Jak opisać świat w małej skali?
Podstawy mechaniki kwantowej
2
Promieniowanie elektromagnetyczne
10-12 10-10 10-8 4 x 10-7
Gamma rays
X rays Ultraviolet Infrared Microwaves Radio waves FM Shortwave AM 4 x 10-7 Wavelength in meters 5 x 10-7 6 x 10-7 7 x 10-7 7 x 10-7 10-4 10-2 1 102 104 Vi si bl e gamma X ultrafiolet widzialne
podczerwień mikrofale radiowe
1 second λ1 ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz ν2 = 8 cycles/second = 8 hertz λ2 λ3 ν3 = 16 cycles/second = 16 hertz
mała długość fali duża częstość duża długość fali mała częstość
4 1 second λ1 ν1 = 4 cycles/second = 4 hertz ν2 = 8 cycles/second = 8 hertz λ2 λ3 ν3 = 16 cycles/second = 16 hertz
Promieniowanie elektromagnetyczne
[ ]
sT
11
=
ν
λ− długość fali [m] ν − częstość [1/s] Τ − okres [s][ ]
s
m
T
c
=
λ
=
λ
⋅
ν
5 Przykład1 Wyznaczenie częstości światła z długości fali
Jaka jest częstość promieniowania podczerwonego stosowanego w dalmierzu (autofocus) aparatu fotograficznego, jeżeli długość fali tego promieniowania wynosi 1.00 µm?
! pamiętając, że λ ⋅ ν = c i przeliczając długość fali na
metry, tak aby c i λ były wyrażone w tych samych jednostkach, długość fali wynosi:
λ = 1.00 µm ⋅
10
-6= 1.00⋅10
-6m
1µm
ν = = 3.00⋅10
3.00⋅10
8m/s
14 1/s
1.00⋅10
-6m
3.00⋅10
14Hz
Promieniowanie elektromagnetyczne
⇒
=
λ
ν
c
6
1.
Rozkład energii w widmie ciała doskonale
czarnego
2.
Efekt fotoelektryczny
3.
Efekt Comptona
4.
Widma atomowe
5.
Układ okresowy
Fakty eksperymentalne
7
Fakty eksperymentalne
1.
Rozkład energii w widmie ciała doskonale czarnego
ν
h
E
=
Max Planck 1900s
J
h
=
6
.
626
⋅
10
−34⋅
kwanty energii http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/applets/Blackbody/frame.html8
Φ
+
=
2 2 1v
em
h
ν
Fakty eksperymentalne
2.
Efekt fotoelektryczny
Albert Einstein 1905 hν e me – masa elektronu v – prędkość ν – częstość Φ – praca wyjścia bilans energii9
Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami.
Kwantowanie można porównać z wlewaniem wody do wiadra. Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którą można przenieść, to jedna cząsteczka H2O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami.
10 Przykład 2 Wyznaczenie energii fotonów
Jaka jest energia (w kilodżulach na mol) fotonów światła żółtego o częstości 5.2⋅1014 Hz? Każdy foton ma energię, która odpowiada częstości światła, zgodnie
z równaniem E=hν. Z równania tego należy obliczyć tą energię,
a następnie pomnożyć ją przez stałą Avogadra, by wyznaczyć energię na mol fotonów (w kilodżulach na mol 1kJ = 103 J, 1Hz = 1/s).
E = hν = (6.63⋅10
-34J⋅s) ⋅ (5.2⋅10
14 1/s) = 6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10
-20J
(6.63 ⋅ 5.2 ⋅ 10
-20J) ⋅ (6.022⋅10
23/mol) ⋅ (1 kJ/10
3J) = 2.1⋅10
2kJ/mol
11 równanie de Broglie’a
λ
h
p
=
Fakty eksperymentalne
3.
Efekt Comptona
zasada zachowania pędu
pi ps θ pe pi e s i
p
p
p
ρ
=
ρ
+
ρ
p s ih
h
h
λ
λ
λ
=
+
λ
θ
λ
cos
=
s iθ
cos
=
i sp
p
ρ
ρ
(
θ
)
λ
λ
i=
e1
−
cos
12
Przypuśćmy, że elektron w atomie porusza się z prędkością 2.2⋅106 m/s. Jaka jest długość fali de Broglie’a elektronu?
Równanie λ = h/mυ podaje zależność między długością fali a masą i prędkością obiektu. Aby z niego skorzystać
musimy znać masę elektronu i wartość h (jednostki: kilogram, metr, sekunda).
(9.109 ⋅ 10
-28g) ⋅
10
-3kg
= 9.109 ⋅ 10
-31kg
1g
6.63⋅10
-34J⋅s
(9.109⋅10
-31kg) ⋅ (2.2⋅10
6m/s)
λ = = 3.3 ⋅ 10
-10m
1J = 1kg ⋅ m
2/s
2; 330 pm
Przykład 2 Obliczenie długości fali obiektu
13
Jaką masę mają fotony pochodzące ze światła o długości fali 500 nm?
Równanie mυ = h/λ podaje zależność między masą i prędkością obiektu a długością fali.
m
e=9
⋅
10
-31kg
Przykład 3 Obliczenie masy fotonu
Fakty eksperymentalne
kg
s
m
m
Js
m
c
h
m
f f 37 8 7 -34-10
4
10
3
10
5
10
6.63
=
⋅
−⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
λ
14 07_97 Prism Slit Continuous spectrum Electric arc (white light source) (a) Prism Slit Detector (photographic plate) Hydrogen gas (b) High voltage 410 nm434 nm 486 nm 656 nm Detector (photographic plate) Arc VI BGYOR + -+
-Fakty eksperymentalne
4.
Widma atomowe
2
1
2
1
1
2 2
>
−
=
n
n
R
oλ
15
Fakty eksperymentalne
5.
Układ okresowy
02_29 1 H 3 Li 11 Na 19 K 37 Rb 55 Cs 87 Fr 4 Be 12 Mg 20 Ca 38 Sr 56 Ba 88 Ra 21 Sc 39 Y 57 La* 89 Ac† 22 Ti 40 Zr 72 Hf 104 Unq 23 V 41 Nb 73 Ta 105 Unp 24 Cr 42 Mo 74 W 106 Unh 25 Mn 43 Tc 75 Re 107 Uns 26 Fe 44 Ru 76 Os 108 Uno 27 Co 45 Rh 77 Ir 109Une Uun110 Uuu111 28 Ni 46 Pd 78 Pt 29 Cu 47 Ag 79 Au 30 Zn 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 Cd 80 Hg 31 Ga 49 In 81 Tl 5 B 13 Al 32 Ge 50 Sn 82 Pb 6 C 14 Si 33 As 51 Sb 83 Bi 7 N 15 P 34 Se 52 Te 84 Po 8 O 16 S 9 F 17 Cl 35 Br 53 I 85 At 10 Ne 18 Ar 36 Kr 54 Xe 86 Rn 2 He 58 Ce 90 59 Pr 91 60 Nd 92 61 Pm 93 62 Sm 94 63 Eu 95 64 Gd 96 65 Tb 97 66 Dy 98 67 Ho 99 68 Er 100 69 Tm 101 70 Yb 102 71 Lu 103 1A 2A Transition metals 3A 4A 5A 6A 7A 8A 1 2 13 14 15 16 17 18 A lka li m et a ls Alkaline
earth metals Halogens
Noble gases
*Lanthanides
16 !dyfrakcja !interferencja !dyfrakcja !interferencja falowe !promieniowanie katodowe !promieniowanie beta
!ciało doskonale czarne !efekt Comptona !efekt fotoelektryczny korpuskularne elektrony światło własności
Dualizm korpuskularno-falowy
http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E Przykład: proces fotograficzny18
Pd-Cs cathode
Źródło pojedynczych elektronów
Zgodnie z relacją de Broglie’a cząstka o określonej prędkości jest falą, której długość określa równanie:
e e e
m
h
υ
λ
⋅
=
Gdzie zatem znajduje się elektron?
Fala rozciąga się w przestrzeni, jest wszędzie. Jednak elektrony są jednocześnie falą i materią Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Elektrony
20
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
"
jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej
położenia.
"
gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej
prędkości.
tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości
"
jeżeli znamy prędkość cząstki, to nie możemy określić jej
położenia.
"
gdy znamy położenie cząstki, wówczas nie wiemy nic o jej
prędkości.
tzn. znając położenie cząsteczki, nie możemy opisać jej jako fali o określonej długości
h
p
x
⋅
∆
≥
∆
Czy są sytuacje, że zasada nieoznaczoności nie działa?
Dualizm korpuskularno-falowy
# zjawiska makroskopowe, gdy falowe właściwości materii nie odgrywają
21
energia
masa
pęd
h
h
-- stała Plancka = 6.62 stała Plancka = 6.62 .. 1010--3434 JJ..ssν
ν
–– częstość, sczęstość, s--11λ
λ
-- długość fali, mdługość fali, mc
c
–– prędkość światła 3prędkość światła 3..101088 m/s m/sλ
ν
h
c
h
p
f=
=
ν
h
E
f=
2c
h
m
f=
ν
Fotony
Dualizm korpuskularno-falowy
22
Mechanika kwantowa
Podstawy
1.
Kwantowanie energii
interpretacja efektu fotoelektrycznego i rozkładu widma ciała
doskonale czarnego
ν
h
E
=
2.
Dualizm korpuskularno-falowy
każda poruszająca się cząstka (foton, elektron) emituje falę o
długości:
p
h
=
λ
3.
Zasada nieoznaczoności
nie można dokładnie ustalić położenia i pędu cząstki
h
p
x
⋅
∆
≥
Podstawy
4.
Gęstość prawdopodobieństwa
można natomiast ustalić prawdopodobieństwo P
przebywania cząstki w określonej objętości dV.
Prawdopodobieństwo w danej objętości definiujemy jako
gęstość prawdopodobieństwa Ψ
2:
dV
P
=
2ψ
5.
Równanie Schrödingera
funkcję Ψ znajdujemy rozwiązując równanie różniczkowe:
ψ
ψ
E
H
ˆ
=
gdzie Ψ oznacza funkcję falową.
24
Co to jest funkcja falowa?
Mechanika kwantowa
x y z P – prawdopodobieństwo Ψ– funkcja falowa ρ – gęstość prawdopodobieństwa)
,
,
(
)
,
,
,
(
x
y
z
t
x
y
z
dV
P
ρ
ρ
ρ
=
=
≈
Definicje
Istnieje taka funkcja, że
1
2 2=
=
∫
ψ
ρ
ψ
Definicje
Co to jest operator w matematyce?
dowolna operacja matematyczna, jak na przykład:
sin
dx
d
×
+
f
g
f
G
ˆ
=
⋅
Co to jest zagadnienie własne?
jeżeli w wyniku działania jakiegoś operatora G na funkcję f
otrzymamy tą samą funkcję przemnożoną przez liczbę g:
wówczas liczbę g nazywamy wartością własną operatora G
^
^
26
Definicje
ax axAe
a
Ae
dx
d
−=
2⋅
− 2 2Co to jest zagadnienie własne?
Przykład
można policzyć, że podwójne różniczkowanie funkcji:
daje:
gdzie:
axAe
f
=
−G
dx
d
ˆ
2 2jest operatorem i a2 jest wartością własną
27
V
T
H
ˆ
=
ˆ
+
ˆ
Równanie Schrödingera
ψ
ψ
E
H
ˆ
=
− − − ψ EHˆ operator różniczkowy Hamiltona
energia funkcja falowa m – masa cząstki h – stała Plancka
Mechanika kwantowa
zasada zachowania energii
+
+
−
2 22 22 222
dz
d
dy
d
dx
d
m
h
r
e
Z
0 24
πε
⋅
−
Z – ładunek jądra przyciąganie Coulombowskie jądro-elektronenergia kinetyczna elektronu
ε0– stała dielektryczna próżni operator energii potencjalnej operator energii kinetycznej
28
Równanie Schrödingera
2 2 22
ˆ
dx
d
m
h
H
=
−
jeżeli cząstka porusza się w jednym wymiarze x
to operator Hamiltona ma postać w stanie nieważkości:
+
+
−
=
2 22 22 222
ˆ
dz
d
dy
d
dx
d
m
h
H
a w trzech wymiarach x, y, z: m – masa cząstki h – stała PlanckaMechanika kwantowa
Równanie Schrödingera
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje
falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności
rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E
wyznaczonymi doświadczalnie.
Rozwiązując równanie Schrödingera otrzymuje się funkcje
falowe i odpowiadające im wartości energii E. O poprawności
rozwiązania świadczy jego zgodność z wartościami E
wyznaczonymi doświadczalnie.
30
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
x x=0 x=L
)
(
)
(
2
2 2 2x
E
x
dx
d
m
h
ψ
=
ψ
−
równanie Schrödingera ma postać:
31
)
Ψ(
Ψ
2
2 2 2x
E
dx
d
m
h
=
−
E
– energia cząstkiA, B
– stałe całkowaniakx
B
kx
A
x
)
sin
cos
Ψ(
=
+
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
rozwiązanie równania ma postać ogólną:
gdzie
π
2
h
=
η
2 1)
2
(
η
mE
k
=
iMechanika kwantowa
32
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Uwzględniając warunki brzegowe cząstki w pudle dla:
x=0 to
Ψ
=0
ix=L to
Ψ
=0
bo cząstka nie przebywa na ściankach pudła. Podstawiając x=0 do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ
(x=0)=Asin (k
⋅
0)+Bcos(k
⋅
0)=0
zauważmy, że:
sinkx=0 i coskx=1
wówczas
B=0
Podstawiając x=L do równania ogólnego otrzymamy:
Ψ
(x=L)=Asin (k
⋅
L)=0
wówczas
A=0 lub sin (k
⋅
L)=0
jednak A=0 wykluczamy, bo cząstka istnieje (Y(x)= 0 dla 0 < x< L)
33
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Zatem dalej:
sin (k
⋅
L)=0
wtedy i tylko wtedy, gdy
k=n
⋅π
i n
jest liczbą naturalnąPodstawmy do wzoru na
k
Z tego otrzymamy wzór na energię E
π 2π 3π
...
2
,
1
)
2
(
2 1=
=
=
mE
n
n
k
π
η
...
2
1
8
2 2 2,
n
mL
h
n
E
=
=
Energia cząstki jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby
kwantowej
n
34
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
...
2
1
8
2 2 2,
n
mL
h
n
E
=
=
Mechanika kwantowa
1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 n n2 Epoziomy energetyczne cząstki
0
35
dla stanu podstawowego
dla stanu podstawowego n = 1
dla stanu wzbudzonego n > 1
można wykazać, że z warunku
określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego
∫
Ψ
=
Ldx
x
0 2(
)
1
L
x
n
L
x
nπ
sin
2
)
(
2 1
=
Ψ
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Mechanika kwantowa
36
Cząstka w pudle potencjału (jednowymiarowym)
Mechanika kwantowa
funkcja falowa i energia
L
x
n
L
x
nπ
sin
2
)
(
2 1
=
Ψ
2 2 28mL
h
n
E
=
x=0 x=L 1 2 3 1 4 9 n n2 E 0 ψ37