Analiza stanu zakrytycznego tarczy prostokątnej poddanej działaniu mimośrodowego ściskania i jej zastosowanie do przybliżonego obliczania cienkościennego dźwigara skrzynkowego

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3/4, 20(1982)

ANALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEG O TARCZY PROSTOKĄ TN EJ P OD D AN EJ DZIAŁANIU  M IM OŚ ROD OWEGO Ś CISKANIA I J E J ZASTOSOWAN IE D O

PRZYBLIŻ ON EGO OBLICZAN IA CIEN KOŚ CIEN N EGO DŻ WIG ARA SKRZYNKOWEG O

SEWER  J A K U B O W S K I Instytut Mechaniki Stosowanej Politechnika Ł ódzka

Spis najważ niejszych oznaczeń a, b —wymiary tarczy h — grubość tarczy Eh3 =  ~T^7\ z\  — sztywność pł ytowa zginania E — moduł  Younga v — liczba Poissona u,v, w,— przemieszczenia powierzchni ś rodkowej tarczy A =  a/ b — współ czynnik kształ tu tarczy

1. Wstę p

Przy projektowaniu konstrukcji cienkoś ciennych — w tym także dź wigarów o prze-kroju skrzynkowym — jednym z podstawowych problemów jest zagadnienie statecznoś ci. Najczę ś ciej problem ten jest rozwią zywany poprzez obliczenie obcią ż enia krytycznego dla konstrukcji idealnej (pozbawionej niedoskonał oś ci kształ tu, przypadkowych obcią ż eń itp.) i ustalenie wartoś ci współ czynnika bezpieczeń stwa w stosunku do tegoż obcią ż enia [1, 7, 8].

Postę powanie takie prowadzi na ogół  do niepeł nego wykorzystania konstrukcji, która w wię kszoś ci wypadków może pracować bezpiecznie w zakresie obcią ż eń wię kszych od krytycznego. P onadto, jak wykazują  liczne badania doś wiadczalne obcią ż enie krytyczne dla konstrukcji idealnej nie stanowi prawidł owej oceny wytę ż enia konstrukcji rzeczywistej, która pracuje naogół  w stanie wyboczonym już od począ tku obcią ż enia.

Z powyż szych powodów prowadzone są  liczne badnia teoretyczne w zakresie stanów zakrytycznych dź wigarów skrzynkowych lub ich elementów [2, 3, 5, 9].

W pracy niniejszej przeprowadzono ogólną  i numeryczną  analizę  stanu zakrytycznego swobodnie podpartej tarczy prostoką tnej poddanej dział aniu ś ciskania (bą dź rozcią gania) i jednoczesnego zginania w tym samym kierunku.

286 S. JAKUBOWSKI

Analizę  tę  przeprowadzono pod ką tem przydatnoś

ci uzyskanych rezultatów do przy-bliż oneg

o obliczania cienkoś cienneg

o dź wigar

a skrzynkowego, którego ś rodniki utracił y

statecznoś ć. Otrzymane wyniki poddano weryfikacji doś wiadczalnej

, uzyskują c na ogół

dobrą  zgodność z przewidywaniami teoretycznymi.

W celu zastosowania rezultatów badań teoretycznych do analizy pracy wspomnianego

dź wigar

a skrzynkowego poddanego zginaniu i ś ciskaniu zaproponowano odpowiednią

przybliż oną metodę  obliczeniową .

W pracy przedstawiono także wybrane wyniki badań doś wiadczalnych duż eg

o dź wigar

a

skrzynkowego, porównują c je z rezultatami obliczeń opartych o wspomnianą  metodę

przybliż oną.

Analliza stanu zakrytycznego swobodnie podpartej tarczy prostoką tnej poddanej zginaniu

i ś ciskaniu (bą dź rozcią ganiu)

Analizie poddano cienką  izotropową  tarczę  prostoką tną  o stał ej gruboś ci h i długoś ciach

krawę dzi axb, podpartą  swobodnie wzdł uż obwodu.

Przyję to dalej, że rozważ ana tarcza jest obcią ż ona w sposób pokazany na rys. 1.

Z

Rys. 1

Zmienność normalnych naprę ż e

ń obcią ż ają cyc

h wzdł uż odpowiednich krawę dzi tarczy

opisano nastę pują cą  liniową  funkcją  współ rzę dnej y:

O)

Współ czynnik liczbowy « charakteryzuje tu sposób obcią ż eni

a tarczy. 1 tak przykł adowo

dla a =  0 wzór (1) opisuje czyste ś ciskanie tarczy, zaś dla a =  2 przypadek czystego

zginania tarczowego. Opisanemu sposobowi obcią ż eni

a pł askiej tarczy odpowiada nastę

-pują ca bi harmoniczna funkcja naprę ż e

ń Airy'ego

(2) , 0 o ( * , j O= '•

• ( ' - « )•

Funkcję  w(x, y) opisują cą  ugię cia tarczy w stanie zakrytycznym zał oż ono w postaci nastę

-pują cego szeregu trygonometrycznego o nieznanych współ czynnikach f,„

n

:

3

mnx V

1

 . •  nny

(3)

gdzie m =  1 lub 2.

= hsm

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEGO 287

Tak przyję ta funkcja ugię ci

a speł nia w sposób toż samoś ciow

y warunki swobodnego

podparcia wszystkich krawę dz

i tarczy. Współ czynnik m opisuje liczbę pół fal wyboczenia

tarczy w kierunku zginania. O tym, czy w konkretnym przypadku nastą pi wyboczenie

z jedną pół fal ą (m — 1) czy też z dwiema (m =  2), rozstrzygnąć moż na na podstawie

odpowiedniej analizy stanu krytycznego tarczy [1, 2, 6]. D obór powyż sze

j postaci funkcji

w(x,y) poprzedzony był  analizą literatury [1, 2, 3, 4, 5] oraz analizą wpł ywu dł ugoś ci

szeregu (3) na otrzymane wartoś ci obcią ż eni

a krytycznego tarczy. Okazał o się, że przy

nieskrę powany

m doborze wartoś ci współ czynników £

_m

, trójskł adnikowa postać (3)

tegoż szeregu z zadawalają c

ą dokł adnoś cią opisuje ugię ci

a rozważ ane

j tarczy. Funkcję

naprę ż e

ń Airy'ego &(x,y) dla zakrytycznego stanu tarczy wyznaczono z równania nie-rozdzielnoś ci odkształ ceń. Dla duż yc

h ugięć tarczy równania to przyjmuje nastę pują c

ą

postać [1,3,4]

Po wstawieniu do równania (4) funkcji ugię ci

a w(x, y) danej zależ noś ci

ą (3), równanie

to rozwią zano wyznaczając jego cał kę szczególną <j>i(x, y). Sumująp uzyskane rozwią zani

e

z rozwią zanie

m szczególnym (2) równania jednorodnego (biharmonicznego), uzyskano

funkcję naprę ż e

ń <p(x,y) dla rozważ aneg

o przypadku obcią ż eni

a tarczy. D ana jest ona

nastę pują cy

m wzorem:

(5) <P(x,y) =

+ M(4m

2

, l)(9f

m

il

m

a+ 25f

W

2fm a)cos- ^-  +  16M(4m

2

,--  M(4m

2

, 9)£

_mi

 f

_{m 3}

cos

  2

^ - 4M ( 4m

2

, I6)f

_ml

 ^„

₃

cos  - ^

+  M (4m

2

, 2 5 ) |

m l

 f

m 3

cos  - —-  - cos  — ~ — +

o o

— M (0, \ )(S

m

ih„,2 + Sm2^m3)

cos

 i" + 2M (0, 4) ( |^i — 2f

m l

£

m 3

) - cos —

+  9M ( 0, 9) |

m l

f

m 2

c o s  -

^ + 8M (0,

+  18M(0,36)^, ..oo.  - ^ +   - ^ f (l -   f )

l -  f)  . ^

288 S. JAKUBOWSKI

W powyż szym wyraż eniu symbolem M{p, q) oznaczono wartość wyraż enia

(6) M(p,q) -   7 —-   2,

zależ nego od parametrów p i ą oraz współ czynnika kształ tu tarczy X =  alb.

Wyznaczone w ten sposób funkcje: ugię cia (3) i naprę ż eń (5) zawierają trzy nieznane współ czynniki bezwymiarowe  |m l, £m 2 i Sma •  Jednocześ nie obie te funkcje opisują w sposób ogólny stan zakrytyczny tarczy — tj. wystę pują ce w niej pola przemieszczeń, odkształ ceń i naprę ż eń.

Przed przystą pieniem do wyznaczania wartoś ci współ czynników £„,„ przeprowadzona zostanie ogólna analiza pól przemieszczeń, naprę ż eń i odkształ ceń. Jest to moż liwe na tym etapie rozważ ań, gdyż daje się sformuł ować szereg wniosków niezależ nych od tego, jakie wartoś ci przyjmą współ czynniki £,„„.

Przemieszczenia punktów powierzchni ś rodkowej tarczy oznaczono przez ii, v i w. F unkcja w(x, y) dan a jest wzorem (3), zaś funkcje u(x, y) i v(x, y) wyznaczono wychodząc z zależ noś ci mię dzy przemieszczeniami i odkształ ceniami. D la duż ych ugięć pł yt zależ noś ci t e mają charakter nieliniowy i przedstawiają się nastę pują co [1, 4]:

du 1 I dw}2 dx 2\  8x dv ] Idw dy 2 \  óy du dv dw dw Yxyb =

 dy

 +

 dx

 +

 Tx dy '

Odkształ cenia sxb, eyb i yb powierzchni ś rodkowej tarczy, dzię ki prawu H ooke'a dają się

wyrazić poprzez naprę ż enia axb, ayb i xb dział ają ce w tejże powierzchni. Te ostatnie zaś,

zgodnie z nieliniową teorią pł yt wiotkich [1, 3, 4] wyraż ają się poprzez funkcję naprę ż eń

0(x,y): B2 0 \ "/ r "~ dxdy'

U wzglę dniając powyż sze w równaniach (7) otrzymuje się ukł ad trzech równań róż niczko -wych wzglę de m nieznanych funkcji przemieszczeń u(x, y) i v(x,y). Równania te rozwią-zan o, wyznaczając obie szukane funkcje z dokł adnoś cią do trzech stał ych cał kowania, odpowiadają cych przemieszczeniu tarczy jako ciał a sztywnego. Z kolei stał e te obliczono unieruchamiając (w sensie przesunię cia i obrotu) punkt tarczy o współ rzę dnych x = a/ 2, 7 =  0.

Z e wzglę du na bardzo zł oż oną budowę wyraż enia opisują ce wartoś ci funkcji u(x, y) i v(x, y) nie zostaną tu przytoczone.

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEGO 289

Na ich podstawie wyznaczono dalej przemieszczenia normalne wzdł

uż wszystkich kra-wę dz

i tarczy. Okreś lone są one nastę pują cym

i zależ noś ciami

:

aa

x0

 X

2E '

«(0, y) =

u(a,y) =  - u ( 0, j)

ffxofl

2E

(9)

_w(x

'

0) =

  w( "

x 2 + a x

- V) '

Obliczone tak przemieszczenia przedstawiono na rys. 2, który w sposób poglą dow

y ilustruje

kształ t tarczy po utracie statecznoś ci. Jak wynika z rysunku, krawę dzi

e obcią ż on

e tarczy

pozostają prostoliniowe, zaś krawę dzi

e nieobcią ż on

e przyjmują kształ t równoodległ ych

parabol.

Należy zaznaczyć, że otrzymane tu warunki deformacji tarczy stają się dodatkowym

zał oż enie

m leż ą cy

m u podstaw uzyskanego rozwią zania. Jednocześ nie warunki te z duż y

m

przybliż enie

m są zgodne z tymi, w jakich pracują elementy tarczowe w rzeczywistych

belkach cienkoś ciennych.

Naprę ż eni

a wewną tr

z tarczy podzielić moż na na skł adowe bł onowe i zgię ciowe

. D la

uogólnienia dalszych rozważ ań w miejsce poszczególnych skł adowych stanu naprę ż eni

a

wprowadzono odpowiadają c

e im współ czynniki bezwymiarowe, oznaczone gwiazdką.

Zachodzi przy tym relacja:

(10) a* =   4 ,  r * = l gdzie R = %£

N aprę ż eni

a stanu zgię cioweg

o wyraż aj

ą się poprzez odpowiednie pochodne funkcji

ugię ci

a w(x, y) [4], zaś naprę ż eni

a stanu bł onowego zależą od funkcji Airy'ego 0(x, y)

zgodnie ze wzorami (8).

Wobec znajomoś ci obu funkcji w(x, y) i @(x, y) moż na wyprowadzić ogólne wzory

opisują c

e wszystkie sześć skł adowych stanu naprę ż eni

a w tarczy [6]. Szczególnie interesu-ją ca jest zmienność naprę ż e

ń bł onowych w kierunku x. Wyraża się ona nastę pują cy

m

wzorem:

290 S. jAKU BOWSKr

( U )

.  - 3 m2 ( l  - _V2 +  64M (4m2 , 4)1,,,, £ ,„3cos~ ~ f - 9 M ( 4 m 2 , 9)f„ „ fm 2c o s - 6 4 M ( 4 m2 , 16) fm l|, „3c o s

25) g

m 2

£

n 3

co s  - ^ jc o s

-  M (0,1) (£ffll £m 2 +  £m a f,„3)cos +  8M (0,4) (|„2, t  - 2 |r a l |„ ,2) co s   2 ^ +  81 M ( 0, 9) |m l |„ ,2co s +  648M(0,36) £2   3c o s

- ^- J -  ^

:

0

 11 -  « Z.J,

Ogóln y przebieg zmiennoś ci tychże naprę ż eń wzdł uż wszystkich krawę dzi tarczy dla przy-p ad ku dwu dzi tarczy dla przy-pół fal wyboczenia (m =  2) dzi tarczy dla przy-pokazan o n a rys. 3a. N a rys. 3b dzi tarczy dla przy-przedstawiono szczegół owo rozkł ady omawianych naprę ż eń aXb wzdł uż obcią ż onych krawę dzi tarczy.

a ) _b]

r

Rys. 3a, b

J a k wyn ika z rysun ków, przy przyję tych zał oż eniach zarówn o zginanie tarczy jak i jej ś ciskanie w kierun ku x powodują powstanie w niej nieliniowo zmiennych rozkł adów na-prę ż eń obcią ż ają cych. Wnioski t e pokrywają się cał kowicie z rezultatami prac [2, 4, 5].

N a podstawie wzoru (11) wyznaczono wartoś ci naprę ż eń o* i a* dział ają cych w na-roż n ikach tarczy oraz n aprę ż en ia ś rednie 5* i a* wzdł uż krawę dzi nieobcią ż onych (rys. 3a)

<r* -  A*+B*~a*0,

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEGO 291

Współ czynniki A*, £* i G'*

n

 zależ ą od kształ tu tarczy X oraz jej stanu obcią ż eni

a [6], Współ

-czynnik A* dany jest np. wzorem:

, „ , _  3 m

2

( l - *

2

) ,

t 2  i t a (13)

21*

Obliczmy dalej wartoś ci momentu zginania tarczowego M,(x) oraz sił y osiowej P,(x),

dział ają cyc

h w kierunku x w kolejnych przekrojach x =  const przez tarczę. W tym celu

należy scał kować nieliniowe rozkł ady naprę ż e

ń o

xb

 danych wzorem (11) przy zmiennej

wartoś ci współ rzę dne

j x. Jeś li jednocześ nie zamiast wymiarowych wartoś ci momentu

i sił y wprowadzić odpowiadają ce im współ

czynniki bezwymiarowe M*(x) i P*(x) wg for-muł y

M, . nm Ptb

(14)

M* =

f

B '

to wynik tego obliczenia bę dzi

e nastę pują cy

:

b

b

P

t

*(x) =  ~fha*

b

Rdy =  7i

2

a*

0

 (l -   - |) =  const . P*,

Mf{x) =

(15) „2 +

+  [25M(4m

2

, 1)- M (4m

2

, 25) ]f

m 2

|

m 3

] •  cos  ^

^ +

+  [M(0,3) -  M(0,1)] S

ml

  |

m 2

 +  [M (0,5) +  M (0,l)] S

m2

 S

mS

Wynika stą d, że sił a osiowa pozostaje we wszystkich przekrojach stał a, moment M*(x)

podlega natomiast oscylacjom. Jego zmienność wzdł uż tarczy przedstawiono na rys. 4.

M,(x)

J

Mb,

292 S. JAKUBOWSKI

Wartość momentu obcią ż ają ceg

o tarczę z zewną tr

z oznaczono tu przez Mt

x

{M

tx

). Lokalne

zmniejszenie wartoś ci momentu wewną tr

z tarczy wynika z przeję ci

a czę ś c

i tegoż momentu

przez ż ebra wzmacniają ce krawę dzi

e nieobcią ż on

e [6].

Zależ noś

ć mię dz

y momentem M*

x

 przenoszonym przez tarczę a współ czynnikami <r*

0

i «jest nastę pują ca

:

(16) M*. =

 a

i°^ .+6(l~v>)m

2

{lM(0,3)- M(0,l) +

+  9M(4m

2

, 1) +  M(4m

2

, 9) ] £

m l

|m

a

 +  [M(O,5)- Af(O,l) +

+  25(M(4m

2

, 1) +  M(4m

2

, 25))]S

ml

i

m3

}.

Jak wynika z rysunku 3 oraz wzorów (12) i (13) w stanie zakrytycznym tarczy współ czynniki

a*

0

 i a tracą prostą interpretację fizyczną. Współ

czynniki te nie definiują bowiem bez-poś rednio ani wartoś ci naprę ż e

ń w naroż nikach tarczy {a* i of) ani wartoś ci ś rednich

tychże naprę ż e

ń (a* i a*).

Z analizy rys. 4 oraz wzoru (16) wynika, że znając wartoś ci cr*

0

 i « nie moż na obliczyć

bezpoś rednio (nie znając współ czynników £,„„) wartoś ci momentu zginania tarczowego

M*

x

, jaki tarcza przenosi. W szczególnoś

ci zaś obliczenie odwrotne, tj. wyznaczenie war-toś ci a

_x0

 i « gdy dane są moment Mf

_x

i sił a P*

_x

, jest praktycznie niemoż liwe

.

* Reasumując powyż sze

, moż na stwierdzić, że współ

czynniki a% i a nie nadają się prak-tycznie do opisu stanu obcią ż eni

a tarczy po jej wyboczeniu. Z tego powodu w dalszej

czę ś c

i rozważ ań stan obcią ż eni

a tarczy opisywany bę dzi

e poprzez podanie wartoś

ci mo-mentu M,* i sił y P?

x

. W funkcji tych dwu wielkoś ci podane zostaną także wyniki obliczeń

numerycznych.

N a zakoń czeni

e analizy pola naprę ż e

ń należy zauważ y

ć pewną jego wł asność istotną

z punktu widzenia sformuł owania warunków współ pracy analizowanej tarczy z innymi

elementami.

Otóż jeś li obliczyć ś rednie cał kowe odkształ cenie wzglę dne ~e

B

 w kierunku x wzdł uż

górnej krawę dz

i y =  0 tarczy z uwzglę dnienie

m panują ceg

o tam dwukierunkowego stanu

naprę ż enia

, to otrzymuje się

(17) a

g

 =  -

a

ó

Analogicznie obliczyć moż na ś rednie odkształ cenie wzdł uż krawę dz

i dolnej

(18) Ą, =  4  ( V .Af- - ^- .

o E

Wzory (17) i (18) stwierdzają, że ś rednie odkształ cenie w kierunku osi x wzdł

uż obu nie-obcią ż onyc

h krawę dz

i tarczy otrzymać moż na traktując te krawę dzi

e jako obcią ż on

e

jednokierunkowe naprę ż enie

m ś rednim odpowiednio o

_g

 lub a

_d

. Zostanie to wykorzystane

w przybliż onej metodzie obliczania dź wigar

a skrzynkowego.

N a podstawie przedstawionych powyż e

j rezultatów ogólnej analizy stanu zakrytycznegc-tarczy dokonano odpowiednich obliczeń szczegół owych. Kluczem do numerycznego

rozwią zani

a problemu są wartoś ci trzech współ czynników f

mn

, na podstawie których

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEG O 293

moż na obliczyć wszystkie param etry stanu zakrytycznego tarczy, tj. m.in. ugię cia, n a p r ę-ż enia, deformacje itp.

Wartoś ci współ czynników £„,„ wyznaczono metodą minimalizacji cał kowitej energii potencjalnej U tarczy. Energia t a jest sumą trzech skł adn ików:

(19) f/ =  Vg + Vb~L,

gdzie Vg i Vb są to energie odpowiednio stanu bł onowego i zgię ciowego tarczy, zaś L

oznacza pracę sił  zewnę trznych. Oba skł adniki energii sprę ż ystej wyraż ają się dla duż ych ugięć tarczy nastę pują cymi wzoram i [4]:

~\ lTxTy) \ \

dxcly

}} h W l [W W \ lTxTy)

h Cf

-  2E J.J

P racę sił  zewnę trznych wyznaczono metodą wariacyjną, wynosi o n a (21) '  L =

gdzie C jest stał ą dowolną.

P o zsumowaniu wszystkich skł adników otrzymuje się energię potencjalną U ja ko funkcję postaci

(22) U =  U(a, b,X,h,  E , v, ax0, a, fm l, fma,  £m 3) .

Wzglę dem zmiennych |f f l B funkcja ta jest trzynastowyrazowym wielom ianem 4- go stopn ia. F unkcję (22) m inim alizowano numerycznie wzglę dem zmiennych £,„„ przy ustalon ych pozostał ych param etrach . Z nalezione wartoś ci współ czynników £,„„ pozwolił y n astę pn ie okreś lić: obcią ż enie tarczy (M*x i P*x, wg wzorów (15) i (16)), najwię ksze bezwym iarowe

ugię cie tarczy W ^n = Wma/ h, najwię ksze naprę ż enie zredukowan e [5] a- r*edmax o raz wszyst-kie inne interesują ce wartoś ci, w szczególnoś ci zaś a* i a%. Obliczeń d o ko n an o w szerokim zakresie zmiennoś ci param etrów, zestawiając wyniki w postaci tablic i wykresów. P rzykł a-dowe wykresy przedstawiają ce zmienność ugię cia m aksym aln ego vt>*ax, najwię kszych naprę ż eń zredukowanych o- r*d m a x i n aprę ż eń o* w funkcji m om en t u M*x przy róż n ych

wartoś ciach sił y osiowej P*x przedstawiono n a rys. 5, 6 i 7. P rzedstawion e n a wykresach

ujemne wartoś ci sił y P1X odpowiadają rozcią ganiu tarczy.

D la oceny poprawn oś ci otrzymanych rezultatów przeprowadzon o weryfikacyjne ba-dania doś wiadczalne. P rzebadan o dwie tarcze stalowe o wym iarach 315x350 (A =  0,9) oraz 384 x 350 m m {X =  1,1) poddan e czystemu zginaniu, wyznaczając ugię cia (9 czujników zegarowych) i n aprę ż en ia (202 tensometry oporowe). Tarcza pierwsza wybaczał a się w kształ cie jednej pół fali sinusoidy (m =  1), zaś druga — w kształ cie dwu pół fal (m = 2). P rzykł adowe rezultaty badań doś wiadczalnych dla tarczy o współ czynniku kształ tu X =  1,1 przedstawiono w formie wykresów n a rys. 8 i 9.

N a rys. 8 pokazan o zmienność maksymalnych ugięć zmierzonych i przewidywan ych tarczy w funkcji obcią ż enia mierzonego sił ą Q w maszynie wytrzym ał oś ciowej. R ys.  9j

294 S. JAKUBOWSKI 3,2 2,8 2,4 2.0 1,6 1.2 0.8 1 _ liczba

i§

1

póttal

i

1

20 1° I M  = 2

•

W

ll/ f

- 2 0 i i ' wartoś ci są siednie i i 1  i

m

sił P opisano linie róż nią się i i 1 ,— przy krzywych i 20 40 60  80  100  120  140  160  180 Rys. 5 160 . 128 112

4 96

— 80 64 48 32 16 0 60 60 40 20 0 - 20

wartoś ci sił  F'bpisano przy krzywych są siednie linie róinią . się o AP=5 liczba pół tal M=2 ; Xs 1.4 20 40 60 80 100 120 _L140 160 180 200_L Rys. 6

pokazuje przykł adowe rozkł ady bł onowych i zgię ciowych naprę ż eń normalnych w przekroju

pionowym x =  0,3a przez tarczę , przebiegają cym w pobliżu miejsca najsilniejszego jej

wybrzuszenia. N a rys. 10 przedstawiono wzglę dne i bezwzglę dne róż nice mię dzy ugię ciami

zmierzonymi i przewidywanymi teoretycznie w funkcji przecią ż eni

a tarczy ponad stan

krytyczny:

o

- 16 - 32 - 48 - 64 - 60 - 96 - 112 - 128 - 144 - 16& 40 60 80 100 120 140 160 160 200 liczba póttal M=2 ; X=1,4 wartoś ci sit P*opisano przy krzywych sqsiednie linie ró ż n ij się o AF^ 5 j i 80 60 £020 0- 20 1 i i Rys. 7 E E

Ł

1,5 1,0 0,5 1 Tarcza BL- 2.1 --  • 2 doś wiadcz. \ \

V/

/  /  *• / / I / / /

7

> teoria I / • -i 500 1000 Q[kG) 1500 Rys. 8 [295]

296 S. JAKU BOWSKI

a 75 50

Tarcza BL- 2.1 Obcią ż enie Q=UO0kG

Przekrój C- C

- 100

Rys. 9

W p o d su m o wan iu badań doś wiadczalnych moż na stwierdzić, że eksperyment potwierdził cał kowicie przewidywan ia teoretyczne w sensie jakoś ciowym. W uję ciu iloś ciowym zanoto-wan o pewn e rozbież noś ci mię dzy wynikam i doś wiadczenia a przewidywaniami teoretycz-nymi dla ugię ć i n aprę ż eń zgię ciowych przy mał ych obcią ż eniach. Tł umaczą  się  one istnieniem przypadkowych ugię ć wstę pnych w badanych tarczach. W miarę  wzrostu przecią -ż enia tarczy p o n ad stan krytyczny wspom n ian e ró-ż nice maleją  jedn ak dość szybko — czego p rzykł ad em mają  być wykresy zamieszczone n a rys. 10. Stwierdzenie powyż sze pozwala przypuszczać, że zastosowanie przedstawionych tu rezultatów analizy teoretycznej do obliczan ia rzeczywistych konstrukcji cienkoś ciennych obarczonych niewielkim ugię ciem wstę pn ym n ie prowadzi do zbyt wielkich bł ę dów.

U 1,6

n= Q/ Qkr

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEG O 297

3. Przybliż ona metoda obliczania cienkoś ciennego dź wigara skrzynkowego poddanego zginaniu i ś ciskaniu przy utracie statecznoś ci ś rodników

F ragment rozważ anego dź wigara oraz jego przekrój poprzeczny przedstawion o n a rys. 11.

Przedstawione param etry, charakteryzują ce przekrój poprzeczn y dź wigara ozn aczon o nastę pują cymi symbolami literowym i:

pd — pole powierzchni przekroju poprzecznego pasa dolnego

Fg — pole powierzchni przekroju poprzecznego pasa górnego

J — moment bezwł adnoś ci przekroju poprzecznego dź wigara wzglę dem gł ównej osi

centralnej zc

F — pole powierzchni przekroju poprzecznego cał ego dź wigara, Mo—•  moment zginają cy dź wigar,

Po — sił a osiowa, obcią ż ają ca dź wigar.

Rys. 11

P roponowana m etoda obliczania dź wigara opiera się  n a nastę pują cych przybliż onych zał oż eniach:

a) ś rodnik dź wigara n a odcinku mię dzy przepon am i pracuje jak tarcza swobodn ie pod-parta n a obwodzie,

b) pasy górny i dolny pozostają  pł askie i podlegają  jedn okierun kowem u stan owi n aprę

-ż enia, v

c) odkształ cenia wzglę dne pasów i ś rednie odkształ cenia wzglę dne ś rodn ików n a wszyst-kich krawę dziach styku — w kierun ku osi dź wigara — są  sobie równ e.

Obliczenie dź wigara sprowadza się  zatem do znalezienia takiego rozkł adu n aprę ż eń w jego przekroju poprzecznym, który speł nia przyję te wyż ej zał oż en ia. P r o p o n o wa n a m e-toda ma charakter iteracyjny. P od rozwagę  należy wzią ć n p . przekrój A—A—A—A dź wi-gara (rys. 11), poł oż ony w bezpoś redn im są siedztwie przepon y. W pierwszym przybliż en iu wyznacza się  rozkł ad naprę ż eń w dź wigarze na gruncie liniowej teorii zgin an ia belek. Odpowiednie naprę ż enia w skrajnych górnych i doln ych wł ókn ach ś rodn ika wyn oszą :

298 S. JAKUBOWSKI

(23) o r a z

o Po

J F.

I n d eks „ p r i m " ozn acza tu pierwszą iterację.

D la t ak okreś lon ego liniowego rozkł adu naprę ż eń w przekroju poprzecznym dź wigara wyzn aczyć m o ż na wartość bezwymiarowego m om en tu zginania tarczowego M*ś =  Mfx",

przen oszon ego w pierwszym i drugim przybliż eniu przez pojedynczy ś rodnik. Wartość t a wyraża się zależ noś cią:

(24) -

 i Mf' =

 M*"

 -

 ^g-

 =

 -Bezwym iarowa sił a osiowa P ,*' =  P , *'', przen oszon a przez pojedynczy ś rodnik, w pierwszym i drugim przybliż eniu wyn osi:

p* ' =  p « " • "

 u

« i

tx tx 2R '

W zależ noś ciach (24) i (25) symbolami D i R ozn aczon o pł ytową sztywność zginania oraz współ czyn n ik redukcji naprę ż eń (10) dla fragmentu ś rodn ika n a odcinku mię dzy przepon am i. W przypadku gdy ś rodn ik dź wigara pracuje w stanie zakrytycznym, w oparciu 0 obliczon e wartoś ci współ czynników P£" i M*x" wyznaczyć m oż na kolejne przybliż enie

rozkł adu n aprę ż eń w przekroju A—A—A—A, z uwzglę dnieniem teorii nieliniowej. Roz-waż any przekrój A—A—A—A poprowadzon y przez ś rodnik (rys. 11) moż na utoż samić z przekrojem kryń cowym x =  0 dla tarczy prostoką tn ej. Wówczas, n a podstawie rozwią-zan ia cyfrowego zagadn ien ia pracy zakrytycznej odpowiedniej tarczy (fragmentu ś rodnika), poddan ej obcią ż eniu M*x" i P*x", wyznaczyć m oż na param

etry charakterystyczne nie-lin iowego rozkł adu n aprę ż en ia w przekroju A—A—- A—A tegoż ś rodnika. P arametrami tym i bę d ą m .in. wartoś ci naprę ż eń a'g i a'd' (lub a*" i er*") w skrajnych wł óknach ś rodnika.

N a m ocy zał oż en ia o jedn okierun kowym stanie n aprę ż en ia w pasach oraz w wyniku wcześ niejszej analizy odkształ ceń sx n a krawę dziach y = 0 i y = b tarczy wzory (17)

1 (18), m o ż na zał oż yć, że n aprę ż en ia w pasach : górnym i dolnym wynosić bę dą odpowiednio

a'g' i a'/ . Z ał o ż o no przy tym jedn akowy m oduł  Youn ga dla pasów i ś rodników dź wigara.

W drugim przybliż eniu otrzymuje się więc nieliniowy rozkł ad naprę ż eń w przekroju

A—A—A—A dź wigara, przedstawiony n a rys. 12. Otrzym any rozkł ad naprę ż eń zastą pić m o ż na statyczn ie równ oważ n ym ukł adem sił  i m om entów, przedstawionych n a rys. 12. Wartoś ci sił  P'g i P'd' w pasach wyraż ają się przy tym wzoram i:

fn/r, ' .  P 'g = a 'eF o = a o"RFs' (26) oraz ,, ,, m„

O trzym an y ukł ad sił  i m om en tów nie jest jedn ak statycznie równoważ ny sile  Po  i momento-wi MQ, obcią ż ają cym dź wigar. Wyn ika t o m.in. z faktu, że odpowiednie naprę ż enia a'g

i a'd' nie są sobie na ogół  równ e. G lobaln a sił a osiowa PQ dla dź wigara zredukowana do

ś ro d ka cię ż koś ci przekroju poprzecznego oraz globalny m om en t gną cy M'ó, w drugim przybliż en iu wynoszą odpowiedn io:

AN ALIZA STANU  ZAKRYTYCZNEGO 299

(27) _oraz

2

Po obliczeniu wartoś ci P'o' i M'o' należy oszacować, jak dalece róż nią  się  one od zadanego

obcią ż enia Po i Mo dla dź wigara. Zazwyczaj bowiem, otrzymuje się

(28) P'o > Po i M'o' ± Mo.

Jeż eli róż nice Mo- M'o' oraz P0- P'Q' bę dą  zbyt duż e, należy do nastę pnej iteracji przyją ć

nowe wartoś ci P*x'" i M%", nie róż nią ce się  zbytnio od P?J' i M*x". Proces iterowania

należy kontynuować aż do osią gnię cia zadawalają co mał ych róż nic PQ- P&' }

 i M0~Mti'K

przy czym zbież noś ci iteracji jest zagwarantowana. Po zakoń czeniu iteracji otrzymuje się wyznaczony dla przekroju A—A—A—A rozkł ad naprę ż eń w dź wigarze i jednocześ nie wartoś ci Pf^ i M$P, charakteryzują ce obcią ż enie ś rodnika. P ozwalał o na okreś len ie— na podstawie odpowiednich tablic i wykresów — takich interesują cych wielkoś ci charakte-ryzują cych jego pracę , jak: maksymalne ugię cie, naprę ż enia zredukowane itp.

Rys. 12

N ależy zaznaczyć, że dla czę stego przypadku czystego zginania dź wigara (Po =  0),.

omówiona metoda prowadzi do wniosku, że ś rodniki podlegają  zginaniu tarczowemu i jednoczesnemu rozcią ganiu (Ptx < 0). Rozcią ganie ś rodników jest bowiem konieczne

dla zachowania warunku znikania sił y osiowej w cał ym dź wigarze, gdyż w rozważ anym przypadku obcią ż enia, jak wynika z wcześ niejszej analizy, zachodzi relacja

(29) W

_t

'\ > Wi\ ,

a co za tym idzie, na ogół

(30) P'g'>P'd'.

Omawiana metoda obliczeniowa poddana został a czę ś ciowej weryfikacji doś wiadczal-nej. Badaniom poddan o dwa duże dź wigary stalowe, wykonane jako modele belek p o d

-300 S. JAKUBOWSKI

suwnicowych. Skala zmniejszenia badanych dzwigarów w stosunku do typowych konstruk-cji rzeczywistych zawierał a się  w granicach 1,5 -f-  3.

Badane dź wigar

y oraz schemat ich obcią ż eni

a pokazano na rys. 13.

Przy przedstawionym sposobie obcią ż eni

a trzy ś rodkowe sektory dź wigar

a poddane

były czystemu zginaniu. Badaniom podlegał y m.in. ś redniki sektora centralnego. Miały

• on

e wymiary 750x750 mm, a wię c ich współ czynnik kształ tu wynosił  X -  1. W trakcie

badań dokonywano pomiarów ugię ć (wybrzuszeń) srodników — za pomocą  czujników

zegarowych oraz naprę ż e

ń w wybranych przekrojach tychże srodników za pomocą

 tenso-metrów elektro o porowych. N

a rys. 14 przedstawiono wyznaczone teoretycznie oraz do-ś wiadczalnie rozkł ady normalnych naprę ż e

ń bł onowych a

xb

, równoległ ych do osi dź wigara

,

w przekroju A—A (rys. 13) — poł oż ony

m w bezpoś rednim są siedztwie przepony.

-

2250-przepona

024.

rifr A" \  pole pomiarowe  |y^ 5

9x750= 6750—

2.8,

(_._ . 750

materiał : blacha St3

Rys. 13

Jak wynika z rysunku, w rozważ any

m przekroju uzyskano dobrą  zgodność wyników

doś wiadczenia z rezultatami otrzymanymi przy zastosowaniu przedstawionej wcześ niej

przybliż onej metody obliczeniowej. Wyniki badań wykazał

y także zgodny z przewidywa-niami teoretycznymi udział  poszczególnych elementów dź wigara (pasów i srodników)

w przenoszeniu momentu gną cego. Jednocześ nie okazał o się , że pominię cie ugię cia wstę

p-nego oraz warunków współ pracy ś cianek i przepon dź wigar

a powoduje pewne róż nic

e

mię dzy wyznaczonymi teoretycznie i doś wiadczalnie wartoś ciami ugię ć oraz składowych

zgię ciowego stanu naprę ż eni

a w badanych ś rodnikach. Zakres przeprowadzonych w tej

dziedzinie badań jest jednak zbyt skromny dla wycią gnię cia peł

nych i ostatecznych wnios-ków.

0.2 0.4 0,6 0,8 1,0 - 100- 60- 60- 40- 20 0 20 40 60 80 100 Srodnik Przekrój A- A Obcią ż enie Q=98.1kN J 1  1  i i

y/ b Rys. 14

AN ALIZA STANU ZAKRYTYCZNEGO 301 Literatura cytowana w tekś cie

1. S. TIMOSHENKO, J. M . G ERE, Teoria statecznoś ci sprę ż ystej Arkady, W- wa 1963.

2. WŁ . WALCZAK, Analiza stanu naprę ż enia tarczy prostoką tnej po utracie statecznoś ci wywoł anej zginaniem w pł aszczyź nie tarczy. Arch. Budowy Maszyn, 1965, N r 1, s. 3 -  30.

3. J. DJUBEK, R. KOD N AR, Riesenie nielinearnych uloh teorie stihlych stien variacnymi metodami, Vydava-telstvo Slovenskiej Akademie Vied, Bratislava 1965.

4. A. S. WOLMIR, Gibkije plastinki i obł oczki, G osudartwiennoje izdatielstwo techniko- teoreticzeskoj literatury, Moskwa 1956.

5. W. WALCZAK, S, JAKUBOWSKI, The stability and post- buckling state of a rectangular disk under unidi-rectional bending and simultaneous shear, Rozprawy Inż ynierskie, 1979, 27 nr 4, s. 633 -  649.

6. S. JAKUBOWSKI, Analiza stanu zakrytycznego tarczy prostoką tnej poddanej dział aniu mimoś rodowego ś ciskania. Praca doktorska wykonana w Instytucie Mechaniki Stosowanej Politechniki Łódzkiej, 1981 r, 7. T. R. GRAVES SMITH, The local buckling of box girdes under bending stresses. I n t . J. M ech. Sci, 1969,

Vol. 11, s. 603- 612.

8. W. PROTTE, Zur Beulung versteifter Kastentrager mit symmetrischem Trapez- Querschnitt unter Biegemom-enten—, Normalkraft — und Querkraftbeanspruchung. Techn. M itt. Krupp. F orsch. Ber. 1976, Band 34, Heft 2, s. 57 -  79.

9. T.R. GRAVES SMITH, The post- buckled behaviour of a thin walled box beam in pure bending, I nt. J. Mech Sci, 1972, Vol 14, s. 711- 722.

P e 3 K> M e

AH AJIH 3 n OC JI E K P H TH ^E C K OK CTAflH H  n P ^M OVTOJI BH Oft IIJT.ACTH H KH H ATPyaCEH H Ofl SKC U EH TP P M EC KOft OKH M AIOIIIEJi CH JIOft H  ETO I I P H M E H E H H E

B IIPHEJIHDKEHHOH  M ETOflE BLF ł H C JI EH I iH  T O H K O C T E H H O 0 BAHKH B paSoie npefloraSjieH aH ajira nocjieKpH nraecKOH craflHH npH M oyrontH oii nJiacTHHKH, CBOSOAHO onepToił  n o Kpaniw. ILiiacTnHKa H arpyxceH na oKH Maiomeii CHJIOK H H 3rH

6aiomnM MOMCHTOM. fleficTByio-LIJHMH  B ee H H OCKOCTH .

B eraTbe npHBefleHbi 3aBHCHMocTH M e*Ay nporH 6aMH , H 3rn6aiomH MH H  MeMSpaHHtiMH H an p a->KeHHHMH H  nepeMemeHHHMH H  Harpy>KenneM nnacTHHKH. IIpH BefleH TaK>Ke npH6jiHH<eHHwfi

iianpjHKeHHH B TOHKOCTeiraoH 6am<e npnM oyronŁH oro ceMeHHH₃ K orn a ee paSoTaioT B nocjieKpHTHqecKOH CTaflHH,

S u m m a r y

THE POST- BUCKLIN G  STATE AN ALYSIS OF  A RECTAN G U LAR PLATE SU BJECTED  TO AN ECCEN TRIC COMPRESSION  AN D  ITS APPLICATION  IN  AN  APPROXIMATE CALCU LATION S

OF TH IN  WALLED  BOX G I R D ER

The post- buckling state analysis is considered of a rectangular plate, simply supported along their edges, subjected to the bending and compression. The deflection has been determined as well as bending and membrane stresses and in- plane displacements of a plate by means of compressive force and in- plane bending moment values. The approximate method which allows to determine the stresses distribution in thin walled girders is described. The method is based upon the fact, that the webs work as simply sup-ported rectangular plates subjected to the bending and compression.