1.6.Logarytmowanie.pdf 

1.6. LOGARYTMOWANIE Definicja logarytmu b a c b c a = ⇔ = log 0 1 ; 0 > ≠ > b a a a- podstawa logarytmu b - liczba logarytmowana c - wynik logarytmowania Własności logarytmu x x log

log₁₀ = - logarytm dziesiętny 0 1 log_a = 1 log_a a= x aloga x = Przykład 1.6.1. Oblicz:

a) log₂32 b) log₄4 c) log₄1 d) 10

1

log b) ₅log59

Rozwiązanie Komentarz

a) log₂32=5, bo 25 =32 Korzystamy z definicji

b a c b c a = ⇔ = log b) log₄4=1 log_a a=1 c) log₄1=0 log_a1=0 d) 1 10 1 log 10 1 log = ₁₀ =− , bo 10 1 10−1 = b) 5log59 =9 _aloga x = _x

Przykład 1.6.2. Oblicz a) log ₃9 b) log10310 Rozwiązanie Komentarz a) log ₃9=x 3x =9 2 2 1 3 3 = x 4 2 / 2 2 1 = ⋅ = x x 4 9 log ₃ = , bo

( )

Obliczając wartości logarytmu ( w bardziej skomplikowanych przykładach ) moŜemy skorzystać z definicji b a c b c a = ⇔ = log i

zamienić równanie logarytmiczne na równanie wykładnicze.

Rozwiązując równanie wykładnicze

doprowadzamy obie strony równania do potęgi o tej samej podstawie. Następnie podstawy opuszczamy. b) 3 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 log 3 1 1 3 1 3 3 = = ⋅ = = = x x x x x Jak wyŜej.

Prawa działań na logarytmach y x y x _{a a} a +log =log ⋅ log y x y x _{a a} a log log log − = n a a x x nlog =log a x x b b a log log log =

Przykład 1.6.3. Oblicz

a) ₄log29 _{b) log8}+_{log125 c) log 0,6 log 0,15}

2 1 2 1 − d) 5 log 125 log 6 6 Rozwiązanie Komentarz

a) ₄log29 =₂2log29 =₂log292 =

81 2log281 =

=

Korzystamy ze wzoru nlog_a x=log_a xn oraz

x aloga x =

b) log8+log125=log

(

)

y x y x _{a a} a +log =log ⋅ log c) log 4 15 , 0 6 , 0 log 15 , 0 log 6 , 0 log 2 1 2 1 2 1 2 1 − = = 2 2 1 2 1 4 2 1 4 log 2 2 1 − =       =       =       = − x x x x 2 15 , 0 log 6 , 0 log 2 1 2 1 − =− Korzystamy ze wzoru y x y x _{a a} a log log log − = d) 3 5 log 5 log 3 5 log 5 log 5 log 125 log 6 6 6 3 6 6

6 _{= = =} Korzystamy ze wzoru nloga x=loga xn.

Skracamy log₆5.

Przykład 1.6.4. Oblicz wartość wyraŜenia log₃4⋅log₄5⋅log₅7⋅log₇9.

Rozwiązanie Komentarz 2 9 log 7 log 9 log 5 log 7 log 4 log 5 log 4 log 9 log 7 log 5 log 4 log 3 3 3 3 3 3 3 3 7 5 4 3 = = = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ Korzystając ze wzoru a x x b b a log log log =

zamieniamy log₄5,log₅7,log₇9na logarytmy o podstawie 3.

ĆWICZENIA Ćwiczenie 1.6.1. Oblicz: a) (1pkt.) log₃81 b) (1pkt.) log 0,001 c) (1pkt.) log 2 1 4 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1 Ćwiczenie 1.6.2. Oblicz: a) (1pkt.) 2log5 5+ log8 b) (1pkt.) 2log29 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.6.3. (1pkt.) Oblicz: Wiedząc, Ŝe Oblicz:

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie wyniku. 1

Ćwiczenie 1.6.4. (2pkt.)Oblicz bez uŜycia tablic: log ₆ 3⋅log₃36.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź Liczba

punktów 1 Zamiana log ₆ 3.na logarytm o podstawie 3. ₁