Scheepshydromechanica, Deel II

-S:i-CHEEPSHYDROMECI_A,.NICA

DE_E

SCH:.EEP_SHYDR'C-DYNANIC A

-

Onderafdeling scheelos, en V1j,egtaj_gbouwkunde

9. 70

'.TECHNISCIIE UNIVERSITET Laboratorlurii voor ScheePPhYdromechanIca I ; Archlef .; lieloilWeg 2, 2828 615 Delft TeL:ois-f neera m5,781835

(u-183)

Inhoud

Blz.no s

Inleiding

Eenhedenstelsels 1

Vloeistoffen en gassen 2

Beschrijving van het stromingsveld ₃

Krachten die op een vloeistofdeeltje kunnen werken. . . 5

Bewegingsvergelijkingen ₇

Behoud van massa - Continuiteitsvoorwaarde 11

Probleemstelling van de hydromechanica 13

Behoud van energie - Wet van Bernoulli

14

Schip in een open kanaal 16

Tweede wet van Newton . 19

Het beginsel van de voortstuwer 21

Viscositeit - Vormveranderingsarbeid Wandhechting

-Grenslagen ₂₅

Vergelijkingswetten ₂₆

Voorwaarde van geometrische gelijkvormigheid ₂₇

Voorwaarde van kinematische gelijkvormigheid ₂₉

Voorwaarde van dynamische gelijkvormigheid ₃₀

De modelregel van Froude ₃₂

De modelregel van Reynolds ₃₃

Modelproeven. . ₃₃

Algemene uitdrukking voor specifieke krachten ₃₅

Fysische betekenis van het getal van Reynolds 36

Het mechanisme van de turbulente stroming 36

Grenslaagstroming langs een vlakke plaat ₃₉

Definities van enkele grenslaaggrootheden ₄₀

Het begrip potentiaalstroming ₄₂

Elementaire stromingsvelden

₄₄

Superpositie van elementaire stromingsvelden ₄₈

Stroming van een wrijvingsloos medium rond lichamen van

willekeurige vorm

₅₀

Weerstand van een willekeurig lichaam in een

wrijvings-loos medium ₅₁

Staande sinusgolven van geringe hoogte

₅₄

Lopende sinusgolven van geringe hoogte ₅₈

Interferentie van lopende golven. . . 61

Inhoud

Blz.no.:

§35.

Energie in zwaartekrachtgolven. 0 67

§36.

Golfsysteem van een bewegend drukpunt 71

§37.

Golfsysteem van een varend schip. . . . 73

§38.

Componenten van het secundaire golfsysteem .

. ...

. .

74

§39.

Verband tussen golfsysteem en golfweerstand - Invloed

van golfinterferentie op de golfweerstand . . . 75

§40. Golfweerstand van een wigvormig lichaam met oneindig

grate diepgang . . .

. ...

. 79

§41.

Invloed van de scheepsvorm op de golfweerstand . . . . 82

§42.

Bijzondere middelen am de golfweerstand te beinvloeden. . 85

§43.

Wrijvingsweerstand . . . 88

§44.

Invloed van de scheepsvorm op de wrijvingsweerstand. .

90

§45.

Visceuze drukweerstand

₉₄

§46.

Bepaling van de scheepsweerstand uit modelproeven

Beginsel van Froude ₉₅

§47. Modelfamilies

98

§48.

Overzicht weerstandscomponenten 101

§49.

Toeslagen op de uit modelproeven verkregen scheepsweerstand.

Berekeningsvoorbeeld . . 103

§50.

Vergelijken van de weerstandseigenschappen van

verschil-lende scheepsvormen . . . .

107

§51.

Wet van Kutta-Joukowski

111

§52.

Circulatie rand een twee-dimensionaal vleugelprofiel. . .

115

§53.

Invloed van eindige breedte op de werking van een

draag-, vleugel. Aspektverhouding

119

§54.

Wet van Blot en Savart - Geinduceerde snelheden

123

§55.

Geinduceerde weerstemd. . .

126

4556. Profielgeometrie

127

§57.

Parameters die de werking van een draagvleugel bepalen. .

131 /,

§58.

Verband tussen lift-coefficient, drift-coefficient en

invalshoek

132

§59.

Het begrip slip

136

§6o.

Slip van een scheepsschroef . . .

137

§61.

Geometrie van de scheepsschroef . . .

140

§62. Het snelheids- en krachtendiagram van een

schroefblad-element

Inhoud

Blz.no.:

Vrijvarende proeven en systematische schroefseries. . . .

149

Cavitatie

De voortstuwer achter het schip - Het begrip

overgangs-coefficient

₁₅₄

Het begrip zog - Waarden van het zoggetal

... .

.

156

Verdere uitwerking van het begrip volgstroom

-Waarden van het volgstroomgetal a

157

Gang van het vermogen bij een zichzelf voortstuwend schip

-Totaal rendement van de voortstuwing

₁₆₀

Bepalen van het vermogen van eon schip door middel

van een modelproef ₁₆₁

§1. Inleiding.

De scheepshydromechanica is een onderdeel van de hydromechanica waar-in men zich speciaal bezig houdt met de stromwaar-ingsverschijnselen rond schepen en hun voortstuwers. Be hydromechanica of stromingsleer kan worden beschouwd als een onderdeel van de mechanica, en wel van dat deel van de mechanica dat zich bezig houdt met vloeistoffen.

Iedere mechanica kan worden verdeeld in een kinematica (leer der be-wegingen) en een dynamica (leer van krachten in relatie tot

bewe-gingen).

Tegenwoordig wordt de stromingsleer ook veel beschouwd ale een onder-deel van de leer der fysische transportverschijnselen en wel dat deel dat zich bezig houdt met het transport van impuls (hoeveelheid

beweging). Andere fysische transportverschijnselen zijn transport

van energie (bijv. warmteoverdracht) en transport van materie

(stof-overdracht).

In deze "Inleiding tot de scheepshydromechanica, - Deel II" worden

de grondslagen behandeld die een goed begrip van het gedrag van een varend schip mogelijk moeten maken. Van de verschillende

verschijn-selen, die de scheepsweerstand veroorzaken en beinvloeden is een

sum-mier overzicht gegeven evenals van de werking van de scheepsschroef,

zijnde de meest voorkomende scheepsvoortstuwer. De werking van de

scheepsschroef berust op het draagvleugelprincipe, evenals de

wer-king van de meeste andere voortstuwers. Aan de stromingsverschijnse-len rond vleugelprofiestromingsverschijnse-len is daarom in deze inleiding bijzondere aandacht besteed.

1

-§2. Eenhedenstelsels.

De technische stromingsleer is een toegepaste wetenschap, die zich ten doel stelt allerlei stromingsverschijnselen kwantitatief te voor-spellen. De betrokken grootheden moeten bij dergelijke berekeningen worden uitgedrukt in getallen. Om dit te kunnen doen dient voor iede-re grootheid gebruik te worden gemaakt van eenheden. De eenheden die voor verschillende grootheden worden gebruikt staan op bepaalde wij-ze met elkaar in verband, waardoor eenhedenstelsels ontstaan. Het meer en meer op de voorgrond tredende eenhedenstelsel voor technisch en technisch-wetenschappelijk werk is het praktische stelsel met de volgende eenheden als basis.

en met als afgeleide eenheden o.s.:

snelheid versnelling kracht arbeid vermogen spanning kinematische viscositeit dichtheid dynamische viscositeit meter/seconde meter/sec2 newton(=kilogrammassa x mtr/sec2 newtonmeter = joule joule/sec = watt newton/meter2 meter2/sec kgmassa/Meter3 newton sec/meter2 LT

-2

LT MIT-2 ML2T-2 ML2 T-3 ML

-1T-2

L2 T-1 M

MIT

Naast het praktisohe stelsel wordt in de techniek nog veelvuldig ge-bruik gemaakt van het technisch-statische stelsel met als

grondeen-heden:

Eenheid van Naam of omschrijving Dimensie

lengte tijd massa meter seconde kilogrammassa L T M

Eenheid van Naam of omschrijving Dimensie

lengte tijd kracht meter seconde kilogramkracht L T K

2

-en met als afgeleide e-enhed-en o.a.:

snelheid versnelling massa arbeid vermogen spanning kinematische viscositeit dichtheid dynamische viscositeit meter/seconde meter/seconde2 massaal.kgkracht sec2/meter ) kilogrammeter I) kilogrammeter/seconde I) kilogram/meter2 meter2/seconde massaal/meter3 I) kilogramseconde/meter2 LT-1 LT-2 KL-1 T2 KL KLT-1 KL-2 L2T KL-4T2 KL-2T 3E)

met kilogram is hier steeds bedoeld: kilogramkracht.

In het hiernavolgende zal van tijd tot tijd van beide stelsels ge-bruik gemaakt worden.

Vloeistoffen en gassen.

Teneinde te voorkomen, dat de mathematische beschrijving van de stro-mingsverschijnselen te ingewikkeld wordt maakt men in de stromings-leer, evenals in de thermodynamica, vaak gebruik van een vereenvou-digd model van het betrokken medium.

In de eerste plaats mag men vrijwel altijd aannemen dat het medium homogeen is, d.w.z. dat het in al zijn deeltjes dezelfde eigenschap-pen bezit. Ook mag men vrijwel altijd aannemen, dat het medium iso-troop is, waarmee men bedoelt dat de eigenschappen van elk deeltje in alle richtingen dezelfde zijn. En tenslotte gaat men er van uit dat het medium een continutim is, d.w.z. dat het z'n eigenschappen blijft behouden tot in deeltjes van de kleinst denkbare afmetingen. Wanneer bij de stroming van een gas de invloed van inwendige wrij-vingskrachten mag worden verwaarloosd noemt men het gas volmaakt

cn

(perfect). Geldt voor een dergelijk gas bovendien, dat constant,

cv

dan noemt men het gas ideaal.

Voor vloeistoffen zal in het hiernavolgende dezelfde naamgeving wor-den gevolgd, d.w.z. de uitdrukking volmaakte vloeistof zal worwor-den ge-bruikt voor een vloeistof waarin het optreden van inwendige wrijvings-krachten mag worden verwaarloosd.

3

-De uitdrukking ideale vloeistof is in dit verband overbodig. Is de vloeistof bovendien ook nog onsamendrukbaar (en hetzelfde geldt voor een gas) dan noemt men het onsamendrukbaar volmaakt of onsamendruk-baar wrijvingsloos.

Ten onrechte wordt voor een dergelijke vloeistof vaak de benaming ideaal gebruikt. Omdat dit verwarring kan geven met de betekenis die het woord ideaal bij gassen heeft zal in het hiernavolgende de termi-nologie ideaal niet gebruikt warden voor onsamendrukbaar

wrijvings-loos en gereserveerd blijven voor volmaakte gassen waarvoor =

cv

constant (ideale gassen).

Het is een gelukkige omstandigheid dat voor de techniek belangrijke

vloeistoffen zoals zoet water en zeewater in zeer veel gevallen

be-schouwd mogen warden als wrijvingsloos en onsamendrukbaar.

Oak gassen mogen in veel gevallen nog als wrijvingsloos en onsamen-drukbaar beschouwd worden. De stroming moet dan plaats vinden zonder verandering van volume, Dat is het geval zolang de snelheden klein blijven ten opzichte van de geluidssnelheid en zolang de beschreven banen slechts hoogte-verschillen vertonen die klein zijn ten opzichte van de hoogte van de homogene atmosfeer.

§4.

Beschrijving van het stromingsveld.

Evenals dat het geval is voor vaste lichamen wordt de beweging van een vloeistofmassadeeltje geheel bepaald door z'n begintoestand op

een bepaald moment en de versnellingen of vertragingen die het

on-dervindt door de erop werkende krachten. Het verband tussen krachten en versnellingen volgt uit de tweede wet van Newton:

kracht = massa x versnelling

-F

m . a

die onverkort van kracht is voor vloeistofdeeltjes.

Men kan de stroming van een vloeistof dan in principe oak geheel be-schrijven als men voor ieder vloeistofdeeltje op een zeker tijdstip

de snelheid kent en bovendien voor elk punt van zijn baan op elk

mo-ment weet welke kracht het deeltje ondervindt wanneer het zich daar bevindt. Het is dan mogelijk elk deeltje in zijn beweging te volgen. De afgelegde weg en de versnelling kunnen met behulp van de tweede wet van Newton op elk moment uit de begintoestand warden berekend. Deze beschouwingswijze, die voor het eerst geformuleerd werd door Lagrange wordt de materiele beschouwingswijze genoemd. Men volgt elk brokje materie van ogenblik tot ogenblik in zijn baan.

stroom-buis

stroomlijn

-4

Een andere beschouwingswijze is de ruimtelijke beschouwingswijze van Euler, volgens welke het verloop met de tijd van de toestand in ieder ruimte-elementje wordt beschreven. Wanneer deze toestand (d.w.z. de

snelheid, de versnelling en de dichtheid) alleen afhankelijk is van de plaats in de ruimte en van de tijd spreekt men van een veld, in dit geval van een stromingsveld. In het algemeen varieert het stro-mingsveld met de tijd: het is instationair. Verandert de toestand in een ruimte-elementje niet met de tijd en dus alleen met de plaats in de ruimte, dan heet het veld stationair

liquid curve

t=o

liquid curve t=ti stroom-draad

Fig. 1 - Stroombuis in stationaire stroming.

In een stromingsveld kan menVdenkbeeldige lijnen trekken op zodanige wijze dat in elk punt de richting van de raaklijn aan zo'n'lijn over-eenkomt met de richting van de snelheid in het stromingsveld. Zulke lijnen heten stroomlijnen. Al naar het beschouwde stromingsveld sta-tionair of instasta-tionair is zullen dus ook de stroomlijnen stasta-tionair of instationair kunnen zijn. Slechts wanneer ze stationair zijn ko-men de stroomlijnen overeen met de door de waterdeeltjes gevolgde

ban en.

Wanneer men door elk punt van een willekeurige gesloten kromme in het stromingsveld een stroomlijn trekt ontstaat er eon buis, die men

stroombuis noemt. De materiele inhoud van zo'n stroombuis noemt men

een stroomdraad.

Alle vloeistofdeeltjes die op een zeker tijdstip gelegen zijn op een

willekeurige lijn in het stromingsveld kan men volgen in hun bewe-ging. Ze blijven dan op een lijn liggen die zich echter in het alge-meen verplaatst en vervormt. Zo'n zich verplaatsende en vervormende ketting van vloeistofdeeltjes noemt men een vloeibare lijn (liquid

nu:

Krachten die op een vloeistofdeeltje kunnen werken.

De krachten die op een vloeistofdeeltje werken bepalen tezamen met _de

begintoestand de beweging van het,deeltje. In het algemeen kunnen de-ze krachtdn worden onderverdeeld in:

inwendige krachten, die via de vloeistof zelf, d.w.z. aan het

grensvlak van het beschouwde vloeistofelementje,

_op

_{het elementje}

worden overgebracht. Dergelidke krachten kunnen worden beschreven in termen van spanningen, d.w.z. krachten per eenheil-oppervlak van het grensvlaki

uitwendige krachten, die niet door de vloeistof zelf via het grens-vlak op het beschouwde elementje worden overgedragen. Uitwendige krachten kan men uitdrukken in termen van kracht per eenheid van

volume.

De inwendige krachten, die aangrijpen in een grensvlak ken men ont-binden in een component loodrecht op het grensvlak, die aanleiding geeft tot een normaalspanning en een component in het grensvlak die aanleiding geeft tot een schuifspanning.

Uitwendige kraohten treden over het algemeen op doordat het

beschouw-de massabeschouw-deeltje'zich

in

_{den krachtenveld bevindt, bijvoorbeeld in}

het zwaartekrachtveld.

Wanneer in de vioeistof nergens schuifspanningen voorkomen, zodat men in de buurt van een willekeurig punt P vindt dat in een Willekeurig

Vlak geen schuifspanning optreedt, dan _{blijkt de alle'en aanwezige}

nOr-maalspanning dezelfde waarde te hebben _{voor elk vlak datt-door P wordt}

aangebracht. Men bewijst dat als _{volgt. Zij in fig. 2 OXYZ een}

wine-keurig rechthoekig assenstelsel door _{een punt 0 in de nabijheid van P.}

A, B en C zidn willekeurige punten op de X-, Y- en Z-as zodat door OABC een tetraeder gevormd wo±dt. De normaalspanningen op de vier vlakken van de tetraeder geven aanleiding tot resulterende kradhten

F, F, F

_{en F. De richting van F (zle fig. 2 ) maakt hoeken}

a, 0

x y z

en y met de positieve X-, Y- en Z-as.

Behalve deze krachten werkt op de massa m binnen de tetraeder het

ge-wicht mg met componenten _{mgLimg_ en mgz an de X-, Y- en 2-richting.}

Y

+Z

Fig. 2 - Spanningstoestand in een punt P bij afwezigheid van schuifspanningen.

Fx - Foos a = max - mgx.

ftierin is

ax de versneiiing die de massa krijgf

in

de X-rionting:

1

p.xgem.ABC cos a - pgem.ABC cos a = p.0A.ABC cos a(aX-g) 1

Px gem - pgem = Pgem . OA . x

- g)

x

en eveneens

py - pgem = i-pgem OB (a - g )

Y Y

1

Pz gem - Pgem = Pgem 00 (az - gz)

Laat men nu de tetraeder steeds kleiner worden, zodanig dat de pun-ten 0, A, B en C tot P naderen, dan naderen px

gem1

py gem,

pz gem

en

pgem tot de normale drukken in P in vlakken evenwijdig aan OBC,

OAB, OAC en ABC. Voorts naderen de lijnstukken OA, OB en OC tot nul

Aangezien zowel de orientatie van het assenstelsel als de punten A, B en C willekeurig gekozen waren, volgt hieruit, dat de normale druk in een willekeurig vlak door P steeds dezelfde waarde heeft. Deze waarde van p noemt men de statische druk in P.

Wanneer er wel schuifkrachten in de vloeistof optreden blijkt de waarde van de normaalkracht niet meer onafhankelijk van de orienta-tie van het beschouwde vlak te zijn. Ook dan echter ken men de tota-le normaalspanning splitsen in een deel dat onafhankelijk van de orientatie is en dat dan weer statische druk wordt genoemd en een deel dat wel van de schuifspanningen afhangt.

Zie hiervoor bijv. H. Schlichting; "Grenzschichttheorie"

blz.44

e.v.

§6. Bewegingsvergelijkingen.

In §4 is reeds uiteengezet dat de beweging van een vloeistofmassa-deeltje geheel bepaald wordt door de begintoestand op een bepaald moment en de erop werkende krachtervdie het een versnelling geven in

overeenstemming met de tweede wet van Newton. Wil men de versnelling berekenen dan kan men de vectorrelatie P = ma ontbinden in drie

on-derling loodrechte componenten:

Fx = max

F =

may

Fz =ma

Deze drie vergelijkingen worden ook wel de bewegingsvergelijkingen

genoemd. leder van de krachten F, F _{en Fz ken worden gesplitst in}

x y

normaalkrachten, schuifkrachten (samen de inwendige krachten vormend) en zwaartekrachten (in het algemeen als enige soort uitwendige kracht).

zodat men krijgt:

Px -P=P -P= P

- p =0

en

p. dy dz

x.

8

-Op de vloeistof in een volume-elementje dx dy dz (zie fig. werkt

in de X-richting een resulterende drukkracht ter grootte:

(P -P - .dx) dx.dy dz = - . dx dy dz.

x x bx 6x

dy

Fig.

3 -

Inwendige drukkrachten.

Per eenheid van volume wordt dit - en voor de Y- en Z-richtingen

bx

respektievelijk - 12. en

-by bz

Per eenheid van massa vindt men voor de drie asrichtingen:

1

bp

1

b2

1

Lp

en

-pbx '

pOy

p bz '

als p de specifieke massa (= massa per volume-eenheid = dichtheid) van de vloeistof is.

Uit experimenten is gebleken dat inwendige schuifkrachten in vloei-stoffen in het algemeen optreden wanneer er in de stroming een

snelheidsgradient optreedt in een richting loodrecht op de stromings-richting. Beschouwt men een twee-dimensionale stroming met daarin

een snelheidsgradient zoals aangegeven in fig. 4 dan zal de sneller

stromende vloeistof de naastgelegen langzamer stromende vloeistof

trachten te versnellen via een schuif spanning in het scheidingsvlak.

Deze eigenschap die alle werkelijke vloeistoffen en gassen bezitten beet viscositeit. Voor de meeste vloeistoffen (de zg. Newton'se

vloeistoffen) is uit experimenten gevonden, dat de optredende schuif-spanningen evenredig zijn met de snelheidsgradient loodrecht op het

scheidingsvlak.

+X

+U

- clY

Fig. 4 - Inwendige schuifkrachten.

De evenredigheidscoefficient heet de dynamische viscositeits

coeffi-cient en wordt gewoonlijk aangeduid met de letter , zodat (zie

fig.

4)

geldt: du

Tx - nay

du en T = TT:

In het praktische eenhedenstelsel wordt de coefficient i uitgedrukt

in newton seconde/m2 en in het technische statische stelsel in

kilo-gram seconde/m2.

Op een rechthoekig blokje vloeistof met zijden dx, dy en dz werkt nu

(zie fig.

4)

een resulterende schuifkracht in de X-richting van:

dr dT

-Tx.dx dz +

(Tx +

71.TrI. dy) dx dz = --Idy dx dy dz.

dl

Per volume-eenheid is dit --I - -d--- (- 112\ = d2u

dy dy " dyi

en per massa-eenheid: d2U d2U

10

-De grootheid a = v staat bekend als de kinematische viscositeits-coefficient en wordt zowel in het praktische als in het technisch-statische stelsel uitgedrukt in m2/sec.

Het bekendste voorbeeld van een uitwendige kracht is de zwaarte-kracht, die zich manifesteert als het gewicht van het beschouwde massadeeltje. Ten opzichte van een willekeurig georienteerd

assen-stelsel kan de zwaartekracht die op een massadeeltje dm p da.dy.dz

werkt in drie componenten worden ontbonden (zie fig.

5):

pg dx dy dz cos a in de X-richting pg dx dy dz cos p in de Y-richting pg dx dy dz cos y in de Z-richting

Fig. 5 Zwaartekracht (uitwendig).

Voert men de hoogte h in, die in een richting tegengesteld aan die van de zwaartekracht wordt gemeten, dan wordt:

ah6h

Oh

cos a = - , cos p en cos y

-Ox oy bz

De op een massadeeltje werkende componenten van de zwaartekracht per volume-eenheid worden hiermee:

Oh 6h Oh

- P g p g i7-7. en

-P g -67

Per massa-eenheid worden deze krachten:

Oh Oh

- g -- en - .

In vele gevallen ken ter vereenvoudiging de Z-as aangenomen worden in de richting van de zwaartekracht (dus vertikaal naar beneden).

6h 6h 6h

Dan worden en

nul en - 1. De zwaartekracht in de richting

6x by 6z

van de Z-as wordt dan pg per volume-eenheid en g per massa-eenheid. In voorkomende gevallen ken men de som van de in- en uitwendige

krachten voor F, F en Fz in de bewegingsvergelijkingen invullen.

x y

In hun algemene vorm zullen de bewegingsvergelijkingen worden behan-deld in deel II van deze inleiding.

§7.

Behoud van massa - Continuiteitsvoorwaarde.

De wet van behoud van massa (of behoud van stof) is een ervaringswet die leert dat bij de processen die in de stromingsleer van belang

zijn g3en massa (of stof) ken ontstaan of verdwijnen.

Beschouwt men een ruimte-element op een vaste plaats in een

statio-naire stroming dan zal dat op elk tijdstip dezelfde hoeveelheid

mas-sa bevatten. Stroomt eventueel door een deel van het grensvlak een hoeveelheid massa de beschouwde ruimte binnen dan moet in dezelfde tijd door een ander deel van het grensvlak een zelfde hoeveelheid massa naar buiten stromen.

Is de stroming niet stationair dan moet de per tijdseenheid door het

grensvlak binnenstromende hoeveelheid massa gelijk zijn aan de

toe-neming per tijdseenheid van de hoeveelheid massa binnen

hetbeschouw-de ruimte-element.

De hoeveelheid massa die per tijdseenheid een grensvlak passeert

heet de massastroom door dat vlak, zodat men de wet van behoud van massa ook als volgt kan formuleren.

Voor elk ruimte-element is de massastroom naar binnen gelijk aan de toeneming per tijdseenheid van de massa binnen het ruimte-element. In de stromingsleer staat deze relatie ook bekend als de continui-teitswet of continuiteitsvoorwaarde. Toepassing van de

continuiteits-wet op de stationaire stroming door een stroombuis leidt tot een

een-voudige wiskundige formulering.

Zij (fig.

₆₎

_{A een stroombuis in een stationaire stroming. De}

Opper-vlakken van twee willekeurige doorsneden 1 en 2 zijn Al en A2.

Wanneer de stroombuis dun genoeg genomen wordt mag men aannemen dat

de dichtheden pi en p2 en de snelheden Vi _{en V2 niet over de}

-

12

-Fig.

6 -

Stroombuis in een stationaire stroming.

De massastroom naar binnen moet nu gelijk zijn aan de massastroom naar buiten, zodat:

p1ViAl = P2 V2

A2

= (1)

(1Zm = massastroom door A).

ml 1112

Is het stromende medium onsamendrukbaar, zodat bovendien ook nog

71A1 = v2A2

(behoud van volume)

= 014 = volumestroom door A)

Vi v 2

De algemene formulering van de continuiteitsvoorwaarde kan men als

volgt afleiden (zie fig.

7).

7

./

7

dx

7

7

Fig.

7 -

Continuiteitsvoorwaarde. O(pu) pu + ox dx dy dz

udyd

Pi P2 dan geldt dz dy

Beschouwt men een volume-elementje dx dy dz vmt t.o.v. een willekeu-rig assenstelsel in een instationaire stroming dan geldt voor de stroming in de X-richting:

massastroom naar binnen = pu.dy.dz

6(pu)

massastroom naar buiten

=I

pu + du dy dz

Sx

massastroom per saldo naar binnen =

6(pu) 6(pu)

pu dy dz -

pu +dxj dy dz = -

dx dy dz.

6 x x

Voor de Y- en de Z-richting vindt men op dezelfde manier, dat de resulterende massastroom naar binnen gelijk is aan resp.

PIT) _{dx dy dz en} 1)(Pw)

dx dy dz

bY bx

zodat totale toeneming van de hoeveelheid massa wordt:

6(Pu) 6(pv) (1) w) per volume-eenheid en per

tijds-_

6x 6y bz eenheid.

De massa binnen het beschouwde ruimte-element kan slechts toenemen doordat de dichtheid toeneemt.

De toeneming is gelijk aan . dt.dx.dy.dz of 15-- per tijdseenheid

St 6t

per volume-eenheid.

Gelijkstelling van beide hoeveelheden leidt tot de algemene vorm van de continuiteitsvoorwaarde:

6(pu) 6(pv) 6(pw) LE

6x Sy 6z - bt

Voor het bijzondere geval, dat het medium onsamendrukbaar is (p = constant) gaat deze betrekking over in:

Su 6v 6w 0.

6x by 6z

Wanneer de stroming stationair en het medium samendrukbaar is

(1)2 = 0) krijgt man: St

S(p u) 6(pv) 6(pw)

O.

Ox 6y 6z

-§3. Probleemstelling van de hydromechanica.

De stroming van een onsamendrukbaar wrijvingsloos medium is in

een willekeurig punt geheel gekarakteriseerd door 4 soalairs groot-heden: drie snelheidscomponenten en de statische druk. De bewegings-vergelijkingen in X-, Y- en Z-richting plus de

continuiteitsvoorwaar-de zijn 4 relaties tussen deze grootheden. In principe is hiermee

14

-Voor samendrukbare media treedt bovendien p als onbekende op. Een vijfde betrekking wordt dan geleverd door de toestandsvergelijking uit de thermodynamica:

p - pRT = 0.

Het stelsel is dan weer oplosbaar als de temperatuur T constant blijft. Het proces heet dan isotherm. Voor niet-isotherme processen moet dan tenslotte aan de thermodynamica eveneens nog de eerste hoofdwet worden ontleend, die zegt dat het verschil van de aan een systeem toegevoerde warmte dg en de door het systeem verrichte uit-wendige arbeid dW gelijk is aan de toeneming dU van de energie van het systeem, zodat

dU = dg - dW.

Ook dan is weer een in principe oplosbaar systeem ontstaan van 6 ver-gelijkingen met 6 onbekenden.

In het hiernavolgende zal slechts de stromingsleer van de niet-samen-drukbare media, d.w.z. van de vloeistoffen worden behandeld. Dat wil zeggen dat gebruik zal worden gemaakt van de drie bewegingsvergelij-kingen en de continuiteitsvoorwaarde.

Deze algemene beschouwingen gelden slechts voor die gevallen waarbij alle werkzame krachten gegeven zijn. Is dit niet het geval, dan moet voor iedere ontbrekende kracht het stelsel vergelijkingen

wor-den uitgebreid met een voorwaarde waaraan de oplossing moet voldoen, een z.g. randvoorwaarde.

§9.

Behoud van energie - Wet van Bernoulli.

In een wrijvingsloze onsamendrukbare vloeistof kan geen mechanische energie verloren gaan door omzetting in inwendige energie. Voor een dergelijke stroming geldt due de wet van behoud van mechanisch ar-beidsvermogen. Doordat de toestand in de stroming geheel bepaald is door het stelsel van de drie bewegingsvergelijkingen en de continui-teitsvoorwaarde kan het formuleren van de energiebehoudswet geen nieuwe onafhankelijke vergelijking aan het stelsel toevoegen. De hieruit volgende samenhang tussen deze behoudswet en de bewegings-vergelijkingen kan is dit kader niet in zijn algemeenheid worden be-handeld. Voor een stroombuis leidt formulering van de voorwaarde van behoud van mechanisch arbeidsvermogen tot de Wet van Bernoulli in zijn eenvoudigste vorm, die in vele gevallen gebruikt kan warden in de plaats van een bewegingsvergelijking of ale aanvullende voorwaar-de, wanneer een van de krachten niet gegeven is voor alle deeltjes.

In de stroombuis van fig. 8 bevindt zich ten tijde t een hoeveelheid vloeistof tussen de doorsneden a-a en b-b. Een ogenblikje later ten tijde t + dt bevindt dezelfde hoeveelheid vloeistof'zich tussen de doorsneden a'-a' en b'-b'. De oppervlakken van de diverse doorsneden benevens de drukken en snelheden ter plaatse zijn aangegeven in

fig. 8.

A1 Ali

15--Fig. 8 Wet van Bernoulli.

Als dt zeer klein is, geldt Al . Al/ en A2 = A2/ en ook P2 = p2'. Volgens de continuiteitsvoorwaarde is nu Alvi.dt = A2v2 dt of Aidsi = A2de2 A2 A2' \sp2 :Z2

Hierin zijn di en d82 de afstanden waarover de vloeietof zioh in de

buis heeft verplaatst. Wanneer de doorsnede van de buis klein genoeg

genomen wordt mag men aannemen dat de drUkken -en snelheden over de verschillende doorsneden constant zijn.

16

-Door de drukkracht wordt nu gedurende de tijd dt op het water in de

buis een arbeid verricht gelijk aan:

plAldsi - p2A2ds2 _{= (101-P2)Aide1.}

Gedurende dezelfde tijd verricht de zwaartekracht een arbeid

pgziAidsi - pgz2A2ds2 = pg(z1-z2)A1ds1

terwijl de toeneming in kinetische energie van de beschouwde hoeveel-heid vloeistof gelijk is aan:

PA2ds2v22

-

pAlds1v12

₌

a

Pv22 -

Pv12)

Aidsi.

Toepassing van de wet van behoud Van mechanisch arbeidsvermogen geeft

nu:

i pv22 -

I pv12

=

(p1

-

102) (pgzi

-

pgz2) of

Pi + pgzi + pv12 = 1)2 + pgz2 + pv22

of

p + pgz + j pv2 = constant langs een stroombuis.

§10. Schip in een open kanaal.

Wanneer water door een recht kanaal van rechthoekige doorsnede stroomt zonder dat het daarbij een weerstand ondervindt, zal er in de stroming geen verval zijn. Bevindt zich in een dergelijk kanaal een of ander

ohstakel, bijv. een brugpeiler of een voor anker liggend schip dan

wordt hierdoor de snelheid ter plaatse van het obstakel verhoogd en

daarmee de druk en dus ook het oppervlak verlaagd. De _optredende

ver-schijnselen hangen voor een schip op de volgende wijze samen met de

continuiteitsvoorwaarde en de wet van Bernoulli_

De dvarsafmetingen van het kanaal zijn B _{en Tl (zie fig. 9)en die van}

het schip b en t.

De waterdiepte ter plaatse van het obstakel is T2 _{en de snelheid in}

de ongestoorde stroming is vl, die ter plaatse van het obstakel v2.

Volgens de continuiteitsvoorwaarde geldt nu;

pv1BT1 = pv2(BT2 bt).

Het is gebruikelijk in deze betrekking in te _{voeren de blockage}

fak-bt tor

k=

_BT1 waarmee de continuiteitsvoorwaarde overgaat in:

vi = v2

(IL

-

k).

Vi of of

V = V2

1-k

17 -pv12 + pgT1

pv22 +

pgT2 en

_vi2

= ₊ Tl 2gT1

Substitutie van de uitdrukking voor

geeft: 2 2 j2gT1 Z. in T1 712 v22 ) 2gT1 V2

Fig.

9 -

Schip voor anker in een kanaal met stromend water.

Neemt men aan, dat de watersnelheid over de doorsneden 1 en 2 con-stant is, dan geldt volgens de wet van Bernoulli:

* pv.IBTiW+pvIBTIgT1

* pv2 (BT2 - bt) + pv2 (BT2 - bt).g.T2

Voor gegeven doorsneden van kanaal en schip (en dus k en TO en vl is

dit een derdegraadsvergelijling in 721--. De oplossing daarvan is _voor

VgTi

verschillende waarden van k gegeven in fig. 10.

Uit deze figuur blijkt dat voor gegeven T1 en k niet iedere waarde van vl een reele oplossing geeft. Er is voor iedere waarde van k een

snel-heidsgebied aan te geven, het zg. kritieke snelsnel-heidsgebied, waar geen

oplossing bestaat. Het is dan niet mogelijk dat al het water langs het schip stroomt, en een deel ervan hoopt zich op voor het schip.

Dit moet worden vertraagd tengevolge waarvan het schip een zeer grote

weerstand gaat ondervinden.

1,75 1.60 1,00 475 050 025

18

-VA)4 Filly

Asiii

..,..

N

_N

N

..._

..,,,..

N:

N

\ \

::.', ...". .. -''''s

riggortin_,__

r ll

mild

N '\ \ Unstabli

kin a table

\'\ \

\

\ \

\

_{, 0}

datirt

_A

ape

%

II

I

,...,

\

-...: ",.. . ... ,,... ---... --...

\ \

_{**... N.} ..._ ''',.. -s- ..4._{.... ..s"} -... ... ... "..._... .... , .

:b51111yr

A

FiA

table

i

/

,

su bcriticai critical sup radical

34 1

1

025 03 075 100 125 150 175 200

-11:2

Fig. 10 - Verband tussen de watersnelheid langs een schip in een kanaal en de snelheid van het schip ten opzichte van de

Verder blijkt, dat bij snelheden onder de kritieke waarde de water-snelheid ter plaatse van het schip grater is dan de aanstroomsnel-heid. Hiermee correspondeert een spiegeldaling. Bij snelheden bo-ven de kritieke waarde zijn de watersnelheden ter plaatse van het schip juist lager dan de aanstroomsnelheid. Hiermee correspondeert

een spiegelstijging.

§ii. Tweede wet van Newton.

Newton's algemene wet:

Kracht = massa x versnelling

blijft onverminderd van kracht wanneer het beschouwde massa-element een vloeistofdeeltje is. Deze betrekking kan dus zonder enige re-striktie worden toegepast bij het berekenen van de veranderingen in

de bewegingstoestand van vloeistofdeeltjes (versnellingen of

ver-tragingen naar richting en grootte).

Per definitie is de versnelling de snelheidsverandering _per

tijds-eenheid, of anders gezegd: de versnelling is de gradient van de

snelheid naar de tijd. Men can Newton's wet dus schrijven als

dv

F

m.a = m

--dt

en wanneer een onveranderlijke hoeveelheid massa wordt beschouwd, zodat m een constante is, ook

F

d(mv) dI

dt dt °

In deze vorm spreekt men van de impulswet. Per definitie noemt men het produkt I van de massa van een bewegend deeltje en zijn snel-heid de impuls van dat deeltje. De impuls is dus een gerichte

groot-heid (vector).

De impulswet zegt nu, dat de kracht die op een massadeeltje werkt gelijk is aan de impulsverandering per tijdseenheid (= de gradient van de impuls naar de tijd).

Met gelijk wordt in het vorenstaande bedoeld: gelijk naar richting en grootte, hetgeen wordt aangeduid door het streepje haven de be-trokken symbolen (vectoren) in de formules. In deze (differentiele)

vorm _{geeft de impulswet informatie over elk deeltje, hoe klein ook,}

dat aan de stroming deelneemt.

-19-(

dl

dt

-

20-Ter verkrijging van meer integrale informatie over de hoeveelheid impuls die zich binnen eon gegeven volume-element bevindt kan de impulswet nog in een andere vorm gebracht worden.

Hiertoe beschouwt men do vloaistofmassa die sich ten tijde t

be-vindt binnen eon controle-oppervlak, dat niet beweegt ten opzichte van eon vast assenstelsel en dat een volume V omsluit.

Binnen dit oppervlak bevindt zich dan de massa

Mc =

fp

dV

en een hoeveelheid impuls

T-17

t

to

v

td

Een klein tijdje dt later (zie fig. il) heeft deze massa zich jets verplaatst, zodat hij zich niet meer geheel binnen het

controle-oppervlak bevindt.

volume V bevattend een impuls It op tijdstip t

en eon impuls

II

op tijdstip t+dt

Alt

dt

Fig.11 - Impulswet voor eon volume-element.

De impuls is daarbij toegenomen van It tot It+dt en is niet meer gelijk aan de impuls van de massa die zich nu binnen het controle-oppervlak bevindt zodat

It+dt,c # t+dt

positie massa M op tijdstip

t + dt

21

-Er is door geleiding een hoeveelheid impuls -cTT . dt = _{( dt)in at}

-(dT,

at

het controle-oppervlak binnengekomen, zodat de hoeveelheid

\dtluit

impuls die zich op het tijdstip t+dt binnen het controle-oppervlak bevindt gelijk is aan:

(dY

)dt

-t+dt,c =

cdt

in dt uit

Volgens de impulswet in differentiele vorm geldt voor de zich bewe-gende massa M:

-Y

t+dt t t+dt,c t.c

(IL

dt dt \dt/in \dtluit cffc (dY (dY\ dt `dt)in 1:1t1uit

Hierin is F de kracht die werkzaam is op de zich bewegende massa.

Voor at o is deze kracht identiek met de kracht die werkzaam is op

de massa M, die zich in het volume V bevindt.

In woorden luidt de betrekking die door bovenstaande vergelijking wordt gegeven:

De resultante van de krachten die werkzaam zijn op een zich bewegend medium binnen een volume-element V is gelijk aan de toeneming in im-puls per tijdseenheid van dit medium vermeerderd met de hoeveelheid impuls die per saldo het volume-element verlaat. Van deze integrale vorm van de impulswet wordt in de stromingsleer een veelvuldig

ge-dfc

bruik gemaakt. Voor een stationaire stroming is = o en de

impuls-dt

wet luidt dan:

In een stationaire stroming is de som van de krachten die werken op

een zich bewegend medium binnen een volume-element V gelijk aan de hoeveelheid impuls die per saldo het volume-element per tijdseenheid

verlaat.

§12. Het beginsel van de voortstuwer.

Men kan zich een voortstuwer van willekeurige doorsnede vervangen den-ken door een schijf loodrecht op de stroming die op een of andere ma-nier een drukverschil Ap opwekt tussen de vloeistof die de schijf in-stroomt en de vloeistof die de schijf uitin-stroomt.

In fig. 12 is de stroombuis door een dergelijke schijfvoortstuwer voor-gesteld. De vloeistof stroomt hierbij in de X-richting. De snelheden en drukken worden constant verondersteld over de doorsneden hetgeen toelaatbaar is, wanneer men de beschouwde doorsnede klein genoeg neemt. De snelheid in de stroombuis ten opzichte van de schijf is:

ve

in een doorsnede o zeer ver stroomopwaarts

vl

in een doorsnede 1 ter plaatse van de schijf

vel-0a

1

.%;

0

Fig.12 - Het beginsel van de voortstuwer.

Hierin is

ca dus de snelheidsverandering, die tengevolge van de

werking van de voortstuwer is teweeg gebracht.

Is het oppervlak van de schijf A, dan is de volumestroom door de

schijf:

v =

en de door de schijf op de vloeistof uitgeoefende kracht

T = A.Ap.

De reactie van T, die dus de andere kant op werkt is de stuwkracht, d.i. de door de vloeistof op de schijf uitgeoefende kracht.

Toepassing van de impulsstelling op het volume-element begrensd door de doorsneden 0 en 2 geeft:

T = pl)v.ca

Wanneer de schijf stilstaat (en dus het ongestoorde water komt aan-stromen met een snelheid ve) is het vermogen dat door de schijf op het water wordt overgebracht gelijk aan:

P = T.vi = p v.ct.vi.

Po ye

Dit vermogen veroorzaakt een toeneming in kinetische energie van de vloeistof, die eveneens gelijk aan P moet zijn wanneer de vloeistof onsamendrukbaar en wrijvingsloos verondersteld wordt, zodat:

\ 2 P = 10.1, c _{vl =} 1-vp ((v a) ve2 =

2v+

+ a 2 e

waaruit volgt dat:

v₁

= V

e + 2 a

Net andere woorden: de snelheidstoeneming ter plaatse van de voort-stuwer is altijd gelijk aan de helft van de totale snelheidstoeneming. De stuwkracht die het water op de schroef uitoefent moet in °tit geval worden opgevangen door een of andere stationaire ondersteuning. Op de ondersteuning wordt geen arbeid verricht.

Het snelheids- en drukverloop in de vloeistof die door de voortstu-wer stroomt is weergegeven in fig. 13.

+V1

Po+P

23 -veA----zoa Ap Po-z-AP

Snelheids- en drukverloop veroorzaakt

door een voortstuwer.

a

24

-Laat men de schijf zich voorwaarts bewegen met een snelheid ire ten

opzichte van stilstaande vloeistof, dan ontstaat natuurlijk ten op-zichte van de schijf dezelfde situatie. De arbeid die op de omgeving wordt verricht verschilt echter:

le. de "ondersteuning" beweegt nu in de richting van de stuwkracht, zodat op de ondersteuning een vermogen Tve wordt overgebracht; 2e. het water ter plaatse van de schijf beweegt nu met een snelheid

Ca zodat hierop nog slechts een vermogen T. ca wordt

over-gebracht.

Uiteraard blijft het totale door de schijf afgegeven vermogen

ge-lijk aan T(ve +

c)0

Is de ondersteuning bijvoorbeeld een schip,

2 a

dat wordt voortgestuwd, dan wordt van dit vermogen het gedeelte _Tire

nuttig gebruikt. Het rendement van de voortstuwer (de schijf) is dan

Tve ve

P - T(v +lc )_{e 2 a}

77-13-e 2 a

hetgeen men ook kan schrijven als:

2v

Drukt men de stuwkracht uit in de vorm van een dimensieloze coeffi-cient, de zg. specifieke stuwkracht

cT (zie § 21) dan krijgt men:

c(v +c )

_ae

a 2

-a (1 _a\

=

-

₁

T

Tpve F ve2 ve ve

Eliminatie van --e= uit de uitdrukkingen

_{voorp en CT}

geeft: ve 2 -712) en 4(1- fly) cT T-1 p2

Uit het voorgaande kan men de volgende conclusie trekken:

Wil men een bepaalde stuwkracht opwekken dan kan men dit doen

met grotet, (d.w.z. ire) en kleine

ca of met kleinecDm en grote

ca. Uit de formule voor het rendement blijkt, dat de eerste

methode de voordeligste is. M.a.w. men krijgt het hoogste rende-ment van een voortstuwer door een zo groot mogelijke massa water zo weinig mogelijk te versnellen.

dy

t=o

du

U +

a--

25-§13. Viscositeit - Vormveranderingsarbeid - Wandhechting - Grenslagen. In een wrijvingsloos stromingsveld kan de vloeistof in principe met een eindige snelheid langs een vaste wand stromen. Overal in de vloeistof komen verder snelheidsgradienten voor in richtingen loodrecht op de stroming. In een natuurlijke vloeistof

veroorza-dU

ken deze snelheidsgradienten schuifspanningen ter grootte als

dr

r in de richting loodrecht op de stroming wordt gemeten (zie ook

§6).

Bij de zogeheten laminaire stroming treedt onder invloed van deze schuifspanningen een voortdurende plastische vervorming van de vloeistof op gedurende welke de onderlinge samenhang van de deel-tjes niet wordt verbroken. Dit wordt geillustreerd door fig. 14 waar de vervorming van een oorspronkelijk rechthoekig blokje vloei-stof in een twee-dimensionale stroming is weergegeven.

t =At

lu ueAt u.At du.2At t = 2At du.3At lir 'A u. At t = 3At

Fig. 14 - Vervorming van waterdeeltjes in laminaire stroming.

De schuifspanning verricht hierbij per tijdseenheid een hoeveelheid arbeid

2

du du du

dP

= T. --.dy = n( --)

.dy.dx.dz

=n(7--)2

dV.

dy , dy ay

Per volume -eenheid is dit vermogen: dP

idu)2

dV = ll\dyi

Deze hoeveelheid arbeid blijkt behalve van de viscositeit alleen af

du ..

te hangen van de vormveranderingssnelheid ---oBij de vormverandering

dy

wordt de verrichte vormveranderingsarbeid omgezet in warmte en af-gvoerd op een wijze, die de stroming verder niet beinvloedt.

u. At >I(

-

26-Voor hoge waarden van de dynamische viscositeit n is de invloed

er-van zelfs merkbaar bij lage waarden er-van de snelheidsgradient. De in-vloed van de viscositeit komt dan praktisch overal in het stromings-veld tot uitdrukking. Als uiterste grensgeval kan men zich voorstel-len dat de visceuze krachten de drukkrachten geheel overheersen. Dit zou optreden wanneer men bijvoorheeld een schip in stroop of

teer zou laten varen,

Een ander uiterste is het geval, waarin de viscositeit zo klein is, dat men er alleen lets van merkt bij zeer grote snelheidsgradien-ten. In dat geval zal men vrijwel overal in het stromingsveld mo-gen aannemen, dat de vloeistof wrijvingsloos is. De enige uitzonde-ring wordt meestal gevormd door de naaste omgeving van een vaste wand waarlangs de vloeistof stroomt. Uit experimenten wordt name-lijk zonder uitzondering het volgende gevonden:

het uiterste laagje vloeistof, dat in contact is met een vaste wand staat stil ten opzichte van die wand;

de laminaire schuifspanning aan de wand is gelijk aan die welke midden in de vloeistof bij dezelfde snelheidsgradient zou

op-treden.

De eindige sne1heidssprong aan de wand, zoals die wordt toegelaten bij de beschrijving van de stroming van een volmaakte vloeistof blijkt dus in een werkelijke vloeistof niet te kunnen bestaan, hoe klein de viscositeit ook is. Om het snelheidsverschil te overbrug-gen moet vaak een aanzienlijke snelheidsgradient aanwezig zijn over een kleine afstand en de schuifkrachten die hierdoor aan de wand ontstaan zijn veelal niet meer verwaarloosbaar. Langs de wand ont-staat een meestal dunne laag, waar de invloed van de viscositeit wel merkbaar is. Buiten deze laag, de zogenaamde grenslaag mag de invloed van de viscositeit verwaarloosd worden.

§14. Vergelijkingswetten.

Wanneer men gegevens wil verkrijgen omtrent de stromingsvelden rond technische constructies, bijvoorbeeld schepen, is het niet altijd mogelijk deze te verkrijgen door metingen aan of bij de

; 27

-Vaak hebben dergelijke metingen ook niet veel zin meer, omdat men de resultaten eigenlijk nodig heeft in het ontwerpstadium, dus voor voltooiing van de constructie. In dergelijke gevallen maakt men veelvuldig gebruik van modelproeven, vooral wanneer een theoreti-sche benadering van het betrokken probleem onmogelijk of te zeer

tijdrovend is.

Tijdens zulke modelproeven moet aan een aantal voorwaarden worden voldaan wil gelijkvormigheid tussen de verschijnselen aan het model en op ware grootte kunnen bestaan. Deze voorwaarden zullen in het kort hierna worden behandeld. Hierbij zal gemakshalve steeds over model en schip worden gesproken, alhoewel de beschouwingen ook gel-dig zijn voor willekeurige andere constructies.

§15. Voorwaarde van geometrische

ELliamalLghsid.

Een voorwaarde waaraan natuurlijk meet worden voldaan tijdens model-proeven is die van geometrische gelijkvormigheid tussen model en

schip. Slechts in dat geval is het mogelijk door opmeting in het model van een willekeurige lengte-afmeting de corresponderende af-meting voor het schip te berekenen door vermenigvuldiging met een

schaalfaktor.

Op het eerste gezicht lijkt het niet zo moeilijk aan deze voorwaar-de te voldoen, omdat het betrekkelijk cenvoudig is een schaalmovoorwaar-del te vervaardigen van een volmaakt glad schip.

Wanneer het scheepsoppervlak ruw wordt, hetzij door biologische aan-groei, hetzij door constructiedetails, wordt het meteen heel moei-lijk de aard van het scheepsoppervlak op schaal na te bootsen. Omdat de aard van het oppervlak de grenslaagverschijnselen beinvloedt, zal in principe een onjuiste reproduktie van dit oppervlak leiden tot afwijkingen in de stroming langs het model. Later zal blijken (zie §20) dat het in ieder geval onmogelijk is de grenslaagstroming op

schaal na te bootsen, zelfs al zou het modeloppervlak geometrisch bezien een volmaakt schaalmodel van het scheepsoppervlak zijn. Daarom wordt bij scheepsmodelproeven de voorwaarde van geometrische gelijkvormigheid altijd verwaarloosd voor zover het de aard van het scheepsoppervlak betreft.

De modellen worden volmaakt glad gemaakt, wat het voordeel heeft dat dit gladde modeloppervlak gemakkelijk reproduceerbaar is. Men be-denke echter dat experimentele resultaten verkregen door toepassing van dergelijke modellen daarom ook slechts informatie kunnen ver-schaffen over de eigenschappen van schepen, die eveneens volkomen

Zodra dit niet neer het geval is moeten op de modelproefresultaten ruwheidstoelagen warden gegeven am de aard van het scheepsoppervlak in rekening te brencen.

De voorwaarde van geometrische gelijkvormigheid is niet alleen van toepassing op schip en model maar oak op de gehele omgeving, waarin schip en model varen. Zo moet bijvoorbeeld de toestand van het water-oppervlak, waarlangs een oppervlakteschip zich beweegt op elk moment gelijkvormig zijn met het wateroppervlak waarlangs het model vaart. In principe kan aan deze voorwaarde warden voldaan door het betrok-ken model te laten varen in een bassin waarin kunstmatig het gewens-te golfpatroon wordt opgewekt. Een exact reproduceerbare toestand kan echter alleen gemakkelijk warden verkregen in het geval van een volkomen vlak wateroppervlak. Een belangrijk deel van de proeven met scheepsmodellen wordt.daarom in deze toestand uitgevoerd. Het geidea-liseerde geval van een volmaakt glad model in volkomen vlak water, overeenkomend met eon volmaakt glad schip in eon volmaakt stille zee, staat bekend in de literatuur als de "tanktoestand" (tank = bassin waarin scheepsmodellen warden beproefd). Voor het schip moeten op

de resultaten van proeven in tanktoestand correcties warden aange-bracht voor elke afwijking van de tanktoestand die de werkelijkheid

mocht vertonen.

Zo kan bijvoorbeeld aan de voorwaarde van geometrische gelijkvormig-heid niet altijd geheel warden voldaan met betrekking tot de

afme-tingen van het vaarwater. Dit geldt in het bijzonder voor zeesche-pen waarvoor de afmetingen van het vaarwater abs oneindig groot

wor-den beschouwd, eon toestand die in een bassin nooit geheel gereali-seerd kan warden. Men dient or daarom voor to zorgen dat de afme-tingen van de scheepsmodellen klein zijn ten opzichte van die van het bassin, opdat de correcties voor afwijkingen van de geometrische

gelijkvormigheid klein of .zelfs verwaarloosbaar zijn. De eventuele

correcties staan bekend abs wandeffect en bodemeffect. Beide effec-ten zijn niet onafhankelijk van elkaar.

Is aan de voorwaarde van geometrische gelijkvormigheid voldaan dan bestaat or eon lengteschaal ap zodanig dat voor iedere lengte afme-ting voldaan is aan Ls = az.Lm. De indices s en m duiden aan dat de betreffende grootheid op respektievelijk het schip en het model

D8= a

A--omtreksnelheid nn D =a nn D

ssvm

dichtheid pm omtreksnelheid nn D_{-m m} L = a m

FiF.15 -

Geometrische en kinematische gelijkvormigheid. Voorwaarde van kinematische gelijkvormigheid.

Wanneer men een model van een stromingsveld wil gebruiken am daar-uit snelheden te bepalen voor het stromingsveld rond een schip, dan

is dat alleen maar mogelijk als er een (constante) schaalfaktor be-staat, Waarmee modelsnelheden moeten worden vermenigvuldigd am scheepssnelheden te verkrijgen. Aan deze schaalwaarde moeten alle sneiheden voldoen, die van buiten af onafhankelijk van'elkaar aan het model worden meegedeeld am het schip na te bootsen. Bovendien moeten snelheden in corresponderende punten van model en schip de7

zelfde richting hebben. Wordt slechts een snelheid van buitenaf in het model ingesteld, bijv. de voorwaartse.snelheid van_een recht-uitvarend schip, dan kan aan iedere willekeurige

snelheidsschaal-waarde warden voldaan,' zodanig dat:

V =a xV

Moeten twee van elkaar onafhankelijke snelheden van buitenaf in het

model warden ingesteld, bijv. de voorwaartse snelheid _{Vs en de}

om-treksnelheid van de tip van een schroefblad (straal R, aantal omw/ sec n) dan moeten beide snelheden aan dezelfde schaalwaarde voldoen

3,0

-zodat:

Vs = av x Vm

2nR n = a

x 2nR

n .

s s v

mm

Slechts dan is voldaan aan de voorwaarde van kinematische gelijkvor-migheid, die in dit geval ook kan worden geformuleerd als de eis dat

V V s m most zijn 2nR n 2nR n s s

mm

of Vs Vm n D n D s s m

Aan dergelijke voorwaarden moet steeds worden voldaan zodra meer dan een snelheid in het model wordt ingesteld. Onder model is dan weer te verstaan het scheepsmodel plus zijn gehele omgeving.

§17.

Voorwaarde van dynamische gelijkvormigheid.

In vele gevallen worden modelproeven uitgevoerd teneinde jets te le-ren omtle-rent de grootte van de krachten die op het schip werken. Ook hier geldt weer, dat dit slechts mogelijk is voor willekeurige

krachten, wanneer er krachtenschaalwaarde bestaat, die van

toe-passing is voor willekeurige corresponderende krachtenparen, die op model en schip werken. In het hiernavolgende zal voor enkele

eenvou-dige gevallen worden afgeleid aan welke voorwaarden (zg. modelre-gels) hiertoe most worden voldaan.

Men beschouwe (zie fig.:15) een lichaam dat zich oneindig diep

hori-zontaal onder een vrij vloeistofoppervlak beweegt met een snelheid V. De afwezigheid van een vrij vloeistofoppervlak houdt in dat de zwaartekracht buiten beschouwing kan worden gelaten. De dichtheid van de vloeistof is ps.

Van het bovengeschetste stromingsveld wordt een model gemaakt, dat gebruik maakt van een andere volmaakte en onsamendrukbare vloeistof met dichtheid

De snelheid van het model tenopzichte van deze vloeistof is Vm Als het model geometrisch gelijkvormig is met het schip en Vs resp. Vm de enige van buitenaf opgelegde snelheid is, is aan de voorwaar-den van geometrische en kinematische gelijkvormigheid voldaan, zodat

Ls

er een lengteschaalwaarde _{mL =}

m en een snelheidsschaalwaarde

L

V _Ps

a = s bestaat. Voorts bestaat er een schaalwaarde a = voor

v

Vm P

voor corresponderende volumes

voor corresponderende massa's

am

= apai.3

a voor corresponderende tijden (-snelheidafstand)

i a

t ay

voor corresponderende versnellingen 2

snelheid) a =

v

tijd a

voor corresponderende massatraagheids-krachten

aFo = aPav2Cti.2

Laatstegenoemde betrekking tussen vier schaalwaarden staat bekend als de vergelijking van Bertrand. Deze kan ook geschreven worden

als

aL4 aFo

=a

P a't2

Wanneer er alleen maar drukkrachten in de vloeistof werkzaam zijn, dan zullen deze volgens de wet van Newton (F = m x a) dezelfde schaalwaarde hebben, zodat

P

_SS

0 ip V

20

_a

= a a 2a 2 =

Cs

s

aFi = _{r p v}

_{-ffp V20}

mm m

M M 0

Het is gebruikelijk in deze vergelijking de factor i in te voeren,

omdat

jpV2

= q de stuwdruk is, die in de stuwpunten aan voor en

achterzijde van het lichaam optreedt als drukverhoging (zie-aok_Zt,n).

De vergellAkiiagzkart dan vervolgens

vorden:-cwesplitst in:

F

r, .

pmvm2

=CqmQm.

en

F=

_os

_{*Pell' 2}

s S ₌ CIS QS

3

a1

VO

=a

Hierin is een coefficient, waarvan de grootte onafhankelijk is

van de schaal waarop het stromingsveld wordt gereproduceerd. In deze vorm staan de vergelijkingen bekend ale Newton's algemene gelijkvormigheidswet volgens welke in dynamisch gelijkvormige stro-mingsvelden de corresponderende dimensieloze krachten

= T----

_pV20

gelijk zijn voor model en ware grootte.

Uitgaande an daze gegevens kan men nu ook nog de volgende

schaal-waarden afleiden:

32 IBM

Voor de drukkrachten kan men verder no schrijven:

Ps

Pm Pm Pm

- C of C

gs

gm 1

sirs2 i Mir2M

In dit geval is c dus de dimensieloos gemaakte drukkracht.

De modelregel van Froude.

Wanneer in het hiervoor beschreven stromingsveld een vrij vloeistof-oppervlak aanwezig zou zijn in de naaste omgeving van het model, zou

dit mede onder invloed van de zwaartekracht worden verstoord.

Zwaar-tekrachten spelen dan dus een rol in de optredende stromingsver-schijnselen met een schaalwaarde voor de krachten op

overeenkomsti-ge massadeeltjes van model en schip die gelijk is aan:

F2

mg

ssa za

mg

p /

g'

F2 F2

M M

Een voorwaarde voor het optreden van dynamische gelijkvormigheid is nu, dat deze schaalwaarde gelijk is aan die voor de interne drukkrachten en de massatraagheidskrachten, zodat

F2S F1 FosS -

_{= CLF1 = aO}

Fom x2 F F2M Fl en

apav2ai2 = apal3ag

a2 = a a

X g

Dit is een betrekking die tussen de verschillende schaalwaarden moet bestaan, zodat deze niet nicer willekeurig gekozen kunnen wor-den. Wellicht'tmovervloede wordt nog even in herinnering gebracht,

dat behalve aan deze voorwaarde voldaan moet zijn aan alle voor-waarden voor kinematische en geometrische gelijkvormigheid.

De hierboven geformuleerde voorwaarde voor dynamische gelijkvormig-heid staat bekend als de modelregel van Froude. Deze voorwaarde kan nog worden uitgewerkt tot

Vs Vm VS2 gsLs Of -

107s

of Fr =Fr

7. 2 _{s m}

mm

V

De grootheid = Fr staat bekend als het getal van Froude dat

de-zelfde waarde moet hebben voor model en schip wil dynamische ge-lijkvormigheid kunnen bestaan bij gelijktijdig optreden van inwen-dige drukkrachten en zwaartekrachten.

R9.

De modelregel van Reynolds.

Op geheel gelijksoortige mijze als hiervoor is gedaan voor de zwaar-tekrachten kan een modelregel worden afgeleid voor het geval, dat naast inwendige drukkrachten ook visceuze schuifkrachten een rol

spelen in het tot stand komen van het stromingsveld. De schaalwaar-de voor schaalwaar-deze visceuze krachten (zie oak § 6) wordtt

T3SdV

--

. s

() 0

dv s s a a a 2 a - v F3 Fain (117 n a in dyi in m

Deze schaalwaarde moet nu op zijn beurt gelijk zijn aan die van de traagheidskrabhten, wil dynamische gelijkvormigheld kunnen bestaan. Dit leidt tot

a a = V Pa,e2 CICV2

=Prival

11 /p V V L s s

_{s_}

s s T-7T- V V L M M M

mm

V L s s of Rem =Re vm vs VL

De grootheid = Re staat bekend als het getal van Reynolds, dat

dezelfde waarde moet hebben voor model en schip am dynamische ge-lijkvormigheid mogelijk te maken.

Modelproeven.

WanneeT voldaan is aan n Voorwaarden veer dynamisdhe

gelijkvormig-heid is: 2"-V 20s Fos Fis

F2s

2ps

V 20 Fom Fim F2m m m m

Dit betekent, dat voor ieder van de soorten optredende krachten Fn en daarmee voor een willekeurige kracht F in het stromingsveld

geldt dat F F s in -ip V 20 ip V 2Q

S S

S M M M

waarbij _{onafhankelijk van de schaalwaarde is. De dimensieloos}

ge-maakte kracht noemt men: de specifieke kracht, bijv. specifieke stuw-kracht, specifieke weerstand enz.

a a Ti

-33-en V L

mm

of

-

34

-De vraag rijst nu of aan alle voorwaarden voor dynamische gelijkvor-migheid steeds gelijktijdig kan worden voldaan.

In het geval van schepen en scheepsmodellen die langs een vrij vloeistofoppervlak varen komt het stromingsveld tot stand onder in-vloed van zwaartekrachten zowel als visceuze krachten in combinatie met inwendige drukkrachten. Uithet voorgaande zal nu duidelijk zijn dat voor dynamische gelijkvormigheid tussen model en schip dan zo-wel aan de modelregel van Froude ale aan die van Reynolds moet wor-den voldaan, zodat

aF0

=a

F1 = aF2

=F3

moet zijn

2 2 3 , _

a a a, = a a oat; - a a ao

p v p 16. T1 V of/.

welke vergelijking kan worden gesplitst in

aLag = av2 (Froude)

a = ap a a (Reynolds)

v

Deze betrekkingen laten zich uitwerken tot:

air6

a 2

=a2a

2 .aa3

a av

v g

g a 3

a2

a 6 = a 2a 2 = a 3 a3

g v _g

Wanneer model en schip zich op dezelfde plaats op aarde bevinden

zodat

a = 1 leidt dit tot:

6 2 3

aV = aV = a,e.

hetgeen betekent, dat de schaalwaarde van de kinematische

viscosi-teit zowel de lengte-, als de snelheidsschaal bepaalt. Het is in dat geval due niet meer mogelijk de modelproeven uit te voeren in hetzelfde medium als waarin het schip vaart. Dan zou ay = ay = ax = 1 worden. Een mogelijkheid van alleen academische betekenis is modelproeven uit te voeren met kwikzilver als medium. Aanvaardbare

waarden voor de lengte- en de snelheidsschaal worden dan gevonden.

In de praktijk is het echter onmogelijk scheepsmodelexperimenten, waarbij een vrij vloeistofoppervlak is betrokken, op zodanige wijze uit te voeren, dat er dynamische gelijkvormigheid tussen model en

schip bestaat. Een praktisch aan-raqrdbare oplossing\.voor dit

pro-bleem werd voor het eerst aangegeven door William Froude in 1868.

§21, Algemene uitdrukking voor specifieke krachten.

Wanneer aan de voorwaarden voor geometrische, kinematische en ayna-mische gelijkvormigheid is voldaan door het model (en zijn omgeving) zal een willekeurige specifieke kracht voor het schip dezelfde waar-de hebben als die voor het mowaar-del, welke laatste door meting van waar-de betrokken kracht, dichtheid, snelheid en oppervlak bepaald kan wor-den. Zo zal bijv. de specifieke weerstand voor model en schip in dat geval hetzelfde zijn. Wanneer door het model niet meer aan een

van de voorwaardea voor dynamische gelijkvormigheid is voldaan, heeft het betrokken kental verschillende waarden voor model en schip. De specifieke krachten (bijv. de specifieke weerstand) voor model en schip zijn dientengevolge verschillend, want or bestaat geen gelijkvormigheid moor.

Heeft slechts CIA kental een afwijkende waarde dan kan de afwijking

in specifieke kracht slechts Gen funktie zijn van dat kental. Zo zal in het geval van de scheepsweerstandsproef, wanneer wel aan de modelregel van Froude doch niet aan die van Reynolds wordt voldaan, de specifieke weerstand afhankelijk van het getal van Reynolds zijn. Is aan meerdere of zelfs aan alle modelregels niet voldaan (doch nog steeds wel aan de voorwaarden voor geometrische en kinematische gelijkvormigheid) aan zal de specifieke kracht blijken te varieren met alle betrokken kentallen, zodat

c = f(kentallen)

Op soortgelijke wijze kan men beredeneren dat wanneer bovendien niet voldaan is aan eon van de kinematische voorwaarden de speci-fieke kracht ook eon funktie wordt van de betrokken kinematische

V

parameter (bijv. zodat in het algemeen geval dan geldts

nD

= f(kentallen, kinematische parameters).

De geometric van het stromingsveld wordt bepaald door eon aantal (soms zeer vele) van elkaar onafhankelijke dimensieloze geometri-sche parameters. Voor een schip kunnen dit bijv. de lengte-breedte-verhouding, breedte-diepgangslengte-breedte-verhouding, de prismatische coeffici-ent en vele andere zijn. Afwijkingen in de waarden van doze parame-ters maakt dat elke specifieke kracht (en dus bijv, de specifieke weerstand) afhankelijk wordt van de waarde van de betrokken

para-meters.

De meest algemene uitdrukking voor een specifieke kracht wordt

zodoende = f(kentallen, kinematische parameters, geometrische

35a

-In het geval van de weerstandsproef wil men uit een modelproef de weerstand van een rechtuit met constante snelheid gesleept schip

bepalen. Deze weerstand komt tot stand onder invloed van zwaarte-krachten, visceuze krachten en drukzwaarte-krachten, waarvoor de betrokken kentallen die van Froude en Reynolds zijn. Er wordt van buitenaf

(zie §16) slechts e'en snelheid opgelegd, zodat in dit geval

kinema-tische parameters geen rol spelen. Voor de totale specifieke weer-stand kan men dan schrijven

C f(Fr, Re, geometrische parameters).

Deze vergelijking, die bekend staat als de algemene

weerstandsverge-lijking zal nader worden uitgewerkt in

§47.

Er zij nogmaals aan

her-innerd, dat de geometrische parameters ook betrekking hebben op de omgeving van schip en model.

-36-§2-2 Fysische betekenis van het getal van Reynolds.

Om te kunnen voldoen aan de voorwaarde van dynamische gelijkvormig-heid wanneer visceuze krachten in het stromingsveld een rol spelen

is het nodig dat de verhouding tussen een willekeurig gekozen mas-

-sakracht en een willekeurige visceuze kracht voor het model dezelf-de waardezelf-de aanneemt als dezelf-de verhouding tussen dezelf-de overeenkomstige

krachten van het prototype. Dit leidde (zie '519) tot de eis dat

(/ 111_dy

Q\

2'

/model - chip - 1 0

-1a2

i

,4

moet zijn, of 1 1 Rem - Res

Het blijkt dus, dat het Reynolds getal evenredig is met de verhou-ding tussen een massatraagheidskracht en een visceuze kracht. Gra-ter warden van het (op een bepaalde wijze gedefinieerde) getal van Reynolds betekent dan oak het afnemen van de relatieve invloed van de visceuze krachten. En oillekeerd; hoe kleiner Re des te grater wordt de invloed van de viscositeit.

De invloed van de viscositeit neemt dus in het algemeen toe,

wan-neer de afmetingen van het stromingsveld

(0

en de snelheden

daar-in (U) afnemen en uiteraard ook wanneer de kdaar-inematische

viscosi-teit (v) toeneemt.

§23 Het mechanisme van de turbulente straining.

Bij toenemende waarden van Re en dus afnemende relatieve betekenis van de viscositeit komt er in vele stromingsvelden een moment waar-op de in §13 beschreven laminaire stroming niet meer stabiel blijkt te zijn. Deze instabiliteit volgt ook uit theoretische beschouwingen waarop in dit verband niet verder kan warden ingegaan. De onderlinge

samenhang tussen de waterlaagjes wordt verstoord en er ontstaat een

soort onregelmatige wervelende beweging, waarin de snelheid op een

bepaalde plaats zowel naar richting als naar grootte rand een

gemid-delde waarde fluctueert. Bit type straining, dat zich onder andere

altijdrowdoet in de grenslaag langs een scheepshuid beet turbulente straining.

Ook in een turbulente stroming kunnen er in bepaalde vlakken gemid-delde schuifkrachten ontstaan.

Het mechanisme daarvan kan men zich als volgt voorstellen.

Twee naast elkaar gelegen laagjes vloeistof A en 3 (zie fig. 16)

bewegen zich in dezelfde richting met gemiddelde snelheden u en

u + du.

U + du

uitwisseling van massa pV

Fig. 16. Het mechanisme van de turbuiente schuifspanning.

In een turbulente stroming beweegt zich daarbij Nloeistofmassa van B naar A en ook van A naar 3, waarbij een snelheidsverandering

op-treedt.

De continuiteitsvoorwaarde eist, dat de hoeveelheid massa die per tijdseenheid in beide richtingen door het scheidingsvlak gaat ge-lijk is. Is deze hoeveelheid pp per seconde en per eenheid van

op-pervlak van .het scheidingsVlak, dan wordt per eenheid van tijd en

per eenheid van oppervlak een hoeveelheid impuls ter grootte

pvu

in het laagje A vervangen door een hoeveelheid impuls ter grootte

van pv(u + du).

Het effect hiervan is hetzelfde als wanneer er in het scheidings-vlak een schuifspanning ter grootte p.7.du zou bestaan. Deze

schijn-bare spanning noemt men de turbulente schuifsnanning. Fig. 16a geeft

een voorbeeld van de wijze waarop de snel-heid in een turbulente

stroming met de tijd

rond een gemiddelde

waarde fluetueert.

Fig. 16a - VariaIie van de snelheid met de tijd in een turbulente stroming.

38

-Het verband tussen de turbulente schuifspanning en de snelheids-gradient is niet zo eenvoudig als bij de laminaire stroming en in principe verschillend daarvan. Dit heeft tot gevolg dat de snel-heidsverdeling in turbulente stromingen anders uitvalt dan bij de corresponderende laminaire stromingen.

Door von Kirman is op grond van gelijkvormigheidsbeschouwingen af-geleid, dat in een volledig turbulente stroming de betrekking

tus-sen schuif spanning en snelheidsgradient kan worden weergegeven door: 4 ( ) _2 `dyi T px-(d2u)2 \dy21

Hierin is x een universele constants. De betrekking verliest zijn geldigheid in de directe nabijheid van een wand.

In vele gevallen zal bij behoud van dezelfde geometrische en kine-matische parameters van een stromingsveld de stroming door toene-ming van het getal van Reynolds van laminair in turbulent kunnen

overgaan. Er bestaat dus in principe voor iedere geometrische en kinematische configuratie eon kritieke waarde van Re beneden welke de stroming laminair is en boven welke de stroming turbulent is. Ongelukkigerwijs geschiedt de overgang van laminair naar turbulent niet altijd bij dezelfde waarde van Re. Het begin van het optreden van turbulente stromingen is vaak afhankelijk van het optreden van toevallige verstoringen. Vermijdt men deze dan kan laminaire stro-ming vaak tot aanzienlijk hogere waarden van Re worden gehandhaafd. In vele gevallen is ook de overgang van laminair naar turbulent een geleidelijke, die zich uitstrekt over een groot gebied van Re-waar-den. Een juiste beschrijving van de stromingsverschijnselen is in dit gebied in de meeste gevallen niet meer mogelijk, ook al weer om-dat de mate waarin turbulentie optreedt van toevallige bijkomstige omstandigheden kan afhangen. Wanneer geen bijzondere voorzorgsmaat-regelen worden genomen kunnen proeven, die binnen zo'n gebied van Re-getallen worden uitgevoerd van dag tot dag verschillende

§24. Grenslaagstroming langs een vlakke plaat.

In het volgende wordt een vlakke plaat beschouwd, die wordt aange-stroomd door een parallelstroming. Het vlak van de plaat is even-wijdig aan de stromingsrichting en de voorrand staat loodrecht op de stromingsrichting. Verder wordt aangenomen, dat de viscositeit zo klein is, dat hij mag worden verwaarloosd buiten een grenslaag ter dikte b. Tengevolge van de visceuze schuifkrachtjes die wor-den uitgeoefend op het water dat langs de plaat stroomt, zal dit water een snelheidsverlies ondervinden en dientengevolge een

im-pulsverlies.

Als gevolg daarvan zal er in de grenslaag een snelheidsverdeling ontstaan als schematisch is aangegeven in fig. 17.

onge-stoord pot.st . grens-laag - ₃₉

-)1B

Fig.' 7

-

Grenslaagstroming langs een vlakke plaat.

De grenslaag neemt in dikte toe naarmate de afstand tot de voor-rand groter wordt, terwijl de snelheidsgradient aan de wand (en dus ook de schuifspanning) afneemt.

Toepassing van de impu1sstelling op een volume-element begrensd door de plaat en een stroombuis buiten de grenslaag (ABCD in fig.

17)

leert dat het impulsverlies per eenheid van tijd tussen de

voorrand van de plaat en een willekeurig vlak loodrecht op de plaat en de stromingsrichting gelijk moet zijn aan de weerstand die de plaat over deze afstand ondervindt.

+y D

_

---....__

-...

,..---N. -..