Zad. 2. Czy zbiór {(M, N ) ∈ Λ : M =

Lista zadań nr 8 z rachunku lambda 5 maja 2019

Być może powinniśmy rozwiązywać zadania z list wcześniejszych. Proszę wziąć to pod uwagę.

Zad. 1. Pokaż (powołując się na tezę Churcha lub na intuicyjne rozumowania infor- matyczne), że jeżeli wykres {(n, f (n)) ∈ N

: n ∈ N ∧ f (n) jest określone} funkcji f : N → N , być może częściowej, jest rekurencyjnie przeliczalny (semirozstrzygal- ny), to funkcja f jest rekurencyjna (czyli przynajmniej intuicyjnie obliczalna).

Zad. 2. Czy zbiór {(M, N ) ∈ Λ : M =

N } jest rekurencyjnie przeliczany (se- mirozstrzygalny). Przypuśćmy, że mając dwa termy M i N tworzymy (o ile jest to możliwe) naprzemian coraz dłuższe redukcje lewostronne, a po utworzeniu ko- lejnego reduktu sprawdzamy, czy znajduje się on w drugiej, tworzonej redukcji.

Oczywiście, jeżeli znajduje się, to oba dane termy są β-równe. Czy w ten sposób można zbadać spełnianie warunku M =

N ?

G¨ odlizacja (Uwaga notacyjna: dla odróżnienia, reprezentacje liczb naturalnych będziemy zapisywać w stylu Churcha, a reprezentacje termów – w stylu Baren- gregta.) Rozważamy kilka funkcji, w tym funkcję # : Λ → N kodującą termy za pomocą liczb naturalnych, obliczalną, różnowartościową i typu ”na”, zdefiniowaną jakkolwiek. Powinna zachodzić równoważność: zbiór termów T jest rekurencyjny (rozstrzygalny) wtedy i tylko wtedy, gdzy zbiór {#M : M ∈ T } jest rekurencyjny (rozstrzygalny). Dla takiej funkcji definiujemy kilka innych, w tym

1) pq : Λ → Λ taką, że pM q = c

,

2) A : N

→ N taką, że A(#M, #N ) = #(M N ), λ-definiowaną termem A, 3) N : N → N taką, że N (n) = #c

, λ-reprezentowaną termem N.

Zad. 3. Pokaż, że ApM qpNq = pMN q oraz NpM q = c

.

Zad. 4. Udowodnij następujące twierdzenie o punkcie stałym: dla dowolnego termu F istnieje term X taki, że F pXq = X. Wskazówka: stosujemy standardowe rozu- mowanie: rozważamy tablicę wypełnioną termami AP (NQ), z termami AP (NP ) na przekątnej, bierzemy W pW q dla W = λx F (Ax(Nx)).

Zad. 5. (Twierdzenie Scotta, odpowiednik twierdzenia Rice’a). Niepusty zbiór ter- mów zamknięty ze względu na β-konwersję (wraz w termem należą do niego wszyst- kie mu β-równe) nie jest rekurencyjny, chyba że jest zbiorem Λ. Wskazówka: bie- rzemy zbiór rekurencyjny X, dwa elementy M ∈ X i N 6∈ X oraz f – funkcję charakterystyczną zbioru X (przyjmuje 0 dokładnie dla elementów X). Rozważmy funkcję g zdefiniowaną wzorem g(n) = if f (n) = 0 then N else M . Do funkcji g (definiującego ją termu) stosujemy twierdzenie o punkcie stałym z zadania 4.

Zad. 6. Pokaż, że zbiory {M ∈ Λ : M = βI} oraz {M ∈ Λ : M ma postać normalną}

nie są rekurencyjne. Czy są to zbiory rekurencyjnie przeliczalne (semirozstrzygal-

ne)?