Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia

Wypukłość funkcji. Punkty

przegięcia

Autorzy:

Ilona Michalik

Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia

Wypukłość funkcji. Punkty przegięcia

Autor: Ilona Michalik

DEFINICJA

Definicja 1: Funkcja wypukła

Definicja 1: Funkcja wypukła

Funkcję nazywamy wypukłą (wypukłą ku dołowi)wypukłą (wypukłą ku dołowi) w przedziale , gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji zawężonej do przedziału leży powyżej lub na wykresie tej funkcji.

DEFINICJA

Definicja 2: Funkcja ściśle wypukła

Definicja 2: Funkcja ściśle wypukła

Funkcję nazywamy ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi)ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi) w przedziale , gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji zawężonej do przedziału leży powyżej wykresu tej funkcji.

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Jeżeli funkcja jest ściśle wypukła, to jest też wypukła. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Rys. 1 ilustruje definicję funkcji ściśle wypukłej (czyli również wypukłej) dla :

f(x)

Rysunek 1: Wykres ściśle wypukłej funkcji . Na Rys. 2 przedstawiona została funkcja wypukła, która nie jest ściśle wypukła:

I

f

I

I

f

I

I = (a, b)

f(x)

Rysunek 2: Wykres wypukłej funkcji , która nie jest ściśle wypukła.

DEFINICJA

Definicja 3: Funkcja wklęsła

Definicja 3: Funkcja wklęsła

Funkcję nazywamy wklęsłą (wypukłą ku górze)wklęsłą (wypukłą ku górze) w przedziale , gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji zawężonej do przedziału leży poniżej lub na wykresie tej funkcji.

DEFINICJA

Definicja 4: Funkcja ściśle wklęsła

Definicja 4: Funkcja ściśle wklęsła

Funkcję nazywamy ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze)ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze) w przedziale , gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji zawężonej do przedziału leży poniżej wykresu tej funkcji.

UWAGA

Uwaga 2:

Uwaga 2:

Jeżeli funkcja jest ściśle wklęsła, to jest też wklęsła. Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Definicję funkcji ściśle wklęsłej dla ilustruje Rys. 3:

f(x)

I

f

I

I

f

I

I = (a, b)

f(x)

Rysunek 3: Wykres ściśle wklęsłej funkcji . Na Rys. 4 przedstawiona została funkcja wklęsła, która nie jest ściśle wklęsła:

f(x)

Rysunek 4: Wykres wklęsłej funkcji , która nie jest ściśle wklęsła.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: o wypukłości i wklęsłości funkcji w przedziale

Twierdzenie 1: o wypukłości i wklęsłości funkcji w przedziale

Niech będzie dowolnym przedziałem.

1. Jeżeli dla każdego : , to funkcja jest ściśle wypukła w .

2. Jeżeli dla każdego : , to funkcja jest wypukła w .

3. Jeżeli dla każdego : , to funkcja jest ściśle wklęsła w .

4. Jeżeli dla każdego : , to funkcja jest wklęsła w .

UWAGA

Uwaga 3:

Uwaga 3:

Jeżeli dla każdego i tylko dla skończonej ilości punktów , to funkcja jest ściśle wypukła na .

f(x) f(x)

I

x ∈ I

f

(x) > 0

_I

x ∈ I

f

(x) ⩾ 0

_I

x ∈ I

f

(x) < 0

_I

x ∈ I

f

(x) ⩽ 0

_I

(x) ⩾ 0

f

_{x ∈ I}

_f

_{(x) = 0}

_x

_I

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Wyznaczmy przedziały wypukłości funkcji .

Wnioskujemy stąd, że funkcja jest ściśle wklęsła na przedziale , a ściśle wypukła na przedziale .

Rysunek 5: Wykres funkcji .

DEFINICJA

Definicja 5: Punkt przegięcia

Definicja 5: Punkt przegięcia

Niech będzie funkcją ciągłą w . Funkcja ma punkt przegięciapunkt przegięcia w , gdy spełniony jest jeden z warunków: 1. funkcja jest ściśle wypukła w i ściśle wklęsła w

albo

2. funkcja jest ściśle wklęsła w i ściśle wypukła w .

f(x) = x

(x) = 5 ,

f

_x

(x) = 20 .

f

_x

(x) > 0 ⇔ 20 > 0 ⇔ x > 0,

f

x

(x) < 0 ⇔ 20 < 0 ⇔ x < 0.

f

x

f

(−∞, 0)

(0, ∞)

f

O( )

x

f

x

f

S( )

x

_{S( )}

_x

f

S( )

x

_{S( )}

_x

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Funkcja jest ściśle wklęsła w przedziale a ściśle wypukła na przedziale , zatem ma punkt

przegięcia w .

Rysunek 6: Wykres funkcji .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2: warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Twierdzenie 2: warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja ma punkt przegięcia w oraz istnieje pochodna rzędu drugiego funkcji w punkcie , to .

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

UWAGA

Uwaga 4:

Uwaga 4:

Z warunku koniecznego możemy wywnioskować, że funkcja może mieć punkty przegięcia tylkotylko w punktach zerowania się drugiej pochodnej lub w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

f(x) = x

_{(−∞, 0)}

_{(0, +∞)}

= 0

x

f(x) = x3

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Dla funkcji mamy:

Zauważmy, że choć w punkcie druga pochodna zeruje się, to funkcja nie ma punktu przegięcia w .

Rysunek 7: Wykres funkcji .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 3: I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Twierdzenie 3: I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja , jest ciągła w punkcie oraz istnieje taka, że zachodzi jeden z warunków:

1. dla każdego oraz dla każdego ,

albo

2. dla każdego oraz dla każdego ,

to funkcja ma w punkt przegięcia.

f(x) = x

(x) = 4 ,

f

_x

(x) = 12 ,

f

_x

(x) = 0 ⇔ x = 0.

f

x = 0

f

x = 0

f

x

δ > 0

(x) < 0

f

_{x ∈ S( , δ)}

_x

f

(x) > 0

x ∈ S( , δ)

x

(x) > 0

f

_{x ∈ S( , δ)}

_x

_f

_{(x) < 0}

_{x ∈ S( , δ)}

_x

f

x

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Dla funkcji mamy:

Zatem funkcja ma punkt przegięcia w .

Rysunek 8: Wykres funkcji .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 4: II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Twierdzenie 4: II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja ma pochodną rzędu w punkcie i spełnia warunki:

1. ,

2. ,

3. liczba jest nieparzysta i , to w funkcja ma punkt przegięcia.

f(x) =

x

− 1

(x) = 3 ,

f

_x

(x) = 6x,

f

(x) = 0 ⇔ x = 0,

f

(x) > 0 ⇔ x > 0,

f

(x) < 0 ⇔ x < 0.

f

f

x = 0

f

n

x

( ) =

( ) = ⋯ =

( ) = 0

f

_x

_f

_x

_f

_x

( ) ≠ 0

f

_x

n

n ⩾ 3

x

f

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Zbadajmy punkty przegięcia funkcji .

i jest liczbą naturalną nieparzystą większą od 3.

Zatem funkcja ma punkt przegięcia w .

Rysunek 9: Wykres funkcji .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:34:01

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?

link=b34ba5e4c2b32ed47bc9c9f0fdd97173

Autor: Ilona Michalik

f(x) = (1 − x)

(x) = −5(1 − x ,

f

₎

(x) = 20(1 − x ,

f

₎

(x) = 0 ⇔ x = 1,

f

(x) = −60(1 − x ,

(1) = 0,

f

₎

_f

(x) = 120(1 − x),

(1) = 0

f

_f

(x) = −120,

(1) = −120 ≠ 0.

f

f

5

f

x = 1