Reststromen en resttransport in modelberekeningen
G.C. van Dam
nota FA 8402
Rijkswaterstaat
Directie waterhuishouding en waterbeweging Fysische Afdeling
BI z ,
Inhoud 3
Samenvatting 5
1. Lagrangiaanse en Eulerse waarnemingen 7
2. Eulerse reststroomsnelheid 8
3. Ee r st e 0rd e - kor rek tie s 9
4. Lagrangiaanse reststroomsnelheid 10
5. Eulerse resttransportsnelheid 11
6. Transportberekeningen op basis van
be-rekende snelheidsvelden 12
7. Vergelijkende berekeningen voor de
zui-delijke Noordzee 13
8. Re sul t a ten 15
9. Diskussie; gemiddelde
verplaatsings-snelheid 1 7
10. Berekening van een volledig veld 1 8 11. Het gedrag van watermassa's; dispersie 19
12. Slotbeschouwing 21
13. Literatuur 22
- 5 - FA 8402
Reststromen en resttransport in modelberekeningen
Bij berekeningen van advektieve transporten in getijgebieden op basis van gegeven snelheidsvelden doen zich geen funda-mentele problemen voor zolang men het reststroombegrip bui-ten de deur houdt en uitgaat van het volledige tijdafhanke-lijke veld. In bepaalde gevallen is het werken met getijge-middelde grootheden echter gewenst (rekentijden, geheugenbe-slag) of noodzake1ijk~ het laatste bij voorbeeld als men een stationaire koncentratieverdeling wil berekenen met behulp van de tijdonafhankelijke diffusie-advektievergelijking. Daarbij heeft men een voldoend nauwkeurige benadering nodig van de restverplaatsingen. In het algemeen lukt dit niet wanneer men de restverplaatsingen benadert met gebruikmaking van de zogenoemde Eu1erse reststroomsnelheid of van de Eulerse resttransportsnelheid. In deze nota wordt dit geïl-lustreerd aan de hand van berekeningen voor de zuidelijke Noordzee. Aangegeven wordt langs welke weg een beter resul-taat kan worden bereikt.
Summary
In calculations of advective transport in tidal regions on the basis of given velocity fields, no fundamental prob1ems are met as long as residua1 velocity concepts, are avoided and the complete time dependent velocity field 'is utilized. In certain cases an approach based upon tidal averages is desirable or required. The lat ter occurs when a stationary concen tra t ion d ist ri b u t ion ha s to be computed by mean s of the diffusion-advection equation in time independent form. In these cases a sufficiently accurate approximation of residual displacements is needed which is generally not acquired by applying so called Eulerian residual velocities or re s id u alt r a n spo r t velo c i tie s • Th i sis i 11 u s tra t e d b Y computations for the southern part of the North Sea.
1. Laqrangiaanse en Eulerse waarnemingen
Wanneer men een reststroombegrip wenst te hanteren dient men door zijn methode van waarneming, analyse of berekening op
één of andere wijze de relatief snel veranderende komponen-ten van de stroming zien kwijt te raken om zicht te krijgen op de gezochte langere termijnbeweging.
Daar het in feite gaat om de verplaatsing van watermassa's of daardoor meegevoerde zaken, zou men bij metingen het best gedurende langere tijd (d.w.z. lang t.o.v. de perioden van de "ongewenste" veranderlijke stroomkomponenten)
watermas-sa' s kunnen volgen die door hun temperatuur, zoutgehalte, troebelheid of kleur duidelijk van hun omgeving te onder-scheiden zijn, of die men door een zich zo veel mogelijk on-der water bevindend drijflichaam heeft gemarkeerd. Deze van-wege hun direktheid zo aantrekkelijke methoden ondervinden in de praktijk bepaalde beperkingen en experimentele moei-lijkheden. De "diffuse" merkers hebben het nadeel in de loop van de tijd een steeds grotere watermassa te gaan beslaan: het vaste drijflichaam vertegenwoordigt een vloeistofelement dat juist weer·ongewenst klein is. verder hebben deze
zoge-naamde Lagrangiaanse experimenten het bezwaar dat ze grote
hoeveelheden kostbare scheeptijd vragen met een relatief
kleine opbrengst aan gegevens: het blijven steekproeven.
De andere mogelijkheid van waarnemen is snelheidsmeting op
een vaste lokatie, zogenaamde Eulerse meting. Weliswaar
be-staat ook hier een steekproefkarakter , althans wat betreft
de plaats, maar in de tijd kunnen hier zeer lange reeksen
gerealiseerd worden. Verankerde onbemande stroommeters
be-staan nog niet zo lang, maar in zee zijn op de zogenaamde
lichtschepen reeds gedurende tientallen jaren frekwente
stroommetingen (uurlijks of drieuurlijks) verricht en deze
leveren ons de oudste uitgebreide waarnemingen waaruit iets
FA 8402 - 8
-oude strc\,matlassen vinden we reeds reststroomqegevens,
waarbij diverse lichtschepen expliciet als bron worden
ver-meld (lit. 3). Daarbij heeft men zich waarschijnlijk niet
altijd gerealiseerd dat deze op Eulerse wijze verkregen
ge-gevens in het algemeen een resultaat opleveren dat
systema-tisch verschilt van dat van Lagrangiaanse waarnemingen. In
vergelijking tot de voormelde Lagrangiaanse experimenten was
de (extra) inspanning om de stroomgegevens van de
lichtsche-pen te verkrijgen betrekkelijk gering; de lichtschepen en
hun bemanningen waren nu eenmaal toch aanwezig.
2. Eulerse reststroomsnelheid
Eulerse waarnemingen in een enkel punt geven alleen
inlich-tingen over de plaatselijke situatie; ze leveren de snelheid
van passerende waterdeeitjes op het moment van passage en er
kan dus in beginsel geen gemiddelde snelheid van een deeltje
over een zekere periode uit worden afgeleid; het deeltje
wordt immers maar op één moment in die periode
geobser-veerd. Het getal dat men vindt door de plaatselijke snelheid
(qemeten aan steeds weer andere passerende waterdeeitjes) te
middelen over zekere periode, is in het algemeen niet gelijk
aan de gemiddelde snelheid van een waterdeeitje over die
pe-r iode. Toch worden plaatselij ke gemiddelden vaak wel ber
e-kend en zijn er ook benamingen voor. Men definieert als
(tweedimensionale, cvq , vertikaal-gemiddelde) Eulerse
rest-stroomsnelheid:
t
Uo (x, y, t) =
f
u
(x, y,T)a
r ( 1 )T t-T
De notatie is ontleend aan lito en 4. Dikwijls ziet men
lito 9). De horizontale overstreping geeft de middeling over
de vertikaal aan. T is een "geschikte" perio~e; de aldus ge-definieerde grootheid Uo is in het algemeen nog tijdafhanke-lijk. Hij is onafhankelijk van de tijd als de stroming strikt periodiek is met periode T, iets wat in een model wel te realiseren is en in deze nota dan ook aan de orde zal ko-men.
De Eulerse reststroomsnelheid zou kunnen worden opgevat als "nulde orde-benadering" van de over T gemiddelde snelheid van het waterdeeltje dat precies op het moment t in (x, y)
arriveert. Deze over T gemiddelde snelheid hangt in het al-gemeen nog af van t, ook bij zuivere periodiciteit over T: we komen hier later op terug (paragraaf 10).
Wanneer in een omgeving van (x, y), zo groot dat gedurende
I
de periode T de passerende waterdeeltjes zich daar voortdu-rend binnen bevinden, het snelheidsveld op elk moment homo-geen (uniform) is, bestaat er geen verschil in getalwaarde tussen de over T gemiddelde snelheid van de waterdeeItjes en de Eulerse reststroomsnelheid. De eerstgenoemde hangt dan ook niet meer van t af en is dus voor dit geval ondubbelzin-nig gedefiniëerd. In werkelijkheid zal het snelheidsveld nergens zuiver uniform zijn, maar men zou zich kunnen voor-stellen dat er gebieden zijn met zulke kleine snelheidsgra-diënten, dat de verschillen tussen de genoemde snelheden te verwaarlozen zijn, m.a.w. dat de genoemde benadering in deze gebieden voldoet.
3. Eerste orde-korrekties
Een volgende stap zou kunnen zijn, het verschil tussen Eulerse en deeltjes-gebonden restsnelheden te benaderen door een korrektie die alleen de lineaire verandering in rekening brengt van de Eulerse snelheid in x- en y- richting ofwel de ~'ste ord e~Nm van een Tayloron tw ik k e I ing van de snel he id (/
?
- 10 - FA 8402
als funktie van de plaats.
Wanneer men zich baseert op waarnemingen zou deze korrektie in beginsel kunnen worden ontleend aan simultane waarneming met drie stroommeters op een geschikte onderlinge afstand
(lit. 5 en 9). Deze eerste orde-korrektie kan men in de literatuur aantreffen als getijgemiddelde Stokes-drift maar ook als Stokes-drift zonder meer.
4. Lagrangiaanse reststroomsnelheid
Soms wordt als Lagrangiaanse reststroomsnelheid gedefiniëerd de som van Eulerse reststroomsnelheid en gemiddelde Stokes-drift (in de zin van een eerste orde-korrektie). Dikwijls wordt ook onder de Lagrangiaanse reststroomsnelheid de "ech-te" gemiddelde snelheid verstaan, zoals men die zou vinden bij een ideale Lagrangiaanse stroommeting • Daarbij reali-seert men zich misschien niet altijd dat dit, ook bij een zuiver periodieke stroming, geen éénduidig begrip per loka-tie is. Ook wanneer het experiment volledig reproduceerbaar zou zijn, vindt men alleen hetzelfde resultaat als men niet alleen op dezelfde positie, maar ook op hetzelfde moment in des t room cyk I u sst art 0f e ind ig t. Om tot een één d u id ig be
-grip te komen zouden de deeltjes-gebonden gemiddelde snelhe-den voor het punt (x, y) op hun beurt nog over alle mogelij-ke vertrek- of aankomsttijdstippen t (vergelijk formule (1» binnen T gemiddeld moeten worden. Daarbij zou men het beste
(reeds bij formule (1) genoemde) symmetrische middeling rond t kunnen hanteren (grenzen t - T/2, t + T/2), zodat t noch vertrek- noch aankomsttijdstip is en ware aan te duiden als tijdstip van passage.
De aldus gedefiniëerde heeft, vooral door de
(gemiddelde) restsnelheid in (x, y) tweede middeling, iets betrekkelijks
waardoer het begrip kontrasteert met het gebruikelijke, ~ één deelt~e gebonden begrip "Lagrangiaanse snelheid". De
eigenaardige komplikaties bij het begrip reststroomsnelheid
hebben meer te maken met de aan reststromen inherente
tijdmiddeling dan met "het Euler-Lagrange-probleem". Dit
blijkt heel duidelijk wanneer we ons op basis van een
tweedimensionaal stromingsmodel met het berekenen van
advektieve verplaatsingen gaan bezig houden.
5. Eulerse resttransportsnelheid
Eerst noemen we nog een begrip dat bekend staat als de
Eulerse resttransportsnelheid en dat voor een periodieke
stroming met periode T als volgt gedefiniëerd wordt:
U(X,Y,T) {H(X,y) +
Uo (x,y,t) = ( 2 )
T { H(x ,y) + 1;0 (x, y , t )}
Hierin is H(x,y) de waterdiepte (bodemligging) ten opzichte
van een horizontaal vlak (z=O) en 1; (x,y,t) de stand van het
wateroppervlak ten opzichte van dit vlak.
1; 0 is het gemiddelde van van 1; over T: analoog aan uo
(for-mule (1» worden l;o en Uo onafhankelij k van t als de
stro-min g st rik t per i0die kis met per i0de T. De not a tie is wee r
ontleend aan lito en 4: ook voor
0
0 treft men elders in deliteratuur andere integratiegrenzen aan, met name (o.a.
lito 9) t - T/2, t + T/2.
Wanneer men de Eulerse resttransportsnelheid vermindert met
de Eulerse reststroomsnelheid, blijft een verschilterm over
die het karakter heeft van een Stokes-drift (zie o.m. lito
1). Dit is niet zo verwonderlijk, aangezien het toegevoegde
informatie-element, de waterstand als funktie van de tijd,
- 12 - FA 8402
eerste ~fgeleide van de (transport)snelheid naar de plaats:
ar; +
v
(hu)
= 0a
t
(h
=
H + r; ) ( 3 )Bij de Eulerse resttransportsnelheid zou men daarom kunnen
spreken van een eerste orde-benadering van de gewenste
"restsnelheid".
~. Transportberekeningen op basis van berekende snelheidsvelden
:F.r wordt uitgegaan van het resultaat van een tweedimensio-naal cyklisch snelheidsveld, periode T, dat verkregen is met een 2DH (tweedimensionaal horizontaal) waterbewegingsmodel door dit model met een periodiek stel randvoorwaarden vol-doende lang te laten rekenen voor het instellen van een pe-riodiek evenwicht. De cyklische uitvoer van de laatste re-kenperiode T wordt voor een voldoend aantal tijdniveau's in een geheugen opgeslagen (snelheden ux(x, y, t) en uy(x, y,t), waterdiepten H (x, y) en waterstanden 1: (x, y, t), alles op een rechthoekig rooster met maaswijdte 6x
=
6y)Snelheden in willekeurige punten en op willekeurige tijd-stippen in de cyklus worden met een interpolatie-methode
benaderd.
Om met het aldus gedefiniëerde in ruimte en tijd kontinue veld u (x, y, t) deeltjesbanen te berekenen, moet een nume-riek benaderingsschema worden gebruikt, bij voorbeeld het eenvoudige expliciete schema:
x (t + dt) = x (t) + u (x (t» dt ( 4 )
x - (x, y»
Daarbij wordt een fout gemaakt die in een Euler-Lagrange-terminologie zou kunnen worden beschreven, maar waarvan
be-kend is dat hij, ook gekumuleerd over een groot aantal tijd-stappen, w'llekeurig klein gemaakt kan worden door dt vol-doende klein te nemen. Wanneer we aldus dit punt hebben
te-ruggebracht tot een rekentechnische kwestie, is het duide-lijk dat hier geen feitelijk onderscheid tussen Eulerse en Lagrangiaanse snelheden aan de orde is, wat overeenkomt met de algemene konstatering dat de (momentane) snelheid van een deeltje (Lagrangiaanse snelheid zo men wil) gelijk is aan de Eulerse snelheid op de plaats waarop het zich op het be-schouwde ogenblik bevindt. Wanneer men afhankelijk is van metingen schiet men met deze konstatering niet zo veel op, daar men i.h.a. slechts over (Eulerse) snelheidsmetingen in enkele punten beschikt. Het aardige van een wiskundig water-bewegingsmodel is dat men een "meting" heeft in elk wille-keurig punt.
7. Vergelijkende berekeningen voor de zuidelijke Noordzee
Bij berekeningen op basis van gegeven snelheidsvelden doet zich geen Euler-Lagrange-probleem voor, zolang men het rest-stroombegrip maar buiten de deur houdt en uitgaat van het volledige tijdafhankelijke veld.
In bepaalde gevallen is het werken met getijgemiddelde grootheden echter gewenst (rekentijden, geheugenbeslag) of noodzakelijk. Het laatste bijvoorbeeld als men een statio-naire koncentratieverdeling wil berekenen met behulp van de tijdonafhankelijke diffusie-advektievergelijking.
Daarom is door het berekenen van de banen van een aantal deeltjes op basis van de uitkomsten van een numeriek water-bewegingsmodel van de zuidelijke Noordzee, nagegaan in hoe-verre restverplaatsingen benaderd
schillende "reststroom"-koncepten. De gebruikte (getij)stroomgegevens keningen met het programma ESTFLO
kunnen worden met
ver-zijn afkomstig van bere-van het Waterloopkundig Laboratorium met een bepaalde schematisatie van de zuidelij-ke Noordzee (figuur 1) op een rechthoekig rooster met
maas-FA 8402
- '4
-van de waterbeweging waren
berekening van de waterbeweging De desbetreffende berekeningen reeds uitgevoerd als onderdeel wijdte
van (t:,
ten behoeve van de
x = t:, y =) 10 000 m.
van de studie beschreven in lito 4 door H. Gerritsen.
Voor nadere bijzonderheden over het programma en de gebruik-te rekenschema's zij verwezen naar het rapport van Gerrit-sen. Alle berekeningen van de waterbeweging in dat kader
werden uitgevoerd met getij randvoorwaarden die alleen het
M2-getij en hogere harmonischen bevatten: daarnaast werden
alleen konstante invloeden, waaronder eventueel een statio-nair windveld opgelegd, zodat na een aantal M2-perioden re-kenen, de uitvoer cyklisch werd met een periode gelijk aan
die van het M2-getij, welke periode was afgerond op 45000 sekonden. De getijberekeningen werden uitgevoerd met 200
tijdstappen per M2-periode: het cyklische gedeelte van de uitvoer (voor alle rekenpunten) werd op 100 tijdniveau's, dus met een onderlinge afstand van 450 sekonden, opgeslagen
om voor verschillende doeleinden te kunnen worden gebruikt. Zodoende kon er ook voor de onderhavige studie van geprofi-teerd worden. uit de cyklische uitvoer werden tevens door expliciet middelen over de cyklus, Eulerse
reststroomsnelhe-den (zie paragraaf 2) en Eulerse resttransportsnelheden (zie paragraaf 5) berekend, welke eveneens voor alle rekenpunten werden bewaard. Dit zijn de restsnelheden die in de volgende paragrafen nader zullen worden beschouwd. uit de studie van
Gerritsen blijkt dat een meer rechtstreekse methode om rest-snelheden te berekenen (lit. 6) geen betrouwbare resultaten
oplevert: in elk geval zijn geen uitkomsten van deze methode in de hier gerapporteerde studie onderzocht. De wel bekeken restsnelheden zijn goed gedefini~erde begrippen waarbij, zo-als uit het voorafgaande en uit de e a nq e h a a Ld e literatuur
b1ijk t, ook 0P th e0r e t isc heg ron den iet ska n wo rden ge zeg d
Het hiet gerapporteerde onderzoek is alleen uitgevoerd voor de snelheidsvelden verkregen c.q. afgeleid uit een bereke-ning zonder wind; de desbetreffende getijberekening kan in het kader van de in lito 4 gerapporteerde serie kortweg wor-den aangeduid als berekening nr. 16. Het feit dat geen wind-invloed aanwezig is, vormt in het kader van onze studie geen wezenlijke beperking, evenmin als de vereenvoudiging van de getij randvoorwaarde en eventuele onvolmaaktheden in de sche-matiser ing van het zeegebied , daar het slechts gaat om on-derlinge vergelijking van enkele begrippen en rekenmetho-den. Het feit dat het gebruikte waterbewegingsmodel globaal een goede beschrijving van het bekende Noordzeegetij ople-ver t, zo als in 1it. 4 ge de m0n st ree r d wo rd t a a n de ha n d van
lijnen van gelijke fase en gelijk hoog water, verhoogt wel de praktische relevantie van de verkregen resultaten in het kader van modellering van transportverschijnselen in de zui-delijke Noordzee; in het volgende blijkt dat bepaalde effek-ten in het ene zeegedeelte geprononceerder zijn dan in het andere.
8. Resultaten
Allereerst zijn voor een aantal vaste vertrekpunten "banenn
(in feite netto-verplaatsingen) van waterdeeitjes (in de li-teratuur wel aangeduid als "driftbanen") berekend met een looptijd van 180 (M2-)perioden. In de figuren 2 tot en met 5
zijn deze banen voor 29 van deze vertrekpunten weergegeven. In figuur 2 en 3 vindt men de resultaten verkregen met het volledige tijdafhankelijke snelheidsveld. Ook hier zijn al-leen de netto-verplaatsingen over gehele veelvouden van T aangegeven, hoewel het in dit geval natuurlijk mogelijk is de baan in veel groter detail weer te geven. In figuur 6 is dit gedaan voor een gedeelte van de baan met startpunt nr.
- 16 - FA 8402
Voor de figuren 2 en 3 is het tijdstip van vertrek voor de 29 deeltjes per figuur hetzelfde. Maar wanneer we dit tijd-stip voor figuur 2 het tijdstip to noemen (zeg het tijdstip van hoogwater in zeker punt A van het gebied), dan is voor de berekening van figuur 3 het tijdstip to + T/2 gekozen. Hiermee krijgt men een indruk van de invloed die de
plaatse-lijke fase van het getij heeft op de verplaatsingen in pe-riodes T. uit de figuren blijkt dat deze invloed vaak wel
goed zichtbaar is (zie met name het noordwestelijk deel van de figuren 2 en 3), maar steeds betrekkelijk gering is,
ze-ker wanneer we de verschillen vergelijken met de afwijkingen
die ontstaan bij gebruik van getijgemiddelde grootheden (fi-guur 4 en 5).
De berekeningen op basis van het volledige tijdafhankelijke
snelheidsveld zijn uitgevoerd met het eenvoudige expliciete schema (4) en met een tijdstap van 450 sekonden.
Verdubbe-ling tot 900 sekonden levert nog geen zichtbare verschillen op~ bij een tijdstap van
leOO
sekonden ontstaat hier en daar een kleine afwijking. Oe gebruikte tijdstap is dus ruim-schoots voldoende klein. Zekerheidshalve zijn de korrespon-derende berekeningen met "restvelden" (figuur 4 en 5) met dezelfde kleine tijdstap uitgevoerd. voor iedere baan is het totale aantal tijdstappen dus 18 000. Een tijdstapkorres-pondeert per deeltje globaal met 10-3 se konden rekentijd (UNIVAC 1100). Aanvankelijk kwam daar bij de berekeningen met het tijdafhankelijke veld een veelvoud van deze tijd bij in de vorm van "I-a", doordat alleen de aktuele tijdniveau's zich in het werkgeheugen bevonden en na iedere tijdstap een
volledig snelheidsveld door een volgend werd vervangen. Toen dit bleek te kunnen worden opgelost door de gehele
verzame-ling van de 50 gebruikte tijdniveau's (*) naar het
werkge-(*) de onderlinge afstand tussen de tijdniveaus' s van het gebruikte veranderlijke snelheidsveld was bij deze bereke-ningen dus twee maal zo groot als de tijdstap van de trans-portberekening: de (lineaire) interpolatieprocedure in de
heugen te halen (**), werd de genoemde eigenlijke rekentijd bepalend voor de benodigde machinetijd.
Voor de berekening van de verplaatsingen afgebeeld in de fi-guren 4 en 5 werd respektievelijk gebruik gemaakt van het uit het tijdafhankelijke snelheidsveld "nr. 16" afgeleide Eulerse reststroomsnelheids- en resttransportsnelheidsveld, zoals door het WL berekend en toegeleverd.
( In
reststroomsnelheid
Eulerse resttransportsnelheid een soort van
eerste-orde-be-het voorgaande is reeds uiteengezet dat met de Eulerse
een "nulde-orde-benadering" en met de
o
nadering van de restverplaatsingen wordt verkregen. Tev~-wachten is dus, dat de resultaten berekend met de eerste in
het alg emee nee n 9 rot ere a fwij kin 9 van de" war e ver p I a a t sin - ~
ç.,S
'
~
~
~
gen" zullen opleveren dan de resultaten berekend met de
tweede grootheid. Deze algemene verwachting wordt door de
figuren 4 en 5 bevestigd. Incidenteel is het uiteraard wel
eens omgekeerd. Door het bestaan van hogere-orde-effekten
kan een nulde-orde-benadering wel eens beter uitvallen dan
een eerste-orde-benadering.
9. Diskussie: gemiddelde verplaatsingssnelheid
Het woord "ware verplaatsingen" in de vorige paragraaf is
tussen a a n h eLdn q ste k en s geplaatst vanwege het feit dat de
bedoelde verplaatsingen nog lichtelijk afhankelijk zijn van
de getijfase, hetgeen door de verschillen tussen de figuren
2 en 3 geillustreerd werd. Hoewel door middeling over alle
fasen een éénduidig begrip restverplaatsing gedefiniëerd kan
worden, aan te duiden als gemiddelde restverplaatsing (per
cyklus en per lokatie), en men hieruit door differentiatie
(**) Hierbij moest wel gebruik gemaakt worden van het zgn.
- 18 - FA. 8402
WQW~
Ib ~~~
\
\
~~cL: )
,
.
een snelhe~J kan afleiden, aan te duiden als gemiddelde
ver-plaatsingssnelheid, blijft er als gevolg
van deze paragraaf genoemde feiten een element aanwezig: we spreken over nulde- en eerste-orde-benaderingen zonder dat precies wordt aangegeven waarvan. Er is echter in de praktijk, met name van de waterkwaliteitsmodellering, nu
eenmaal duidelijk behoefte aan een éénduidig begrip waarmee verplaatsingen van waterdeeltjes op termijnen langer dan die
van een getijperiode enerzijds zo nauwkeurig mogelijk kunnen
worden berekend, maar waarbij anderzijds informatie over be-wegingen binnen die getijperiode buiten beschouwing kan blijven. De zojuist voorgestelde gemiddelde
verplaatsings-snelheid lijkt op dit moment de beste manier om aan de
ge-noemde behoefte te voldoen. Met opzet is in de voorlopige naamgeving het woord ·Langrangiaans· vermeden, hoewel dit in
een eerste koncept wel gehanteerd werd. Zoals in het vooraf-gaande al werd opgemerkt ligt de essentie van de onderhavige
problematiek in de tijdmiddeling van snelheden zoals bij de
gebruikelijke reststroombegrippen toegepast en kan men hoogstens nog van een Euler-Langrange-probleem spreken bij door verkleining van de de numerieke procedures, waar
tijdstap of toepassing van hogere- rde-schema's tot elk
ge-wenst minimum kan worden
10. Berekening van een volledig veld
Het berekenen van een volledig veld van deze gemiddelde
ver-plaatsings-snelheden stuit niet op ernstige praktische be-zwaren. Een dergelijke berekening voor één enkele fase en
voor elk punt van het 10 km-rooster van het model waarvan in
het voorgaande sprake was, vergt een reken inspanning die van dezelfde orde van grootte is als die welke nodig was voor de zojuist besproken figuren 2 tot en met 5. voor een middeling
1
.D
Ilheld,.
voor de-~over twee fasen
meeste praktische doeleinden een middeling
(zoals die van de figuren 2 en 3) eigenlijk
voldoende, zodat de reken-inspanning slechts zou
verdubbe-len. Stelt men hogere eisen dan levert een verdere
verdubbe-ling (fasen met een onderling tijdsverschil T/4) nog geen
praktische bezwaren op. De reken-inspanning die gemoeid was
met de totstandkoming van de figuren 7 tot en met 10 (welke
in paragraaf 11 worden toegelicht) waren reeds groter dan
voor laatstgenoemde optie nodig zou zijn.
Men zou kunnen denken aan het berekenen van de verplaatsing
vanuit elk roosterpunt over een klein aantal perioden T "met
de tijd mee" en "tegen de tijd in", c.q. "stroomopwaarts" en "stroomafwaarts". Met één of twee perioden in beide
richtin-gen is met een verstandig rekenschema waarschijnlijk al een
zeer nauwkeurige schatting van de afgeleide na~r de tijd te
krijgen van de (in feite denkbeeldige) baan die door de
po-sities gaat waarvan het beschouwde roosterpunt de middelste
is.
11. Het gedrag van watermassa's7 dispersie
De toegevoegde figuren 7 tot en met 10 beogen een
aanschou-welijk nog wat duidelijker beeld te geven van de
(rest)ver-plaatsingen van watermassa's en van de afwijkende patronen
die met de "nulde en eerste orde-benaderingen" van de
rest-snelheden worden verkregen. Ook hier zijn er verschillen
wanneer we de water schijven in een andere fase van het getij
doch van precies dezelfde plaats laten vertrekken (figuren 7
en 8). Maar het is hier duidelijk te zien dat deze
verschil-len klein zijn ten opzichte van de afwijkingen die ontstaan
bij gebruik van 'EuIerse reststroom- en
resttrensportsne1he-den. Ook met deze figuren verkrijgt men slechts een beperkt
beeld, onder meer doordat slechts op een v r ij klein aantal
lokaties met een zuivere cirkel wordt gestart, zodat de
vergelijk-FA 8402 - 20
-baar zijn tengevolge van de voortdurende vervormingen. Deze vervormingen zijn overigens op zichzelf interessant en geven
iets weer van de bijdrage van advektieve verplaatsingen op middelgrote schaal aan de totale dispersie. Deze totale
dis-persie is overigens op de gekozen schalen van tijd en ruimte
zo aanzienlijk, dat men zich niet mag voorstellen dat de
h ier z ic h tb a a r wo r den de ver v0rmin gen een ges ty lee rd be e I d
van een werkelijk proces te zien geven. Om dit te verduide-lijken is in figuur 11 voor één van de veranderende water-schijven van figuur 7 naast het oorspronkelijke beeld de to-tale dispersie van een 250-tal deeltjes weergegeven die bij de start regelmatig over het oppervlak binnen de cirkel zijn verdeeld. De berekening maakt gebruik van gegevens die ver-kregen zijn uit dispersieproeven met kunstmatige merkstof-fen. Daarbij is aangenomen dat voor schalen groter dan enke-le maaswijdten de advektieve effekten korrekt door het wa-terbewegingsmodel worden weergegeven1 een dergelijke aanname voor de (zeer) grote schalen is min of meer noodzakelijk om-dat direkte waarnemingen van de dispersie op die schalen nog betrekkelijk spaarzaam en onnauwkeurig zijn.
Toch is aan de hand van de laatstgenoemde en de daaraan voorafgaande illustraties wel duidelijk, dat ook bij een be-perkte kennis van de stochastische en andere "subgrid"-bij-dragen aan de totale dispersie, bij transportberekeningen op wat langere termijn de invloed van de restverplaatsingen op het totale resultaat zo belangrijk is dat de b e scjrouwd e "nulde en eerste orde-benaderingen" van het resttransport voor een gebied als de Noordzee in het algemeen ontoelaat-baar zijn. Daarbij maakt het niet uit met welk type trans-portmodel men werkt (eindige differenties, deeltjesmodel , superpositiemodel) • Er is wel eens gesteld (lit.2) dat men in al deze gevallen Eulerse transporten nodig heeft, waarbij inderdaad gedoeld werd op transporten afgeleid van de Euler-se restsnelheden zoals ook in deze nota gebruikt. Dit in-zicht is echter niet juist. Het komt mogelijk voort uit
ver-warring met het "normale" geval dat men niet met gemiddelde
maar met momentane snelheden te doen heeft (in feite de
enige echte snelheden in strikt fysische zin) Daarvoor is
er (zie paragraaf 6) volledige identiteit met de lokale
Eu 1ers e sn e1hei den doe n z ic h bij een tra n spo r tb ere ken in g met gegeven snelheidsveld geen door tijdmiddeling veroorzaakte problemen voor.
12. Slotbeschouwing
Afgezien van een iets algemenere inleiding beperkt deze nota zich tot het geval van een zuiver periodiek snelheidsveld. Niet aangeroerd is de problematiek van de bepaling van
(langzaam) veranderende reststroomvelden onder invloed van de langere termijnwisselingen in het astronomische getij en van wisselende winden en andere meteorologische en klimato-logische effekten. Wel kan worden opgemerkt dat door het feit dat men in het algemeen geen genoegen kan nemen met be-naderingen op basis van lokale getijgemiddelde grootheden, de problematiek van de "veranderlijke reststromen" bepaald niet eenvoudiger wordt.
- 22 - FA 8402
13. Literat'lur
1. Alfrink, B.J., Inventarisatie van tweedimensionaal hori-zontaal getijgemiddelde wiskundige modellen (verslag li-teratuuronderzoek) •
Toegepast Onderzoek Waterstaat (TOW), rapport R 1469-I, Waterloopkundig Laboratorium, 1980.
2. Alfrink, B.J. & C.B. vreugdenhil, Residual currents. Ana-1y sis 0f me c h a nis ms a n d m0del typ es.
re
e ge pas tOn der zo e k waterstaat, rapport R 1469-II, waterloopkundigLaborato-rium,1981.
3. British Admiralty, Atlas of tides and tidal streams,
Bri-tish Islands and adjacent waters. Fourth Ed. 1946 with
minor corrections to 15th May 1952.
4. Gerritsen, H., Residual currents. A comparison of two me-thods for the computation of residual currents with
res-pect to their intrinsic properties and behaviour, and
their feasibility for the computation of residual cur-rents in the Southern half of the North Sea.
Toegepast Onderzoek Waterstaat, rapport R 1469-III,
Wa-terloopkundig Laboratorium, 1983.
5 • Longuet Higgins, M. S • , On the transport of mass by time-varying ocean currents. Deep-Sea Research, .l_!, 431 , 1969.
6 . Nihoul, J.C.J. & F.C. Ronday, The influence of the tidal
stress on the residual circulation. Tellus,
ll,
484,1975.
7. Riepma, H.W., Stokes drift. In "Texel 1974", verslagen
van een driedaagse werkbijeenkomst te Texel, november
1974. Raad van Overleg voor het fysisch-oceanografisch
onderzoek van de Noordzee, MLTP 4: G.C. van Dam en M.P. visser red., ~WS, Den Haag/KNMI, De Bilt, 1977.
8. Spanhoff, R., stelling 5, proefschrift, R.U. Groningen, 1984 •
9. Zimmerman, J.T.F., On the Euler-Lagrange transformation and the Stokes' drift in the presence of oscillatory and residual currents. Deep-Sea Research, 26A, 505, 1979.
- 25 - FA 8402 20
M-U-X
30 i0 >-<SI <SI>-IM MI>
>
I I Z 0 Z <SI <SI N N 30 i0M-U-X
50 60Fig. 1. Schematisatie (met dieptelijnen) van ESTFLO (lit. 4) ,zoals o.m. gebruikt bij de berekening (nr. 16) waarvan de uitvoer ten grondslag ligt aan de transportberekeningen van het onderhavige onderzoek
F ig. 2
Snelh een:d Geti'
St )stroom art op t
o
Looptijd: 180 getijperio-den F ig. 3 Snelheden: Getijstroom Start op to + T 2 Looptijd: 180 getijperio-denFA 8402
F ig. 4
Snelheden: Eulerse rest-stroomsnelheden
Looptijd 180 getijperio-den
Startposities als fig. 2
F ig. 5
Snelheden: Eulerse rest-
transportsnel-heden x: ~o.sr~~
--
,
Looptijd: 180 getijperio-den
..
~ '< ()\t
\J"'f \
I;)Q,h
~
I.-ttl
v·
Q/y)...~i
ll.li.p{
""oef \~I~
rtl)l)~~\
W~
~~
!t
~
~-4~
1
\'\olv
~lulS~~b
ur
...
...
Fig. 6. Baan in detail
Snelheden: Getijstroom
Start op to
startpositie overeenkomstig nr. 23
- 29 - FA 8402
Fig. 8a• Als fig. 8 (zie volgende blz.)
maar zonder verbindingslijnen tussen afzonderlijke deeltjes
Fig. 7 Snelheden: Getijstroom Start op to Looptijd 240 getijperio-den
\J.Vvl~
~
U
/l
~
b
p
i[
fv
~t~
pO~l.~
u"
1D
of~
rtM~
db. ;:.
\
0
f::~
"
·
l
oO
-=4
4
,.
000 ~Vv\À.~
~
\w)cl~
k
t:;
,,
~WM
W.lJ,J.k ~~ ~ Co Fig. 8 Snelheden: Getijstroom Start op to + T 2 Looptijd: 240 getijperio-denstartposities als fig. 7
~(Á
to
FA 8402
Fig. 9
Snelheden: Eulerse rest~ stroomsnelheden Looptijd 240
getijperio-den
Startposities als fig. 7
-
17
Fig. 10
Snelheden: Eulerse rest- transportsnel-heden
Looptijd: 240 getijperio-den
Fig. 7a. Berekening met volledig snel-heidsveld (getijstroom, zonder wind, stroomberekening nr. 16)
Fig. 9a. Berekening met Eulerse restsnelheid
Fig. 10a. Berekening met Eulerse resttransportsnelheid " .' I •.._.#~ Fig. 7a, 9a en 10a.
Geheel analoog aan figuur 7, 9 en 10 (240 getijperioden, uitvoer na elke 20 pe-rioden), maar met startposities op 18 cirkels in het noordwestelijke deel van het modelgebied en zonder verbindingslijnen tussen de afzonderlijke deeltjes.
De restverplaatsingen zijn hier i.h.a. klein in vergelijking met het zuidooste
-lijke gebied. Oe (relatieve) verschillen tussen de resultaten van de drie bere-keningswijzen zijn echter wederom opvallend en op sommige plaatsen aanzienlijk groter dan in het zuidoostelijke gebied.
FA 8402 - 33 --Ó» '~:.
