het knikprobleem in de scheepsbouwkunde, Deel 1 Tekst, Deel 2 Figuren

RAPPORT

HEP KNIKPROBT1FM IN DE SCHEEP3BOUVKUÎfl)E

dpor

Ir. J.CIi. de Does

Laboratorjum vqor S.eepscoustructjeg

4e

ie Bog

_{iòoi. te}

_Deirt

SSL 49

ç.

INTIOUD = .== =

HOO.FDSTUX I

De historische ontwikke1ing van bet knikprobleeni

in de scheepsbouw. Biz. 1t4in 16.

1

Inleiding. Biz. I tim 3.

2.

Historisch overzicht,B1Z. 4.

3

_.'Dè

Woif"-proêven.Blz. 5 t/m Il.

4

_{De publikaties van Lienau en Dalilmann. Biz.. 12 t/m 13}

5.

De proeven van Mon:toc1erie. Elz. 14 t/m 16.

HOOFDSTUK II

Het knikken van axiaal belaste stäven. Biz. 18 t/m 27.

1

Inleidin. Biz. 18.

2.

_{Elastische knik van rechte staven. Biz. 19 i/in 23.}

.3.

De tangent-niodulus theorie.Blz.23 tIm

24.

I

De gereduceerde modulus theorie. Biza 24 t/m 26.

De theorie van Shanley. Blz. 27.

IOOFDSTUK III

Het knikken van lange de randen belaste platen.

Blz. 29 t/m 60.

..

1

Inleiding., Blz. 29.

.

De differentiaalvergeiijking van d

uitgejcnikte

plaatïn bet elaetischegebìed. Biz.. 29 t/m 35

De theorie van: Bleich voor knik in hét plastieche

gébied. BIz. 3

t/m 37.

. I

4,.

De theorie van Ros en 'Ei'chiner

_{oor knik j}

_het

plastische gebied..Blz. 37 tim 38.

:

IDe theorie van ilyushÏn énSthwe)3. vqpr knik in

het plastische gebied. Biz. 39t/m.4.:

De knikgrens van een viakke, rechthoekige, en

aan de randen scharnierend bévest.igde

lange twee zijden gelijkuiatig belast BIz.43 tIm 48.

.De knikgrens van viakke rechthoekigè pÏaten vöo

diverse wijzen van ondereteuming. Biz. 48 t/m 53.

Bryan's ene.rgiemethode voor bet bepalen van de

krÀikgrens:..Biz. 53 t/m 56.

..

..

.

Toepassing van de eneriiemethod ode plaat met

soharnierende randèn.. flZ. 56 t/m

_j.

HÖOFDSTUK iv!

Verstijfde plaatveiden.

B1z»62

t/m 89.

i;

Inleiding. Biz. 62 t/m 64.

Berekening van hot vereiste traagheidsnionient

voor inaxitnmn kntksterkte bij eon plaat niet

scharnierende randen.en I of 2 langsverstijvers.

B1z.6t/m69.

Berekening van het traagheidsmoaient voor het

bereiken van een gegeven kniksterkte bij eon

plaat niet scharnierende randen. B1z0 69 t/m 70.

k. Bereke'ning van do knikste'rkte van een gegeven

plaat niet verstijver. Biz. 70 t/m 72.

Door dwa.rsbaiken verstijfde plaatvelden.

B]z. 72 t/m 73.

De invloed van 'gekionken landen en stuiken.

Biz. 73 t/m 75.

. .

..

7°

De k'niksterkte van doosvorniige construôties.

B].z. 75 t/m 78.

8

De meedragende pla.atbreedte.B].z. 78 t/m 83

9.

Ret bepalen van.de afmetingen. der stijlén,

Biz. 83 t/m 85.

.

10. Voorbeelden. Biz. 85 t/m 89..

...HOÛDSTI

V :

De draagkracht van geknikte

1aten. Bi.z. 91 t/m 108.

.1;

Inleiding.Biz. 91 t/m.94,

2;

De theorie van Von Kruin.B1:z. 9k..t/

95..

3 De theoretische grondsiagen irán de methode

van Marguerre. Biz. 96 t/m 99.

4.

Resûltaten iran dè theorie iran Marguerre.

Blz. 99 tim 102.

. .

5;

De theorie van Koiter. Biz. 103 t/m lOLl..

6;

Toepassing in de scheepsbo'uwkimde. BI-z ...104 t/m

105.-7.

Voorbeelden.

Biz. 105 t/m 108.

HOOFDSTUKVI . .

Door waterdruk belaste plateri.Blz. 110 t/m 119.

1.

tnleiding.

Biz. 110 t/m 112,

. .

2; De .coefficienten van Pietzker. Biz. 112.

3.

De trheoretisclie g'rondslagen van de plaattheorie'.

Biz. 113 t/m 1150

4.

De diagrammen van Schade. Biz. 115 t/m 117.

5

Geldigheidsgrenzen van de plaattheorie.

Biz. 11.7 tini 119.

..

T.

HÒOFDSTUK VII

Combinatie van waterduk en belasting in het v.ak van de plaat. Biz. 121

_{tira 132.}

. . j

1 .Iñleidlng.Blz..121 t/ni 122.

Platen met scharnierende randen. Biz. 122 t/m 125. Platen met Op willekeurige wijze ondersteunde

randen Biz. .126

tIm

129,

k. Grotere doorbuigingen dan de haive.plaatdikte,

:B1Z.

129 tim 130.

De knikgrens vali platen niet gecombineerde

be-lasting. Blz.130

tIm

132.

Voorbeeld.Blz. 132.

NOTATIES

s

HOOFDST'UK I

DE HISTORISCHE ONWIE1(ELING VAN HET KIIKPROBEM

IN DE SCBEEPSBOUW.

1. Inleidin,

In de op bulging en gedeeltelijk door

_waterdruk

be-/

laste scheepsromp treden in de ulterste

vezels

af-wisselende trek- en drukepanningen

_{op, welke}

spazi-ningen een zekere, van de

_{materiaaleigenschappen.af}

hankelijke, grenswaarde niet

mogen overschrijden.

In 1911 stelde Pietzker voor, aan de drukspanningen

een tweede grena te stellen, volgend uit de weerstand

tegen uitknlkken van de betreffende constructies,

Hiermede werd een onderwerp aangeroerd dat,

_enerzijds

ten gevolge van de ingewikkeldheld

_{van bet}

knikpro-bleein zelve, anderzijds door de bijzondere

eigen-schappen van bet tnateriaal, tbans nog geenszins als

opgelost beschouwd kan worden.

in het algeineen worden de afmetingen

_van

constructie-delen bepaald door de voorwaarde, dat

aan de

optreden-de spanningen sen zekere

_{grena, de toelaatbare}

span-fling, wordt gesteld. De bepalingvan deze optredende

spanningen is gebaseerd op de logische

veronderstel-ling, dat tussen inwendige

en uitwendige krachten een

toestand van. stabiel evenwicht bestaat.

_Deze

veronder-stelling impliceert, dat bij

een onei±idig kleine

toe-name van de uitwendige beltisting de spanningen

_en

vormveranderingn ook slechts inst een oneindig klein

bedrag toenernen. I-let knikprobleem wordt

gekeninerkt

door het verschijnsel, dathet evenwicht

_tussen

-2

Een kleine toenarne van de belasting.heeft oneven.redig.

grote vorniveranderingen ten gevolge. Het vermijden van

knik konit this neer op het bepalen van de

belastings-grens, waarbij bet stabiele evenwicht tussen belasting

en spanningen overgaat in labielevenwiobt. Het heeft

tot

184Li-

geduurd, voordat Euler dit probleeni op de

juiste wijze analyseerde, nanielijk als

stabiliteits-probleein.

en tweede verschijnsel dat de oplossing van het

vraag-stuk vele woeilijkheden heeft berokkend, is bet feit

dat bet verband tussen spanning en rek van een bepaald

materiaal een grote invloed heeft op bet prob].eetn.

Indien de spanning in de conetructie,waarbij het

even-wicht labiel wordt, kleiner is dan de

proportionali-teitegrens van bet niateriaal (elastisch gebied),is de

elasticiteitsniodulus E een constante. Wordt echter de

proportionaliteitsgrens overschreden voordat knik

optreedt, dan neemt E zeer snel ai met toeneaiendo

be-lasting. rit heeît ten gevolge, dat een labiele

even-wiebtetoestand Zieh veel eerder zal voordoen dan in bet

geval c.at. de wet van Hooke onbeperkte geldigheid zou

bebben.

Ornetreeks bet begin van deze eeuw hebben Considère,

Von K&rm.n en Engesser daze invloed geanalyseerd en

daartnede de fundamentele grondsiagen gelegd waarop een

theoretische behandeling van bet knikverschijnsel,

zo-wel in bet elastische als in bet plastische gebied,

ge-basèerd kan worden. Bij verstijide plaate1den doct

zieh tens].otte nog de coniplicatie voor, dat bij ove

schrijden van de knikepanning in de beplating,de

con-structie niet onmiddellijk bezwijkt, zoals dat met

staven bet gavai Is. Integendeel, bij diinne platen,

zoals in de vliegtuigconstructies voorkomen, kan de

belastingwaarbij de constructie.bezwiJkt, bet

-3-knikspanning overschreden wordt, gaat de pleat uitbui-gen, de spanning in de verstijvingsprofielen en de daaraan gekioziken of gelaste plaat in

de onmiddellijke

nabij-heid van het profiel neeint echter nog toe. De spannings-verdeltng is nu dus niet nieer

gelijkwatig, zoals bet

geva]. was

vcordat de plaat uitknikte. De constructie bezwijkt pas,wanneer de profielen gaan kriikkn of in-dien hierin de vloeigrens overachreden wordt. Bij de in de acheepebouw gebruikelijke dikke platen is deinax-Imurn last nooit nieer dan het dubbele van de

knikiast.

In bet volgende za]. nu eerst in hot kort behandeld wor-den in hoeverre de theorie van het knikverschijnsel in de loop der jaren toepassing gevonden heeft in

_de

scheepsbouwkunde, Ín oofdstuk II wordt vervolgens eon overzicht geeven yen de huidige kezinis vazi hot knik-ken bij 8taven.

Hoofdstuk III

behandelt de knik van platen, terwiji in 1oodstuk IV verstijfde plaatvelden besproken zi1len worden. Hoofdstuk V is gewijd aan de draagkracbt vail boyen de knikgrens belaste platen,en de beide laatste

11OQfdStukkeU .behaudeien

achtereenvolgens door

water..

dr'uk belaate platei ezi de conibinatie van watez'dz'uk en

-4

2.

H4storisch. overzictht.

Op grond van de kiassieke proeven met de

torpedoboot

"Wolf", welke in

het

begin van dezo eeuw uitgevoerd

werden, komt Biles tot de conclude, dat de

elastici-teitamodulus

van het inatriaa]. in de dwarsdoorsnede

van eon schip siechte 2/3 zou bedragen van de normale

waarde. Dit wordt in 1911 bestreden door Pietzker,

die de elasticiteitsmodulus onveranderd laat,

maar

nu bet traagheidsinoment

van de dwasdoornede van

hot

chip overeenkometig wil reduceren. De

theorie van

Pietzker

wordt in 1924 door

I'IofZniann niet bevredigend

resultaat.toegepast bij

een analyse van de pzoevn

_met

do "WOlf".

Lienau en Dabimaan behandelen in 1913 en

192$ 9venens het verschijnael van kni.k in scheepspla..

ten. 1n 1934 worden op instigatie van Lloyd!s

eon

aan-tal knikproeven uitgevoerd door Montgouierie. Hij

stelt

aen empirische formule voor,waaruit de knikgrens van

dekken berekend kan worden. Hoe weinig de moderne

op.-vattinen tot de scheepsbouw dooredrongen zijn, blijkt

wel uit bet Zeit, dat Arnott in 1942 de formule

van

Montgoraerie nag steeds bet mneest betrouwbare criterium

vindt, ondanks bet grote aañtal publikaties, dat

voor-al in vliegtuigbouwkundige kringen

over knlkproblemen

is verschonen, Een en aìider wordt muisechien veroorzaakt

door het Zeit, dat de dwingende voorschriften der

klasse-bureaux een zo nauwkeurig mogelijke sterkteberekening

voor normale ontwerpen van handelsechepen overbodig niaken.

In tegenstelling hiermnede worden bij het ontwerp

ivan

vliegtuigen standaard-belastingscondjtjos als criteriumn

voor de afmetingen der constructiedelen gegeven, zodat

bet bechjkken over zo exact mnogelijke

I

S

. De "Woif"proeven

In 1905 hield Blies een lezing voor de Institution

of Naval Architects, waarin de door de Britse

Admira-ittelt uitgevoerde proefneniingen aan de torpedoboot

H.Li.S. "Wolf" werden beschreven Li].

1)

Zoals bekend, werd bet schip op een tweetal

onder-steuningen in het droogdok van Portsmòuth.geplaatst,

waarna bet water weggeponipt werd (fig. 1). Bi

diver-se waterstanden werden de rekmeters afgelezen. Deze

proeven waren in feite slecbts de calibratievoor

naderhand op zee uit te voeren proefneniingen, In de

loop der jaren zijn de proefnemingen in zeegang

ech-ter geheel en al in het vergeetboek geraakt.

Het belangrijkste resultaat van deze onderzoekingen

was, da1 dit schip niet zo sterk was als verwecht

niocht wórden op grond van sterkteberekeningen. 0m de

theoretische berekeningen in overeensteniming te

bren-gen niet de waarneminbren-gen, heeft Biles bij de analyse

van de proeven cje elasticiteitsniodulus gereduceerd

tot ongeveer /3 van de normale waarde, volgend uit

.een trekproef.

Bij de proeven niet de "Wolf" is de elastische lijn

steeds opgemeten, ook bet bulgend moment was bekènd,

zodat niet de f orinule

EJ y"

M

(i)

de stijîheidsfactor EJ bepaaid kon worden. Zoals

hierboven reeds vernield, kreeg Biles bevredigende

uiticonisten door E te reduceren. Het traagbeidaniornent

werd bere]end alsof de gehele dwarsdoorsnede volledig

-6-Pietzker

[23

baseerde zich op bet principe, dat bet boogat

onwaarschijnllJk is

dat de

elastielteitsino-dulus van een staalplaat zieh zou wijzigen a]. naar

gelang deze plaat in een

trekbank of in een schip

genionteerd is.

De waarde v-an EJ zou dus niet

verminderd worden7

doordat E kleiner is,

_maar

ten gevolge van het felt dat niet de gehele dwarsdoorsnede als volledig

mee-werkend beschouwd kan worden. De

oorzaken van dit

latste. versclijnsel zijn volgens Pietzker:

1, de

kliriirverbindingen;

bet niet kEiklrast zijn

van de op druk belaste

construoties;

onvoldoende

ondersteuning van de dek- en

vlakbe-plating;

Li..

de ongelijkmatie absolute spanninsverde1iug

ten govolge van bet feit dat de bij de

tewaterlating

reeds aanwezige constructiedelezk aañ eeu bepaalde

spannin onderworpen worden,, terwiji de na dIt

evneaent aanßebrachte eonatr-ucties spanningloos

zijn.

Het eerste punt acht Pietzker van weinig be1av, en

de invloed hiervan wordt dan cok verwaarloösd. Bet tweeds punt is daarentegen zeer belangrijk. In

bet

algerneen zullen van dé op druk balaste constructies

de dragers

en

langsverstijvirxgen

knikvast zijn Met

de tussen doze constructies gelegen

beplating behoeft

dit echter geenzïns het geval te zijn, en hiervan worden dan ook slechts stroken van 20

25

inaal de

plaatdikte ter weerszijden van

de ondersteuningen rneegerekeud. Het resterende

gedeelte van de

bepla-ting aan de drukzijde wordt door

hem geheel. verwaar-loosd.

Dat de beplating van dekken bodem. zieh aan langeseheep..

se trekspnrin door zijdelings uitwijken zou kunnen

onttrekken, zoals Pietzker in zijn derde punt

veronder-stelt, is niet aan te nemen. Het dwarsverband

raii nor-.

male bandelsschepen is stijf genoeg oui dit te

verhin.-deren. De ongelijkuiatige spanningsverdeling ten gevolge

van bet aanbrengen van onderdelen na de tewaterlating,

is van gen invioed op proeven zoals uitgevoerd niet

de "Wolf", aangezien geen absolute span.ningen,

rnaa

spanningsversehillen gemeten worden. In bet algemeen

zal echter het voornaaniste lazigeverband bij de

tewa-terlating reeds aanwezig zijn; bovendien ziJn de

span-ningsverschilien tussen de toestand. op de heiling

en

te water liggend ineestal zeer gering.

Op grond van deze beechouwingen trekt Pietzker de

conclusie dat voor de berekening van het

dwarstraag-heidsmonient siechte de doorlopende iansverbanddelen,en

de bepiating voor zover deze ondersteund wordt,

mee-gerekend rnogen worden. Als ondersteund worden

_stroken

van 40

.

50 niaal de plaatdikte, dus 20 à 25 inaal

de piaatdjkte ter weerszijden van de verstijvingen,

bescbouwd.

Hoffmann [3) heeft de proeven niet de "Wolf"

geanaLy-seerd, teneinde na te gaan of op grond van Pietzker's

theor1en een bevredigend resultaat bereikt kon worden.

Hoewe]. het op de scheepsromp werkend buigend moment

niet, was gegeven in de piblikatie van Biles, wist

Hoa1ann dit te reconstrueren. Hij vond voor het

schip droo

in bet dok staand,een sagging moment

van 970 mt.

Dit moment moet nu gelijk zijn aan bet

inwendig inoinent,,volgend uit de forinu.e:

M= S.y.dF

(2)

a z spanning

y = astand tot N.A.

P

opp.doorsnede

e

Indien alleen doorlopende langsvrstijvingen

en

plaatstroken ter breedte van 50t. meegerekend

worden,

zoals Pietzker aangeeft, blijft

_{er. niet vé?l van de}

dwarsdoorsnede van de "Wolf

_{over (fig. 2). Het met}

deze dwarsdoovsnecje bepaalde inwendige

moment,

be-draagt 340 mt. Vervo1gen brengt Hoffmann dt gedeel-.

te van de beplating in rekening, dat, hoewel

_buiten

de Eneedragende plaatstroken gelegen, aan een

span-n1n

_{ondrworpen wordt, welke kleiner is dan de}

knik-spanning. De knikg.rens be.paalt hij met de

_formule

van Euler:

₂

₂ Jt

.JJ.t

a

C

3a

_knikepanning

(3)

a

spantaf stand

De plaat wordt ter plaatse

_{van de spanten als ingeklernd}

beschouwd, Het door dee knikvaste platen

geleverde

nioment bedraagt 175 nt.

Tenslotte rekent Hoffmann de

_{resterende beplating}

als slechts gedeeltelijk meedragend. 0m

_de

uitgeknik-te plaat in dezo toestand uitgeknik-te behouden is

_{iminers een}

kracht nodig, gelijk aan doorenede-opperviak x

knik-spanning.

Hoffmann was de aerate die op dit idee kwam',en-ujt

proeven van Schuman en Back is gebleken dat zijn

ge-dachtengang in principe inderdaad .juist is.

Het inwendig moulent van de niet-knikvaste

_platen

bedraagt 410 mt. Het lnwendig.rnonieiìt

_{van de gehele}

doorsnede bedraagt dus 925 mt.,

' bet uitwendig moment

was.970 ton, zodat de overeenstenuning heel

_behoorlijk

was.

Naderhand [4

_{heeft Hoffmann bet idee}

_{van Pietzker.}

orn ook aan de trekzijde de knikgrens als criterium

te beschouwen. laten varen

_{en de dekken naast de}

ope-fingen ala volledig rneedragend beschouwd.

_Recente

spannfngsnietjngen [.5) hebben aangetoond dat

de

s

-.9-.

Holfmann vezondrste1d heeft. Figuur

_{3 geeft hiervan}

een illustratie. In bet sterktedek is de trekepanning vrijwel gelijkmatig verdeeld. In de vi.akbeplatjng

zijn de velden begrensd. door spanten en dragers uit-geknikt en de spanning

in het niidden van de plaat is

aanuierkeiijk

geringer dan ter plaatse van

_de

ond.er-steuning. Dat het knikprobleem in de

scheepsbouwkunde van groot belang is,

blijkt uit bet feit,dat bij

_het gegeven voorbeeld de bodembeplating knikt bij _een

hoggin oie±1t

dat niet

abnormaal groot

_{.genoeind kan}

worden.

Sohnadel C6,7]. heeft de publikatie van Hoffmann Lei bekrjtiseerd. Voornamelijk heeft hij bezwaar tegen de aanname,clat

deplaten.ter plaatse van

_de.spanten

of balken als ingeklernd beschouwd kunnen worden. Uit de hem door de Britse Adinjra].itejt ter

beechik-king geatelde aflezingen van de rekmeters, bleek

dat op dJ.

_{.plaatsen, waar de instrumenten aan}

beide

zijden van de plaat &angebracht

waren, van

elkaar verschillende verkotinen gemetexi waren, Zoale uit

f.guurLl.a b].ijkt, wijst

dit op eau hoekverdraaiing

van de.plaatranden, m.a.w. van.iriklemming was seen

sprake. Scbnadel ieenit aan dat de plant atrusormig

uitknikt en kan dan met behuip van energiebeschouwingen de -olgeude formule voor de kñikspanning afleiden

(zie ook £iguur Lj.b):

t2

(.-.)

F{i.2r+

i-p2 '12

[Kl

)24z(9)3(4)

12(1_,.2) a L 1+1) 1)

1) Deze formule geldt, siechte bij..schepen

met

dware-spanten, waarbij i.h.a. a/b(1. Bij het

langsspanten-systeeui kan.de

plaat in

rneerdere halve golven

uitknik-ken, hetgeen in de formuie.tot

uitdrukklng komt door

.factoren n en m,welke resp, bet aantal halve

_{golven in}

X-. en Y.w.richting

_b4t1arjke1

lo

-Hierin is

_{de knikgrens van Euler oor staven.}

De factor

I

geeft de invloed weer, welke de strippen,

i2

die tezanien de plaat vornien, op elkaar uitoefenen

1)

De factor

{i

()22

b.rengt de eindige breedte in

rekening.

₂₎

De laatste terni tussen accoulades tenslotte brengt

de

elastische ondersteuning, welke door de randhoekstalen

wordt veroorzaakt, in rekening. De betekenis van R is

eveneens in flguur

_{c aangegeven, In het algeineen geven}

verstijfde randen

siechte eeti

zeer geringe

_verhoging

van de knikspanning, nanielijk circa

_3-5%.

_{ok de invloed.}

van gekionken landen op de knikepanning is door Schna.del

nagegaan. Dit punt zal echter in Hoofdstuk IV nader

be-sproken worden. Door toepassing van zijn theorien

op

de proefneiningen niet H.M.SS "Wolf9 vindt Schnadel

_een

redelijke overeenstemming niet de

gemeten

spanningen.

Tot besluit van deze beschouwlngen over de "7Jo1f"proeven

voigt tenslotte een korte sanienvatting.

2

Defie

E (t)2

is

de knikformule

°

12(l-V). a

van Sezawa voor een oneindig bredé en aen de belaste

randen opgelegde plaat.

2

2

₂

De formule a

= E

2

(i+«.2)

C

12(i-.i)

a

waarino(.= a/b,

_{is afgeleid doorBryan voor de aan}

Bïles: Alle doorlopende verbanddelen van bet grootspant

worden als volledig meedragena beschouwd bij de

bereke-ning van het traagheidsmoment. 0m berekebereke-ning en

proefne-ming niet elkaa.r in overeenstezarning te brengen, nioet de

elasticiteitsniodulus kleiner gekozen worden dan de

waar-de welke voigt uit een trekproef.

Pietzker: Bij de berekeriing van het traagbeidamornent

worden alle niet ondersteunde platen aan druk- zowel

als aan trekzijde verwaarloosd. De elaetLciteitsmodulus

heeft d.e uit trekproeven volgende waarde.

Hoffmann: Toepassing van de theorie van .Pietzker

op de

"Wolfvn.. Behalve de ondersteunde plaatstroken met

eeu breedte van 50 t.,worden platen

voor zover deze

knikvast zijn, gehéêl meegerekend,

n boyen de knikgrens

belaste platen slechts gedeeltelijk. De knikgrens wordt

door hem berekendmet de formule van Euler

voor volledig

ingeklemde emden.

Hoff mann: In een tweede analyse wordt Pietzkers idee

orn de knikgrens ook aan de trekzijde als criteriuni voor bet

a]. of niet zueedoen van de bçplatingverlaten. De trekzijde

word.t nu geheel nìeegerekend.

Schnadel: Poging orn de slecht

_{voor staven geldende}

knik-formule van Euler te vervangen door een

-12-11. De Dublicaties van Lienau en Dahiniann.

In 1918 heeft Lienau £8) voor de ßchiffbautecbnische Gesellschaft een lezing gehouden, waarbij hot knlkpro-bleem in ocheepaplaten uitvoerig beoproken werd. Ret onderwerp van deze lezing wa de vergelijking van de sterkte van eon schip gebouwd volgens bet dwarsspan-tensysteem, bet langsspantensysteem en oeil gecombineerd syateem. Alleen dât gedeelte, dat betrekking heeft _op

bet knikprobleeni, wordt

hier

kort beopröken.

De trekzijde van de op bulging belaste scheeparomp wordt door hem als nieedragend beschouwd, oradat bij de gebrui-. kelijke conetructies in de handelscheepbouw hot zich

onttrekken aan de spn.ingen door zijdellngs uitwij-ken niet mogelijk zal zijn. Dit geldt zowel voor door dwarsspanten als door langsapanten ondersteunde dekken. Do trekspanning zal dus gelijkniatig over de breedte van bet dek verdeeld zijn. .

Voor een schip, uitgevoerd met

lansspanten, worden bij

de berekening van bet

traagheidsnioment

_{slechts .strokeL} ter breedte van .50 rnaal plaatdikte in viak en tauktop als meedragend beschouwd. Bij scliepen mt dwarsspanten stelt Lienau echter een breedte van 120 meal plaadikte voor. Dit versehil wordt door heat gemotivéerd door er' op te wijzen, dat de knikspanning van de korte platen

blj bet dwarsspanténsysteem

veelgroter is dan bij de.lazage

plaatvelden welke voorkomen bij het langaspantensysteem. 1.) De buiten doze rneedragende breodte gelegen plaatvelden wor-den geheel verwaarlòosd. Als basis voor de bepaling

van

de

knikgrens is Lienau ultgegaan van de formule van Fppl 2)

Dit behoeft echter geenszins het geval te zijn. Zowel veidverhouding als de randbevestiging 4er platen apelen narnelijk een grote rol. Zie

bijvoorbeeld

Va der Neut, Lassymposlum 1951, blz. 23.

Dèze f orzrnzle is gebaseerd op de veronderstelling dat een constructie bezwLjkt ale

ergens de

optredende drukepan-ning de proportionaliteitegrens overschriJdt. Doze ver-oaderstelling doet bet wezen van het knilcprobleeni gld

aan. Kxiik treedt

nanielijk op, wanxieer een labiele even-wichtstoestand mogelijk wordt en.niet wanneer een zekere grenesparming overachreden wordt.

Dabimann (91 brengt in zijn artikel weinig nieuwa naar varen. Als knikforniuie vermeldt liij de reeds eerder ge-noemde

I.

formules van

Bryan en van Fdppl, enhij raadt

aan hiervan de laatstgenoemde toe te passen voor de controle van de knikvastheid.

-14-5.

De proeven van Montgotnerie,

In tegenstelling tot hot tot nog toe behandelde, dat _op theoretische grondslagen gebaseerd

is,

heeft Montgomerie

[101 zijn formule voor de bepaling

van

de kniketerkte gegrondvest op de resultaten van door hem uitgevoerde knikproeven. Hij gebruikte daartoe een 'lOO-tons

druk-bal3k e

platen niet afmetingen zoals aangegeven bij

fi-guur 5.

In deze figuur is tevens g?schetst hoe de

pla-ten in de machine bevestigd werden. De uitkomspla-ten, voor zover deze van belan zijn voor in de scheepebouw gebriiikelijke verhouding van spantafstand tot plaat-dikte, zijn eveneens weergegeven in flguur 5. In deze f iguur wordt de gemiddelde krontnie voorgesteld door de

formule:

7 5 950

(a)17

5)

=

kiiikapanning

in

kg.cnf2

a a _{plaatlengte (spantafet.)} a _plaatdikte

Montgonierle heeft de bruikbaárheidvanzijn f ornu1e

on-derzocht aan de hand

van

een analyse van, circa 30 schepen, waarbij knik in de dekken opgetreden was. Hij beeft daar-toe van deze schepen sterktebèrekeningen geinaakt, _ebaì seerd op de "gebruikelijke veronderstellingen". Noch

hoe deze berekeningen uitgevoerd zijn noch hoe naderhand de wersinvloeden in rekening gebracht konden worden,

wordt vermeld, zodat de waarde van deze controle niet bija-ter groot geacht kan worden. De wijze _{van beproeven konit} ook wel heel siecht overeen met de in de praktijk voorkomen-de onistandighevoorkomen-den. Bij voorkomen-dekken

zijn de platen san de

on-belaste randen ondersteund,en

langs

_{de belaste randen} is een zekere hoekverdraaiing mogelijk, waarvan de.groot-te afhangt van de torsiestijfheid der dwarsspande.groot-ten.

Volgens de moderne opvattlngen wordt de knikgrens in

het elastische gebied van sen oneindig brede en aan de

belaste randen elastisch ondersteunde plaat voorgesteld

door:

E

12(1.i.V)

(t)2

15

-contractiecoff1cj eut

plaatí4actor

De plaatfactor

18 een functie van d

tuate van

inklem-znizig van de balaste randen. Bij opleggin heeft

de

waarde

1,

bij vo].ledige

inkleinming is 1-.

Aangezien de onbelaste renden bij de proeven van

Montgonierle geheel vrij waren,. zal het verechil met de

oneindig brede plaat slechts gering zijri

tilt de genoemde

foz'niulea kan nuÎ

_{f(a/t.) bereke1worden, en bet}

resul-taat is weergegeven in figuur 6.

Hieruit blijkt dat de

mate van inklemmlng blj de verechillende proefstukken

steeds anders is geweest. De oorzaak hiervan is de wijze

waarop Montgomerie de platen in de drukbank beveatigde,

namelijk door iniddel van twee hoeketalen. Ook is het

mogelijk dat de vervorulingerL van de machine zeif van

invloed ziju geweest.

Thomson (ii] heeft de formule van Móntgouierie, welke

hij vereenvoudigt tot:

7 z

1O4x

(6),

toegepast op sen zevental scbepen waarvan de

dekken

knik-ten knik-ten gevolge van stranden.

Het is duidelijk dat in

deze gevallen een nauwkeuriger berekening van het buigend.

moment mogelijk is dan bij de schepen welke Montgonierie

beschouwde. lainiers, de waterstand op hat moniènt dat de

platen plooiden, was in deze gevallen bekend. Van de

zeven

door hem beschouwde strandingen ugt in zes gevallen de

-

16-van Montgotnerie,

en in één

geval trad geen

plooien op,

ondanks bet felt dat de

optredende spanning aaiizienhijk

boyen de grensspanning volgens Montgomerie lag. Thomson

publiceert echter geen

enkel cljfer van zijn

berekeningen

eneen kritische analyse

van zijn

werk wordt hïerdoor

oninogelijk.

I

-

17

-Literatuurlijst

Hoofdstuk I.

Biles

- Trans. I.N.A. 1j905,

Vol. XLVII,

deel I, biz. 80.

Pietzker - Festigkeit der

Schiffe, Berlijn 1911,

biz, 66..

Hoff mann

- Trais. I.N.A., 1925, VoL LXVII,

biz. 41.

Hoffmann

-

Engineering, 13

en 27 augustus 1926.

Vasta - Trans. S.N.A.M.E.,

_{1947, bLz. 391.}

Schnadel

_{- Werft, Reederei, Hafen, 1930,}

biz. 461.

7.Schnadel

- Jahrbuch der

Sc1iffbautechi.schen

Gesellschaft 1931, biz. 153.

Lienau

_{- Jahrbuch der SchiZfbautechschen}

Gesellschaft, 1913, biz. 603.

Dahiniann

_{- Wert, Reederei, Hafen, 1928,}

biz. 300.

1 0. Montgonierie _-

Shipbuilder and Marine

_.Engine

Builder, 1934, blz. 213.

11. Thomson

_{- Trais. I.N.A., 1945, Vol.87}

blz. 71.

-18-HOOFDST1JK II

HiT KNIIEN VAN AXIAAL BELASTE STÄllEN

1. Inleiding.

In dit hoofdstuk zal de elenientaire kniktbeorie, d.w.z. bet knikken van rechte staven en stuùten, behandeld worden. Allereerst komt de formule van

Euler ter

sprake. Deze formule eeft, zoals bekend,

een

waarde voor de belasting van een staat, waarbij zowel de volkomen rechte stand als een doorgebogen toestand met oneindig kleine doorbuigingmogelijk is,

en geldt siechte zolan een labiele evenwiohtstoestand zich voor kan doen, voordat de proportionalitei,tagrens overschreden is. De betekenis van bet knikprobleem in bet plastische gebied neemt met de voortschrijdende ontwikkeling van de theorie en ten gevolge van de toe-'. passing van hoogwaardige materialen meer en meer toe. De op dit onderwerp betrekking hebbende theorieön van Engesser en van Shanley komen uitvoerig ter eprake. Engesser ste

Ido de tangentmoduiustheorieop in

_1889.

Voortbouwende op een lezing van Considère verving hij zijn oorspronkelijke theorie in _{1895 door de} geredu-ceerde modulustheorie. Tot voor enkele jaren heeft deze laatate theorie algemeen toepassing gevonden, totdat uit zorgvuldige proeven bleek dat de experimenteel paalde waarden beter benaderd werden door de oorspron-kelijke tangent-modulustheorie. De verkiaring hiervoor is gegeven door Shanley.

2. Elastische knik van rechte stayen.

Hoewel bekendheid met de formule van Euler verondersteid mag worden, wordt deze volledigheidshalve in deze para-graaf be.sproken. Beschouw een voikomen rechte staaf,met constante dwarsdoorsnede en belast door een langs.de neutrale lijn aangrijpende drukkracht P (fig. 7a).

We nemen verder aan dat de elasticiteitainodulus E _een con-stante Is, dus dat de drukepanning a _{- PE/F de proportio.-/} naliteitsgrens niet overschrijdt. /

Teneinde te onderzoeken of een doorgebogen toestand van de staaf mogelijk is, beechouwén we de vergelijkïng van de elastische iijn, welke luidt: 1)

EJy"+Py=O

(1)

De oplossing van deze differentiaalvergelijking is:

j = C1 sin.ox+ C2 cosoGx (2)

waa.rin C1 en 02 integratieconstanten ziju en waarin

=o(. gesteld is.

Uit de randvoorwaarden x = O, y = O en x =

t,

O voigt voor de integratieconstanten:

01=0

02=0.

Voor deze waarden blijft de staaf recht. Er wordt _echter ook aan de randvoorwaarden voldaan door de zogenaanìde karakteristieke waarden:

02 =. O sin . 0

(3)

1) Deze vergelijking geldt siechte zolang de doorbuigin-gen oneindig klein zijia.

-20-Dan inoet dus aC

it

zijn, en substitutle In (2) geeft de

karakteristieke oplossing van de

differentiaalvergelij-king1:

y=CsIn.1

(4)

uit..t

it

en

,

voigt de formule van Euler:

(5).

Dit resultaat kan als voigt samengevat worden:

Een staaf,belast door een axiale kracht P<PE,biijft

recht.

Aangezien het evenwicht tussen in- en uitwendige

krachten stabiel is, zal een kleine storende uitwendige

invloed (dwarskracht of moment) een doorbuiging

geven,

weike weer verdwljnt als de storende învioed wordt

weg-genomen.

Ala P

₌

_E'

is een doorgebogen toestand mogelijk, waarbij

de elastische lijrì een sinus met onbepaalde amplitude is,

Er is indifferent evenwicht tussen inwendige

en uitwendige

krachten. Inuners, bij 2 x zo grote doorbuiging wordt

zo-wel het uitwendìg als het inwendig moment tweemaal

_{zo groot.}

Wordt P

_{overschreden, dan bezwijkt de staafonmiddel].ijk.}

Op een storende invloed reageert de staaf' met

een zeer

grote uitwijking; omdat 1et evenwicht niet stabiel is,

keert de staaf niet in de oorspronkelijke toestand terug

als deze verstorende invloed wordt

weggenoinen.

Het

bovenstaande is gebaseerd op de vereenvoudigde

verge-lijking van de elastische

iijn.

Uitgaand van:

i.) Van de aigernene oplossing

o= nit

(n

1, 2,....)

in:.

EJ

- + M

O, wolke vergelijking exact is en

waar-9

1

(1+(Y.)2}312 t

-

21

-vinden we voor de grootate doorbuiging in het midden:

Op grond van de exacte theorie kuxuaen de volgende conclu-sies getrokken worden:

Als <E' blijft de staaf recht, want dan is y imaginair.

Ookbij P = P built de steal nog recht,

Zodra echter

E overscbredenwordt, onttaat een doorbui-ging, wolke met (6) berekend kan worden. Een zeer kleine overschrijdin van de knik],ast van Euler geeft reeds een doorbuiging y.., wolke fataal is.

Feitelijk geven dus de benaderde en de exacte theorie. hetzelfde resultaat, namelljk dat de knikiast van Euler de grootste belasting is wolke de staaf kan dragen. Uit de exacte theorie blijkt dat de overgang van atabiel near labiel evenwicht niet

discontinu

gebeurt, maar dat er oen klein overgangsgebied is. Aangezien het one álleéffom de knikgrenp te

doen is

en bet one niet interesseert wat er ,.; precies bij h'et

bzwijken

_{van de staafgebeurt, is de}

ver-geli jking:

EJy" + M O

eon juiste basis voor onze beachouwingen.

Doling van vergelijking

₍₅

door bet doorsnee-oppervlak P en sub stitutie van I F. i , wean i de traaglieidsstraa].

voorstelt, goeft:

(7).

22

Uit de vòorwaarde aE(ap voigt, indien E = 2.1x106 kg.cm2

en = 1760 kg.ciii2 als voorwaarde voor de geldigheid van

de

formule van

Euler ongeveer:

) loo (8)

In figuur 7b is vergelijking(7) grafisch voorgesteid. Voor staven waarvan de bevestiging der emden anders is dan opgelegd, kan vergelijking

₍₇₎

in de volgendo vorm

gebruilçt worden:

(Lu)

(7a)

Hierin de knikspannin.g (de schrijfwijze aE geldt utsluitend voor de staaf met scharnierende

eindbevesti-ging), en L

k.0

wordt de 'vrije lengte" genoemd. Vol-ledigheidshalve zijn in tabel I de numerieke waarden

van k

voor diverse

gevallen gegeven.

Tabel I Cofficient k

in ve.rg. (7a)

a

Knlkgeval ondersteuning

a/d E

r

k

I beide

emden

opgelegd I

2 n einde opgelegd, het andere

ingeklernd

o 3 beide emden ingeklernd k

4

w

n einde ingekleuid,

23

-Ondaks hot fett dat de _{theoretisch, afgeleide}

formules siechte gelden _{voor gedeallserde staven}

welke vo1knn

recht. zijn en waarbij _{de last zuiver}

_{axiaal aanebracht}

wordt, is het mogelijk _{geblekein zorgvkldlge}

proeven de knik].agt van Euler _{zeer dicht te benaderen.}

3.

De

Tot nog' toe was

_{aangenomen dat de}

_òptredende

drukspannin-gen kleiner waren dan de

_{proportionautejtsgre8 Stel}

nu,

dat van een zeker materiaal bet spanning-rek diagram ver-loopt als in uiguur 8a. _{Eon vari dit llxateriaal}

vervaardigde

staaf

wordt op druk beisst tot hèt _{punt A. Indien nu de}

belasting. met een klein bedrag _{verandert, wordt de} betrek-king tuasen de verandering van de spanning en de verande-ring

van

_{de rek beheeret door de helling van bet diagram}

-in A. De .verhoud-ing _{kunnen we beschouwen als een,vau} a arhankeijike, veranderlijke

elasticitejtemoduiva, de tangent-modulus Et. Indien de knikiast berelkt is, kan de

staat

_{zowel recht ziJn als een oneindig kleine doorbuiging}

hebben. Deoptredende _{buigspannlngen zijn due}

eveneens zeer klein ten opzichte van de reeds aanwozige

drukspan-fling,

zoadt de verhouding tussen _{spanxing en rekegeven}

wordt door Et. Uitgaande _{van de differentlaalvergeltj...}

king voor de elastische

lijn,en na substitutie _{van E. =t.E} wordt gevonden:

(9)

Do waarde van

t

_{kan berekend worden met behuip van de} a - kromme van hot betreffende _{naterjaal. In f iguur}

9

is formule

₍₉₎

_{grafisch weergegeven. Figuur 10 topnt bet} verloop van t voor.etaal met aen vioeigrens van232O/cm2

1) Bij de _{berekening van 'r is}

verondersteid dat bet gedeelte van de kromme in f1g09 een parabool is.Dit is voor

prak-tisch gebruik nauwkeurig _{genoeg;heeft echter ten}

gevolge dat de kronjme bij _{'r = I een discontinulteit vertbont.}

-.24-Met behuip van deze kromme

_{en formule (9) kan de knikspannirx}

door proberen eenvoudig bepaald

_worden.

Het verloop van de kroniuie in f iguur

_{9 kan ala Voigt}

ver-klaard worden. Wanneer de spanning de

_{vloeigrens a}

_nadert,

neemt de tangent-modulus voortdurend aÍ

_{en wordt nui ais}

de vioeigrens bereikt is. In bet aigemeen

_{kan dan ook bij}

materialen met een duldelijke vloeigrens,a

_{als maximum}

waarde voor de knikapanning beschouwd worden. Wordt

knik-kpn tijdens bet passeren van de vloeigrens ec1ter

kunst-matig verhinderd, dan is bet ten gevolge van de

verstevi-ging mogelijk de belasting verder op te

voeren. De kromnie

heeft dan de vorm DABC.

Soma is bet mogelijk dat de st-aaf bij het bereiken

van de

vloeigrens niet uitknikt, nainelijk in die

_{gevallen, waarin}

het gebied tussen begin en einde van bet vloeien slechts

kort is. In dat geval heeft de kromme de

vorm DAC en kan

de knikspanning aanzienhijk boyen de vloeigrens liggen.

De tangent-modulus theorie is in 1889

gepubliceerd door

Engesser. De in de volgende paragraaf behandelde

_"geredu

ceercje inoduius"theorie is e1-eneens

van hei afkomstig.

4. De

Wanneer bij een tot bet punt A (fig. 8a)

_blastestaaf,

de belasting verminderd wordt, wordt niet

_{meer bet}

oorapx,on-kelijke diagram AO doorlopen,

_{maar de rechte lijn AB.}

Wanneer een staaf knikt, nemen

_{aan de bolle kant de}

span-ningen ten gevolge van bet buigeffect toe,

_{aan de bolle}

kant daarentegen af, Aan de bolle kant heeft dus de

elas-ticiteitamodulus de waarde Et,

_{aan de bolle kant E.}

_Dit

verscbijnsai wordt in de tangent-.modulus. -theorie

verwaar-loosd. Indien we aannemen dat viakke dooraneden viak biiJ-.

ven, zullen de buigapanningen over de doorsnede

verdeeld

zijn als in f iguur 11 aangegeven. De

_{evenwichtsvoorwaarden}

/1

4aioo8 :vinden We:

Substtut je in (loa) geeìt:

E8l1EtS2Ô

waarin

_{en S2 statische monleíkten. van de dóorsnedèñ.}

ter weeszijdexi van i exi ten

opzichte van deze aB

voór.-stellen. Oplossing van.(lOb) ónder _{gebruikinakjxg van. (11)} geeft:

waarin:

fh.

(112

Js1(z1+e)d.F

o--- _o

Iy

(lob)

Uit f iguur 11 voigt:

.zl

ç.

a1dz

Nuis Mx

en tevens

_{, waaruitvolgt:}

Vpo

eaaÖbi4gtngen

_ld

_y",

4r fl &Jt:

'!Z =

+ Py

O 2'5

1h2

-1

/0

(lOa) (12)1 (13), waarin:

J

traagheidswoine

doorsnede t0o.y.

as

door zwaartepunt

en J2 _{traagheidanomenten} van gedeelten ter weerszljdon van nn en t.o.v. nn.

! is de "géreduceerde

_{modulus", waavan de waarde}

aThan-keiijk is van de materiaaleigenschappen

_{en de voz'jn van de}

dooranede. Dit in tegensteiling tot

_{de tangentmodulus,}

welke uitsluitend afhankelijk is

_{van de}

tnateriaaleigen-schappen. Met behuip van

_{vergeiijking (11) en (13) kan}

voor elke willekeurige doorsnede uit bet

rek-spannings-diagram bepaald worden. Voor

_{een rechthoekige doorsuede}

voigt uit (11) en (13) de formule

van Shanley:.

.- (V'Et+\IE)2

)..

Uit de differenti.aalverge]jjkjng (12)

_{kan op de}

gebruike-lijke wijze afgeleid worden;

it2E

t

a

_r

(C/i)2

-

/B.

In f iguur 9 is formule (15) grafisch uitgezet, Aangezien

altijd

_11+12>1

_{en E'Et,}

_{moet t<btr zijn.}

De "tangentmoduius theorie"

_{eeft duo kleinere waarden_}

voor de knikspanning dan de "gereduceerde

_{modu1ustheorjet,}

Het inerkwaardlge verschijnsel doet

_{zieh nu voor, dat de}

uitkomsten van knikproeven liegen tussen die, welke met

de tangent-modulus-, en die welke met de gereduceerde

mo-du1u

_{theorie berekerìd zijn. In bet}

_{algemeen liggen deze}

uitkornsten dicht bij de

_{tangent-modulusbelasting. De}

ver-kiaring voor bet feit dat de schijnbaar theoretisch juiste

gereduceerde modulus-theorie te hoge waarden voor de

knik-spanning geef t, heeft Shanley

in. 19Lè7 gegeven.

27

-5,

De theorie van Shanley,

lude gereduceerde modu1us-t1òrie

_{wordt verondersteld}

dat een boyen de proportionaliteltegrens

_{belaste staaf}

recht blljÎ't, totdat sen spanning

_{Or bereikt is. Bij}

deze spanning zijn vervolgens, evenals

_{dat in het}

elas-tische gebied bet geval was, een rechte toestand en een

uitgebogen toestand met oneindig kleine

_doorbuiging

mo-gelijk. Shanley heeft langa wiskundige

_{weg aangetoond}

dat doorbuiging van de staaf begint,

_{zodra de}

tangent-modulus-belasting P.

_{overschreden wrdt. Wanneer de}

be-lasting toeneenit van

tot

_r'

neemt gelijktijdig de

doorbuiging toe van nu]. tot oneindig. Bij

_{elke waarde}

van P, gelegen tussen

en

_r'

_{behoort een zekere}

waar-de van y.

_{Voor de meeste cnaterialen ugt de knikiast}

siechte zeerweliiig boyen

Resumerend kunnen we dus de tangent-modulus

_theorie

be-schouwen ais basis voor de berekening van

knikvraagstuk-ken. Door de knikbelasting geliJk te

_{stellen aan}

s

28-J&teratuurli.1st Hoofdtuk II

Bleich - Éuckling Strength of

Materials,

Hoofdstuk I.

Tinioshenko

-

Theory of Elastic

Stability,

Hoofdstuk II.

Sechier eri

Dunn - Airplane Structural Analysis

and »esigzi,Hooîdstuk 5.

29

-HOOFDSTIJK III

RET KNIKKEN VAN LÄNGS DE R.A1VDEN BELASTE _PLATEN

Inleidiwç.

In dit hoofdstuk wordt de stabiliteit van platen Wolke lange twee tegenover elkaar liggende rancien door

druk-krachten belast worden, behandeld. Ban gaf in _{1891 de}

oplossing voor de aan alle randen scharnierend bevestigde plaat1 in een lezing voor de London Mathematical _Society. De grote betekenis van zijn werk li8t in hot felt1 _{dat hij} de eerste. was die de energiemethode toepaste ow de knik-grens te. vinden. In vele gevallen stuit namelijk de opios-sing van de betrokken differentiaalverge].ijkingen _{op on-.} overkonielijke inoeilijkheden van wiskundige aard, en dan is een oplossing van bet vraagstuk mogelijk _{met behulp} van de door Bryan gentroduceerde methode.

Na een bespreking van de versebiliende methoden voor de behandeling van knik in hot plastiache gebied, _{wordt de} plaat met scharnierende randen in extenso besproken. _Voor

-platen wolke op andere wijze lange de randen beveatigd zijn, worden alleen de resultaten der berekeningen gegeven. Voor de bijbehorende afleidingen, welke in de meeste gevallen vrij ingewlkkeid zijn, wordt _{verwezen naar de hierop.} be-trekking hebbende publikaties.

2. De differentiaalverge],ijking _{van de uitgeknjkte plaat} in bet elastische gebied.

Bescbouw een plaat, beisst door een laterale belasting p per eenheid van opperviak en door trek- of drukkrachten in bet viak van de plaat. De _{laterale belasting beboeft}

-30-niet constant te zijn over het opperviak. De differentiaalver-gelijking voor een op dergelijke _{wijze beaste plaat is in} 1883 door SaLnt Venant afgeleid

1)

We beschouwen nu een elementje van de plaat zoàls geschetet inflguur 12a. Het assenstelsei wordt zodanig gekozen, dat het XOY-viak samenvalt met de neutrale laag.

De laterale belasting d.oet in _{de zijvlakken dè momenten}

M7 en M.per lengteenheid,

_{en de dwarskrachten Qj en Q7}

per _{lengteenheid ontstaan. We nemen aan dat geen} norznaaispan-aingen ten gevolge van dedoorbuiging ontstaan, hetgeen voi-doende nauwkeurig is zojeng de doorbuigingen klein zijn in verhouding tot de plaatdikte. 00k de lnvloed _van

deachuif-krachten Q enQ7 op de doorbuiging _{wordt verwaarloosd. De}

belasting lange de randen heeft ten _{.gevolge,dat het elementje} in het neutrale viak belast wordt door de normaalkrachten en N7 en door de schuifkrachten _{en per een]aeid van} lengte (fig. 12b). Alle _{op het eleznentje werkende krachten en} momenten zijn functies van de cordinaten en zullen dus over de afstanden dx en dy met oneindig kleine bedragen veranderen. We kunnen nu vijf evenwichtsvergelijkingen opschrijven, welke na deling door dxdy als voigt luiden:

+ _{+ p + R = O} (i) &M.

--+Q7aO

(2)

L

MZ

(3)

N

&N

6T (2;.)

¿N_

N

o

₍₅₎

1) In het algerneen zijn drukspRnn1ngexi positief gerekend. In de volgende afleiding van de

_algemene

_{differentiaalvergejjjkjng}

voor de doorgebogeri plaat, zijn - echter _{trekapanningen positief}

31

In vergelijking (1) etelt R de

_{projeotie op de Z-as}

voor van de door de randbelaating opgewekte

reactie-krachten N, N, N

en N. Opiossing van

en

uit (2) en (3) en substitutie

van de gevonden

waarden

in (1.) levert:

= -p-R

Nu is w _{zodat deze verßeiijking overgaat in:}

¿2

' -2. Xj _{= -p-R (6)}

De kracht R wordt veroorzaakt,doordat ten gevolge van het doorbuigen van de plaat, de normaal- en

schuifkrach-ten N niet meer evenwijdig aan het XOY-viak lopen. Dé

projeotie van de

krecbten

1t en

_N+dN.oP

de Z-as, heeft

degrootté (fig. 12b):

.Ndy .

+ (N

₊

dx)

dy

₍

+

dx).

Na uitwerki.ng en verwaarlozin van de term, walks

on-eindig klein van de darde orde is, wordt. dit:

a

dxdy +

_(7).

Op analoge wijze wordt de

projectie op de Z-as van de

krachten in Y-richting:

62

¿N

Ndxd7+.Z

.dzdy

(8).

Voor de bepaling van

de projectie der schuifkrachten

en _{beachouwenwe de.dooruiging vanhet .middenviak} van het elementje (rig. 12e). Hieruit voigt dat de

32

-N

ç2

Jx

dxdy

Xy Xy

Analoog vinden we

voor de projectie van

waarvoor

geldt N

=

dxdy +

_dxdy

_(io)

I.dxdy is de eom van de waarden uit

(7)., (8), (9) en (10),

dus: /

R=N ''+N

¿W21 £2w

¿N

).!

+

X _Y

_dy

_xyOXZy

+ ( _Zy

+(Z

_ay

.!

Gebruik makend van (4) en (5), wordt dit:

R=N

_+2N

(11)

Substitutie

van

_{(11) in (6) geeft de}

_volgende

evenwichte-vergelijkimg:

b2 _2M

- 2 = -(p + N + +

+ 2N (12)

In deze vergelijking komen nog de onbekende momenten

"'

M. en

voor.

Teneinde

de grootte hiervan

te bepalen,

beechouwen we weer een elementje

_{van de plaat (fig. 13a).}

De rek van

een eleinentair laagje ABCD op afstand _{z van}

de neutrale

laag ten gevolge van de buiging, bedraagt:

X

_ay

(13).

(9)

Et3

12(1_ç2)

bX E

t3

) =

_12(1v2)

y x a Stellen we hierin

12(1r2)

D, en maken we gebruik _{van de}

stelling

_{-. enz., dan wordt gevonden:}

33

Substitutle hiervan in de bekende vergelIjklngen

1(

_vo-)

X X

y

(1h)

geef t voor de sparmiugen in het laagje ABCD:

Yi_r2Y)

(15)

Het door de inwendige spanningen gevormde momént moet gelijk zijn aan het uitwendige moment, dus:

Mdy

=J

G.z.d>.d

(16)

/ G

z. dç.Sz

i-t'IL

Substitutie van (15) In (#16) geeft:

-D(--+y--2)

f+h/2

-j

txyzo

4

-34-.

2

Gt3

z

Voor de berekening ven beachouwen we £iguur 13b. Ten gevolge van de doorbuigizig verplaatst een punt op afatand z van de neutra1 laag over de. afetanden u en y

in X- en Y-richting. De doorbuiging van de neutrale laag ter plaatse zij. w. Volgens de epanningeleer is:

Substitutie hierin van G E/2(1+ y) en D

Et3/12(1- p2),

geef t uiteindelijk:

D(1-r)

(21.) Uit flguux 13b vlgt:

u

(19) V

-Z

Substitutie u (19) in (18) geeft; = (20)

35

-W1j keren nu weer

terug

tot vergelijking (12). Substitueren we hierin de waarden welke wè voor de momenten evonden

hebben, t.w. de vergelijkingen

₍₁₇₎

_{en (J),}

_dan

_{vinden we ale}

differentiaa1vereujjkj voor de lateraal en

lange

de

ran-den belaste plaat:

4 4. 2 ₂

D(-i 2g+4) +pt(ç-+cr

+2t ) (22)

In het

geval

dat sen plaat uitaluitend belast wordt door een gelijkxnatig verdeelde d.ruk in X-richting,wordt

constant en p (T t - O. Vergelijking (22) gaat

dan

over in:

(23)

In deze vergelijklrxg is de

drukapanning Ç

_{weer als} positief gerekend. _{Vergelijking (23) komt overeen met}

devergelijking EJy" + M = O in de theorie

van

de op

druk

belaste staven, Een

van

_{nul verschillende oplossing voor w} is siechte mogelijk voor bepaalde karakteristieke

_waarden

0

van a. Wanneerc

<C

bestaat alleen de oplossing

w

= O. Als

c

is behalve de ßtabiele viakke toestand ook een onstabiele uitgebogen toestand mogelijk. _{De bij het} oplossen

van

_{differentiaalvergeiijkingen (23) noodzakelijke} randvoorwaarden

kunnen

opgesteld worden met behuip

van

de vergelijkingen (17) en (21), wat betreft de momenten.

Uit-drukkingeri voor de grootte van de dwarskracht kunnen

ver-kregen

worden

met behuip vari vergelijkingen (2), (3),

(17)

-36-3. De theorié van Bleich voor knik in hot plastieche gebied. De in paragraaf _{afgeleide vergelijking (23) geldt}

sloc1ìt

zolang

(5.

Voor het g bled boyen de proportionalj teitsgrens is door Bleich Ci] _{de volgendo theorie} opge-steld..

Beschouw de plaat òf irerdeeld _{in strippen in X-richting,} verdeeld in strippen in Y-rlchting. _{Voor de} eeratgenoen-de strippen Is het logisch te rekenen met eeratgenoen-de tangentmodulu Et, in plaats

_van

_{met de elasticlteltsmQdulus E,}

wanneer

O

)ø.

_{Aangezien 0, biijf voor de strippen}

iii

Y-richting de elasticjtejtsmodulus ongewijzigd, De plaat wordt dus als anisotroop beschouwd, en aangenomen wordt, dat overschrijding van de proportionaliteitegrens in X-richting de elastische eigenschappen in de Y-X-richting _niet be!nvloedt. De eerste term van vergelijking (23) hoeft

be-trekking

_{op de"strippen" in langarichting, en moet dus} ge-reduceerd worden In de verhouding Et/E De derde term, betrekking hebbend op de doorbulging

_van

_{s1ii1ppen in}

Y-rlchting, blijft onveranderd. _{De tweede term is eon} ge-voig van de schuifapamiing _{zowel In X- ala in Y-richtlng;} de reductjecoffjejnt zal di:is eon gemiddelde waarde hob-ben welke tussen I en t ugt. Bleich kiest biervoor

V.

0p grond van doze beechouwingen gaat _{vergelijking (23)} voor het plastiache gebied over in:

4

¿4

_J4

₂

D(t W

+

2Y&2

_{2 +} ) _{+o-x.t.._x} o (24)

Voor het opstellen

_van

_{de randVoorwaarden zijn}

uidrukkjn-gen nodig voor momenten en. dwarskrachten. _{De vergelijkingen}

De uitkomsten wolke verkregen worden.met de theorie van Bleich zijn zeer good in

overeenstemining

met de

resulta-ten van

knikproeven.

4. De theorie van Ro en Eichiner voor knik in hot plaatische gebied. -. .

-813 de afleiding van vergeliking (ii) werd aangenomeu dat samendrukking van dé plaat boyen de propo'tiona11teits-grena in X-richting in hot geheel geen invloed heeft op de niateriaaleigenschappen in Y-ricttting. Ro en

Eichinger _{f 21} veronderstellen daarentegen, dat de plaat isotroop blijft, dus dat bij overschrijding van in één richting, de elasticiteitamodulus in alle richtingen in gelijice mate gereduceerd wordt. Yergelijklng (23) wordt dan:

Drr (W

37

--D

(_2w

+t!

-D (

+\k

) (25) s-V,-.

w

xy

_1x&y

Met

dehuip

_{van de vergelijkingen (2),.' (3) en (25) wordt} voor de dwarskrachten gevonden:

(26)

-,

38

In deze ergelijking is de

gereduceerd modulus. De

overeenstemmjng van vergelijking

₍₂₇₎

met uitkomste van knikproeven is niet best, oolç niet _{wanneer de} gereduceer-de modulus vervangen wordt door gereduceer-de _{tangentmodulus.}

In Zwitserland zijn door Kolibrujaner _{[33 eon groot} aan-tal knikproeveii uitgevoerd, zowel _{met aluminium ale met} stalen platen. Hij analyseerde de uitkomsten van zijn proe-ven met de gereduceerde modulus theorie, _{en voM dat de}

berekende knikspiingen lager _{waren dan de}

experimen-teel gevonden waarden. Bleich vond daarentegen, _{dat de} resultaten van doze proeven zeer goed overeenkwainen met zijn eigen theori.i. Figuur _{15 geeft}

hiervan een

_voorbeeld. Deze figuur heeft betrekking op eon stalen profiel

30 x 30 x 2 ( - 3.000

kg.cm2),

waarvan dus de fien-zen beschouwd kurmen worden als platen wolke aan de ene onbelaste rand scharnierend bevestigd zijn eri aan de an-dere onbelaste rand vrij. Ook do resultaten van prooven met aluminium platen _{2.000 kg.cm2) geven eon zeer} bevredigende overeenstemming niet de theorie Van Bleich. In tabel 2 worden de resultaten van een aantal proeven in het plastisch gebied vergeleken met berekeningeü. We zien dat berekendo en gemeten knikspamiingen uitstekend met elkaar overeenstemmen. Hot aantal halve golven, waar-in de plaat uitknikt, vertoont echter een aanmerkelijke afwijking bij dU platen, waarvan n of beide onbelaste randen ingeklernd waren. Wordt _{aangenomen dat de} inklem-ming niet volledig is geweest, dan worden de tussen haakjes geplaatate.uitkomsten gevonden. Deze waarden geven weér

eon uitmunténde overeenstemining met de experimenten. De ver-onderstelling dat de

_inklemming

_{enigszins elastisch.. is}

geweest, is niet onwaarschijnfljk. _{en volledige inklea.':} mirig is nameltjk praktisch niet te bereiken door'de.

ver-vormingen van de

beproevingamachjn zelve.

-39...

.

De theorie van Ilyushin en Stowel]. voor knik in het

plastische gebied.

Differentiaa]rvergelljkjngen voor de

_{uitgeknikte toestand.}

van een plaat zijn door Ilyushin CkJ

_{a!geleid, waarbij hij}

zich in analogie met de

_{gereduceerde modulus-theorje}

_van

Engesser baseerde OP de

_{veronderstelling, dat aan de bol-.}

le kant van de plaat ten

_{gevolge van de optredende}

buigspan-ning bot verband tussen

_{spanning en rek lineair is}

(krom-me AB in figuur 8a). Dit impliceert, dat in

_de

uitgeknik-te plaat gebieden voorkome, welke "plasto-elastiach"

zijn, d.w.z, dat in dezegebieden

_{et gedrag van de plaat}

over de dikte overgaat van plastisch

_{in elastisch.}

Zo-als In Hoofdstuk II, paragraaf 5,vermeld is, heeft Shanley

aangetoond dat uitknikken plaats heeft bij toenemende

belasting, zodat aan de bolle kant

_{geen vermindering van}

de spanning veroorzaakt wordt

_{Een en ander heeft tot}

ge-voig, dat de waarden

_{van de knikspanning, welke berekend}

worden volgens

Ilyuhin's

theorie,

siecht

_{overeensteinmen}

met. de resultaten van knikproeven. Een tweedeóorzaak is

bet feit, dat hij voor de

_{contraotie-coffjcjnt 0,5}

kiest. Door hot evenwicht

_{te beachouwen van een eleznentje,}

op analoge wijze als dit in paragraaf

_{2 van dit hoofdstuk}

'is gedaan voor het elastische

_{gebied, worden twee}

simul-tane, niet-lineaire

_{differentiaalvergejjjkjngen van de}

vierd.e orde in de d.00rbuiging en de spanningen verkregen.

Indien aangenomen wordt

_{dat de krachten}

_{N, N}

_en

wolke op een

_{lnentje werken,}

niet _{vernderen) waimeer}

de plaat uitkzii1t, kan dit

_{stelse]. vergelijkingen}

_vereen-.

voudigd worden tot éón enkele

_{ineaire d.ifferentiaa]4er_}

gelijking van de vierde

orde

De afwijking in de uitIçomten,

_{wolke het gevoig is}

_van

deze bonadering, is alechta

_gering.

2\

If:

2

_rç7

2

= e.

Voortbouwende op het werk van Ilyishin, heeft

_aowen

_[5]

.dediíTerentiaalvergo].jjkjng voor de uitgeknikte toestand

berekend, waarbij hij zieh baseerde _{op het principe van} Shaiiley, dat geen (absolute) verkielning van de rek

plaats heeft aan de bolle zijde van de plaat. Ook Stowell

neenit aan Y

0,5.

_Voor

_{een rechthoekige plaat, lange de}

zijden xO en x=a belast door drukkracbten _{o,. vindt hlj}

de volgende vergelijking:

D (ci+22W2+L)+o.t4o

_(2e) waarin: I

Et3

D s I

lEt

al

=7r4-]8

Es

=-i-Es is de seoans-mod.ulus. De zogenaanid.e

_{ideale spnning O}

is

di spanning, welke dezelfde rek _{veroorzaakt als} de gezamenlijke spanningen

Ç ø

_{en V,. Doze groothe-..}

den keimen wij uit de bretikhypothese _{van Huber-Heùcky en} zij worden gedefiniöerddoor:

t2

Xy

In het

onderhavige geval, waarbij de plaat

alleen

Fluur

i _{geeít nog(een verduidelijking van de begrippen}

E, Et en E5. _{Het felt dat in vergelijking (28) twee} para-meters, t.w. Et enEs voorkomen, heeft tot gevoig,

dat

analyse van knikproblemen volgens de theorie van Stowell uitermate ingewikke].djs. Ret resultaat van berekeningen, gebaseerd op vergelijking (28), is gegeven in tabel 3. Hierin is de verhouding van de kniksj,anzing voor het geval dat de wet van Hooke onbeperkt geldig zou zijn. Aangezlen beide knikspariningen verkregen zijn door te

rekerien met

Y=

0,5

_{in plaata. vax 0,3, aal de Lout inri}

ten gevole van het.op elkaar delen van beide spnnfngen

praktisch geliinlneerd worden.

rabel 3

type Eefectie.t _{kromme in}

Lig.16

E

lange plaat,

één onbelaste rand vrij, de andere echarnierend

Es

T

A

lange plaat,

één onbelaste rand vrij,

de andere ingekleind (0,A4-28+0,572

V)

B lange plaat,

beide onbelaste randen scharnierend

Es

(0,50 + 0,50

T

lange platen,

beide onbelaste rand.en

ingeklernd

(0,352 +c68 Vs.,) D

plaat,

beide onbelaste randen

vrij, a/b.1

0,250 + 0,750 idem a/b

I

0,114

_{+ 0,866}

idema/b1

Et