KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony

(1)

Matematyka Poziom rozszerzony

Listopad 2011

W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwar tych są pre zen to wa ne przy kła do we po praw ne od po wie dzi. W te go ty pu za da niach na le ży rów nież uznać od po wie dzi ucznia, je śli są ina czej sfor mu ło wa ne, ale ich sens jest zgod ny z po da nym sche ma tem, oraz in ne po praw ne od po wie dzi w nim nie prze wi dzia ne.

Numer

zadania Zdający otrzymuje po 1 punkcie za Liczba

punktów 1. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania

Zdający zapisze równanie w postaci alternatywy.

lub lub

2 4

x

2 - 1 - = - 2 4

x

2 - 1 - =

2 x

2 - 1 = - x

2 - 1 = 6

1 pkt

rozwiązanie, w którym jest istotny postęp

Zdający zauważy, że równanie

2 x - 1 = - 2

jest sprzeczne.

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający rozwiąże równanie .

lub lub

2 x - 1 = - 6 2 x - 1 = 6

x

2 - 1 = 6 2,5

x = - 3,5

x =

3 pkt

rozwiązanie pełne

Zdający wskaże ujemny pierwiastek:

x = - 2,5

.

4 pkt

2. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający skorzysta z proporcjonalności boków prostokątów podobnych i rozważy

proporcję.

a a

b b

5 5

+ = + ( 5) ( 5) a b + = b a + ab + 5 a = ba + 5 b a = b

1 pkt

Zdający zapisze drugą proporcję wynikającą z podobieństwa czworokątów i sprowadzi ją do prostszej postaci.

b a

a b

5 5

+ = +

5 5

a

²

+ a = b

²

+ b

5 5 0

a

²

- b

²

+ a - b =

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania

Zdający przekształci odpowiednio otrzymane wyrażenie, aby znaleźć zależność między bokami , .

lub

Warunek nie może być spełniony, gdyż .

b a

5 0

a - b a + b + a - b =

] g] g ] g

0 a - b a + + b 5 =

] g] g

5 a + b = - a = b

0 a + b 2 5

a + b = -

3 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(2)

Zdający stwierdzi, iż z równości wynika, że pierwszy prostokąt jest kwadratem.

Skoro

a = b

, to

a + 5 = b + 5

, zatem drugi prostokąt też jest kwadratem.

a = b

4 pkt

3. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania

Zdający zauważy, że aby wyrażenie miało sens, to dla oraz

(tangens jest wtedy określony).

x ! k r 0

x 2 x tg !

1 tg

x k

! r 2 + r

1 pkt

Zdający wykorzysta własność kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego – zapisze odpowiedni warunek i przekształci go tak, aby otrzymać wyrażenie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną.

Np.:

cos x sin x 2 x 1 tg

2

= $

cos sin cos x x sin

x x 2

2

= $ 1

2 cos

²

x = cos x

2 pkt

Zdający przedstawi równanie w formie alternatywy.

cos x = 0

lub

2 cos x - 1 = 0

3 pkt

rozwiązanie prawie całkowite Zdający rozwiąże uzyskane równania.

lub lub

x 2 k

, gdzie

k ! C

3 r r

= + 2

x k

3 r r

= - +

x k

2 r r

= +

4 pkt

Zdający wybierze spośród uzyskanych rozwiązań właściwe i zapisze odpowiedź.

lub ,

x 3 2 k

gdzie

k ! C

r r

= - + 2

x 3 k

r r

= +

5 pkt

4. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający wykorzysta wzór na zamianę podstawy logarytmu i zapisze nierówność w postaci

( )

.

log

²^]

r a

^g

+ log

²^]

r + a

^g

H 2 log r + a - 1

1 pkt

Zdający zapisze nierówność w równoważnej postaci ,

aby wykazać, że lewa strona nierówności jest większa bądź równa zero.

( )

log

²^]

r a

^g

+ log

²^]

r + a

^g

- 2 log r + a + 1 H 0

2 pkt

Zdający zapisze lewą stronę nierówności w postaci sumy kwadratów dwóch wyrażeń

2 2.

log

^]

r a

^g

+ log

^]

r + a

^g

- 1

6 @ 6 @

3 pkt

Zdający zauważy, że suma kwadratów dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną i wyprowadzi stąd wniosek, że

0

.

2 2

log

^]

r a

^g

+ log

^]

r + a

^g

- 1 H

6 @ 6 @

4 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(3)

Zdający znajdzie współrzędne punktu jako współrzędne wierzchołka paraboli.

,

C 9 18 9 y = - = - 3

x 2

= 6 = , C = ] 3 - 9 g

1 pkt

Zdający zauważy, że punkty , leżą na prostych przechodzących przez punkt oraz nachylonych do osi pod kątem odpowiednio i (jako wierzchołki trójkąta równobocznego) i określi, że szuka np. współrzędnych punktu leżącego na prostej nachylonej do osi pod kątem .

C B

A

120°

60°

OX

p A

60°

OX

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający znajdzie równanie prostej

p

.

3 y = x + b

b 9 3 3

- = +

b = - - 9 3 3 9 3 y = 3 x - - 3

3 pkt

rozwiązanie prawie całkowite

Zdający znajdzie pierwszą współrzędną punktu , wykorzystując fakt, że punkt leży na paraboli i prostej .

lub

Zdający zauważy, że liczba to pierwsza współrzędna punktu , zatem w dalszych rozważaniach uwzględni liczbę .

A p

6 9 3

x

²

- x = 3 x - - 3

(6 ) 9 3 0

x

²

- x + 3 + + 3 = D = 3

3 x = + 3 3

x =

C 3

3 + 3

4 pkt

Zdający znajdzie drugą współrzędną punktu .

Zdający poda obie współrzędne punktu .

A

6 6

y =

^{^}

3 + 3

^h²

-

^{^}

3 + 3

^h

= - A ,

A = ^ 3 + 3 - 6 h

5 pkt

6. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania

Zdający obliczy długość połowy przekątnej podstawy.

d a 2

1 = 2

1 pkt C

B

A a 2a

x

h

1–d 2

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(4)

Zdający zauważy, że trójkąt

ABC

jest prostokątny i obliczy długość odcinka .

x

a x

2 = tg a x = a 2 tg $ a

2 pkt

pokonanie zasadniczych trudności zadania Zdający obliczy wysokość graniastosłupa.

h

²

+

^{^}

a 2

^h²

= x

²

h = 2 a

²

tg

²

a - 2 a

²

3 pkt

Zdający obliczy objętość graniastosłupa.

V =

^{] g}

2 a

²

$ 2 a

²

tg

²

a - 2 a

²

= 4 a

²

$ a 2 $ tg

²

a - 1 = 4 2 $ a

³

$ tg

²

a - 1

4 pkt

7. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający określi liczbę zdarzeń elementarnych – liczbę sposobów wyboru

4

spośród

20

piosenek.

1 2 3 4 4845 17 18 19 20

$ $ $

X = =

1 pkt

Zdający rozważy zdarzenie przeciwne – uczestnik wysłuchał piosenek spośród , których nie zna, i określi liczbę zdarzeń sprzyjających.

8 4

70 A 1 2 3 4

5 6 7 8

$ $ $

= =

2 pkt

Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

( )

P A 4845

= 70

3 pkt

Zdający obliczy prawdopodobieństwo rozważanego zdarzenia.

( ) 1

P B 4845

70 4845

= - = 4775

4 pkt

Zdający podaje wynik z żądaną dokładnością.

( ) 0,9855... 0,99

P B = .

5 pkt

Zdający znajdzie współrzędne punktu przecięcia prostych.

,

y x

y x k

= -

= +

*

x x k - = +

y k

= 2

x k

= - 2

1 pkt

Zdający skorzysta z tego, że punkt przecięcia prostych musi należeć do koła i przekształci uzyskaną nierówność do najprostszej postaci.

10

2 2

k k

1 2 1

2 G

- + +

b l b l

k

²

G 16

2 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(5)

Zdający zapisze uzyskaną nierówność w postaci (zdający może zaznaczyć te liczby na rysunku).

( k - 4 ) ( k + 4 ) G 0

3 pkt

Zdający podaje rozwiązanie.

, k ! - 4 4

4 pkt

9. rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania Zdający znajdzie współczynniki wielomianu, korzystając z tego, że liczby , są pierwiastkami wielomianu.

,

2 - 1 a b

a b

1 6 0

8 4 2 6 0

- + - + =

+ + + =

*

1 b = 4 a = -

1 pkt

Zdający znajdzie trzeci pierwiastek wielomianu , stosując twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.

( ) 4 6

W x = x

³

- x

²

+ + x (3) 27 36 3 6 0

W = - + + =

3 x =

2 pkt

Zdający zapisze wielomian oraz nierówność w postaci iloczynowej.

( )

W x =

^]

x + 1

^g^]

x - 2

^g^]

x - 3

^g

0 x + 1 x - 2 x - 3 >

] g] g] g

3 pkt

Zdający określi przedziały (może zaznaczyć je np. na osi liczbowej), w których będzie poszukiwał wartości dodatnich wyrażenia .

1.

2.

3.

4.

x + 1 x - 2 x - 3

] g] g] g

, 1 - 3 -

] g

, 1 2 -

h

, 2 3

h

3, 3

h

4 pkt

rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)

Np. źle zaznaczone końce jednego z przedziałów; błędne obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu; błąd w obliczeniu współczynników wielomianu.

5 pkt

Zdający określi, kiedy rozpatrywane wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie (np. za pomocą siatki znaków albo odpowiedniego „wężyka”) i zapisze odpowiedź.

, ,

x ! ] - 1 2 g , ] 3 3 g

6 pkt

Zdający rozważy przypadek, gdy analizowane równanie jest równaniem liniowym.

1 0 m - =

1 m =

4 x + + 1 4 = 0

x 4

= - 5

1 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl

(6)

Zdający założy, że rozpatruje równanie kwadratowe i zapisuje jego wyróżnik.

1 m !

4 ( m 1) ( m 4) 4 m 20 ( m )

2

2 1

D = 6 + @ - - + = - +

2 pkt

Zdający zauważa, że równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, gdy wyróżnik jest równy zero.

4 m 20 0

- + =

5 m =

3 pkt

Zdający sprawdza, czy znalezione rozwiązanie spełnia zakładane warunki

m = 5 ! 1

.

4 pkt

Zdający podaje rozwiązanie.

lub

m = 5 1

m =

5 pkt

Zdający znajduje sinus kąta zawartego między bokami

a

,

b

.

sin

ab ab

2 1

4 a = 1

sin 2 a = 1

1 pkt

Zdający znajduje miarę kąta zawartego między bokami i . lub

b a

° a = 150

° a = 30

2 pkt

Zdający wykorzystuje twierdzenie cosinusów do znalezienia długości trzeciego boku trójkąta.

lub

c

° cos c

²

= a

²

+ b

²

- 2 ab 150

° cos c

²

= a

²

+ b

²

- 2 ab 30

3 pkt

rozwiązanie pełne Zdający poda rozwiązanie.

c = a

²

+ b

²

- ab 3

lub

c = a

²

+ b

²

+ ab 3

4 pkt

Więcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl