Contribution à la transition dans la couche limite

QUESTION I. - LES INSTABILITÉS FONDAMENTALES 43

Contribution

la

la

transition

Iimite

,

a

dans

couche

Contribution to boundary

layer transition

PAn.

J.O.

HINZE, H.

LEIJDENS,

J.B.

VAN DEN

BRUG

ET

D.

KLEIWEG,

FLUID MECHANICS LABORATORY, TECHNICAL UNIVERSITY, DELFT, PAY-BAS

See Englillh lIummary page 559

A l'cide de la méthode du ruban vibrant de Schubauer et Klebanoff. on a étudié expérimentalement l'évolution tridimensionnelle d'une perturbation sinusoïdale locale

introduite dans une couche limite laminaire.Les distributions de la vitesse moyenne et de l'intensité de la composante axiale de la turbulence, de même que Ie spectre d'énergie de celle-ci,ont été mesurés par anémomètre à fil chaud. Les mes,ures mettent dairement en évidence Ie développement tridimensionnel des tourbillons perturbateurs depuis leur naissance, en passant par la forme en boude iusqu'è

la forme en épingle à cheveux. Les harmoniques superieure se développent à un stade ultérieur et ne prennent de l'importance que peu avant Ie passage au régime turbulent, les premiers symptórnes étant l'apparition d'« épines» ou «spikes»

(simple,doubles ou triples)et de bouffées de turbulence localisées.

NOTATlONS

x distance à partir du bord d'attaque de la plaque de verre .

distance à partir de la paroi de la plaque .

y

z - di stance latérale, parallèle à la paroi. .. . ... ... . ... . ... . . ... cm

U vitesse moyenne dans la direction axiale .

Uo - vitesse de l'écoulement libre .

u' - intensité de la composante axiale de la turbulence . v' intensité de la composante de la turbulence en direction y .

épaisseur de la couche limite ' . viscosité cinématique . ö 'IJ cmys cm/s cmys cmys cmys cm2/s cm cm

44 LES INSTAUILITÉS EN HYDHAULIQUE ET EN MÉCANIQUE DES I'LUIDES

I. - INTRODUCTION

Cette communication a pour but d'apporter

une petite contribution à l'appui de certaines idées relatives au mécanisme de la transition laminaire-turbulent, telles qu'elles ressortent des

récentes études théoriques et expérimentales [1

à 9]. Bien que notre compréhension de ce méca-nisme soit loin d'être parfaite, notamment en ce

qui concerne Ie processus de la rupture tur bu-lente, on a pu acquérir une vue générale des phases successives qui précèdent cette rupture (voir par exemple [4] et [8]). De manière géné

-rale, on s'accorde pour reconnaître une simili

-tude prononcée, sinon totale, entre une transi

-tion naturelle et une transition provoquée par l'introduction de pertu rbations artificielles dans

la couche limite laminaire.

Des perturbations répondant aux critères de l'instabilité et qui sont introduites artificielle -ment dans une couche limite laminaire (àl'aide,

par exernple, d'un ruban vibrant) croissent

exponentiellement selon les théories linéaires. Ces perturbations (sinusoïdales) dorment nais

-sance à des nappes tourbillonnaires, leurs to ur-billons étant parallèles au ruban générateur et périodiques dans Ie sens de l'écoulement. Peu

à l'aval du ruban, ces tourbillons sont déformés par auto-induetion et induction mutuelle (Theo -dorsen [10], Hama [9]) en boucles tridimen -sionnelles. Aux stades ultérieurs, des efIets non linéaires se font sentir. Les boucles tourbillo n-naires setransforment en « épingles àcheveux »,

dont Ie sommet devient de plus en plus pointu, tout en s'éloignant par auto-induetion de la pa -roi (Hama [9]). En raison de l'étirement du vo r-tex, l'accroissement du tourbillon au sommet se

manifeste par «epines »observées dans les osc

il-logrammes à 0,6ö environ de la paroi. Simulta -nément, l'écoulement principal se déforme, pro

-voquant des points d'inflexion dans la dis tribu-tion des vitesses en mêrne temps qu'une instabi

-lité secondaire. 11 se produit alors une «lame» ou «bosse» de fluide, de vitesse relativement

faible, qui est rejointe et dépassée par une co

u-che extérieure se déplaçant plus rapidement; et l'on observe une seconde s épine» à proximité de la première. La dégradation totale en t

urhu-lence généralisée intervient peu après.

On peut classer en deux catégories les recher-ches à base de perturbations artificielles. A la

première appartiennent les expériences

em-ployant une perturbation unique et localisée, soit continue et fixée à la paroi (élément de rugosité), soit transitoire (point chaud). Dans ce type d'ex

-périences, plusieurs fréquences sont associées à

la perturbation et elles sont fonction de I'élérnent perturbateur lui-mêrne. Dans la seconde catégo -rie d'expériences, des perturbations de fréquence bien définie sont introduites au moyen d'un ru-ban vibrant, Que la perturbation soit naturelle ou artificielle, il y a périodicité dans la direction

z (Ie long du ruban), et cette périodicité se

con-serve plus loin vers l'aval.

Dans la présente étude une methode a été adoptée qui combine les caractéristiques des

deux catégories de perturbations : on utilise un

ruban vibrant pour engendrer des perturbations

de façon continue, ma is celles-ei sont beaucoup plus intenses dans une région z de faible éte n-due z

=

O. On a produit ainsi une perturbation

continue mais localisée, de fréquence bien dé

fi-nie.

11. - MONTAGE EXPÉRIMENTAL

La souillerie à retour à faible niveau de

turbu-lence (u'IVo de l'écoulement libre

<

0,04%) pos -sède un tronçon de travail de dimensions :

40 X 60 X 250cm.

La vitesse maximale que l'on peut y obtenir est d'environ 30mis. Vne plaque de verre, d'épais-seur 0,63 cm, 60 cm de haut et d'une longueur de 160 cm, fut placée verticalement à 10 cm de l'une des parois latérales et paralIèle à celle-ci. L'extrémité amont de la plaque est réalisée en aluminium SUl' une longueur de 10cm. Elle est effilée et possède une arête frontale tranchante.

A l'extrémité aval, on a disposé un petit «

gou-vernail » pour assurer un écoulement uniforme dans la couche limite Ie long de la plaque. Au

surplus, des dispositions furent prises pour que

Ie gradient de pression soit nul.

A 30cm de l'arête amont, un ruban en bronze (épaisseur 0,006 cm, largeur 0,28 cm) était placé parallèlement à la paroi de la plaque et à une

distance de 0,04cm. L'écartement entre les s

up-ports était de 31cm. La vibration du ruban à la

fréquence et à l'amplitude voulues était réalisée en y faisant passer un courant alternatif, tandis

que des airnarits permanents étaient installés de

l'autre cöté de la plaque.

Au-dessous du ru ban, un moreeau de «Scotch»

(épaisseur 0,02cm, largeur 1,5 cm) était collé sur la plaque de verre, de façon toutefois à lais-ser un esp ace libre d'une longueur de 1,8 cm à z

=

0 (Ie cerrtre du ruban).

QUESTION J. - LES INSTABILITÉS FONOAl\fENTALES

La vitesse moyenne, de mêrne que la vitesse turbulente, a été mesurée à l'aide d'un anémo-mètre à fil chaud en tungstène (diamètre : 3!J" longueur 0,1cm), relié à un appareillage électro-nique « à température constante». Un analyseur

45

de fréquence Muirhead-Parmetrade D-489-GM à bande étroite (environ 1 Hz)a servi à déterminer la distribution de l'énergie de turbulence parmi les divers harmoniques de la fréquence pertur-batrice fondamentale (95Hz).

lIl. - LES MESURES Lors de ces expériences, la vitesse de

l'écoule-ment libre était de Vo=770cm/s. Compte tenu des erreurs de mesures, la distribution de la vi-tesse moyenne dans la couche limite laminaire demeurait très proche d'une distribution de Bla-sius. Au niveau du ruban vibrant, l'épaisseur de la couche limite était de 8= 0,45cm, cequi cor-respond à un nombre de Reynolds Vo8/v d'en-viron 2300. En l'absence du ruban, la transition naturelle ne s'est pas produite même à l'extré-mité de la plaque.

La f'réquence perturbatrice de 95Hzintroduite par Ie ruban vibrant à x

=

30 cm correspond à une position proche de la branche de gauche (I)

de la courbe d'instabilité de Lin. La valeur prise pour l'amplitude vibratoire du ruban était telle que la première «épine» était observée à x

=

56 cm et y

=

0,4cm. La transition se produisait entre x=66cm et 68 cm.

Des relevés transversaux de vitesse moyenne, en fonction de la distance y perpendiculaire à la plaque, étaient effectués à plusieurs valeurs de x, pour la plu part dans les plans z =0; 0,4; 0,9; 1,2; 1,6; et 2,3 cm.

Des mesures transversales similaires furent

également réalisées pour la composante axiale de la turbulence u', De surcroit, des oscillogram-mes des fluctuations de Vont été pris dans Ie plan z

=

0, à plusieurs valeurs de x et y.

Dans Ie plan z= 0, la distribution de I'inten

-sité u', ainsi que ses composantes de 95, 190et 285Hz,étaient déterminées, d'une part en fonc

-tion de x à y =0,114 cm, ce qui correspond grosso modo au niveau critique, et d'autre part en fonction de y à x

=

30cm (à l'aval immédiat du ruban), puis 34, 38, 42, 46, 48,50, 52, 54,56, 58, 60, 62, 64, 66, 68 et 70 cm.

IV. - R[SULTATS EXP[RIMENTAUX Sur les figures 1 et 2 sont portées respeclive

-ment la distribution sur l'axe des y de la vitesse moyenne VIVo et l'intensité relative uf/VO en

fonction de x, pour les plans z

=

°

et z

=

0,9cm (Ie bord de l'espace libre au centre du moreeau de «Scotch»).

Jusqu'à x =45 cm, la distribution de la vitesse moyenne dans Ieplan z

=

°

suit toujours deprès la courbe de Blasius. Aux valeurs supérieures de x, des écarts par rapport à la courbe de Blasius se manifestent. Pour x

>

50cm environ, il appa-rait un creux dans la distribution des vitesses, dont la profondeur va s'accentuant jusqu'à x =64cm. En progressant plus encore vers l'aval, la distribution des vitesses se rapproche progressivement de celle d'un écoulement pleine-ment turbulent, n'y parvenant tout à fait cepen-dant qu'aux alentours de x

=

130cm. Le creux dans la distribution des vitesses se produit à y =0,3 cm, ce qui correspond à 0,5 ou 0,6 8. La position de ce creux correspond approximative-ment avec celle du maximum des courbes de dis

-tribution de uflVo (voir fig. 2). L'épaisseur de la couche limite augmente considérablement dans la zone entre x

=

55 cm et x

=

70 cm, c'est-à

-dire : la zone oü la distribution des vitesses com-porte un creux et évolue vers la distribution en régime turbulent.

Les courbes de distribution de la vitesse moyenne et de u'IVo dans Ieplan z=0,9cm ont des caractéristiques analogues. On note cepen

-dant les différences suivantes :

à partir de x =50 cm, les distributions des vitesses moyennes sont plus fournies dans la région près de la paroi;

les creux dans les distributions de vitesses entre x

=

55 cm et x

=

66cm sont beaucoup moins prononcés et se situent approximati-vement à y =0,2cm, c'est-à-dire plus près de la paroi. Ilenest de même desmaximums des distributions;

l'accroissement de l'épaisseur de la couche limite est bien moindre.

L'évolution des distributions de la vitesse moyenne et de u'IVo, telle qu'elle ressort des figures 1 et 2, peut s'expliquer en admettant qu'une ligne tourbillonnaire engendrée au ruban se développe à mesure de sa progression vers l'aval en forme d'épingle à cheveux, tandis qu'en même temps Ie sommet de l'épingle s'éloigne

46 LES INSTABILITÉS EN HYDRAULIQUE ET EN MÉCANIQUE DES FLUIDES yfc

/

1.0 :z I f I / .5

,

I I I I I I I I o~~ ~~ __~~ __~ ~__~~ __~C_ __ ~~ __~~-,~~~-=~~~~.-~~ ~z~.o~__ 45 50 60. 70.cm x FIG.

Distribution de la vitesse moyenne dans les plans z

=

0 et z

=

0,9 cm

y(cm) _, \ \ \ \ \ \ \ 10 , \ \ \ \ \ \ ÉcHELLE \ \ .5 z.D.9cm , \ \ \ \_\ \ \ \ \ I I

,

,, > ---::."_--"" z-û cn: cm x FIG. 2 Distribution de u'/U. dans les plans z

=

0 et z

=

0,9 cm cm [.5 z / _X_ ~ t.- r--

'r

--b'-

t-b _I

1\

r-,

1---1'-,

r-:::::

p:::::

_t-::::

t- _r-....

Lï

r.-

!

V

I---:~

E:::

[S-I-- V 0[0en I--~ F-- P I-- (I--i ~ [-5 ESFW:E à x.30 cm FIG. 3

Forme moyenne de temps des tourbillons cornme fonclion de Ja distance .1: (lignes oü les fluctuations sont en phase y

=

0,1cm)

QUESTION I.- LES INSTABILITÉS FONDAl\1ENTALES 47

•

peu à peu delaparoi, tout en derneurant à env i-ron y

=

0,3 cm pour x

>

50 cm (la zone oü app a-raissent les creux dans les courbes des vitesses

moyennes). Le sommet de l'épingle correspond

aux maxima des courbesde distribution deu'IVo.

Remarquons, en passant, que ce maximum se situe au départ à y

=

0,04 cm et x

=

30cm et qu'il se décale progressivement vers y =0,3 cm

pour x

>

50 cm. La couche critique ('y=0,1cm)

est dépassée apparemment sans incident. Les distributions de vitesse moyenne en divers plans z mettent clairement en évidence la «lame»

tri-dimensionnelle defluiderelativement lent sig

na-lée dans l'introduction.

On peut mieux comprendre la déformation

des lignes-tourbillon, avec variation périodique

du tourbillon, constituant la nappe tourbillo

n-yy

~ x.54cm I I I I _/ /' / ,

(YV

_.- 95Hz ---190Hz ······285HZ FIG. 4

Distribution de II'/Uo, la première, seconde et troisième

harmonique dans la couche Iimite

(z

=

0)

naire et produite par Ie ruban vibrant, en co

n-sidérant les points oü les fluctuations de vitesses ont la même phase que celles du niveau du r u-ban.

La figure 3 montre, au niveauy

=

0,1cm(sen

-siblement Ie niveau critique), les lignes oü les

fluctuations de vitesse sont en phase. Elles co

r-respondent assez bien avec la déformation des

lignes-tourbillon en épingle à cheveux plus à

l'aval. Les courbes sans déphasage nedépassent pas x =56 cm, car au-delà de cette position il

était impossible deles tracer avec précision.

Les figures 4, 5 et 6 indiquent la distribution de u'IVo, et de ses trois premiers harmoniques, à travers la couche limite pour différentes va

-leurs dex dans Ieplan z

=

O. Jusqu'à x

=

50 cm,

l'apport des harmoniques supérieurs à l'intensité

r-

Î

~

n

n

r

,

~V IY

DEUX EPINES .05 r, .... \ I I .

,

I I .\ I I" ...:·~~·,. /

--

I ,-

-

I x.58cm

-

_/ I

,.

,

,

I /' I /' /' :1 I /

"

/' / / .... /.'' _.,.. " 0.1 04 05 0.6 0.7 0.8

/V\

YV

iv

o

rl

i la /\./\ USE ÉPlSE .05 , , /' / / / /' / / / .:»: x.ss cm _y 0..7 0..8 cm 0.6 0.1 0.2 0.3 0.4 FIG. 5

Distribution de II'/Uo, la première, seconde et troi sfème

harmonique dans la couche Iimite à x

=

56 et x

=

58 cm (z=0)

48 LES INSTABILITÉS EN HYDRAULIQUE ET EN MÉCANIQUE DES FLUIDES

fu. n "J1v-II

10

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\

nOUFFÉE DE , 1'URBULENCE

(

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.r :... '_'--:.';' .... '\. // ... <:: x.62 cm ... 0.7 0.2 0..3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 cm .05 ....

/

~

-

-,

-..__-""," . \~. x.60cm .. . DI 0.2 0..3 0.4 0..5 0.6 FIG. 6

Distribution de ll'/Uo, la pr-emière, seconde et troisième harmonique dans la couche limite

à x

=

60cm et x

=

62cm (z

=

0)

tourbillonnaire globale est négligeable. On peut remarquer qu'à x =30 cm, l'anémomètre à fil chaud étant situé à environ 0,1 cm à l'aval du ruban, des tra ces du deuxième harmonique se manifestent déjà, mais Ie développement des harmoniques supérieurs ne devient sensible que beaucoup plus loin à l'aval, au-delà de xc

50 cm. Ceciest en contraste avec la déformation deslignes-tourbillon, c'est-à-dire la croissancede l'aspect tridimensionnel qui intervient dèsIe ru-ban (voir la fig. 3). Les oscillogrammes desfluc -tuations de vitesse ne témoignent pas d'une dis -torsion prononcée de la sinusoïde dans leszones oü les harmoniques supérieurs sont négligeables

(x

<

50 cm environ). Les «épines» apparaissent pour la première fois à x

=

56 cm et y =0;4 cm ('=0,6 0). Sensiblement à la même distance de la paroi, les épines-doubles se manifeste nt à x =58 cm. On notera que la position de ces

«épines» sur l'axe des y correspond assez bien aveecelledu point d'inflexionsupérieur du ereux figurant dans la distribution des vitesses moy en-nes, et qu'elle se trouve à peine au-delà du max i-mum de la courbe de distribution de l'intensité tourbillonnaire. Pour x

>

60cm, les oscillog ram-mes indiquent l'existence de bouffées de turbu-lence locale, par exemple à x

=

62cm et y =

0,4 cm (fig. 6). Il est intéressant de noter qu'à ce point les trois premiers harmoniques sont d'intensité minimale et que la différence entre l'intensité globale u' IVo et la somme des apports individuels de ces harmoniques est appréciable. Cet écart doit s'expliquer par l'entrée en jeu d'harmoniques encore plus élevés.

Habituellement, on présente la croissance des fluctuations de perturbation dans Ie sens aval en

portant l'intensité en fonction de x, à y ou

y

/

o

constant (par exemple à

y

/

o

= 0,2, Ie niveau

critique). Cette méthode ne paraît cependant convenir que lorsque les courbes de distribution d'intensité demeurent affinésquand on progresse vers I'aval. Commeilressort des courbes de dis

-tribution de u'IVo des figures 2, 4, 5 et 6, les courbes de distribution ne sont similaires que pendant les phases initiales de l'évolution de la perturbation (x

<

46cm environ). Au-delà de cette position, porter u'IVo en fonction de x à y ou

y

/

o

constant peut donner une idée fausse de la croissance dela perturbation. En conséquence, dans la figure 7, ce sont les maxima de u'IV0 et de ses harmoniques qui ont été tracés en fo nc-tion de x. A partir de x

=

60 cm, les courbes de distribution d'intensité comportent deux max i-ma. Dans ces cas, on a retenu celui qui procède de la position des maxima à l'amont. A partir de x

=

65 cm ou x

=

66 cm, un maximum com-mence à se développer près de la paroi (oy =0,1 cm), qui devient Ie maximum bien connu dans la couche à effort de cisaillement constant de la couche limite turbulente pleinement dévelo p-pée.

Jusqu'à x =46 cm, la croissance est exponen -tielle (en accord avec la théorie de Tollmien -Schlichting pour de petites perturbations bidi -mensionnelles). Puis elle devient beaucoup plus rapide, passant par un premier maximum à

x

=

58cm, un minimum à environ x

=

60 cm, et un second maximum à x

=

64 cm, position à partir de laquelle l'intensité globale décroît. Jus -qu'au second maximum, l'intensité globale est principale ment constituée destrois premiers har -moniques, mais au-delà de ce maximum, les au

-49

QUESTION I. - LES INSTABILITÉS FONDAMENTALES

.75 50 o cm DEV_X ÉPINESl UNE EPINE! .05 .... TOLLMlEN_SCHLlCHTING AMPLfFICATION -'NTENS,TÉ TOTAL

-'-PREMIÈRE HARMONlaUE ---SECONDE

··..··TROISIÈME

, \

000PREMIERE+SECONDE+TROISIEME

HARMONlaUE 4

l

BOUFFÉE DE TURBULENCE \

'

.

x

--FIG. 7

Intensité maximale de U - Fluctuation à z =0

tres harmoniques prennent de l'importance (voir

également la bouff'éé turbulente qui se manifeste

à x=62 cm). Il"y a maintenant passage

pro-gressif au régime pleinement turbulent.

Les harmoniques supérieurs n'ont été indiqués

que pour Ie plan z

=

0. Des harmoniques supé

-rieurs ont été également mesurés pour des plans

z

=

0, mais l'on ne peut se fier aux résultats

puisque l'on mesure en mêrne temps des

harmo-niques d'ordre 2 apparents en raison de

l'orien-tation oblique des lignes-tourbillon courbes par

rapport à l'anémomètre à fil chaud.

DISCUSSION

Le processus de Ia transition, tel que nous

l'avons observé dans ces expériences, est c

on-forme dans ses grandes lignes à la description

qui en a été faite dans l'introduction. La pe

rtur-bation produite par Ie ruban vibrant dans l'es

-pace libre ménagédans Ie moreeau de « Scotch»,

entre z

=

0,9 cmetz

=

-

0,9cm,aun tourbillon

qui manifeste un maximum à z

=

0, et qui dé

-croît progressivement vers une valeur beaucoup

plus faible pour z

>

0,9 cmetz

< -

0,9 cm.Cette

variation du tourbillon, et donc de u' et de v' Ie

longde l'axe des z, confère à la perturbation un

caractère tridimensionnel, tourbillon et vitesse

comportant trois composantes dès Ie début. Les

lignes-tourbillon constituant la nappe

tourbillon-naire ont par conséquent une forme en boucle

depuis Ie départ et, à mesure qu'ils se propa

-gent vers l'aval, se rapprochent de plus en plus

de la configuration en «épingle à cheveux» dé

-crite par Hama et par d'autres auteurs. A la

hauteur du ruban, Ie sommet de la boucle se

trouve d'abord au niveau du ruban, mais s'écarte

de la paroi en progressant vers l'aval, en même

temps qu'en raison de son élongation son

inten-sité s'accroît.

Lorsque Ie sommet se trouve à 0,6 0 ou 0,70

de la paroi (sensiblement dans la couche oü

l'in-version de phase se produit) son intensité est

maximale et doncégalement soneffetSUl' la dis

-tribution des vitesses moyennes, laquelle révèle

un creux à cette même distance de la paroi.

Simultanément les harmoniques d'ordre 2 et 3

commencent à jouer un röle, bien qu'Il semble

quedes traces de ces harmoniques sesoient déjà

manifestées à des positions peu éloignées du

ru-ban.

Ce qui précède se rapperte aux conditions

er-50

DE TUlmULENCE

LES lNSTABILITÉS EN HYDRAULIQUE ET EN MÉCANIQUE DES FLUIDES

.70 DEUXÉPINES

1

UNE ÉPINE

!

.05 INVERSION DEPHASE")

I

TURBULENCE I \ \ \ \ "'\ \. _.- .-x

--40 50 60 70 cm FIG.8 Intensité de U - Fluctuation à y

=

0,4 cm et z

=

0

vateur immobile,les boucles tourbillonnaires dé -filent devant lui, et il y a modification du creux

transitoire dans la distribution des vitesses, de la distribution du tourbillon, ainsi que de l'épais

-seur de la couche limite. Ceci est démontré de

façon très claire par les configurations instan-tanées du champ d'écoulement obtenues par Kovasznay et al. [8] à l'aide du dispositif à fils

chauds multiples. Aussi les «épines» observées à y =0,4 cm et x=56 cm peuvent-elles être

in-terprétées comme des chutes de vitesse provo -quées par Iepassage du sommet d'un tourbillon

en épingle à cheveux. A x=56cm, les harmo -niques supérieures revêtent déjà del'importance.

Une analyse plus détaillée des «épines »indique

maintenant que les harmoniques qui jouent un röle sont tous en phase à la position correspon

-dante à 1'«épine». Leurs grandeurs relatives sont: Hz AMPLITUDE RELATIVE 95 1 190 0,5 285

-

0,35 380 0,28 475 I 0,23 570 0,18

Pendant Ie restant de la période, ils sont dé -phasés et peuvent s'annuler les uns les autres.

Il serait intéressant d'analyser également lesphé -nomènes à « épines-doubles »et à «chutes

multi-ples» selon la phase et l'amplitude des divers

harmoniques.

BIBLIOGRAPHIE

[1] C. C. LIN.- On the slability of Iam inar flow and

its transition to turhulence. I.U.T.A.M. Symposium,

p. 144, Freiburg 1957.

[2] D.J. BENNEDY.et C. C. LIN. - On the secondary

motion induced by oscillations in a shear flow.

Phys. Fluids, 4, 656 (1960).

[3] D. J.BENNEY.- A non-Ilnear theory for oscillations

in a parallel flow. J. Fluids Mech., 10, 209(1961).

[4] P.S. KLEBANOFFK. D, . TIDSTROMet L.M.SARGE1·'T. -The three-dimensional nature of houndary Iayer instability . .J. Eluid Mech., 12, 1 (1962).

[5] F. R. HAMA.- Progressive deformation of a curved vortex filament by its own induction. Phys. Fluids,

5, 1156(1962).

[6] L. S.G. KOVASZNAY-. A new look at transitton.

Aeronautics and Astronautics. Pergamon Press, p.

161,(1960).

[7] W.O. CRllIIlNALEet L.S.G. KOVASZNAY- . The growth of localized disturbances in a laminar boundary layer. J. Fluid Mech., 14, 59 (1962).

[8] L.S.G. KOVASZNAYH,. KmlODA et B. R. VASUDEVA-.

Detailed flow field in transition. Proc. Heat Trans -fer and Fluid Mech. Institute. Stanford Univ. Pr ess p. 1, (1962).

[9] F.R. HA~IA.- Boundary layer transition induced

by a vibrating ribbon on a flat plate. Proc. Heat Transfer and Fluid Mech. Institute. Stanford Univ. Press, p. 92 (1960).

[10] T. THEODORSEN-. The strnctu re of turbulence. 50 Jahre Grenzschichtforschung. Vieweg und Solui, p. 55 (1955).