Wojciech Kabaciński

2004

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 9 - 10 grudnia 2004

Wojciech Kabaciński

Tomasz Wichary

Instytut Elektroniki i Telekomunikacji Politechnika Poznańska

Piotrowo 3a, 60-965 Poznań

kabacins@et.put.poznan.pl, tomwic@op.pl

WARUNKI NIEBLOKOWALNOŚCI W POLACH TYPU MULTI-LOG

₂

N Z POŁĄCZENIAMI ROZGŁOSZENIOWYMI TYPU MULTI-RATE DLA

PASMA DYSKRETNEGO

Streszczenie:

W artykule zostały przedstawione twierdzenia oraz dowody warunków nieblokowalności w polach multi-log2N z połączeniami rozgłoszeniowymi dla pasma dyskretnego, gdy ¹≤^t≤ ⁿ² . Twierdzenie 1 dotyczy przypadku, gdy ^t=

 

ⁿ² i n jest parzyste, natomiast Twierdzenie 2, gdy ^t=

 

ⁿ² i n jest nieparzyste oraz gdy ^t≤

 

ⁿ² . W celu zobrazowania najbardziej niekorzystnych stanów posłużono się przykładami.

1. WPROWADZENIE

Warunki nieblokowalności

w polach multi-log2N

po raz pierwszy były rozważane w [1],[2] dla połączeń punkt-punkt. Dla połączeń rozgło- szeniowych warunki nieblokowalności podali Tscha i Lea w [4], które zostały poprawione przez autorów w [5]. Tscha i Lea rozważali nieblokowalność w szerokim sensie oraz zaproponowali algorytm bazujący na oknach blokowania. Wyniki te były później uogólnione w pracach [6],[8] dla okien blokowania o dowolnej wielkości. Pola

multi-log2N

dla połączeń punkt-punkt typu multi-rate po raz pierwszy były rozważane w pracach [9], [10].

W rozdziale drugim została przedstawiona architektura pola komutacyjnego, reprezentacja grafu dwudzielnego oraz algorytm wyboru drogi połączeniowej w polu. W rozdziale trzecim podano warunki nieblokowalności pól

multi-log2N dla połączeń rozgłoszeniowych typu multi-rate.

2. WSTĘP

2.1. Architektura pola komutacyjnego

W dzisiejszych badaniach pól komutacyjnych dużym zainteresowaniem cieszą się pola samosterujące (ang. self-routing networks). Pola takie mają dwie charakterystyczne dla siebie właściwości:

• samosterowanie ruchu odbywa się na podstawie adresu wyjścia,

• O (log

₂

N ) sekcji pomiędzy każdą parą wejść i wyjść.

Jednym z problemów pól samosterujących jest ich blokowalność, co oznacza, że w polu istnieją takie stany, w których mamy wolne wejście i

wyjście, a połączenie przez pole nie może być zestawione. W celu przekształcenia pól samosterujących w pola nieblokowalne stosuje się zwielokrotnienie przez dodanie płaszczyzn. W artykule rozważane są pola zwielokrotnione przez równoległe dodanie kolejnych płaszczyzn.

2.2. Reprezentacja grafowa

Do reprezentacji stanów pól komutacyjnych wykorzystajmy grafy dwudzielne. Reprezentacja pola komutacyjnego za pomocą takich grafów jest jednym ze sposobów przedstawienia pola. W pracy przyjmiemy, że każde wejście oraz każde wyjście komutatora jest zastąpione przez wierzchołek grafu, natomiast krawędzie grafu reprezentują możliwe kierunki połączeń.

Ze względu na wymagania redakcyjne opis reprezentacji grafów skrócono, więcej na ten temat można znaleźć w pracach [2], [3].

Rozważmy w polu dwie ścieżki reprezentujące trasy połączeń. Przecięcie tych ścieżek, co najmniej w jednym wierzchołku grafu spowoduje zablokowanie jednego z tych połączeń pod warunkiem, że suma pasm zajmowanych przez oba połączenia jest większa od pojemności łącza.

Oznacza to, że oba połączenia nie mogą być zestawione w tej samej płaszczyźnie pola log

₂

N .

W celu określenia połączeń, które w najbardziej niekorzystnym stanie pola mogą zablokować nowe połączenie dodawane do pola wprowadźmy następujące definicje:

Definicja 1. Niech SI

_j

będzie zbiorem wejść, z wyłączeniem wejścia x oraz wszystkich SI dla

_i

j

i<

, gdzie

1≤i≤n−1

,

1≤ j≤n

takich, że połączenia

k

;

l

; η , gdzie

k

∈

SI_j

,

l

∈

SO_j

,

[ ^{b; B} ]

η ∈ mogą przeciąć ścieżkę

połączenia

x

;

y

; ω w sekcji j. Wejścia z

SI_j

będą nazywane wejściami dostępnymi z sekcji j.

Definicja 2. Niech

SO_j

będzie zbiorem wyjść, z wyłączeniem wyjścia y oraz wszystkich SO dla

_i

j

i

< . Połączenia

k

;

l

; η , których wyjścia należą

do zbioru

SO_j

mogą przeciąć ścieżkę połączenia

ω

;

;

y

x

w sekcji j. Wyjścia z

SO_j

będą nazywane wyjściami dostępnymi z sekcji j.

2.3. Okna blokowania

W polach multi-log

2

N do zestawiania połączeń można używać algorytmu opartego na oknach blokowania. Zastosowanie okien blokowania dla pól nieblokowalnych może zmniejszyć złożoność sprzętową pola komutacyjnego. Koncepcja ta polega na analizie połączenia rozgłoszeniowego jako zbioru połączeń składowych. Za połączenie składowe przyjmuje się takie połączenie, którego wyjścia należą do tego samego okna blokowania.

Podamy jeszcze dwie definicje, które pomogą lepiej przedstawić stany blokady w najbardziej niekorzystnym stanie pola:

Definicja 4. Maksymalna konfiguracja blokująca

(

^{y; j;}

ω )

=

MKB

{

^xk;yl;

η

^:xk∈^SIn−^j; yl∈SOn₋j^;

; 1 2

2^j−1≤k≤ ^j− 2^n−j−1≤l≤2^n−j−1 } i

|

V{_x,_y}

∩ 1

}

|

, {x_k y_k

=

V

to taki stan pola komutacyjnego, w którym suma pasm połączeń

x_k

;

y_l

; η przecina- jących wierzchołek ścieżki grafu w sekcji

j

n

− połączenia

x

;

y

; ω jest większa niż 1 − ω . Definicja 5. Maksymalnym połączeniem rozgłoszeniowym ) MPR ( x ; j ; ω ; f

_i

; t jest połączenie

x

;

Y

; ω , gdzie

x

∈

SI_j

i oznacza wejście,

j

sekcję,

f_j

liczbę okien blokowania,

j i

i y SO

y

Y

= { : ∈ |;

O_k

| = 2

^t

|;

Y

∩

O_k

| = 1 ; 1 ≤ i ≤ f

_i

} natomiast t jest wykładnikiem funkcji 2

^t

określającym liczbę wyjść w oknie blokowania.

2.4. Algorytm wyboru drogi połączeniowej

Algorytm drogi połączeniowej można opisać następująco:

Algorytm 1.

Krok 1. Podziel nowe połączenie

x

;

Y

; ω na połączenia składowe

x

;

Y_i

; ω . Wybierz jedno z połączeń składowych.

Krok 2. Wybierz dowolną płaszczyznę z płaszczyzn, przez które jest już zestawione jakiekolwiek połączenie. Jeżeli da się zestawić połączenie składowe przez tę płaszczyznę, zestaw je.

Jeżeli nie to sprawdź inne płaszczyzny, przez które jest już zestawione co najmniej jedno połączenie składowe.

Krok 3. Jeżeli wszystkie płaszczyzny, przez które zestawione są już połączenia składowe są niedostępne dla nowego połączenia składowego lub jeżeli wszystkie płaszczyzny są wolne to zestaw to połączenie składowe przez płaszczyznę przez którą nie zestawiono do tej pory żadnego połączenia składowego.

Krok 4. Wybierz następne połączenie składowe i przejdź do Kroku 2. Powtarzaj Kroki 2-4 dopóki

wszystkie połączenia składowe

x

;

Y

; ω zostaną zestawione.

3. WARUNKI NIEBLOKOWALNOŚCI

Twierdzenie 1. Rozważmy pole komutacyjne multi-log

2

N, utworzone przez równoległe połączenie p kopii pola log

2

N. Pole to jest polem nieblokowalnym w szerokim sensie dla t = n 2 i gdy n jest parzyste oraz gdy do zestawiania połączeń został użyty algorytm 1, w przypadku pasma dyskretnego wtedy, gdy:

  ( )

( )

 

j t t n

j

j j n

b b B

SO R

p b ⁻⁻

−

=

+

− −

∑

_^











+

−

≥ + 2

1 2

1 1

1 β 1

( )    ( ) 

( )

 













+

−

+

−

⊗ + ⁻⁺ + ⁻⁻

b b B

b b B b

SO

R _{n t} ^nt 1

1

2 ¹

1 β

( ) ( )

( )

 

^

 





+

−

+ ⁻ + ⁻

b b B

SO R SI

R t nt

1

1

 

( )

 











 + + −⁻⁻

b b B

t b

n

1

2 ¹β

+1,

(1) gdzie

( ) ( ^SO  ^B ) ^b 

R

_n

= β − , ^R ( ) ( ^SI

0

⁼  ^{β − B} ) ^b  ,

(

^SO

) (

^SO



^b



^R

(

^SO

) )  ⁽

^{B b}

⁾

^b



R n₋j = n₋j β + n₋j₊1 ⊗ 1− +

,

( )

^SI

(

^SI



^b



^R

(

^SI

) )  ⁽

^{B b}

⁾

^b



R _j = _j β + _j−1 ⊗ 1− +

,

b

a⊕

oznacza resztę z dzielenia a przez b.

Dowód. Warunek dostateczny udowodnimy przez pokazanie najbardziej niekorzystnego stanu pola komutacyjnego. Niech

x

;

y

; ω ,

1

0 < b ≤ ω ≤ B ≤ β ≤ będzie nowym połączeniem, które chcemy dodać do pola. Połączenie

x

;

y

; ω jest połączeniem punkt-punkt lub składową połączenia rozgłoszeniowego. Połączenie to może być zablokowane przez inne połączenie o minimalnej wadze (  ( ^{1 − ω} ) ^b  ^{+ 1} ) ^{b =}  ( ^{1 − ω + b} ) ^b  ^{b , które}

zostało zestawione przez jeden z wierzchołków ścieżki połączenia

x

;

y

; ω . W każdym z

^N

− 1 wejść sekcji 1 oraz

N

− 1 wyjść sekcji n może być zestawionych co najwyżej  ^{β b}  połączeń o wadze b. W łączu wejściowym x oraz na wyjściu y może być zestawionych  ( ^{β − ω} ) ^b  połączeń o wadze b.

W polu komutacyjnym możliwe jest zestawienie połączenia o wadze b

k

, k=1,2,…, K, co z punktu widzenia pola komutacyjnego jest równoważne z zestawieniem b

_k

b połączeń o wadze b, zgodnie z założeniem, że b

_k

b jest liczbą całkowitą. Zakładając wykorzystanie w polu tylko połączeń o wadzie b, nic nie tracimy na ogólności dowodu.

W sekcji n, połączenie

x

;

y

; ω nie może

zostać zablokowane i możemy zestawić do wyjścia y

jeszcze ^R ( ) ( ^SO

n

=  β − ω ) ^b  połączeń o wadze b. W

sekcji

n

− 1 połączenie to może zostać zablokowane

przez połączenia

k₁

;

l₁

;

b

, gdzie k

₁

∈ SI

_n−1

,

1 1

∈ SO

_n−

l oraz połączenia

k₂

;

y

;

b

, gdzie

1 2

∈ SI

_n−

k . W sumie połączenia

k₁

;

l₁

;

b

oraz

b

y

k₂

; ; w sekcji

ⁿ

− 1 mogą zablokować

  ( )

( )  ( ) 



^SOn₋₁

β

^b

+

^{R SO}n

1 − ω +

^{b b}

 płaszczyzn dla nowego połączenia. W sekcji

n

− 1 może zostać jeszcze pasmo, do którego można zestawić połączenia o wadze b, ale połączenia te nie zablokują płaszczyzny i będą rozważane w sekcji poprzedniej.

W sekcji

n

−

j

, gdzie 1 ≤

j

≤

t

, połączenie to może zostać zablokowane przez połączenia

b l

k₁

;

₁

; , gdzie k

₁

∈ SI

_n−j

, { }







 ∪

∈ ₋

= n i

j

i SO

y l

1 U1

.

W sumie połączenia, k

₁

; l

₁

; b w sekcji n − j za- blokują  (

^SOn−j



^{β b}



^+R

(

^SOn−j+1

) )  ⁽

^1−ω+b

⁾

^b

 

płaszczyzn dla nowego połączenia.

W sekcji n − j może zostać jeszcze wolne pasmo, do którego można zestawić

(

^SO

) (

^SO



^b



^R

(

^SO

) )  (

^b

)

^b



R _n−j = _n−j β + _n−j+1 ⊗ 1−ω+

połączeń o wadze b. Połączenia te nie zablokują dodatkowej płaszczyzny i będą rozważane w sekcji poprzedniej n − j − 1 .

W najbardziej niekorzystnym stanie pola połączenia te zablokują (rys.1a, 1b)

  ( )

( )

 

∑

⁻

=

+

−

−













+

−

= ¹ +

1 1 1

1 1

t j

j n j

n

b b

SO R b p SO

ω

β

(2)

płaszczyzn dla nowego połączenia.

W sekcji n − t + 1 , może zostać pasmo resztowe

( SO

n−t+1

)

R . Pasmo to nie może być wykorzystane w sekcji poprzedniej n − t , ponieważ

^SOn−t

 β

^b



( )

 ^{− + b b} 

⊗ 1 ω

= ^SIt

 β

^b



⊗

 (

¹−

ω

+^b

)

^b

 . Połączenia zestawione przez sekcję n − t zablokują (rys.1c).

 

( )

   





 





+

= −

⁻

b b

b p SO

^{n t}

ω β 1

12

(3)

dodatkowych płaszczyzn dla nowego połączenia.

W sumie, w sekcjach od n − t do n − 1 połączenia k

₁

; l

₁

; b z p

₁¹

i p

₁²

zablokują

12 11

1

p p

p = + (4)

  ( )

( )

 

 

( )

 

^

 



 + + −













+

−

= ⁻ + ⁻

=

+

− −

∑

^{b R}_b^SO_b ^SO _b ^b_b

p ^{n t}

t j

j j n

ω β ω

β

1 1

1 2

1 1 1

1

(5)

płaszczyzn.

W pozostałych sekcjach od 1 do t − 1 będziemy rozważali połączenia rozgłoszeniowe. W sekcji 0, połączenie x ; y ; ω nie może zostać zablokowane i

możemy zestawić z wejścia x

jeszcze ^R ( ) ( ^SI

0

⁼  ^{β − ω} ) ^b  połączeń o wadze b.

Rys.1. Przykład zablokowania płaszczyzn przez połączenia z p , które zablokują: (a) płaszczyznę 1 i

₁

(b) płaszczyznę 2, (c) - płaszczyzny 3-5, gdy

2 , 4 , 09 . 0 , 54 . 0 , 54 . 0 , 99 .

0 = = = = =

= B ω b n t

β .

W sekcji j połączenia k

₁

; L ; b , gdzie 1

1 ≤ j ≤ t − , { }

 



 

 ∪

∈

= i

j

i

SI

x k

1

U

1

, zestawionych do 1

2 −

=

^n−t−j

L okien blokowania, zablokują

  ( )

( )  ^{( )} 

 SI

_j

β b + R SI

_j−1

¹ − ω + b b  ( ²

^n−t−j

− ¹ )

płaszczyzn dla nowego połączenia. W sekcji j może zostać jeszcze wolne pasmo, które można wykorzystać do zestawienia ^R ( ) ^SI

^j

⁼ ( ^SI

^j

 ^{β b} 

( )) ^SI  ( ^b ) ^b 

R

_j

⊗ − +

+

₋₁

1 ω połączeń o wadze b.

Połączenia te nie zablokują dodatkowej płaszczyzny w sekcji j i będą rozważane w sekcji następnej. Połączenia te zablokują (rys. 2a, 2b)

  ( )

( )



₁

 (

^{2 1}

)

1 2

1 1 1

2 −













+

−

= ⁻ + ⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R p b

ω

β (6)

płaszczyzn dla nowego połączenia.

W wejściach należących do SI

_t−1

może pozostać jeszcze wolne pasmo, z którego można zestawić R ( SI

_t−1

) ( = R SO

_n−_t+1

) połączeń o wadze b.

W wejściach należących do SI może również

_t

pozostać wolne pasmo, z którego można zestawić



^b

  (

^b

)

^b



SI_t

β

⊗ ¹−

ω

+ = ^SOn₋t

 β

^b



( )

 ^{− + b b} 

⊗ 1 ω połączeń o wadze b.

Rys.2. Przykład zablokowania płaszczyzn przez połączenia z p

₂

, które zablokują: (a) płaszczyznę 6

(b) płaszczyznę 7, gdy β

=0.99, B=0.54,

2 , 4 , 09 . 0 , 54 .

0 = = =

= b n t

ω .

W sumie połączenia te, zrealizowane w sekcji

−1

−t

n

zajmując niewykorzystane do tej pory pasmo, mogą zająć dodatkową płaszczyznę (rys.3).

( ) _{  } ( ) _

( )

 













+

−

+

−

⊗

= ⁻⁺ + ⁻⁻ b b

b b b

SO

p R ^{nt n t}

ω

ω β

1

1

2 ¹

3 1

(7)

Rys.3. Przykład zablokowania płaszczyzn przez połączenia z p , które zablokują: (a) płaszczyznę 8,

₃

gdy β

=0.99, B=0.54,

ω

=0.54,

2 , 4 , 09 .

0 = =

= n t

b .

W wejściach należących do SI

_t−1

może pozostać jeszcze wolne pasmo, z którego można zestawić połączenia o wadze b. Na wyjściach należących do SO

_n−t

może również pozostać wolne pasmo. Jeżeli suma tych pasm resztowych jest równa lub większa od pasma blokującego to

(

^SO

) (

^SO



^b



^R

(

^SO

) )  ⁽

^b

⁾

^b



R _n−t = _n−t

β

+ _n−t+1 ⊗ 1−

ω

+

połączeń o wadze b zestawionych do wyjść SO

_n−t

w sekcji

n−t

oraz

R

(

SIt−1

)

=

(

SIt−1

 β

b



+R

(

SIt−2

) )

( )

 ^{− + b b} 

⊗ 1 ω połączeń o wadze b zestawionych z wejść w sekcji

t−1

zablokują dodatkową płaszczyznę dla nowego połączenia (rys.4).

( ) ( )

( )

  ^ 

 





+

−

=

⁻

+

⁻

b b

SO R SI

p R

^{t n t}

ω 1

1

4

(8)

W najbardziej niekorzystnym stanie pola p ,

₁

p ,

2

p i

₃

p są rozłączne, co powoduje konieczność

₄

dodatkowej płaszczyzny, aby można było zestawić połączenie x ; y ; ω .

Rys.4. Przykład zablokowania płaszczyzn przez połączenia z p , które zablokują (a) płaszczyznę 9,

₄

gdy β = 0 . 99 , B = 0 . 54 , ω = 0 . 54 , 2 , 4 , 09 .

0 = =

= n t

b .

Z wzorów (6), (8), (10), (11) otrzymamy końcowy wzór na dostateczną liczbę płaszczyzn dla nowego połączenia.

4

1

3 2

1

+ + + +

≥ p p p p

p

  ( )

( )

   

( )

 











 + + −

















+

−

= ⁻ + ⁻⁻

=

+

− −

∑

^{b R}_b^SO_{b b}^b_b

p

t n t

j

j j n

ω β ω

β

1 2 1

2 ¹

1 1

1 1

  ( )

( )

 ₁  ( ^{2 1} )

1

2

1 1 1

 −







 





+

−

+

⁻

+

⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R b ω β

( )    ( ) 

( )

 













+

−

+

−

⊗ + ⁻⁺ + ⁻⁻

b b

b b b

SO

R _{n t} ^{n t}

ω

ω β

1

1

2 ¹

1

( ) ( )

( )

  ^ 

 





+

−

+

⁻

+

⁻

b b

SO R SI

R

_{t n t}

ω 1

1

+1 (9)

Zauważmy, że SI

_j

= SO

_n−j

i R ( ) ( SI

j

= R SO

n₋j

)

dla 1 ≤ j ≤ t − 1 dlatego równanie (9) możemy zredukować do równania (10):

( ) ^{+ 1}

≥ ^S ω

p , (10)

gdzie

( ) ^{ } ( )

( )

 

j t t n

j

j j n

b b

SO R

S b ⁻⁻

−

=

+

− −

∑

_^











+

−

= + 2

1 2

1 1

1 1

ω ω β

( )    ( ) 

( )

   





 





+

−

+

−

⊗ +

⁻⁺

+

⁻⁻

b b

b b b

SO

R

_{n t} ^{n t}

ω

ω β

1

1 2

¹

1

( ) ( )

( )

  ^ 

 





+

−

+

⁻

+

⁻

b b

SO R SI

R

_{t n t}

ω 1

1

 

( )

   





 



 + + −

⁻⁻

b b

t

b

n

ω β 1 2

¹

(11)

W najbardziej niekorzystnym stanie, gdy

[ ] ^{b; B}

ω ∈ dla nowego połączenia będzie niedostępnych

S

( )

ω

płaszczyzn. Liczba płaszczyzn powinna być równa maksymalnej wartości dla wszystkich możliwych ω . Otrzymamy więc

( ) { }

¹

max +

≥ ≤ ≤

ω

ω S

p b B

(12)

gdzie

^S

( )

^ω

jest wyrażone wzorem (11).

Funkcja S ( ) ω przyjmuje wartość maksymalną dla ω

=B

. Po podstawieniu do wzoru (10) za ω

=B

otrzymamy wzór (1) co kończy dowód warunku dostatecznego.

□ Twierdzenie 2. Rozważmy pole komutacyjne multi- log

2

N utworzone przez równoległe połączenie p kopii pola log

2

N. Pole to jest polem nieblokowalnym w szerokim sensie dla ^{1 ≤ t <}   ^{n 2 lub t =}   ^{n 2 i gdy}

n jest nieparzyste oraz gdy do zestawiania połączeń został użyty algorytm 1, w przypadku pasma dyskretnego, wtedy, gdy:

  ( )

( )

 

^{n t j}

t j

j j

b b B

SI R

p b

⁻⁻

=

− −

∑ _ ^





 





+

−

≥ + 2

1 2

1

1

β

1

  ( )

( )

 ₁  ^ ( ²

^{2 1}

^{− 1} )



 





+

−

+ +

^{t n−t−}

b

b B

SI R β b

( ) ( )

( )

 ¹  ^  ^{+ 1}

 





+

−

+ +

⁻

b b B

SO R SI

R

_{t n t}

, (13) gdzie

( )

^SI

(

^SI



^b



^R

( )

^SI

) ^{ (}

^{B b}

⁾

^b

^

R _j = _j

β

+ _j−1 ⊗ 1− +

,

( ) ( ^SI  ^B ) ^b 

R

0

= β − ,

b

a ⊕ oznacza resztę z dzielenia a przez b Dowód. Dowód jest bardzo podobny do dowodu z twierdzenia 1. Różnica polega na tym, że w przypadku, gdy n jest nieparzyste i ^{t =}   ^{n 2}

możemy rozważać maksymalne połączenia rozgłoszeniowe z sekcji 1 do t, ponieważ

+ 1

=

− t t

n . W sekcji t, w każdym dostępnym oknie blokowania jest jeszcze wolne jedno wyjście.

Wyjścia te nie mogą być użyte, ponieważ brak jest wolnych wejść, z których można zrealizować połączenie. Gdy, ^{t <}   ^{n 2} również możemy rozważać maksymalne połączenia rozgłoszeniowe z sekcji 1 do t. Wolne pasmo na wyjściach dostępnych w sekcji t, możemy wykorzystać do zrealizowania maksymalnego połączenia rozgłoszeniowego w sekcji t + 1 .

W sekcjach od n − t do n − 1 liczbę zajętych płaszczyzn opiszemy wzorem (13).

  ( )

( )

 

∑

=

+

−

−

 





 





+

−

=

^t

+

j

j n j

n

b b

SO R b p SO

1

1

1

1 ω

β (14)

W sekcji n − t nie będziemy zestawiać połączeń należących do wejść SI

_n−t−1

, tak jak to było w dowodzie 1, ponieważ w tym przypadku w każdej sekcji wielkość pasma z dostępnych wejść jest zawsze większa od pasma w dostępnych wyjściach.

W pozostałych sekcjach, gdy n jest nieparzyste i

  ^{n 2}

t = połączenia składowe maksymalnych połączeń rozgłoszeniowych oraz połączenia z resztek pasm z sekcji poprzednich mogą zająć

  ( )

( )



₁

 (

^{2 1}

)

2

1 1 1

2 −













+

−

= + ⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R p b

ω

β (15)

różnych płaszczyzn. Natomiast, gdy ^{t <}   ^{n 2 , w}

najbardziej niekorzystnym stanie pola połączenia możliwe jest zrealizowanie  β b  + R ( ) SI

t

dodatkowych połączeń rozgłoszeniowych o wadze b w sekcji t. Połączenia te zajmą

  ( )

( ) (  ) 

 β b ⁺ R SI

t

^{1 −} ω ⁺ b b  ( ²

^n−2t−1

^{− 1} )

dodatkowych płaszczyzn dla nowego połączenia (rys.4a-4b). W sumie, gdy ^{t <}   ^{n 2} , maksymalną liczbę płaszczyzn niedostępnych dla nowego połączenia opiszemy wzorem (16).

  ( )

( )

 ₁  ( ^{2 1} )

2

1 1 1

2

−

 





 





+

−

= +

⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R p b

ω β

  ( )

( )

 ₁  ^ ( ²

^{2 1}

^{− 1} )



 





+

−

+ +

^{t n− t−}

b

b SI R b

ω

β (16)

Na wejściach SI można jeszcze zestawić

_t

połączenia o wadze b. Na wyjściach w sekcji n − t może również pozostać pasmo resztowe. Jeżeli suma tych pasm resztowych jest równa lub większa od pasma blokującego to R ( SO

n₋t

) połączeń o wadze b zestawionych do wyjść SO

_n−t

w sekcji n − t oraz

( ) SI

t

R połączeń o wadze b zestawionych z wejść w sekcji t zablokują dodatkową płaszczyznę dla nowego połączenia.

( ) ( )

( )

  ^ 

 





+

−

= +

⁻

b b

SO R SI

p R

^{t n t}

ω

4

1 (17)

W najbardziej niekorzystnym stanie pola p ,

1

p i

₂

p są rozłączne, co powoduje konieczność

₄

dodatkowej płaszczyzny, aby można było zestawić połączenie x ; y ; ω . Dla ^{t =}   ^{n 2} , gdy n jest nieparzyste ze wzorów (14), (15) i (17) otrzymujemy:

  ( )

( )

 

∑

=

+

− −













+

−

= +

t j

j j n

b b

SO R p b

1 1 1

1 2

ω β

  ( )

( )

 ₁  ( ^{2 1} )

2

1 1 1

 −







 





+

−

+ +

⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R b ω β

( ) ( )

( )

 ¹  ^  ^{+ 1}

 





+

−

+ +

⁻

b b

SO R SI

R

_{t n t}

ω (18)

dla ^{t <}   ^{n 2} z (14), (16) i (17) otrzymujemy

  ( )

( )

 

∑

=

+

− −













+

−

= ^t +

j

j j n

b b

SO R p b

1 1 1

1 2

ω β

  ( )

( )

 ₁  ( ^{2 1} )

2

1 1 1

 −







 





+

−

+ +

⁻⁻

=

− −

∑

^{t n t j}

j j j

b b

SI R b ω β

  ( )

( )



₁





(

^{2 2 1−1}

)



 





+

−

+ + ^{t n− t−} b

b SI R b

ω

β

( ) ( )

( )

 ¹  ^  ^{+ 1}

 





+

−

+ +

⁻

b b

SO R SI

R

_{t n t}

ω ⁽¹⁹⁾

Zauważmy, że dla n = 2 t + 1 (19) redukuje się do (18), dlatego również jest prawdziwe dla ^{t =}   ^{n 2}

gdy n jest nieparzyste. Zauważmy również, że

j n

j

SO

SI =

₋

i R ( ) ( SI

j

= R SO

n₋j

) dla 1 ≤ j ≤ t dlatego (19) możemy zredukować do (20):

( ) + ¹

≥ S ω

p , (20)

gdzie

( ) ω

=

S

  ( )

( )

 

j t t n

j j j

b b

SI R

b ₋₋

=

− −

∑

_^











+

−

+ 2

1 2

1 1 1

ω β

  ( )

( )



₁



^

(

^{2 2 1−1}

)



 





+

−

+ + ^{t n− t−} b

b SI R b

ω

β

( ) ( )

( )

 ¹  ^  ^{+ 1}

 





+

−

+ +

⁻

b b

SO R SI

R

_{t n t}

ω ⁽²¹⁾

W najbardziej niekorzystnym stanie, gdy ω

∈ b;B

, dla nowego połączenia będzie niedostępnych (21) płaszczyzn. Liczba płaszczyzn powinna być równa maksymalnej wartości dla wszystkich możliwych ω . Otrzymamy więc

( ) { }

¹

max +

≥ ≤ ≤

ω

ω S

p b B

(22)

gdzie S ( ) ω jest wyrażone wzorem (21)

Funkcja ^S ( ) ω przyjmuje wartość maksymalną dla ω

=B

. Po podstawieniu do wzoru (22) za ω

=B

otrzymamy wzór (13) co kończy dowód warunku dostatecznego.

□

PODSUMOWANIE

W artykule były rozważane pola multi- log

₂

N nieblokowalne w szerokim sensie dla połączeń rozgłoszeniowych typu multi-rate. Udowodniono warunek dostateczny dla założeń, gdy

^t=

 

^{n 2}

i n jest parzyste, oraz dla

^t=

 

^{n 2}

i n jest nieparzyste oraz gdy

^t≤

 

^{n 2}

. W trakcie badań są warunki nieblokowalności dla pól multi- log

₂

N , gdy

 

n² +¹≤t≤n−¹

.

SPIS LITERATURY

[1] S.Kaczmarek, Własności równoległych po- łączeń pól komutacyjnych, Przegląd Teleko- munikacyjny, vol. LVI, No. 2, 1983, pp. 54-56.

[2] C.-T.Lea, Multi-Log

2

N networks and their applications in high-speed electronic and photonic switching systems, IEEE Tran.

Commun., vol.38, No.10 Oct 1990, pp.1740-49.

[3] C.-T.Lea, D.-J.Shyy, Tradeoff of horizontal decomposition versus vertical stacking in rearrangeable nonblocking networks, Tran.

Commun., 39(6):899-904, Jun 1991.

[4] Y. Tscha, K.H. Lea, Non-blocking conditions for multi-log

2

N multiconnection networks, IEEE GLOBECOM 1992, pp.1600-1604.

[5] Y. Tscha, K.H. Lea, Yet another result on multi-log

2

N networks, IEEE Tran. Commun., vol. 47, No. 9, September 1999, pp.1600-1604.

[6] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Wide-Sense Non-blocking Multi-Log

2

N Broadcast Switching Networks, IEEE ICC, New Orleans, LA USA, Jun 2000, pp. 1440-1444.

[7] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Non-blocking multicast multi-log

2

N switching networks, First Polish-German Teletraffic Symposium, Drezno, Sept 2000, pp. 201-210.

[8] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Wide-sense and strict-sense non-blocking operation of multicast multi-log

2

N switching networks, IEEE Tran.

Commun., vol.50, No.6, Jun 2002, pp.1025-36.

[9] C.-T. Lea, Multirate Log

d

(N,e,p) Networks, IEEE GLOBECOM 1994, pp.319-323.

[10] W. Kabaciński, M. Żal, Non-blocking operation

of multi-Log

2

N switching networks, System

Science, vol. 25, No. 4, 1999, pp.83-97.