n = 2 m;(m = 10, 11, . . . , 20).

7 Zadania

Zadania laboratoryjne

Zadania na wykorzystanie instruk ji MATLAB-owski h: rand, rand(m,n),

rand('state', 0),randperm,randn.

7.1 Napisa¢ program na sprawdzenie generatorów MATLABowski h przy

u»y iu

a. testu KoªmogorowaSmirnowa,

b. testu serii z

t = 3

^{. Obli zy¢}

p r

^{(patrz 2.2) dla}

d = 4

^,

n = 2 ^m

^;

(m = 10, 11, . . . , 20

^).

7.2 [Savi ky℄ Uru homi¢pro edur

Z=rand(28,100000);

ondition = Z(1,:)<1/16;

s atter(Z(16, ondition),Z( 28, ondi tion ),'. ');

Uzasadni¢, »e w przypadku teorety znym gdy

Z

^{jest ma ierz¡ skªa-}

daj¡ ¡ si z zmienny h losowy h niezale»ny h o rozkªadzie jednostaj-

nym to na rysunku powinni±my otrzyma¢ hmur par

(U 1i , U 2i ) (i = 1, . . . , 100000)

^,gdzie

U ij

^s¡niezaleznymizmiennymilosowymiojedna- kowym rozkªadzie jednostajnym U(0,1). Rysunek powinien wi wy-

gl¡da¢ jak

Z=rand(2,100000);

ondition = Z(1,:)<1/16;

s atter(Z(1,:),Z(2,:),'.') ;

Ró»ni  ªatwo zauwa»y¢. A o sidzieje gdyby u»y¢ metody 'twister'.

Wyja±ni¢jak powinna wygl¡da¢ hmura wwypadku 'idealnym'.

7.3 Dla przykªadu 2.9, przy

n = 2 ¹⁴

ⁱ

k = 2 ²⁰

^{uzupeªni¢ tabelk:}

liczba kolizji ≤ 100 110 120 130 140 150 160 170

z prawdopodobiestwem ? ? ? ? ? ? ? ?

7.4 Uzasadni¢, »e pro edura generowania losowej permuta ji z wykªadu

daje losow¡ permuta j po rozwi¡zaniu nastpuj¡ ego zadania z ra-

hunku prawdopodobie«stwa, w którym induk yjnie deniujemy i¡g

n

^{permuta ji zbioru}

[n]

^{. Zerow¡ permuta j¡}

π 0

^{jest permuta ja iden-}

ty zno± iowa. Dla

k = 1, 2, ..., n − 1

^deniujemy induk yjnie

π k

^{-t¡ z}

π _k−1

^-szejnastpuj¡ o: zamieniamy element

k

^{-ty z}

J _k

^-tymgdzie

J _k

^jest

losowe (tj. o rozkladzie jednostajnym) na

{k, . . . , n}

^, niezale»nie od

J 1 , . . . , J _k−1

^{. Pokaza¢, »e}

π _n−1

^{jestpermuta j¡ losow¡.}

7.5 Napisa¢ pro edurna losowanie

1. z

n

^{obiektówwybieramy losowo}

k

^ze zwra aniem, 2. z

n

^{obiektówwybieramy}

k

^{bez zwra ania.}

3. wybieraj¡ ¡ losowy podzbiór

k

elementowyz

{1, . . . , n}

^.

7.6 Napisa¢pro edurgenerowanialosowejpermuta jirandpermmynapod-

stawiealgorytmuzpodrozdziaªu3.1. Porówna¢szybko±¢ swojejpro e-

dury z matlabowskarandperm.

7.7 Obli zy¢przezsymula jeprawdopodobie«stwo

p _n

^{tego,»ewpermuta ji}

losowej li zb

1, . . . , n

^{, »adna li zba nie jest na swoim miejs u. Zrobi¢}

obli zenia dla

n = 1, . . . , 10

^{. Do zegomo»e zd¡»a¢}

p n

^gdy

n → ∞

^.

7.8 Napisa¢ pro edur

n

^{rzutów monet¡(}

ξ ₁ , . . . , ξ _n

^).

Je±liorzeª w

i

^{-tym rzu ieto nie h}

ξ i = 1

^{je±li reszka to}

ξ i = −1

^{. Nie h}

S 0 = 0

^oraz

S k = ξ 1 +. . .+ξ k

^{. Obli zy¢pierwszymomentiwarian j}

ξ 1

^.

Zrobi¢wykres

S 0 , S 1 , . . . , S 1000

^{. Nawykresiezazna zy linie:}

±Var(ξ) √ n

^,

±2Var(η) √

n

^,

±3Var(ξ) √ n

^.

Zrobi¢zbior zy wykres 10replika jitego eksperymentu.

7.9 Rzu amy

N

^razy symetry zn¡ monet¡ i generujemy bª¡dzenie przy- padkowe

(S n ) _0≤n≥N

^{. Napisa¢ pro edury do} obli zenia:

1. Jakwygl¡da absolutnaró»ni apomidzymaximum iminimum bª¡-

dzeniaprzypadkowego gdy

N

^ro±nie?

7.10 Rozwa»amy i¡g

(S n ) _0≤n≥2N

^{. Przez} prowadzenie w od inku

(i, i + 1)

rozumiemy,»e

S i ≥ 0

^oraz

S i+1 ≥ 0

^{. Nie h}

X

^{bdzie ª¡ zn¡ dªugo± i¡}

prowadze« dla

N

^rzutów.

pomidzy 50% a 55% zasu? Lub wi ej ni» 95% zasu? Zrobi¢ ob-

li zenia symula j¡. Eksperymentalnie sprawdzi¢ ile powtórze« nale»y

zrobi¢ aby osi¡gn¡ stabilny wynik.

3. Nie h

N = 200

^{. Zrobi¢ histogram wyników dla}

10000

^powtórze«

tego eksperymentu.

7.11 Napisa¢ pro edur dozadaniadni urodzin.

1.Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród

n

^{losowo wybrany h osób}

przynajmniej dwie maj¡ ten sam dzie«urodzin?

2. Jakiejest prawdopodobie«stwo,»e w±ród

n

^{losowo wybrany h osób}

przynajmniejdwiemajaurodzinywprze iagu

r

^{dnijeden oddrugiego?}

3. Przypu±¢mi,»e osoby pojawiaj¡sikolejno. Jakdªugotrzeba zeka¢

aby pojawiªy siedwie maj¡ ewspólne urodziny? Zrobi¢histogramdla

1000 powtórze«.

7.12 [Test odstpówdni urodzin℄ U»ywaj¡ symula jiznale¹¢funk j praw-

dopdobie«stwa statystyki

R

^{. Sprawdzi¢ zy wynikisi pokrywaj¡ je±li}

doobli ze« u»ywa sie ró»ny h generatorów.

7.13 [Zagadnieniekomiwoja»era℄Komiwoja»eropusz za miasto0imusiod-

wiedzi wszystkie miasta

1, . . . , n

^{przed powrotem dopunktu wyj± io-}

wego. Odlegªo± ipomidzymiastem

i

^amiastem

j

^jest

c ij

^{. Je±liniema}

drogi do kªadziemy

c ij = ∞

^{. Jest}

n = 100

^{miast do}odwiedzenia,któ- ry hodlegªo± is¡zadanewnastpuj¡ ysposób. Za z¡¢odrand('state',

0). Przydzieli¢odlegªo± ikolejnowierszami

c ij

^gdzie

i = 0, . . . , 100

^oraz

j = 0, 1, . . . , 100

^{- odlegªo±¢ midzy adresem i oraz j. (W ten sposób}

wszys y bd¡ mielitak¡sam¡ ma ierzodlegªo± i). Znale¹¢ jak najlep-

sz¡ drog

0, π 1 , . . . , π 100 , 0

minimizuj¡ ¡przeje han¡ tras. Czyudasi

odnale¹¢ najkrótsz¡ tras. Znale¹¢ najkrótsz¡ po 100, 200, itd. loso-

Projekt

Projekt 1 Bobsza uje, »e w »y iu spotka 3 partnerki,i z jedn¡ si o»eni.

Zakªada, »e jest w stanieje porównywa¢. Jednak»e, bd¡ osob¡ honorow¡,

(i)je±lizde yduje siumawia¢ znow¡ partnerk¡, niemo»ewró i¢doju»od-

rzu onej,(ii)wmomen iede yzjio±lubierandkizpzostaªymis¡niemo»liwe,

(iii)musi sizde ydowa¢ naktór¡± zspotkany h partnerek. Bob przyjmuje,

»e mo»nazrobi¢ midzy partnerkamiranking: 1=dobra,2=lepsza,3=najlep-

sza, ale ten ranking nie jest mu wiadomy. Bob spotyka kolejne partnerki w

losowymporz¡dku.

Napisz raport jak¡ stategi powinien przyj¡ Bob. W sz zególno± i w

rapor ie powinny siznale¹¢ odpowiedzinanastpuj¡ e pytania.

(a)Bob de yduje si na ±lub z pierwsz¡ spotkan¡ partnerk¡. Obli z praw-

dopodobie«stwo

P

(teorety zne), »e o»eni si z najlepsz¡. Obli z te»

o zekiwany rang

r

(b) U»yj symula jiaby okre±li¢

P

ⁱ

r

^dla nastpuj¡ ejstrategii. Bob nigdy nie»eni sizpierwsz¡, »eni sizdrug¡ jeslijest lepszaodpierwszej,w

prze iwnymrazie »eni siz trze i¡.

( )Rozwa»y¢ zadaniez10- iomapartnerkami,któremaj¡rangi

1, 2, . . . , 10

^.

Obli zy¢teorety znie prawdopodobie«stwo

P

^{io zekiwan¡ rang}

r

^dla

strategiijak w zadaniu(a).

(d) Zdeniowa¢ zbiór strategii, które s¡ adapta j¡ strategii z zadania (b)

na 10 partnerek. Poda¢ jesz ze inn¡ strategi dla Boba. Dla ka»dej

stategiiobli zy¢

P

ⁱ

r

^.

10 Zadania

Zadania teorety zne

10.1 Nie h

F ∼

^Exp

(λ)

ⁱ

Z 1 = F ⁻¹ (U)

^,

Z 2 = F ⁻¹ (1 − U)

^{. Pokaza¢,»e}

IE Z i = 1/λ, IE Z _i ² = 2/λ ² ,

oraz

corr (Z 1 , Z 2 ) = −0.6449.

Wsk.

R 1

0 log x log(1 − x) dx = 0.3551

^.

10.2 Obli zy¢ warto±¢ o zekiwan¡ i warian j rozkªaduPareto Par

(α)

^.

10.3 Nie h

Z 1 = F ⁻¹ (U)

^,

Z 2 = F ⁻¹ (1 − U)

^{. Obli zy¢ korela j}

corr (Z 1 , Z 2 )

gdy

F

^jest dystrybuant¡:

(a)rozkªadu Poissona;

λ = 1, 2, . . . , 10

^,

(b) rozkªadu geometry znego Geo(

p

^).

10.4 Nie h

X

^madystrybuant

F

^{i h emy} wygenerowa¢ zmienna losow¡o warunkowym rozkªadzie

X|X ∈ (a, b)

^gdzie

IP(X ∈ (a, b)) > 0

^{. Nie h}

V = F (a) + (F (b) − F (a))U.

Jaki rozkªad ma

V

^{. Pokaza¢, »e}

Y = F ⁻¹ (V )

^{ma »adan¡ warunkow¡}

dystrybuant

G

^,gdzie

G(x) =







0 x < a,

F (x)−F (a)

F (b)−F (a) , a ≤ x < b,

1 x ≥ b

10.5 Poda¢ pro edur generowania li zb losowy h o rozkªadzie trójk¡tnym

Tri(a,b), zgsto± i¡

f (x) =

 c(x − a), a < x < (a + b)/2, c((b − a)/2 − x), (a + b)/2 < x < b,

gdziestaªanormuja a

c = 4/(b − a) ²

^{. Wsk. Rozwa»y¢najpierwgsto±¢}

U 1 + U 2

^.

10.6 Pokaza¢, »e

X = log(U/(1 − U))

marozkªad logisty znyo dystrybuan ie

F (x) = 1/(1 + e ^−x )

^.

10.7 Poda¢ pro edur na generowanie li zby losowej z gsto± i¡posta i

f (x) =

N

X

j=1

a j x ^j , 0 ≤ x ≤ 1,

gdzie

a j ≥ 0

^{. Wsk. Obli zy¢gsto±¢}

max(U 1 , . . . , U n )

^{i nastpnie u»y¢}

metodysuperpozy ji.

10.8 Poda¢ pro edur generowania zmiennej losowej

X

^{z gsto± i¡}

f (x) = n(1 − x) ⁿ⁻¹

^.

10.9 Poda¢ pro edurgenerowania li zby losowej orozkªadzie Cau hego.

10.10 Nie h

F

^jest dystrybuant¡ rozkªaduWeibulla W(

α, c

^),

F (x) =

 0 x < 0

1 − exp(−cx ^α ), x ≥ 0 .

Pokaza¢, »e

X =  − log U c

 1/α

marozkªad W(

α, c

^).

10.11 Poda¢ przykªad pokazuj¡ y, »e

c

^{w metodzie elimina ji (zarówno dla}

przypadku dyskretnego jak i i¡gªego)niemusi istnie¢sko« zone.

10.12 a)Udowodni¢, »e

IP(⌊U ⁻¹ ⌋ = i) = _i(i+1) ¹

^{, dla}

i = 1, 2, . . .

^.

b) Poda¢ algorytm i obli zy¢ prawdopodobie«stwo ak epta ji na wy-

generowanie metod¡ elimina ji dyskretnej li zby losowej

X

^{z funk j¡}

prawdopodobie«stwa

{p ^k , k = 1, 2, . . .}

^,gdzie

p k = 6

π ² 1

k ² , k = 1, 2, . . . .

10.13 Podaj metod generowania li zby losowej zgsto± i¡:

f (x) =

 e ^2x , −∞ < x < 0 e ^−2x , 0 < x < ∞

10.14 Rozkªad beta Beta

(α, β)

^magsto±¢

f (x) = x ^α−1 (1 − x) ^β−1

B(α, β) , 0 < x < 1.

gdzie beta funk ja jest zdeniowana przez

B(α, β) = Z 1

0

x ^α−1 (1 − x) ^β−1 dx .

Przy zaªo»eniu

α, β > 1

^{poda¢ algorytm wraz z} usadnieniem gene- rowania li zb losowy h Beta

(α, β)

^metod¡ elimina ji. Wsk. Przyj¡¢

g(x) =

¹

(0 < x < 1)

^.

10.15 Nie h

(X, Y )

^{bdziewektoremlosowymzgsto± i¡}

f (x, y)

^{inie h}

B ⊂ IR ²

^{bdzi obszarem takim,»e}

Z

B f (x, y) dx dy < ∞.

Pokaza¢,»e

X|(X, Y ) ∈ B

^magsto±¢

R

y:(x,y)∈B f (x, y) dy R

B f (x, y) dx dy .

10.16 [Marsaglia [?℄℄ Nie h

J

^{ma funk j} prawdopodobie«stwa

(p _m ) ^∞ _m=0

^z

p m = 1/(ce ^m+1 )

ⁱ

c = 1/(e − 1)

^{. Nie h}

I

^{ma funk j} prawdopodo- bie«stwa

(q n ) ^∞ _n=1

^{, gdzie}

q n = c/n!

^{. Zakªadamy, »e}

I, J

^oraz

U 1 , . . .

^s¡

niezale»ne. Pokaza¢, »e

X = J + min(U 1 , . . . , U I )

^{marozkªad wykªad-}

ni zy Exp

(1)

^{. Powy»sza wªasno±¢ rozkªadu} wykªadni zego daje mo»- liwo±¢ napisania algorytmu na generowanie wykªadni zy h zmienny h

losowy h bez u»y ia kosztownej funk ji

log

^.3

3

Ajakszybkogenerowa¢li zbylosowe

I, J

^?

Zadania laboratoryjne

10.17 Poda¢ wraz zuzasadnieniem jak generowa¢ li zblosow¡

X

^{o rozkªa-}

dzieU[a,b℄. Napisa¢ MATLABowska funk j Unif(a,b)nagenerowanie

li zby losowej

X

^.

10.18 W literaturze aktuarialnej rozwa»a si rozkªad Makehama przyszªego

zasu »y ia

T x

^dla

x

^{-latka zogonem rozkªadu}

IP(T x > t) = e ^{−At−m(c t+x −c x )} .

Napisa¢ pro edur Makeham(A,m, ,x) generowania li zb losowy h o

takim rozkªadzie. Przyj¡¢

A = 5 · 10 ⁻⁴

^,

m = 7.5858 · 10 ⁻⁵

^oraz

c = log 1.09144

^{(tzw. G82). Wsk.} Zinterpretowa¢ probabilisty znie jaka opera ja prowadzi do faktoryza ji

e ^{−At−m(c t+x −c x )} = e ^−At e ^{−m(c t+x −c x )}

^.

Zastanowi¢ si zyrozkªad z ogonemdystrybuanty

e ^{−m(c t+x −c x )}

^mo»na

przedstawi¢ jako warunkowy.

10.19 Napisa¢pro edurePoi(lambda)) generowania li zblosowy h orozkªa-

dzie Poi

(λ)

^{. Uzasadni¢jej}poprawno±¢.

10.20 Napisa funk j Gamma(a,b) na generowanie li zby losowej o rozkªa-

dzie Gamma

(a, b)

^{. Wsk. Algorytm musi si skªada¢ z dwó h z±¢i:}

a < 1

^oraz

a ≥ 1

^.

10.21 Przeprowadzi¢ nastpuj¡ y eksperyment z MATLABowskimi genera-

torami. Obli zy¢ objto± kuli

k = 30

^{wymiarowej o promieniu 1 i}

porówn¡ z wynikiemteorety znym naobjto± takiej kuli:

V k = 2 k

π ^k/2 Γ(k/2) .

10.22 Porówna¢dwiepro edurygenerowaniarozkªaduwielomianowegoM

(n, a)

^.

Pierwsza metoda jest uogólnieniem metody ad ho dla rozkªady dwu-

mianowego(patrzpodrozdziaª4). Poleganagenerowaniu niezale»ny h

wektorów losowy h przyjmuj¡ y h warto± i

(0, . . . , 1, . . . 0)

^(jedynka

na

i

^{-tym miejs u) z} prawdopdobie«stwem

a i

^{i nastpnie zsumowanie}

li zby jedynek na ka»dej koordyna ie. Natomiast druga metoda wy-

korzystuje unikaln¡ wªasno±¢ rozkªadu wielomianowego wektora

X =

(X 1 , . . . , X d )

^{: rozkªad}

X j+1

^podwarunkiem

X 1 = k 1 , . . . , X j = k j )

^jest

dwumianowyB

(n − k ¹ − . . . − k ^j , a j+1 /(a 1 + . . . + a j )

ⁱ

X 1

^marozkªad

B

(n, a 1 )

^{. Do} generowania rozkªadudwumianowego wykorzysta¢ pro e- dur ITR.Przeprowadzi¢ eksperyment z

n = 10

ⁱ

a ₁ = 0.55, a ₂ = . . . = a 10 = 0.05

^{. Porówna¢ szybko±¢ ty h pro edur mierz¡ wykonanie 100}

000 replika jidla ka»dej z ni h.

10.23 Napisa¢ pro edurgenerowania li zb losowy h zgsto± i¡

f (x) = pe ^−x + (1 − p) 0.2

 1

1 + (x/0.2)

 1.2

.

Zrobi¢wykªadni zyiparetowskiwykres kwantylowydla300zmienny h

losowy h wygenerowany h z

p = 0.05

ⁱ

p = 0.95

^.

Projekt

10.24 Napisa¢pro edurMATLAB-owsk¡generowania li zbylosowejN(0,1)

(tabli y li zb losowy hN(0,1))

(i)metod¡elimina ji (randnrej),

(ii)1-sz¡ metod¡Boxa-Mullera(randnbmrst),

(iii)2-g¡metod¡Boxa-Mullera(randnbmse ). Przeprowadzi¢testzpo-

miarem zasu100000replika jidlaka»dejzty hmetodorazMATLAB-

owskiejrandn. U»y¢instruk ji TIC iTOC.Ka»dyeksperymentza z¡¢

od rand('state',0). Sporz¡dzi¢ raport z eksperymentów. Zrobi¢ wy-

kresy kwantylowe dlaka»dej zpro edur z 1000 replika ji.

10.25 U»ywaj¡ rozwa»ania z ¢wi zenia 10.16 napisa¢ algorytm na genero-

wanie li zb losowy h o rozkªadzie wykªadni zym Exp

(1)

^{. Zastanowi¢}

sijak optymalnie generowa¢li zby losowe

I, J

^{z zadania10.16. Prze-}

prowadzi¢ test z pomiarem zasu 100 000 replika ji dla tej metody i

metodyITM (

− log U

^{). Ka»dy} eksperyment za z¡¢ od rand('state',0).

Sporz¡dzi¢ raport z eksperymentów.

Zadania teorety zne

1.1 Przypu±¢my,»e h emyobli zy¢

I

^{metod¡MonteCarlo,gdzie}

I = I ^′ I ^′′

orazwiemy,»e

I ^′ = IE Y ^′

^,

I ^′′ = IE Y ^′′

^{. Nie h}

Y ₁ ^′ , . . . , Y _R ^′

^bdzie

R

^nieza-

le»ny h replika ji

Y ^′

^oraz niezale»nie od ni h nie h

Y ₁ ^′′ , . . . , Y _R ^′′

^bdzie

R

niezale»ny h replika ji

Y ^′′

^{. Pokaza¢, »e} nastpuj¡ e estymatory s¡

nieob i¡»onedla

I

^:

Z ˆ ₁ = 1 R

R

X

i=1

Y _i ^′

! 1 R

R

X

i=1

Y _i ^′′

!

Z ˆ 2 = 1 R

R

X

i=1

Y _i ^′ Y _i ^′′ .

Pokaza¢, ze

Z ˆ 1

^{mamniejsz¡ warian j.}

1.2 Zanalizowa¢przykªadI.2.8podk¡temodpowiednio± i li zby replika ji.

Jakdobra¢

δ

^abypoza

k = 27

^{nawykresieI.2.2trudnobylobyrozró»ni¢}

krzyw¡ wysumulowan¡ od teorety znej. Czylepiej byªoby przyj¡¢

δ = 0.05

^.

1.3 [Igªa Buona a li zba

π

^{℄ W zadaniu Buona o li zbie}

π

^{obli za si}

prawdopodobie«stwo

p = 2L π

prze i iajednejzrównolegªy hprosty hoddalony hodsiebieo1przez

igª o dªugo± i

L

^{. Wiadomo, »e} przeprowadzaj¡ niezale»ne ekspery- mentymamynieob i¡»onyestymator

p ˆ

prawdopodobie«stwa

p

^{. Wtedy}

π = (2L)/p

^{. Zaplanowa¢ obli zenie}

f (I)

^z dokªadno± i¡

b = 0.01

^na

poziomie

α = 0.05

^,gdy

f (x) = (2L)/x

^oraz

I = IE Y

^,gdzie

Y = 1

^,gdy

igªaprze ina lini, natomiast

Y = 0

^{wprze iwnym razie.}

1.4 Ile nale»y zrobi¢ replika ji na poziomie ufno± i

α = 0.05

^{aby bª¡d}

b = σ/50

^.

1.5 Wiadomo, »e je±li

Y ₁ , . . . , Y _n

^s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkªadzieN(0,1) to

(n − 1) ˆ S ² /σ ² − n + 1

√ 2n − 2

→ N(0, 1) , D

gdy

n → ∞

^{;patrz[?℄, str. 27. Natomiastje±lizmienne s¡orozkªadzie}

dowolnym , to

√ n  ˆ S _n ² − σ ²  _D

→ N(0, µ 4 − σ ⁴ )

gdzie

µ 4 = IE (Y −IE Y ) ⁴

^{jestmomentem entralnymrzdu4. Ilenale»y}

zrobi¢próbabywyestymowa¢

σ ²

^zdokªadno± i¡do5- iu%napoziomie

α = 0.05

^.

Zadania laboratoryjne

1.6 a. Napisa¢ algorytm na wygenerowanie punktu losowego o rozkªadzie

jednostajnymU(

∆

^{)wtrójk¡ ie}

∆

^owierz hoªka h

(1, 1), (−1, −1), (1, −1)

^.

Poli zy¢±redni¡li zbli zblosowy h

U ₁ , U ₂ , . . .

^dowygenerowaniajed- nej li zby

V

^{orozkªadzie U(}

∆

^).

b. Napisa¢algorytm naobli zenia aªki

Z

∆

e ^{−(x 2 +y 2 )} dx dy

zgrubn¡ metod¡MC.

1.7 Wyprodukowa¢ 10 000 przedziaªów ufno± i posta i

( ˆ Y n ± ^{z 1−α/2 √} n ^{S ˆ n} )

^dla

Y =

¹

(U ≤ u)

^,

n = 1000

^oraz

I = IE Y

^{nastpnie sprawdzi¢ jaki}

pro ent ty h przedziaªów pokryje

I = 0.5, 0.9, 0.95

^gdy odpowiednio

u = 0.5, 0.9, 0.95

^{. Wyja±ni¢otrzymane wyniki.}

Projekt

1.8 Obli zy¢skªadknettozdokªadno± iado ztere hmiejs poprze inku,

dla 40-latka w ubezpie zeniu na aªe »y ie, gdy te hni zna stopa pro-

entowa wynosi

r = 0.05

^{, przyszªy zas »y ia}

T = T 40

^{ma rozkªad}

Makehama (mo»na u»y¢ funk ji Makeham z zadania II.10.18). Wzór

naskªadk netto gdy suma ubezpie zeniawynosi 1zª jest

π = IE e ^−rT IE R T

0 e ^−rt dt .

Zadania teorety zne

5.1 W sz zelinowym modelu ALOHA z

λ = 0.31

^oraz

h = 0.1

^{poli zy¢}

funk j

φ(k) = IE [X n+1 −X ⁿ |X ⁿ = k] = λ−b ¹ (k)a 0 −b ⁰ (k)a 1 , k = 0, 1, . . . ,

gdy

A i

^{maj¡ rozkªad Poissona. Zrobi¢wykres. Czy mo»na napodsta-}

wie tego wykresu skomentowa¢rys. 3.3i 3.4.

Zadania laboratoryjne

5.2 Wygenerowa¢

A 1 , A 2 , . . .

^{, w od inku}

[0, 1000]

^{, gdzie}

A 0 = 0

^oraz

A 1 <

A 2 < . . .

^{s¡ kolejnymi punktami w} niejednorodnym pro esie Poissona z funk j¡ intensywno± i

λ(t) = a(2 − sin( ^2π ₂₄ t))

^{. Przyj¡¢}

a = 10

^{. Nie h}

A(t)

^{bdzie li zb¡ punktów w od inku}

[0, t]

^{. Zastanowi¢ si jaki ma}

rozkªad

A(t)

^{iznale¹¢jego±redni¡. Poli zy¢ zsymula ji}

A(1000)/1000

 ±redni¡ li zb¡ punktów na jednostk zasu, zwan¡ asymptoty zn¡

intensywno± ia

λ ¯

^{. Porówna¢ z}

Z 24

0

λ(t) dt/24 .

5.3 Kontynua ja zad. refzad.pro .Poissona. Wygenerowa¢

τ ₁ , τ ₂ , . . . , τ ₁₀₀₀

^,

gdzie

τ i = A i − A i−1

^,

A 0 = 0

^oraz

A 1 < A 2 < . . .

^{s¡ kolejnymi}

punktami w niejednorodnym pro esie Poissona z fun k j¡ intensyw-

no± i

λ(t) = a(2 − sin( ^2π ₂₄ t))

^{. Przyj¡¢}

a = 10

^{. Obli zy¢ ±redni odstp}

midzy punktami

τ = ˆ P 1000

j=1 τ i /1000

^.

5.4 Zbada¢jakszybko

P (L(t) = 1)

^walternuj¡ ympro esieon ozbiega dowspól zynnika gotowo± i. Rozpatrzy¢ kilkaprzypadków:

• F ^on F off

^s¡wykªadni ze,

• F on F _off

^s¡Erlanga odpowiednio Erl(3,

λ

^{) iErl(3,}

µ

^),

• F ^on F off

^s¡Pareto.

Przyj¡¢

IE T ^on = 1

ⁱ

IE T ^off = 2

^.

5.5 Obli zy¢ ±redni¡

IE L(i) (i = 1, . . . , 10)

^{w systemie M/M/1z}

a.

λ = 1/2

ⁱ

µ = 1

^,

b.

λ = 1

ⁱ

µ = 1

^,je±li

L(0) = 0

^.

5.6 Przeprowadzi¢ symula je dobro i zystego protokóªu ALOHA.Bardziej

dokªadnie,przypu±¢my,»e pakietyprzybywaj¡ zgodniezpro esemPo-

issona z intensywno± i¡

λ

^{i wszystkie s¡ dªugo± i 1. W przypadku}

kolizji,ka»dy zpakietówjestretransmitowanypo zasiewykªadni zym

z parametrem

µ

^{. Zakªadamy, »e wszystkie zmienne s¡} niezale»ne. W modelumusimyobli zy¢nastpuj¡ ezmienne. Napodstawiesymula ji

zastanowi¢ si nad przepustowo± i¡

γ

^{przy tym protokóle.}

5.7 Napisa¢ algorytm nasymula j protokóªu ETHERNET.

5.8 Obli zy¢ ±redni zas do awarii systemu skªadaj¡ ego si z

N

^elemen-

tów poª¡ zony h równolegle z jednym konserwatorem, je±li zas »y ia

elementu ma rozkªad wykªadni zy

Exp(1/2)

^{, natomiast zas naprawy}

przez konserwatora

Exp(1))

^{. Poli zy¢ dla}

N = 1, . . . , 10

^{. Porówna¢}

z ±rednim zasem do awarii systemu skªadaj¡ ego si z

N

^elementów

poª¡ zony h równolegle, alebez konserwatora.

Projekt

Projekt3 Zbada¢dobro¢protokóªusz zelinowaALOHAzewzgldu

na parametr

λ

^{. Przez symula j znale¹¢ warto± i kryty zne dla}

λ

ⁱ

okre±li¢ typowe za howanie si protokóªu. Zbada¢ inn¡ modyka j

protokóªu sz zelinowa ALOHA, w której dopusz za si, »e u»ytkow-

ni ymaj¡te» dodatkow¡wiedzostanie

X n

^,iwtedyw

n

^{-tejsz zelinie}

przyjmowa¢

h = 1/X n

^{. Czy ten protokóª mo»e by¢ stabilny, tzn. ma-}

j¡ y przepustowo±¢

γ > 0

^{;je±li tak tokiedy.}

Projekt 4 Produkt jestskªadanyzkomponentównadwó hstanowi-

ska h. Po zako« zeniu pra na pierwszym stanowisku jest dalej opra-

owywany na drugim,z któregowy hodzi gotowyprodukt. Produk ja

trwaka»degodnia przez8 godzin. Napo z¡tkudnia wmagazyniejest

przygotowane

n 1

komponentów, które suk esywnie s¡ dostar zane na stanowisko pierwsze. Przed stanowiskiem drugim mo»e o zekiwa¢ o

najwy»ej

k ₁

^{, w prze iwnym razie pra a na stanowisku pierwszym jest}

zablokowana. Ile nale»y przygotowa¢ komponentów

n 1

^{i jak du»y bu-}

for

k 1

^abyzprawdopodobie«stwemniemniejszym0.9byªazapewniona produk japrzez aªydzie«,tj. 8godzin. Jakdu»y nale»y przygotowa¢

magazyn

n 1 + k 1

^{. Przyj¡¢, »e}

•

^{zaspra ynapierwszymstanowiskumarozkªadErlangaErl(2,10),}

•

^{natomiast na drugim stanowisku jest mieszank¡ rozkladów wy-}

kªadni zy h zgsto± i¡

0.8 × 9e ^−9x + 0.2 × 3e ^−3x

^,

•

^kosztymagazynowaniaprzedrozpo z iempra y zywo zekiwa- niu napra e nadrugim stanowisku s¡linioweod

n ₁ + k ₁

^.

Projekt 5 Mamy dwa nastpuj¡ e warianty pra y 2- hpro esorów.

1. Dwa pro esory pra uj¡ osobno. Zadania napªywaj¡ do

i

^{-tego pro-}

esu zgodnie z pro esem Poissona z intensywno± i¡

λ _i

^{i maj¡ rozkªad}

rozmiaru

G ⁽ⁱ⁾

^{. Nie h}

D ⁽ⁱ⁾ (t)

^{bdzieli zb¡zada«}obsªu»ony hprzez

i

^-ty

pro esorto hwili

t

^{. Zakªadamy,»e}

λ i < R _∞

0 xdG ⁽ⁱ⁾ (x)

^,

i = 1, 2

^{. Wtedy}

przepustowo±¢

t→∞ lim D ⁽ⁱ⁾ (t)/t = λ i ,

awi dwapro esory,je±lipra uj¡osobnomaj¡przepustowo±¢

λ 1 + λ 2

^.

2. Mo»emy tak zmieni¢ konstruk j, »e w przypadku gdy jeden z pro-

esównie mapra y, todrugi pra uje z szybko± i¡ 2.

Zbada¢ o ile efektywniejszy jest zparowany pro esor, w zale»no± i od

intesywno± i wej± iai rozkªadów rozmiarówzada«. Przyj¡

λ 1 = 1

^.

Projekt 6 W banku jest

c

^{stanowisk obsªugi. Klien i zgªaszaj¡ si}

zgodnie z pro esem Poissona z intensywno± i¡

λ

^{i i h zasy obsªugi}

maj¡ rozkªad

G

^{. Zbada¢}nastpuj¡ e protokóªy kolejkowania.

1. Przed ka»dym okienkiem jest osobna kolejka. Klien i wybieraj¡

okienko w sposób losowy.

2. Przed ka»dym okienkiem jestosobna kolejka. Klien i wybieraj¡ ko-

lejneokienko,tj.

1, 2, . . . , c, 1, 2, . . .

^.

3. Jest jedna kolejka igdy nad hodzi zas klient idzie doakurat uwol-

nionego okienka.