door

AN (2.3)

<x>

=(b.N)-1 ~. Y

k.

k=1

Ondersteld wordt nu,dat vo or b.V ... V uit (2.3) weereen grootheid ont staat gr

die een continue functie vanj;is.Deze grootheidnoemen wij de convect iesnel-heid Yconv=yconv<r,t) van de deeltjes. Derhalve is

(2.4) v

=

lim

<v>.

-conv

AV'" V

-gr

en de ruimtelijke (electrische) stroomdichtheid

1

=

lC!:,t)

als

Opgemerkt word t,dat met de chaotische temperatuurbeweging van de deeltjes een snelheid gepaard gaat waarvan de gemiddelde waarde gelijk is aan de nul

-vector; deze beweging levert derhalve geen bijdrage tot Y_{co nv}'

Wij keren nu terug tot de eigenschappen van een zwerm electrisch geladen deel-tjes die zich in een gebied in de ruimte bevinden en beschouwen wederom een deelgebied 6.

V

met inhoud 6.V. Laat wederom

Veen

korrel aanduiden met

gr

het punt van waarneming (met plaatsvector r) als inwendig punt. De ruimtelijke (electrische) ladingsdichtheid P

=

PCr,t) in dit punt wordt dan gedefinieerd als

9 LADINGSDICHTHEID, STROOMDICHTHEID def ~N P

=

lim (6.V)-1 ~ qk ~V+V k=I gr Par. 2 (2.5) (2.6)

Hierin isqkde (electrische) lading van het k-de deeltje en Y

k zijn snelheid.Op

grond van de continuümshypothese zijn de aldus gedefinieerde P

=

p(r,t) en

1

=

ler,t) continue functies van de plaatscoördinaten. Onder gebruikmaking van (2.1) is (2.5) te schrijven als (2.7) P

=

N lim

<

q>

~V+V_gr

en(2.6) als

(2.8)

1

= N lim

<

ex>,

~V+

V

_gr

waarbij <'grootheid'> wederom het rekenkundig gemiddelde van 'grootheid'

aangeeft.

De totale hoeveelheid lading Q

=

Q(t) die zich ten tijde t in het gebied V bevindt,is op grond van (2.5) gegeven door

(2.9) Q=fffvPdV.

Wij gaan nu onderscheid maken tussen de verschillende soorten geladen deeltjes (electronen, protonen,enz.) en kenmerken elke soort door zijn lading.Zijq(a)

de lading van een deeltje van de soort

a

(bv. q(electron)

=

-e,q(proton)

=

e). dan is qk=q(a) voor alle waarden van k die deeltjes van de soorta aangeven. Zij

6.N(a) het aantal in 6.V aanwezige deeltjes van de soorta.De concentratie

N(a)= N(a)er,t) van de deeltjes van de soort

a

is dan gegeven door (2.10) N(a)= lim 6.N(a)/6.V,

10 LADINGSDICHTHEID, STROOMDICHTHEID Par.2

(2.11)

(2.12)

de ladingsdichtheid p(a)

=

p(a)(r,t) van de deeltjes van de soort adoor ;lN(a)

p(a)

=

lim (llV)-1 ~ q(a)

=

N(a)q(a)

;lV

~

V

k=1

gr

en de stroomdichtheid l(a)

=

l(a)(r,t) van de deeltjes van de soortadoor ;l N(a)

](a)= lim (llV)-1 ~ q(a)v (a) =N(a)q(a)v (a) =p(a)v (a)

-

t>V

~

V.

k= I -k -conv -co nv

~r Voor de algemene definitie van Y

co nvwordt verwezen naar (2.4).

Teneinde een verband tussenp(a)enla)op te sporen kiezen wij in het gebied waar de geladen deeltjes van de soortazich bevinden een vast gesloten opper-vlak S;het gebied binnen S noemen wij V (Fig. 4). De op het tijdstip t in V aanwezige lading is op grond van (2.9) gegeven door

(2.13)

Fig. 4. De configuratie voor de afleiding van de wet van behoud van lading.

Een tijdsintervalzàt later is die lading (2.14)

De hoeveelheid lading llQ(a) die tengevolge van de beweging van de geladen deeltjes van de soortain het tijdsverloop llt door S heen naar buiten stroomt, word t in eerste orde benadering in llt gegeven door

(2.15 )

waarin

n

de eenheidsvector langs de naar buiten gerichte normaal op S voorstelt. Het rechterlid van (2.15) is verkregen door de bijdragen van de afzonderlijke elementen van S te sommeren en in rekening te brengen, dat de deeltjes die V door een element van S heen in het tijdsverloop llt verlaten,dit gemiddeld met de locale convectiesnelheid v_{-conv -}(a) (r,t) doen en terechtkomen in een cilinder waarvan dA de oppervlakte van het grondvlak en n.Yc~~v(r,t)llt de hoogte is.

Uit (2.13)- (2.16) volgt in de limiet t.t+0

Door sommering over alle typen ladingdragers (sommering overa) wordt dan uit (2.17) verkregen 11 LADINGSDICHTHEID. STROOMDICHTHEID Par.2. (2.17) (2.16)

Proefondervindelijk is gebleken, dat de totale hoeveelheid electrische lading bij stroming behouden blijft (wet van behoud van lading). Dit ervaringsfeit is zodanig te interpreteren, dat de wet van behoud van lading voor elke soort geladen deeltje afzonderlijk geldig is. Dat betekent dat voor geladen deeltjes van de soort

a

moet gelden

(2.18)

(2.19)

Vergelijking (2.18) is de wiskundige vorm van de wet van behoud van electrische lading.In(2.18) is

p

=~

pCa), a (2.20)

Vergelijking (2.18)geldt voor elk gesloten oppervlak S. Indien

J

in een ruimte-lijk gebied continu differentieerbaar is, volgt daar door toepassing van de diver-gentiestelling van Gauss op (2.18)

(2.21)

Vergelijking (2.21) staat bekend als decontinuiteitsvergelijking voor de electrische stroom. De stroomdichtheid

J.

in (2.20)gegeven, wordt ook wel de (electrische) convectiestroomdichtheid genoemd.

Indien pen

J

onafhankelijk zijn van de tijd, heet de stromingstationair; dan is op grond van (2.18),

(2.22)

ifi

_s U.JdA=0,

en, indien

J

continu differentieerbaar is, (2.23) div

J

=O.

Voor een stationaire stroming wordt de door een gesloten kromme C omvatte stroomsterkte I gedefinieerd als

(2.24) 1 =def

I

I

_s

n.ldA,

waarin S een begrensd, tweezijdig oppervlak is, dat C tot randkromme heeft (zie Fig. 5);

n

is de rechts-cyclisch aan de omlooprichting op C toegevoegde

12 ELECTRISCH EN MAGNETISCH MOMENT Par.2

(2.25)

Fig.s.Begrensd tweezijdig oppervlak Smet rand kromme C.

eenheidsvector langs de normaal op S. Op grond van (2.22)is het rechterlid van (2.24)onafhankelijk van de keuze van S, mits S maar C totrandkrommeheeft. Indien er geen transport van lading optreedt, is

I

=Qen pona fhankelij kvan detijd;een dergelijke ladingsverdeling heetstatisch.

(b) Electrisch en magnetisch moment van een stelsel bewegende ladingen. Bij het bepalen van de macroscopische convectiestroomdichtheid van een zwerm geladen deeltjes (zie (2.12))is behalve de electrische ladingvande deeltjes allee n hun snelheid van belang en niet hun onderlinge positieof de do orhen doorlo pen baan.Zodra wij echter trachten de electromagnetisch eigenschappen van een materieel medium op macroscopische schaal te verklaren aan de hand van de klassieke ele ctronentheorie van H. A. LORENTZ,speelt de onderlinge pos itie van de geladen deeltjes en de door hen doorlopen baan wel een rol. Wij zullen daar-om de met de onderlinge positie en de baan van de geladen deeltjes in verband staande grootheden nu nader introduceren.

De grootheid die te maken heeft met de onderlinge positie van de geladen deel-tjes is hetelectrisch momentpvan een stelsel deeltjes ten opzichte van een vaste oorsprong O. Laatqk de lading zijn van het deeltje met rangnummer k

(k=1,2, ...,K) en laat Ik de plaatsvector zijn van het punt waar het deeltje met rangnummer k zich bevindt. Het electrisch moment

Ek

van dit deeltjeten opzichte van de oorsprong 0 is dan gedefinieerd als

def

Pk

=

qk Ik (k= I, ... ,K),

en het totaleelectrische moment

E

van de K deeltjes ten opzichte van 0 als

(2.26)

In het algemeen is voor een gegeven stelsel deeltjes de waarde vanpafhankelijk van de keuze van de oorsprong O. Een nodige en voldoende voorwaarde omp

K

onafhankelijk van de keuze van 0 te doen zijn, is ~ qk

=o.

Om deze voor -k=1

,

Fig. 6. Electrisch en magnetisch moment ten opzichte van de oorsprong 0 en de oorsprong 0 . Par. 2 ELECTRISCH EN MAGNETISCH MOMENT

a'

13

en bepalen het electrisch moment p' van het stelsel geladen deeltjes ten opzichte

van 0'.

-Hieruit volgt dat

p'

=

p

dan en slechts dan als (2.27) p

,

K , K K . ~ qk[k

=

~ qk(rk -!o)=P-( ~ qkhO· k=1 k=1 k=1 K ~ qk

=

0, waarmee de gestelde k=1 voorwaarde is afgeleid.

Voor een zwerm geladen deeltjes waarvoor in (2.1) de concentratie N=N(r,t) is ingevoerd,kunnen wij de ruimtelijke dichtheid van electrisch moment P=P([,t)ten opzichte van een vaste oorsprong0 invoeren.Geheel in overeen-stemming met de in het begin van par. 2 ingevoerde grootheden,kunnen wij de ruimtelijke dichtheid van electrisch moment invoeren als

(2.28) Pdef

=

lim (LW)-l .6.N~ Pk=N lim

<p>,

.6.V+V

_gr k=1 -

.6.V+V

_gr

-Op grond van de continuümshypothese is de aldus verkregen P

=

P(r,t) een continue functie vanI.

Met behulp van (2.28) is voor het electrische moment

p

=

p(t) van de totaal in het gebied V aanwezige lading te schrijven

(2.29). p=

fff

_v

pdV.

De grootheid P wordt ook wel de electrische polarisatie genoemd.Indien wij in (2.28) voor Pk schrijven Pk =qk!k en verder in rekening brengen dat

!k ==! voor alle deeltjes in

V

gr met! als inwendig 'Punt, dan kunnen wij met (2.5) voor

p

schrijven

(2.30)

_l'

=PI.

Met (2.30) kunnen wij voor (2.29) ook schrijven (2.31) P

=

fff

_v

prdV.

14 ELECTRISCH EN MAGNETISCH MOMENT Par. 2

De grootheid die te maken heeft met de doorlopen baan van de geladen deeltjes (meerin het bijzonder in het geval van het doorlopen van een gesloten baan) is hetbaanmagnetische momenttgvan een stelsel deeltjes ten opzichte van een vaste oorsprong O. In overeenstemming met de in Fig.3 ingevoerde grootheden wordt het baanmagnetisch momentfik van het deeltje metrangnummer k ten opzichte van de oorsprong0 gedefinieerd als (zie Fig. 6)

def1

(2.32) fik - 2"!k xqkYk (k= I, ... ,K)

en het totale baan magnetische moment fivan de Kdeeltjes ten opzichte van0 als

def K K

(2.33)

m

= ~ !!!k

=

~

(h

kxqkYk)'

k=1 k=1

(De factor!in het rechterlid van (2.32) is een kwestie van conventie.) In het algemeen is voor een gegeven stelsel deeltjes de waarde van

m

afhankelijk van de keuze van de oorsprong O. Wij kunnen op overeenkomstige wijze als bij het

K

electrische moment

E

is gedaan, aantonen dat ~ qkYk= 0 een nodige en k=!

voldoende voorwaarde is.omfi onafhankelijk van de keuze van0 te doen zijn. Voor een zwerm deeltjes waarvan de concentratie N

=

N(r,t) (zie(2.1))kan worden ingevoerd, wordt nu de ruimtelijke dichtheid van baan magnetisch moment geïntroduceerd als

(2.34) M =def hm.

-

AV+V

_gr

Op grond van(2.1)is hiervoor ook te schrijven (2.35) M

=

N lim

<ID>.

-

AV+V

_gr

Op grond van de continuümshypotheseis de aldus verkregen

M

=

M(~,t) een continue functie van I. Met behulp van (2.34) is voor het magnetische moment

!!!= !!!( t) van de totáal in het gebied V aanwezige lading te schrijven (2.36) !!!

=

fff

_v

MdV.

Opgemerkt kan worden , dat de deeltjes naast een baanmagnetisch moment nog een magnetisch moment tengevolge van een tolbeweging om hun as bezit-ten; dit magnetisch moment wordt het spin magnetische moment genoemd en isgericht langs de draaiingsas van het deeltje. Het totale magnetische moment van een deeltje wordt gevormd door de vectoriële som van zijn baanmagnetische moment en zijn spinmagnetische moment. Wij zullen op de consequenties van bovengenoemd onderscheid hier verder niet ingaan.

De grootheid MzoM(~,t) wordt ook wel demagnetisatie genoemd. Indien wij

(c) Kracht en koppel op een stelsel ladingen.De electromagnetische veldvec -toren in vacuüm.

Uit ervaring is bekend,dat electrischgeladen deeltjes een kracht op elkaar uit-oefenen; deze kracht hangt af van de lading van de deeltjes, van de onderlinge positie van dedeeltjes en van hun bewegingstoestand.Wij beschouwenallereerst de kracht die op één enkel puntvormig geladen deeltje (een puntlading) werkt en definiëren via deze kracht de electromagnetische veld vectoren. Dit betekent,

dat wij de puntlading als meetobject hanteren om de waarde van de electromag

-netische veldvectoren te bepalen.Daar dit meetobject niet in de materie kan

worden geplaatst kunnen wij op deze manier alleen deelectromagnetische veld

-vec to ren in vacuüm definiëren.In overeenstemming met de ervaringsfeiten wordt

de kracht die een - in vacuümgeplaatste - puntlading ondervindt gegeven door

Met (2 .37) kunnen wijvervo lgens voor(2 .36)schrijven

15 KRACHTWERKINGOP LADINGEN

m

=

fff

_v

!rxl dV. (2 .38)

v

gr met[alsinwend igpun t, dankunnen wij met (2.6) voor

M

schrijven

(2. 37)

M=h

xI.

Par. 2 (2.39) waarin F=kracht:

-

,

q=sterkte van depuntIading ;

y =snelheidvande puntIading ten opzichte van de waarnemer; Ilo

=

permeabiliteit van het vacuüm (p.o

=

41TX 10-7 henry/meter);

.E.

=

electrische veldsterkte ter plaatse van de puntlading;

B

=

magnetische veldsterkte ter plaatse van de puntlading.

De constanteIlo is bepalend voor het gebruikte eenhedenstelsel (de opgegeven

waarde vanIlo is die voor het SI).In de onderstelling, dat de als meetobject gebruikte puntIading een zo kleine sterkte heeft dat de terugwerking ervan op de oorspronkelijk aanwezige configuratie verwaarloosbaar klein is, levert (2.39) de electrische veldsterkte I;;

=

I;;er,t) en de magnetische veldsterkte

B

=

Ber,t) van het oorspronkelijk aanwezige electromagnetische veld.

Door in (2.39) eerst y

=

Qte kiezen, bepaalt men I;;

=

E(r,t).Door daarna aan

de puntlading drie lineair onafhankelijke snelheden Yl,2.3 te geven

(bv. Yl

=v11x' Y2

=

_v2

!y

,

_Y3

=

v31z)'bepaalt men B

=

B([ ,t ) uit de bijbehorende El,2, 3 en de inmiddels bekende I;;=I;;(r,t).

De grootheid

(2.40)

16

(2.41)

KRACHTWERKING OP LADINGEN Par. 2

noemt men wel de magnetische kracht of Lorentzkracht.

Er wordt met nadruk op gewezen, dat de via (2.39) gevonden waarden van1;;en

ti

de betekenis van electrische resp. magnetische veldsterkte alleen hebben voor de waarnemer die de puntlading als meetobject heeft gehanteerd, waarbij ook voor

E

enyde waarden moeten worden gebruikt die deze grootheden voor hem hebben. Een andere waarnemer, die ten opzichte van de eerste beweegt,vindt voor al deze grootheden andere waarden. Zo geldt voor een tweede waarnemer die met de puntlading van de eerste waarnemer meebeweegt y'=Q,dus (2.42)

Hierbij is gebruik gemaakt van de eigenschap, dat de sterkte van een puntlading dezelfde is voor alle waarnemers, en derhalve relativistisch invariant is.

Uitgaande van (2.39) is ook de kracht die op een stelselmechanisch star met

elkaar verbonden puntvormige geladen deeltjes wordt uitgeoefend,te bepalen. De onderstelling, dat de puntladingen een mechanisch star systeem vormen, betekent, dat het gelijktijdig superponeren van krachten die op onderdelen van het systeem worden uitgeoefend, geoorloofd is. Op deze wijze wordt verkregen

(2.43)

met (2.44)

waarin qk=de lading van het k-de deeltje, Y_k =de snelheid en .!k =de plaats-vector van de oorsprong naar het k-de deeltje.

Vervolgens onderzoeken wij de kracht die op een zwerm electrisch geladen deeltjes wordt uitgeoefend wanneer overeenkomstig met (2.5) en (2.6) de

ruimtelijke ladingsdichtheid P=PCr,t) en de convectiestroomdichtheid

1

=

1([,t) kunnen worden ingevoerd. Laat Veen begrensd gebied in de ruimte zijn, waarin zich geladen deeltjes bevinden. Laat .6.V de inhoud zijn van een ruimtelijk gebied .6.

V

van V dat een punt met plaatsvector! als inwendig punt bevat. Noem .6.N het aantal op het tijdstip t in .6.

ti

aanwezige deeltjes en laat

ti

_gr wederom een kleinste korrel van het beschouwde materiaal aangeven. In de onderstelling, dat de in het materiaal op de afzonderlijke geladen deeltjes binnen .6.

V

werkende krachten gelijktijdig gesuperponeerd kunnen worden, voeren wij deruimtelijke dichtheid van electromagnetische kracht in via

(2.55)

Wij onderstellen nu, dat 1;;

=

g(r,t) en

ti

=

tI(r,t) continue functies vanr,zijn; dan zijn E en H binnen_{- -}

V

_grop van hogere orde kleine grootheden na constant, d.w.z.

Behalve de kracht

f

die op een systeem werkt is ook het mechanisch moment

I

van deze kracht ten opzichte van een vaste oorsprong 0 van belang.Dit mecha-nisch moment wordt gedefinieerd als

Op grond van de continuümshypothese is de aldus verkregen f

=

[([,t) een continue functie van !. Welke mechanische gevolgen de werking van f op de zwerm geladen deeltjes als geheel heeft, hangt af van de aard van de mechanische verbindingen die verder tussen de deeltjes aanwezig zijn. Indien al deze verbin-dingenmechanisch star zijn, kunnen de bijdragen van de elementaire deelgebied-jes tot de kracht op elk moment worden gesuperponeerd en wordt voor de totale kracht

f

=.f(t) op de zwerm deeltjes gevonden

17 KRACHTWERKING OP LADINGEN

f

=

fff

y fdV

=

fff

y (p~

+

J

XJlotl) dV.

I=rxf,

(2.59)

Met behulp van de definities (2.5) en (2.6) voor presp.

L

is dan (2.55) te her-leiden tot

(2.57)

(2.58) (2.56) Par. 2

waarin! de plaatsvector van de oorsprong 0 naar het punt waar de kracht aan-grijpt, voorstelt.

Voor een stelsel electrische geladen deeltjes die onderling mechanisch star met elkaar zijn verbonden, kunnen de bij de deeltjes behorende mechanische momen-ten

Ik

(k

=

1, ... ,K) gelijktijdig worden gesuperponeerd.Zodoende wordt voor het totale mechanische moment verkregen

(2.60)

met (2.61 ) waarin

f

k is gegeven door (2.44).

Voor een zwerm electrische geladen deeltjes waarvoor de ruimtelijke dichtheid van kracht

f

kan worden ingevoerd, kan ook de ruimtelijke dichtheid van mechanisch moment

1.

worden ingevoerd en wel als

(2.62)

Zijn alle deeltjes mechanisch star met elkaar verbonden, dan kunnen de bijdra-gen van de elementaire deelgebiedjes tot het moment alle gelijktijdig worden gesuperponeerd en wordt voor het totale moment

I

(zie (2.59)en (2.60» gevonden

18 VRAAGSTUKKEN Par. 2

Indien de totale op een systeem werkende kracht gelijk is aan de nulvector,is het mechanische moment van deze kracht onafhankelijk van de keuze van de oorsprong en is het samenstelsel van krachten equivalent met een koppel dat op het systeem werkt.

Vraagstukken

(a) Ladingsdichtheid,stroomdichtheid, wet van behoud van lading. Vraagstuk 2.1.In een zwerm deeltjes met concentratie N wordt een gebied beschouwd in de vorm van een kubus met ribbe a.

(a) Hoe groot moet a worden gekozen,opdat de kubus gemiddeld één deeltje bevat?

Bereken a, als

(b) N = 2.69X 1025 m- 3 (concentratie van atomen in een gas onder normale omstandigheden),

(c) N = 5.0 x 1028 m-3 (concentratie van atomen in silicium).

Antwoord: (a) a = N-1/3;(b)a = 3.34x10-9 m; (c) a = 2.71 x10-10 m.

Vraagstuk 2.2. In een zwerm deeltjes met concentratie N wordt een 'korrel'

V

beschouwd in de vorm van een kubus met ribbe a.

gr

(a) Hoe groot moet a tenminste gekozen worden, opdat

V

gemiddeld tenmin-gr

ste 106 deeltjes bevat?

(b) Bereken a, als N = 2.69x1025 m-3. (c)Berekena,als N=5.0xI028 m- 3.

Antwoord: (a)a=102/NI/3 ;(b)a=·3.34xlO-7 _{m;(c)a=2.7l xlO-}8 m_. Vraagstuk 2.3. In een geïoniseerd gas zijn twee soorten geladen deeltjes

aanwe-zig, te weten: positieve ionen met concentratie N+,convectiesnelheid v+ en

-conv

lading q ", en negatieve ionen met concentratie N-, convectiesnelheid v" en

-conv

lading q -. Geef de uitdrukking voor (a)p, (b)

I

.

Antwoord: (a)p= N+q+

+

N-q-; (b)J = N+q+v+

+

N-q-v- .

- -conv -conv

Vraagstuk 2.4. In een metalen geleider vindt het transport van lading plaats door middel van electronen met concentratie N(e) en convectiesnelheid v (e) -conv Geef de uitdrukking voor (a) p, (b),!, indien de geleider macroscopisch onge-laden is.

Antwoord: (a) p= O· (b)J= -N(e)ev (e) .

' - <conv

Vraagstuk 2.5. In een halfgeleider ontstaat de stroomdichtheid door de bewe-ging van electronen (met concentratie N(e) en convectiesnelheid v (e) ) en gaten

-conv (met concentratie N(h) en convectiesnelheid v (h) ). Geef de uitdrukking voor

-conv (a) p en (b)

1-Antwoord: (a)p = _N(e)e

+

N(h)e· (b)J= -N(e)ev (e)

+

N(h)ev (h) .

[ Antwoord: Q(t)

=

Q{t

o) -

I

I(r)dr.

'o

def

Vraagstuk 2.6. Laat I= fiS

n.J

dA de naar buiten gerichte stroom door het oppervlak S zijn en Q de totale hoeveelheid lading binnen S.Druk met behulp van vergelijking (2.18) de lading Q = Q{t) uit in de stroom 1= I{t) in het tijds-interval t_o.,;;; t

<

00.

19 VRAAGSTUKKEN

Par. 2

Vraagstuk 2.7. In K metallische geleiders, die alle in een 'knooppunt' met elkaar zijn verbonden, vloeien stationaire stromen Ik (k= I, ... ,K), waarbij

def

Ik

=

II

A

n·l

_{dA, met Ak}

=

doorsnede van de k-de geleider. Bewijs, k

(a) dat Ik onafhankelijk is van de keuze van de doorsnede die voor het uitreke-nen van de integraal wordt gebruikt,

K

eb) dat L Ik=0 (wet van KIRCHHOFF). k=1

(c) Welke eigenschap van

I

aan het grensvlak geleider / isolator is hierbij gebruikt? (Aanwijzing: maak gebruik van vergelijking (2.22).)

Antwoord: (c)

!l.l.

=0 aan het grensvlak geleider / isolator.

(b) Electrisch en magnetisch moment van een stelsel bewegende ladingen. Vraagstuk 2.8. Een puntJading ter sterkte q bevindt zich op vectoriële afstand .Q. van een puntlading ter sterkte -q. Bepaal het electrische moment

r.

van het twee-tal ladingen.

Antwoord: E=qçt.

Vraagstuk 2.9. Onder welke voorwaarde is het electrische moment

r.

=

III

_v

p!...dV onafhankelijk van de keuze van de oorsprong?

Antwoord: als

III

_v

pdV=O.

Vraagstuk 2.10. Op het enkelvoudig gesloten oppervlak S van een metalen gelei-der bevindt zich electrische lading met oppervlakteladingsdichtheiduS'

(a) Bepaal het electrische moment

r.

van de ladingsverdeling.

(b) Onder welke voorwaarde is

E

onafhankelijk van de keuze van de oorsprong? Antwoord: (a)

E

=

fis

usr

dA; eb) als

ff>s

usdA

=

O.

Vraagstuk 2.11. Twee identieke evenwijdige, oneindig dunne; vlakke metalen platen bevinden zich op vectoriële afstand .Q. van elkaar. Op-deene plaat is een totale lading Q aanwezig, op de andere plaat een totale lading -Q. Bepaal het electrische moment van de configuratie in de onderstelling, dat de verdeling van Q over de ene plaat dezelfde is als de verdeling van -Q over de andere plaat. Antwoord:

E

=

Q.Q..

Vraagstuk 2.12. In een bol met straal a bevindt zich een uniform verdeelde lading -Q. Op vectoriële afstand.ct.van het middelpunt van de bol bevindt zich een puntlading Q. Bepaal: (a) de ruimtelijke ladingsdichtheidpvan de uniform verdeelde lading; eb) het electrisch moment

E

van de configuratie.

20 VRAAGSTUKKEN Par.2

(Aanwijzing: bewijs eerst, dat het electrisch moment van de uniform over de bol verdeelde lading nul is ten opzichte van het middelpunt van de bol, omdat

III

V [dV=Q, waarinLde plaatsvector van het middelpunt van de bol naar een willekeurig punt is.)

Antwoord: (a) p

=

-3Q/4rra3; (b)

p

=

Q

g.

(Opmerking: de configuratie is een klassiek model van een gepolariseerd atoom ;

de eigenschap

fIf

_v

rdV

=

Q geldt voor ieder gebied met een centrum van sym-metrie, alsLde plaatsvector van dit centrum af voorstelt.)

Vraagstuk 2.13. Een enkelvoudig gesloten, lijnvormige geleider C word t door een overal even sterke stroom I doorlopen. Bepaal met behulp van (2.38) het magnetisch moment

m

van deze 'kringstroom' en herleid het resultaat.

(Aanwijzingen: maak gebruik van de eigenschap,dat

1

dV=Ir ds voor een lijnvormige geleider; hierin isI de eenheidsvector langs de raaklijn aan C.

Gebruik verder de variant van de stelling van Stokes (A.44), alsmede de formule (J:!xy)xr

=

-2!!.)

Antwoord: !TI= tI.cPc I xI ds = I

If

S 11 dA = I~,waarin A het vectoriële oppervlak van C voorstelt.

Vraagstuk 2.14. Een cilindrische spoel wordt doorlopen door een stationaire stroom I, die in iedere langsdoorsnede op dezelfde wijze over de hoogte verdeeld is. De dikte van de wikkeling mag worden verwaarloosd; het vectoriële oppervlak van de dwarsdoorsnede zij~.

(a) Bepaal het magnetisch moment!TIvan de spoel.

(b) Hoe luidt het antwoord, indien de spoel uit n windingen bestaat die ieder door een stroom I worden doorlopen?

Antwoord: (a)

m

'7IA; (b)

m

=

nIA· (cl Kracht en koppel op een stelsel ladingen.

Vraagstuk 2.15. De kracht

.E

op een puntvormig deeltje met electrische lading q wordt gebruikt om de electrische veldsterkte

E

en de magnetische veldsterkte

ti

te bepalen. Druk

(a)

E

uit in

f

voor y.

=

Q, en druk

(b)

ti

uit in

.E

1,2,3 -

qE,

indien voory. achtereenvolgens Y_I =V11x'Y₂=V24 en y.

3

=

v3

1

z wordt gekozen.

Antwoord: (a)

E

=

f/q

voor y=

9;

.(b)

l

x -yi -zi vI 0 0 =(f_l

/q

-

f,)/po' H_x H H IY Z i i i -x -y -z

o

v_{2 0} =(P2/q -

E

)/po ' H_x H_y H_z i i i -x -y -z

o

0 v₃ =(f₃

/q -

E)/po' H_x H_y H_z

Vraagstuk 2.16. Twee puntladingen ter sterkte q,resp. -q, zijn mechanisch star met elkaar verbonden.De vectoriële afstand van de lading ter sterkte

-'1.

tot de lading ter sterkte q bedraagtQ.Deze 'electrische halter' bevindt zich in een uniform electrisch veld

g.

Bepaal

(a) de resulterende kracht;

(b) het mechanisch moment van het resulterende koppel op de electrische halter. Antwoord: (a)

f

= Q; (b) T =EX!;: ,waarin

2

~q d.

Vraagstuk 2.17. Door een enkelvoudig gesloten, mechanisch starre, draadvor-mige geleider C loopt een overal even sterke stroom 1. Deze 'kringstroom' bevindt zich in een uniform magnetisch veld ti. Bepaal

(a) de resulterende kracht;

(b ) het mechanische moment van het resulterende koppel op de kringstroom. (Aanwijzingen: maak gebruik van de eigenschap, dat

J

dV = Ir ds voor een lijnvormige geleider, gebruik verder de eigenschap

Pc

rdS =Q, de formules Ix(rxH) = (O:Dr - (Um en 'ï1([.H)= ti, (A.34) en(AA2).)

Antwoord: (a)f=Q; (b)T=!]1xJ..l_oti,waarin m=Iffs!!dA=IA(zie vraagstuk 2.13).

Par. 3 VELDVERGELIJKINGEN IN VACUUM 21

3.De vergelijkingen van Maxwell in vacuüm.

In Par. 2 zijn de electrische veldsterkte !;:= g(I,t) en de magnetische veldsterkte ti = !:Hr,t) gedefinieerd uitgaande van de kracht, die door het electrornagne -tische veld op een bewegende puntlading in vacuüm wordt uitgeoefend. Met behulp van deze definities kan men langs experimentele weg betrekkingen tussen gen

B

in een gebied in vacuüm opsporen. De resultaten van deze experimenten zijn als volgt te formuleren.

Laat C een enkelvoudig gesloten kromme zijn en S een begrensd, tweezijdig oppervlak dat C tot randkromme heeft (zie Fig. 7). Indien een S geheel in

Fig. 7. Begrensd, tweezijdig oppervlak S dat C tot randkromme heeft.

22 VELD VERGELIJKINGEN IN VACUUM Par.3

waarinT..de eenheidsvector langs de raaklijn aan C is en!lde rechts-cyclisch aan1 toegevoegde eenheidsvector langs de normaal op S. Verder is

EOheet depermittiviteit van vacuüm,Co de voortplantingssnelheid van eie

ctro-magnetisch gojven in vacuüm. Uit experimenten blijkt dat geldt (3.4) Co =2.9979 X 108 meter/seconde,

zodat wij met /lo'gegeven in (2.39), voorEO vinden (3.5) EO=8.8544X10-12 farad/meter.

De betrekkingen (3.1) en (3.2) vormen de vergelijkingen van Maxwell in integraal-vorm in vacuüm.

Laat verder S een begrensd gesloten oppervlak zijn,dan blijkt tevens te gelden: (3.6) ifj

s

EoE.!}dA=0,

(3.7)

#s /lotl.n

dA

_=o.

Met (3.6) en (3.7) zijn de oppervlakteintegralen in de rechterleden van (3.1) en (3.2) alleen afhankelijk van de randkromme C en niet van de vorm van opper-vlak S. Verder blijken in een vacuümgebied de veldvectorenI;;en

ti

continu differentieerbaar te zijn, zodat met behulp van de stelling van Stokes (A.43) uit (3.1) en (3.2) volgt

(3.8) rot

tl -

EOat~=Q,

(3.9) rotI;;+

/loattl

=Q,

en met behulp van de stelling van Gauss (A.40) uit (3.6) en (3.7) (3.10)

(3.11 )

Vergelijking (3.8) heet deeerste vergelijking van Maxwell (in vacuüm),

vergelij-king (3.9) detweede vergelijking van Maxwell (in vacuüm). Beide vergelijkingen

hebben de differentiaalvorm en beschrijven de verandering van de electrische veldsterkte~en de magnetische veldsterkte

ti

en hun onderlinge verband van punt tot punt en in de tijd.

Wij gaan vervolgens onze beschouwingen uitbreiden tot de oorzaken van een electromagnetisch veld: bewegende ladingen. Wij beperken ons daarbij voorlo-pig tot een stroom van vrije, geladen deeltjes (d.w.z. deeltjes, die niet gebonden zijn aan een materieel medium) in een gebied in vacuüm. De deeltjesstroom wordt gekarakteriseerd door de ruimtelijke ladingsdichtheidpen de stroomdichtheid

1.

Uit de wet van beho udvanlading(2 . 18)weten wijdat voo rst at io naire stroming

geldt

ti

s

1.[1

dA=O.Het rechterlid van (3.12) (met (2.24))kan worden opgevat als de door randkromme Comvatte stroomsterkte I. De betrekkingdie wij dan vinden,

Voor het uitv oeren van de experimenten ter bepalingvan

E

en

ti

stuit enwij nu

op een moeilijkheid.Alhoewel wij veron derstellen dat de vrije gelade n deeltjes

in vacuüm bewegen,kunnen wij het gebiedwaarin ze bewegen ,niet als een v

acu-umgebied aanmerken. Derhalvekunnen wij in hetgebiedwaar

p"*

0 en

1"*

Q de veld vectoren r; en

ti

niet meten.

Wij beschouwen nu eerst het eenv oudigegevalvan stationairestroming van vrije

geladendeeltjes.Laat Ceen enkelvoudig gesloten krommezijn,die geheel om het deelgebied waar

1"*

Q ligt en Seen begrensd tweezijdig oppervlak dat C tot randkromme heeft,dan vinden wij

3 tal -Par. 3 (3. 12 ) (3. 13) (3.14) VELDVERGELIJKINGEN IN VACUUM

Pc

t:l.rds

=

IJs

J.!}dA,

Pc

r;·rds

=

O.

Pc

H·r

ds = I, 23 .d t [.

wordt wel de wet van Ampère voor stationaire stromen genoemd. Indien

D

Fig. 8. Keuze van de gesloten kromme C die (a) geheel om het stationaire stromingsgebied ligt;en die (b) gedeeltelijk in het stationaire stromingsgebiedligt.

contour C geheel of gedeeltelijk in het gebied wordt gekozen waar

I

"*

Q is, dan voeren wij ter plaatse een electrische veldsterkte r; en een magnetische veldsterkte

ti

in, zodanig dat deze aan de vergelijkingen (3.12) en (3.13) vol-doen. Wij komen dan niet in tegenspraak met de experimenten, en het invoerenvan

24 VELDVERGELIJKINGEN IN VACUUM Par. 3

uit te breiden hebben wij de eigenschappen van

E.

en

ti

ook in het gebied waar

I

ongelijk is aan nul is vastgelegd.

Gebruik makend van dezelfde overwegingen,kunnen wij nu de electrischev eld-sterkte

g

en de magnetische veldsterkte

ti

invoeren voor het geval van ni et-stationaire stroming van vrije geladen deeltjes.Wij vinden dan de relaties (3.15)

(3.16)

1

_c

tLr

ds=

lIs

{EOatg

+

I}.!}dA,

10'

~·Ids =

-lIs

Jloattl.!}dA,

terwijl bovendien voor een gesloten oppervlak S geldt (3.17)

(3.18)

#s

Eog·DdA

=

IIIv

pdV,

fis Jloti·!} dA=O.

In de punten waar

1

i=Qen pi=0, zijn de veld vectoren~en tl zodanig ingevoerd, dat ze aan de relaties (3.15)- (3.18) voldoen. Opgemerkt kan worden, dat voor een vacuümgebied de relaties (3.15)- (3.18)consistent zijn met (3.1), (3.2),(3.6)en (3.7). Verder volgt uit(3. 17) en de wet van behoud van lading (2.18), dat het rechterlid van (3.15) alleen afhankelijk is van de randkromme C en niet van de keuze van het oppervlak S, zolang S contour C maar tot randkromme heeft. In een gebied waar

1

en p co nt in u zijn, blijken

E

en tl continu differentieerbaar te zijn. Met behulp van de stelling van Stokes volgt dan uit (3.15)en (3.16)

(3.19) (3.20)

rot!}- EOat~

=

L

rot ~+ Jloattl=Q;

met behulp van de stelling van Gauss volgt uit (3.17)en (3.18) (3.21 )

(3.22)

div (EOE)=p, div(JloW

=

·0 .

De vergelijkingen (3.19) en (3.20) kunnen worden gezien als een uitbreiding van de vergelijkingen (3.8) en (3.9) en heten de eerste resp.de tweede vergelijking van Maxwell.Ze vormen tezamen een stelsel van zes gekoppelde,eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen, waaruit bij gegevenJ de onbekende vector-componenten E , E ,.E , H , H , enH kunnen worden bepaald.

x y z x y z

Omdat ti voldoet aan (3.7) en (3.18) kunnen wij op eenduidige wijze de groot -heid <P= <p(t) invoeren als

def

(3.23) <P(t)=

lIs

Jlo tl .!} dA .

<P

=

<p(t) wordt de magnetische flux genoemd, die door de randkromme C van oppervlak S wordt omvat en wordt uitgedrukt in weber. Voeren wij de electro-motorischespanning emf in via

waarbij de electromotorische spanning geïnduceerd langs de kromme C gelijk is aan het afnemingstempo van de doorComvatte magnetische flux.

Opgemerkt wordt tenslotte, dat uit (3.19) en (3.20) blijkt dat de electrische veldsterkte~en de magnetische veldsterkte

H

niet onafhankelijk van elkaar kunnen bestaan. Alleen voor tijdinvariante electromagnetische velden treedt ontkoppeling tussen de veldvectoren~en

H

op. Met at

==

0 gaan (3.19) - (3.22) over in de vergelijkingen

dan gaat (3.16) over in deinductiewet van Faraday in een vacuümgebied 25 VRAAGSTUKKEN div ti = 0, rot ti =1, div

E

=p/€o' rot~=Q, def emf=pc ~·Ids,

die het magnetische veld van stationaire stromen beschrijven (zie par. 10) en

(3.28) (3.29 ) (3.26) (3.27) (3.25) (3.24) Par. 3

die het electrostatische veld van stilstaande lading in vacuüm beschrijven (zie

par. 12). Vraagstukken.

Vraagstuk 3.1. Schrijf de vergelijkingen (3.19) - (3.22) uit in componenten. Antwoord: a H - a H - € a E-= J y z z y 0 t x x' aH_{z x} - a H_{x z O t}- € a E =J_{Y y'} aH - a H -€aE =J x y y x 0 t z z' a E_{y z} - a E_{z y + Jloa t H = 0x} , a E_{z x} - a E + JloatH = 0,_{x z y} a E - a E +JloatH =0,_{x y y x z} a E + a E + a E_{x x y y z z}= p/€o' a H + a H + a H = O_{x x y y z z} .

Vraagstuk 3.2. Elimineer uit (3.19) en (3.20) achtereenvolgens de electrische veldsterkte

E

en de magnetische veldsterkte

H.

Antwoord: rot rot H+ €oJloa t2ti = rot

J

,

rot rot ~ + €oJloa t2f, =

-JloatI-Vraagstuk 3.3. Herleid de in vraagstuk 3.2 gevonden vectordifferentiaalverge-lijkingen voor

ti

en

E

met behulp van de relatie rot rot

A

= grad div

A.

-

1/2

A

26

Antwoord:

VRAAGSTUKKEN

V2

ti -

(I/C~)at2

ti

=-rot

L

V2E- (l/cg)_{a t}2E = Ilo atI+grad (p/€o)·

Par.3

Vraagstuk 3.4. Dein vraagstuk 3.3 gevonden vergelijkingen staan bekend als de vectorgolfvergelijkingen. Schrijf de vergelijking voor de electrische veldsterktef; uit in componenten, indien

I

=

Q

en p= O.

Antwoord: V2E - (I/c 2)a 2E =0

x 0 t x '

V2E_y-(I/c 2)a 2_{0 t} E_y =0_, V2 Ez - (I/C₀2)a/ Ez = 0, waarin V2 = a 2 +a 2+a 2.

X Y z

Vraagstuk 3.5. Geef de vergelijkingen in integraalvorm voor een electrostatisch veld van een ladingsverdeling met ruimtelijke ladingsdichtheid pin vacuüm. Antwoord:

Pc

g·Ids = 0,

ti

s

EOf;.!1dA =

III

V pdV.

Vraagstuk 3.6. Geef de vergelijkingen in integraalvorm voor het magnetische veld van stationaire stromen met stroomdichtheid

I

in een vacuümgebied. Antwoord:

Pc

H·Ids =

II

_{s L!!dA},

#S

1l_0H.!1d A = O.

Vraagstuk 3.7. Het electrostatische veld van een lading Q die uniform over het gebied binnen een bol met straal a verdeeld is, vertoont bolsymmetrie t.o.v. het middelpunt van de bol. Bereken de ladingsdichtheidpen, met behulp van (3.17), de electrische veldsterktef;van de ladingsverdeling.Bewijs,dat div

g

=P/E_Oen rot E = Q.

Aanwijzing:Volume bol is 11Ta3.

Antwoord: p=3Q/41Ta3, E = Qr/41T€oa3 voor 0

<

r < a en

g

= Qr/41T€or3 voor a

<

r < 00,waarinI de plaatsvector is van het middelpunt van de bol naar het punt van waarneming.

Vraagstuk 3.8. Bereken uitgaande van vraagstuk 3.7 de electrische veldsterkte van een puntladingter sterkte q, die in de oorsprong is geplaatst.

Antwoord: E=q!/41T€or3 voor O<r<oo.

Vraagstuk 3.9. Bereken de kracht die een stilstaande puntlading q2 ondervindt van een stilstaande puntlading ql 'indienI de vectoriële afstand van de puntla-ding ql naar de puntladingq2 is.

4. De vergelijkingen van Maxwell in aanwezigheid van niet-bewegende materie. Om de electromagnetische veldvergelijkingen in een materieel medium op te stellen beschouwen wij een brok materie die een begrensd gebied V in de ruimte inneemt. Buiten V heerst vacuüm of zijn eventueel geladen deeltjes aanwezig. In het vacuümgebied buiten Vzijn de electromagnetische veldvectoren

E

en tJ voor directe meting toegankelijk, met behulp van het in Par. 3 beschreven experiment. Wij vinden dan dat

E

en

H

daar aan de electromagnetische veldvergelijkingen in vacuüm voldoen. In een gebied buiten V waar zich geladen deeltjes bevinden, verklaren wij de in (3.19) en (3.20) opgestelde vergelijkingen geldig. Omdat bovengenoemd experiment alleen in vacuüm kan worden uitgevoerd, zijn de electromagnetische veldvectoren in V niet direct voor meting toegankelijk. Wij moeten derhalve de definitie van de electromagnetische veldvectoren op axio-matische wijze uitbreiden tot in de materie (in V). Wij stellen daarbij, dat ook in de materie de electromagnetische veldvectoren Een

H

de fundamentele veld-grootheden zullen zijn. Brengen wij in het electromagnetische veld van bronnen, die - zowel wat plaats als sterkte betreft - vast zijn (bv. een stroom van vrije geladen deeltjes in vacuüm),een stuk materie aan, dan zullen in het algemeen de electromagnetische veld vectoren Een

Hbuiten die materie van waarde

ver-anderen. Deze verandering kan alleen buiten de materie gemeten worden. Om deze veranderingen te kunnen verklaren, ligt het voor de hand grootheden in te voeren, die alleen in een materieel medium van nul verschillen. Het speciale geval van geladen deeltjes dient hierin begrepen te zijn, immers ook losse, gela-den deeltjes zijn materie.

Zonder ons op dit moment te binden aan een bepaalde opvatting over de bouw van de materie voeren wij de vectorvelden

I

=electrische (convectie)stroom -dichtheid (A/m2_{) ,}

_l'

₌

_{electrische polarisatie (C/m}2_{) en}

_M

₌

_{demagnetisatie} (A/m) in, die alleen in materie van nul verschillen en in vacuüm identiek gelijk aan nul zijn. Een

H

hangen met de ingevoerde veldvectoren samen via de ver-gelijkingen:

Par. 4 VELDVERGELIJKINGEN IN MATERIE 27

(4.1) rot

H

=

€oatE.

+

at~

+

J,

(4.2) rot

g

=

-poatH

-

poatM,

terwijl wij de hulpvergelijkingen schrijven als (4.3) div

(€oE

+

1')

=

P,

(4.4) div (PotJ+poM)

=

O.

Uit (4.1)en (4.3) volgt, dat

1.

enPwederom aan de continuîteitsvergelijking Voor de electrische stroom

(4.5) div

1.

+atP

=

0

voldoen, waarinP de ladingsdichtheid (van de transporteerbare lading) voorstelt. Ten aanzien van een fysische interpretatie van

l'

en

M

kan het volgende worden opgemerkt: Volgens de e!ectronentheorie van LORENTZ kan de materie

opge-28 VELDVERGELIJKINGEN IN MATERIE Par.4

bouwd gedacht worden uit een verzameling van atomen die zich - al of niet peri-odiek gerangschikt- in vacuüm bevinden. De kernen van deze atomen vormen positief geladen deeltjes; de electron en die om deze kernen zwermen vormen negatief geladen deeltjes. Deze electronen bezitten als gevolg van hun beweging een baanmagnetisch moment en als gevolg van de tolbeweging om hun eigen as een spinmagnetisch moment. Men kan nu de positief en negatief geladen deel-tjes opvatten als continue ladingsverdelingen, die elkaar in het algemeen zullen neutraliseren. Zodra echter een uitwendig electrisch veld in de materie wordt aangebracht, zullen deze ladingsverdelingen iets ten opzichte van elkaar verschui-ven, met als gevolg een netto ladingsverplaatsing die beschreven kan worden door een geïnduceerd electrisch moment. De electrische polarisatie~kan nu worden opgevat als deruimtelijke dichheid van dit geïnduceerde electrische

moment, waarbij men de bronnen van~kan opvatten als polarisatieladingen

met dichtheid PP' zodat div

r

="P»:

Met betrekking tot de magnetische momenten merken wij op dat deze door thermische agitatie min of meer willekeurig gericht zullen zijn. In een aange-bracht uitwendig magnetisch veld zullen deze magnetische momenten - groeps-gewijs - gericht worden (bij ferromagnetische materialen zullen de spinmagne-tische momenten de belangrijkste rol spelen), met als gevolg een geïnduceerd magnetisch moment. De magnetisatie

M

kan nu worden opgevat als de

dicht-heid van resulterend magnetisch moment, waarbij men de bronnen van

M

kan

opvatten als magnetisatieladingen met dichtheidP_M,zodat div

M

=

-P M.Ten

aanzien van de fysische interpretatie van

M

bestaat een tweede beschouwings-wijze, waabij men de wervels van

M.

opvat als (electrische stromen) 'rnagnetisa-tiestrornen' , zodat rot

M

=

l

M en waarbij de magnetisatie

M

wordt opgevat

als dedichtheid van moment van de magnetisatiestromen (vergelijk (2.37)).

Deze laatste beschouwingswijze staat bekend onder de naamkringstroommodel

van AMPÈRE. Voor een meer uitvoerige discussie wordt verwezen naar

FANG,R.M.,t.r .CHU, R. B. ADLER, Electromagnetic fields, energy and [orces,

John Wiley & Sons, New Vork, 1960, Chapter 5.

Het is gebruikelijk om verder in te voeren de electrische j1uxdichtheidQ(C/m2)

als (4.6)

en demagnetische fluxdichtheid ~(T) als def

(4.7) ~= JloCtl

+

M).

Met (4.6) en (4.7) kunnen wij (4.1) - (4.4) herschrijven als

(4.8) (4.9) (4.10) (4.11) rot H -_-

a

_{t - -}D=J_' divQ

=

P, div~

=

o.

Vraagstu k ke n.

Vraagstuk 6.1. Laat ~het scheidingsvlak zijn tussen twee verschillende media en l!de ee n he idsvec tor langs de normaal op~.Bewijs dat l!.(B

2x

tl

2)

=

l!.(Bi xHl)

op ~.

Vraagstuk 6.2. In de ruimte is een rechthoekig blok van electrisch volkomen gelei-dend materiaal aanwezig; de afmetingen van het blok bedragen a,b en c.Voer een Car tesiaa n s coördinatenstelsel in,zodanig, dat het blok het gebied

-1a < x< 1a,--!b < y <! b,-1 c < z < tc beslaat. Geef- uitgeschreven in de ken-talle n- derandvo orwaard en voor deelectrische veldsterkte.

An_{tw o o rd: E y}+0 en Ez+0 voor x t -ia en x -} 1a, mits -tb < y<

tb

en

-t

c < z < 1c;Ez+0 en Ex+ 0 voor yt -tb en y -} -tb,mits -tc < z <-tc en'-~a< x <ta;Ex+ _{0 en E y}+ 0 voor zt -tc en z -} -tc,mits -ta < x <ta en -tb < y< -tb. 4S VRAAGSTUKKEN Par.6 4 i- ri-'ces,

Vraagstuk 6.3. In een begrensd gebied V1 in de ruimte is magnetisch materiaal aanwezig;hiervoor geldt !!=PI

H.

Het randoppervlakvan VI is S;de naar buiten gerichte eenheidsvectorlangsde normaalop S is

n

.

In het gebied V2 buiten S is vacuüm ;hiervoor geldt!!=Po!:!' Bewijs,dat voor _{PI/P o}+00 de randvoorwaarde

n

x!:!2

=

!!x.!:!1 op Sovergaat in TIx

H

₂

=

Qbij nadering van S via V2en verge-lijkdeze randvoorwaard e met vergelijking(6.21 ).

Vraagstuk 6.4. Ineen begrensd gebied V1 in de ruimte is diëlectrisch materiaal aanwezig; hiervoor geldt Q=E l_li.Het randop perv la k van VI is S; de naar bui-ten gerichte eenheidsvector langs de normaal op S is 11. In het gebied V2 buiten S is vacuüm; hiervoor geldt

12

=EOB

.

Bewijs dat voor EI

I

E

o+00 de

randvoor-waarde !!x

B

₂=11X

BI

op S overgaat in 11xli₂=Q bij nadering van S via V2 enverge lijk dit ant w o o rd met(6.18).

Vraagstuk 6.5. In eenbegrensd gebied VI in de ruimte is electrischgeleid e nd materiaalaanwezig ;hiervoorgeldt

I

=

oB

.

Het randoppervlakvan VI is S;de naar bu ite n gerichteeen heidsve ct o r langs de normaal op S is 11.In het gebied V'l buitenS is vacuüm;hiervoor geldt

J

=Q.Bewijs dat voor 0+00 _de randvoor-waard e

n

x

E

₂=

n

xlil op S overgaat in !!x

E

₂=Q bij nadering van S via V2 en vergelijkdit antwoord met(6.18).

Vraagstuk6.6. Laat ~ het scheidingsvlakzijn tussen twee verschillende,isotrope, gele id end e mediaen .!!. de eenheidsvectorlangs de normaal op ~,gericht van me-dium I naar medium 2. Medium I heeft soortelijkegeleidingoI en perrnittivi

-teit El ;medium 2 heeft soortelijke geleiding02 en permittiviteitE

2. Indien door dat sche id ingsvla k een stationairestroom vloeit,zal in het algemeenin dat s chei-dingsvlak op pe rv lak te lad i ng aanwezig zijn. Bepaal de oppervlakteladingsdi cht-heid

"s