De monsterneming van heterogene binomiale korrelmengsels, in het bijzonder steenkool

DE MONSTERNEMING VAN

HETEROGENE BINOMIALE KORRELMENGSELS, IN HET BIJZONDER STEENKOOL

m^-'^B^l

II

DE MONSTERNEMING VAN

HETEROGENE BINOMIALE KORRELMENGSELS,

IN HET BIJZONDER STEENKOOL

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP AAN DE TECH-NISCHE HOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS DR IR H . I. WATERMAN, HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER CHEMISCHE TECHNOLOGIE, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 17 DECEMBER 1947, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR

DOOR

JAN VISMAN

GEBOREN 2 JULI 1914 TE DEVENTER

\

Prof. Ir. C. L. van Nes en Prof. Dr. S. C. van Veen.

La vie est a monter, et non pas è descendre."

Emile Verhaeren.

VOORWOORD. ,

De theorie der monsterneming heeft, in het algemeen gesproken, tot nu toe weinig gedeeld in de belangstelling van de zijde der steenkool-producenten.

De oorzaak van deze matige belangstelling is m.i. gelegen in het feit, dat dit onderwerp steeds verschillende duistere punten heeft geboden, die de oplossing van het probleem in de weg stonden, en die het opstellen van voorschriften zo al niet tot een kostbare, dan toch tot een onzekere en netelige zaak maakten.

Het is mij een voorrecht een bijdrage te kunnen leveren tot de algemene oplossing van het monsternemingsprobleem en tot de op-lossing van de monsterneming van steenkool- en wasserij-producten in het bijzonder.

Van de hier geboden gelegenheid maak ik gaarne gebruik om mijn erkentelijkheid te betuigen jegens de Directie der Staats-mijnen, die toestemming verleende voor de publicatie dezer studie als proefschrift, en jegens mijn directe chef en medewerkers, die de totstandkoming hiervan zozeer hebben bevorderd.

J. VISMAN. Beek (L.), 21 October 1947.

Biz.

Inleiding 1 A. Critisch-theoretisch gedeelte 4

I. Theorie der perfect gemengde korrelmassa's . . . 4

II. Theorie der ontmenging 15

III. Literatuur-studie 18 B. Experimenteel-technisch gedeelte 56

I. Quantitatief onderzoek van de monsterconstanten . 56

II. Experimentele controle van de theorie 70 III. Ontwerp-voorschrift voor de monsterneming van

steenkool 80

Literatuur 90 Summary 93 Résumé 94

biz. 3 r. 6 v.o. Lees: . . . . de koolsoort en uit . . . . „ 24 „ 7 „;:,,^,,,. . . . een korrelgewicht g2 „ 26 „ 10 „ Formule (3) moet zijn: formule (33) „ 26 „ 4 ,, n — E'moet zijn: — e'

„ 27 „ 5 v.b. G = ng,[y + p{\-~y)] „ 28 „ 8 „ Lees: Substitueer in (31a): ,, 43 „ 1 „ Voor moet zijn: voor

„ 46 „ 3 v.o. Lees: erf—'(y) is de inverse functie van erf (y) ,, 4 0 ,, 1 ,, >> I 77=^

„ 47 punt 4, r. 2 Lees: deel A, II § 2 (Zie ook de Inleiding) „ 49 r. 7 v.o. 1 . 6 moet zijn . 16

„ 49 „ 2 „ Lees: (W = 0,99) (?)

„ 51 „ 5 v.b. „ 2. het asgehalte van de fractie > 1,6. „ 53 Vervang in formule (73) (1 — r^) door (1 + ra) „ 61 r. 8 v.o. 0 moet zijn: •

„ 70 „12 v.b. W moet zijn: w „ 71 „ 3 v.o. dan moet zijn: kan

„ 92 Lit. nr. 43 Lees: Laroche, R. „ 93 „10 „ Lees: formula nr. 28, (page 18) „ 94 „ 11 „ „ formule (28)

De monsterneming van steenkool vormt een probleem, dat uit een algemeen gezichtspunt van brandstoffen-economie de aandacht trekt en dat in de laatste decenniën het onderwerp is geweest van uitvoerige onderzoekingen.

De ontwikkeling van de stooktechniek en later de techniek van het kolenwassen, hebben de behoefte aan bedrijfsvoorschriften en landelijke voorschriften met zich meegebracht.

Het is verklaarbaar dat de onderzoekingen op dit gebied in de eerste plaats waren gericht op de quantitaüeve oplossing van het monsternemingsprobleem, n.l. op het samenstellen van regionale en landelijke voorschriften voor bepaalde commerciële koolsoorten. Daarnaast zijn in de loop der jaren ook bijdragen ge-leverd tot de qualitaüeve, algemeen-theoretische oplossing van het monsternemingsvraagstuk; doch het is opmerkelijk dat de deductieve methode die de mogelijkheid voor een aanzienlijke be-sparing aan experimenteel werk inhoudt — bij de ontwikkeling der monsternemingstheorie nog niet tot een oplossing heeft geleid, terwijl reeds in 1928 een bruikbare theoretische basis werd gegeven door M i k a , B a u l e en B e n e d e t t i - P i c h l e r , die vermoedelijk eerst beter bekend is geworden sedert de publicatie van M a n n i n g in 1935.

Een zekere synthese tussen theorie en toepassing is gevonden door de invoering van de formule

r„ = - ^ en « ^ 0.46 f - f . /7j2

uit de waarschijnlijkheidstheorie door G r u m e l l en D u n n i n g -h a m , voor -het verband tussen -het aantal ondermonsters en de gemiddelde fout in het gehalte aan a s ' ) .

Een algehele theoretische oplossing, bevestigd door experimenteel werk, zou aan het verder te verrichten onderzoekingswerk een wen-ding kunnen geven in dien zin, dat overtollige arbeid vermeden wordt alwaar de theorie de uitkomst door berekening kan ver-schaffen.

Ik ben het niet eens met de opvatting van B u s h e 11 (20), dat van de zuiver deductieve methode minder succes verwacht moet worden dan van de inductieve methode waarvan de resultaten in een of andere mathematische vorm worden gegoten.

Het doel dezer publicatie is, aan te tonen dat een oplossing van het monsternemingsprobleem op geheel mathematisch-statistische grondslag mogelijk is; dat deze oplossing practisch bruikbaar is en in overeenstemming is met het experiment en dat tenslotte door de toepassing van deze methode een aanzienlijke besparing aan experi-menteel werk kan worden bewerkstelligd.

De theorie is algemeen van toepassing op binomiale korrelmeng-sels, d.w.z. op mengsels die men zich opgebouwd kan denken uit twee korrelsoorten die verschillen in het te bepalen gehalte, doch die gelijk zijn qua korrelgrootte-samenstelling en gelijk voor de hand van de monsternemer (korrelvorm).

Zij wordt getoetst voor het speciale geval van monsterneming voor de asbepaling, en voor de scheiding naar soortelijk gewicht, van steenkool.

Definities.

Onder een partij wordt verstaan een hoeveelheid te bemon-steren kool, onverschillig of het een partij in opslag betreft, ofwel een in continu proces tot dagproductie, weekproductie of maand-productie aangroeiende partij.

Onder een totaal monster wordt verstaan: het monster van een partij.

Het totale monster is gewoonlijk samengesteld uit een kleinere of grotere reeks ondermonsters.

Een analysemonster is een monster van enkele honderden gram-men kool, dat uit een totaal monster wordt verkregen door distinte-greren en verdelen.

Onder waskromme wordt verstaan de grafische voorstelling van de rangschikking van alle delen der kool volgens het asgehalte der delen.

Deze kromme wordt getekend aan de hand van gegevens die worden verkregen uit de scheiding van een monster kool volgens de drijf-zinkmethode met vloeistoffen van verschillend soortelijk gewicht, waarbij gebruik wordt gemaakt van het verband tussen het s.g. en het asgehalte.

I Genormaliseerd asgehalte.

Het verband tussen het s.g. en het asgehalte van kooldeeltjes met eenzelfde gehalte aan vluchtige bestanddelen, is binnen nauwe grenzen bepaald.

Bij de berekening van enig soortelijk gewicht (y) wordt van dit experimenteel bepaalde verband gebruik gemaakt.

Onder standaardfout (-afwijking) wordt verstaan: een maatstaaf voor de strooiing van een statistische massa fouten, resp. afwijkin-gen (algemene betekenis).

Standaardfouten zijn: de gemiddelde fout, de middelbare fout en de waarschijnlijke fout of vijftig-procentsfout.

De hier gebruikte standaardfout is de middelbare fout.

Notatie : m = f ï ^ , ' -••" [ ] = sommeringsteken (naar G a u s s ) .

In de middelbare fout komen grote schijnbare fouten sterker tot uitdrukking dan in de andere standaardfouten, wegens de kwadra-tuur; derhalve is de middelbare fout de veiligste maatstaf voor de strooiing van fouten-collectiva.

Onder specifieke veranderlijkheid van een koolsoort wordt ver-staan: de veranderlijkheid in het asgehalte van die koolsoort, die uitsluitend het gevolg is van de samenstelling der kool qua asver-deling en korrelgrootte-samenstelling.

De afwijkingen in het gehalte van een monster ener perfect ge-mengde partij vloeien uitsluitend voort uit de specifieke verander-lijkheid van de koolsoort uit de grootte van het monster.

Onder de ontmenging of heterogeniteit van een partij wordt begrepen: elke invloed, die de toestand van perfecte menging ver-stoort, hetzij als gevolg van transport, het verstellen van de was-machine of anderszins. Onder ontmengingsfactor wordt verstaan de graad van ontmenging van de partij op het punt van bemonstering.

1

' De betrouwbaarheid van monsters steenkool wordt afgemeten naar de nauwkeurigheid van het gemeten gehalte aan as, dat wil zeggen, het volgens de waarschijnlijkheidsrekening te verwachten maximale verschil tussen het gemeten en het werkelijke gemiddelde asgehalte der bemonsterde partij.

Het asbestanddeel vertoont over het geheel genomen grotere variaties dan de andere, van belang zijnde bestanddelen zoals vocht, zwavel en gas. Bovendien wordt aan de nauwkeurigheid van asbe-palingen doorgaans hogere eisen gesteld dan bij andere beasbe-palingen het geval is.

Een monster dat aan zekere eisen van nauwkeurigheid voldoet wat betreft de asbepaling, is dus in het algemeen eveneens represen-tatief ten aanzien van de andere bestanddelen ' ) .

De nauwkeurigheid wordt numeriek uitgedrukt als de afwijking (a) — tussen het gemeten asgehalte en de werkelijke waarde van het asgehalte van de bemonsterde partij — die in 99 van de 100 gevallen niet wordt overschreden.

a = 2,5 m

a = max. afwijking in het asgehalte (W = 0,99) m = totale middelbare afwijking in het asgehalte. '" ^

I. THEORIE DER PERFECT GEMENGDE KORRELMASSA'S. § 1. 1. De onderstaande beschouwingen hebben betrekking op een willekeurig te kiezen partij steenkool, hetzij in zuivere of in onzuivere toestand.

Het gehalte aan as en andere bestanddelen dezer kool varieert in meer of mindere mate.

Uit de literatuur blijkt, dat in de afgelopen halve eeuw een uit-gebreid onderzoek is gedaan omtrent de factoren die hierbij van invloed zijn. Voor een uitvoerige bespreking hieromtent zij verwezen naar hoofdstuk (III) van deel A.

2. In het onderstaande worden de factoren die de variatie in 1) Lit. (27), 4; (15).

het asgehalte ener partij bepalen en die dus ook van invloed zijn op de nauwkeurigheid van een monster dier partij geordend; en het causaal verband dat tussen de verschillende grootheden bestaat wordt langs mathematisch-statistische weg afgeleid. Het verschil tussen de hier gevolgde werkwijze en die, welke tot nu toe door andere onderzoekers is toegepast bestaat hierin, dat de laatst-genoemden de experimentele gegevens als uitgangspunt kozen en aldus inductief werkende voor bepaalde gevallen tot een experimen-tele formule konden geraken; ofwel dat men deze methode bezigde ter aanvulling van zekere, op de waarschijnlijkheidstheorie be-rustende, langs deductieve weg gevonden stellingen.

3. De factoren die van invloed zijn op de variatie in het as-gehalte ener partij steenkool kunnen worden verdeeld in twee groepen.

1) factoren, bepaald door de samenstelling van de kool; deze treden dus reeds op in het geval van perfecte menging, en voeren tot de wet van de binomiale verdeling;

2) factoren, bepaald door de winning en verwerking van de kool ten gevolge waarvan een zekere graad van ontmenging gaat optreden.

3) Bij het verwerken van het monster treedt vervolgens wederom de invloed op van de samenstelling der kool; en tot slot, bij de analyse, de analysefout.

Stelt men de partiële invloed der genoemde factoren voor door de middelbare afwijkingen (mj) resp. (^2) resp. (nis), dan voert dit — zoals wordt aangetoond in hoofdstuk II, § 1, 3/5 — tot:

m^ = m^^ + m^^ -\- m^^

overeenkomstig de wet van de voortplanting der fouten.

m = totale middelbare afwijking van het monster ten opzichte van de partij.

§ 2. 1. De producten van een mijn zijn — elk voor zich — binnen zekere grenzen constant van samenstelling. - i[_

Aan de hand van de waskrommen, die in de bedrijven regelmatig worden samengesteld uit de analyse-resultaten, kan men zich een beeld vormen van de gemiddelde samenstelling van een bepaald product, wat betreft de verdeling van het gewicht over de sg-frac-*• ties, en het asgehalte dier fractie. Dit wordt kort samengevat onder

de naam van asverdeling.

stelling van een product binnen zekere grenzen constant is. Deze bestendingheid van samenstelling leidt tot de opvatting dat het probleem der monsterneming zich leent voor eenvoudige mathema-tische interpretatie. De vraag in hoeverre de binomiale verdeling van toepassing is, werd tot nu toe nimmer quantitatief onderzocht. B u s h e 111) zegt hieromtrent het volgende (1937): "Attemps have" "been made to split the coal into specific gravity fractions and to" "consider each fraction to be of fixed density. The approximations" "thus obtained give values of the probable error approaching closer" "to the determined value as the number of specific gravity cuts is" "increased... It would appear that for succesful treatment of the" "problem on these lines the coal must be divided into a number" "of specific gravity fractions small enough that each may be consi-" "dered to consist of coal of fixed specific gravity. If this were" "done, the mathematical derivation of the errors would become too" "involved to be of practical use."

" . . . .'There can be no doubt that the only method of treatment" "of coal sampling which will be succesful is the application of the" "theory of errors, but it is unlikely that a theoretical treatment" "without consideration of practical factors will lead to any definite" "conclusion." • :

-Deze conclusies worden door de uitkomsten van het verrichte onderzoek gelogenstraft. In tegenstelling met de opvatting van B u s h e 11 e.a. blijkt, dat de hypothese van het binomiale korrel-mengsel van toepassing is op de monsterneming van steenkool; het experimentele onderzoek is niet langer nodig als aanvulling voor de theorie, doch dient uitsluitend ter controle van de mathematisch afgeleide betrekkingen.

§ 3. Gestyleerde korrelmengsels. ; 1. Korrelmengsels van gewassen of ongewassen steenkool

kun-nen worden opgevat als mengsels van twee sg-fracties; deze worden betiteld als „steenfractie" en „koolfractie". De verhouding van de gewichten dezer fracties is bij eenzelfde scheidings-sg binnen zekere grenzen constant; hetzelfde geldt voor de asgehalten van die fracties.

De karakteristiek dezer producten, de waskromme ^), vertoont een relatief constant beeld. In het algemeen verandert de gemiddelde waskromme ener kooUaag slechts weinig, gezien de constante

samen-1) Lit. (20), 373.

stelling der laag in horizontale richting; echter treden merkbare verschillen op tussen de lagen onderling. Deze verschillen vormen de oorzaak van de variaties in de samenstelling van het ruwe pro-duct dat de schacht verlaat. Door nauwkeurig voorbereide jaarplannen wordt bereikt, dat de gemiddelde samenstelling van de schachtkool zo constant mogelijk is. De samenstelling van de schachtkool be-weegt zich derhalve om een vrijwel constant gemiddelde, als gevolg van de wisselende samenstelling der afzonderlijke lagen.

2. De invloed van de winning en het transport op de ontmen-ging van de pasgedolven kool is genoegzaam bekend; er zij echter op gewezen, dat de graad van ontmenging niet zonder meer kan worden beschouwd als een constante grootheid voor een bepaald steenkoolproduct. Want hoewel de uiterste graad van ontmenging wordt bepaald door de asverdeling en de korrelgrootte-samenstelling van het product, hangt het geheel af van de wijze waarop het product is gewonnen, getransporteerd en verwerkt, tot welke graad de ontmenging is voortgeschreden wanneer het product de plaats van monsterneming passeert.

Bij de theoretische beschouwingen is om die reden op geen enkele wijze gebruik gemaakt van enig verband dat zou kunnen bestaan tussen de samenstelling der producten en de graad van ontmenging. 3. De gewassen producten ondervinden in zekere mate de invloed van de samenstelling van het ruwe product; deze invloed neemt toe naarmate het sg, waarop de kool in de wasserij gescheiden wordt, hoger ligt, en tevens speelt scherpte van de scheiding hierbij een rol. Een product, gewassen op een deinmachine, vertoont een grotere variatie in asgehalte dan in het geval dat het door een suspensie-wasmachine zou zijn gewassen bij hetzelfde scheidings-sg.

Bovendien wordt het asgehalte beïnvloed door het verstellen van de wasmachine.

4. De graad van ontmenging en haar invloed op de nauwkeurig-heid van de monsterneming vormen in het onderstaande een afzon-derlijk punt van beschouwing (hfst. II).

Bij het begrip gestyleerd korrelmengsel wordt de factor ontmen-ging derhalve geabstraheerd, waarmede het tevens is gedefinieerd; onder een gestyleerd korrelmengsel wordt dus verstaan een perfect gemengde korrelmassa met samenstelling gelijk aan de gemiddelde samenstelling van het te bemonsteren product, zowel wat betreft de asverdeling als de korrelgrootte-samenstelling.

Alle deeltjes hebben dezelfde grootte. Alle steendeeltjes hebben eenzelfde asgehalte; evenzo de kooldeeltjes.

§ 4. Het binomium van Newton. ifh 1. Gegeven zij een gestyleerd korrelmengsel, bevattende v

korrels „steen" en v(l — p) korrels „kool"; dan is de waarschijn-lijkheid (Wj) voor het grijpen van een monster van (n) korrels met daarin (s) korrels „steen" (en (k) korrels kool) è priori bepaald volgens N e w t o n :

^ s ^ ^ . p ' i i - p y (1) Indien dus uit een perfect gemengde partij met mengverhouding:

aantal steenkorrels

totaal aantal korrels = P

een monster van (n) korrels wordt getrokken, is de kans op het aantreffen van (s) korrels „steen" en (k) korrels „kool" te be-rekenen uit de formule ( I ) .

2. Het aantal korrels (s) dat bij herhaald trekken van een monster wordt aangetroffen, varieert binnen zekere grenzen om een gemiddelde waarde.

De middelbare afwijking (/HJ) in het aantal steenkorrels wordt bepaald door:

= „K£iL^irt

m, = n \ t ^ - - ^ (2) Indien de bovengenoemde mengverhouding (p) en het aantal

korrels (n) — d.w.z. de grootte van het monster — bekend zijn, volgt hieruit de middelbare afwijking van het aantal steenkorrels (s) dat zich in het monster bevindt.

De veranderlijkheid van het aantal steenkorrels van zeker monster (n korrels) wordt bij perfecte menging eenduidig bepaald door de samenstelling van het korrelmengsel.

Deze veranderlijkheid wordt — ter onderscheiding van de variatie door ontmenging — in het navolgende betiteld als de specifieke ver-anderlijkheid van het korrelmengsel.

§ 5. De specifieke veranderlijkheid (m\) van het asgehalte. 1. Indien de steendeeltjes van een gestyleerd korrelmengsel as % as bevatten en de kooldeeltjes a^ % as, volgt het asgehalte (x)

uit de betrekking:

5 . \ .ys .as + k .\ .yk -dk /q\

X ^ ; i—-. j^ . . . . \0)

yjt, Ys> y = soortelijk gewicht der kooldeeltjes, resp. steendeeltjes, resp. het gemiddeld s.g. van het mengsel.

I = volume der deeltjes.

Vervangt men k — n — s dan volgt uit (3):

x = / ( 5 ) = ^•ys-{<^s-ak) ^ . . . (4) Volgens de wet van de voortplanting der fouten:

ós

'M] = TZ • t^s

fKi

geldt voor de middelbare afwijking (m^) in het asgehalte

_ [ys. ( O j — fljfc). {s. (ys— 7k)-^rt- ïk) — (ys— yk)-s. ys. (as—ak)] • / » j

[s . (ys —yk) + n. yk]"^ (Os — Uk) . n .ys .yk ^ nti = 5 — ^ . m,

^ n^ . y^

as — ak ys. yk „ /ex mi = . — » — . nts ( o )

n y^

Bij deze afleiding is uitgegaan van de hypothese, dat de variatie in het aantal steendeeltjes ontstaat als gevolg van het toevallig verwisselen van steen- en koolkorrels bij het nemen van het monster. Het aantal korrels waaruit het monster bestaat, blijft dus constant.

2. Gaat men echter uit van de hypothese, dat het aantal kool-deeltjes constant is, doch dat het aantal steenkool-deeltjes (s) zich wijzigt

s ^ s -\- A s

dan is een soortgelijke afleiding als boven te volgen, echter met behulp van de reeks van T a y l o r :

Laat men de 2e en hogere afgeleiden vervallen, dan volgt: / ( s + J s ) - / ( s )

As

= f'(s)

(6)

Uit (3a) en (6) volgt:

mi _ys. (Os — Uk) . (s . Ys + k . yk) — ys. s .ys (as -ms (s .ys-t k . YkT

(as — Ok). k ysyk _ Is k -^ n, dan kan worden vereenvoudigd tot (5):

• : • • akY

-. -. (7) j

/«! = ms n y^

Aan de voorwaarde k ^ n wordt echter slechts voldaan bij ertsen met laag gehalte (U, Pt, Au, Ag, Sn). Toepassing van (7) op kool-korrelmengsels zou echter leiden tot lagere waarden van (m^) dan volgens (5). Om die reden wordt uitgegaan van de onder punt (1) dezer paragraaf genoemde hypothese.

3. Uit (2) en (5) volgt nu: min-ste] nu: ( a , —flfc)2 y.2y*2 «2 • y* • ^ g.ys

n^pd

a

G = gewicht van het monster

y = gemiddeld s.g. van het korrelmengsel d — ribbe van een kubus met volume (I) dan gaat (8) over in:

(10) G . mi^ = (as fl*)2 . w . (I -Gmi2 = A w)y-L^-'^. . /... ,:. ,.. ..,(:: (8a)

G = gewicht van het monster, in grammen

/Hj = specifieke middelbare afwijking in het asgehalte (Oj), (Ofc) — asgehalten van de steen-, resp. de koolfractie IV = gewicht van de steenfractie, uitgedrukt als decimale breuk

: (yi), (y,), (y) = s.g. van de steenfractie, resp. de koolfractie, :^:; : resp. het gehele mengsel

7 = ribbe van een kubus met gewogen gemiddeld volume in cm^ (zie § 5).

Conclusie:

Uit de formule (8a) blijkt, dat het product ( G . ffli^) voor een bepaald korrelmengsel een constante waarde (A) bezit.

§ 5. Het gewogen gemiddeld korrelvolume (I).

1. De boven afgeleide betrekking (8a) geldt voor een mengsel met korrels van gelijke grootte.

Aangezien de korrelgrootte der delen in werkelijkheid gewoonlijk sterk varieert, is het noodzakelijk om de invloed van de diverse zeeffracties in de gevonden betrekking tot uitdrukking te doen komen.

2. Er zal worden aangetoond dat de grootheid (d) kan worden uitgedrukt als functie van de korrelgrootte-samenstelling van het te bemonsteren product, overeenkomstig de formule

a j ^ ^ . . . (U) Ie bewijs.

De invloed van het volume van de korrels ener willekeurige zeef-'fractie op de middelbare afwijking in het asgehalte (mi) is recht

evenredig met:

1) het gemiddeld gewicht van de korrels dier fractie, 2) met het relatieve aantal korrels van de zeef fractie.

Neemt men aan dat de korrels kubusvormig zijn, dan geldt voor de genoemde invloed (Q):

Q (:) y.d^.n . . . (12)

Nu is q ..„. . " = d M ; • • • • • • • • ^^^^

Dus gaat (12) over in:

Q ( : ) g . . . (14) q = gewicht van de zeef fractie.

; d = gemiddelde diameter van de deeltjes ener zeeffractie. y = gemiddeld s.g. van het mengsel. •

Indien dus aan het volume van de gemiddelde korrel van een zeeffractie een zodanig statistisch gewicht wordt gegeven, dat de invloed op de variatie in het asgehalte in rekening wordt gebracht, geldt voor het gehele korrelmengsel de betrekking:

'-yr

•

/'^^

waarin I = d^

I = gewogen gemiddeld korrelvolume van het mengsel. d = ribbe van een kubus met volume (I).

3. 2e bewijs.

Stel: men verdeelt een monster van (G) gram in een aantal zeef-fracties met gewicht (q) en men bepaalt van elke fractie het as-gehalte (ai), dan geldt voor het asas-gehalte (JC) van het gehele monster:

X — jyai , 02 , . . .a„) — j : - ^ . . . . (10)

Volgens de wet van de voortplanting der fouten geldt:

Uit (16) en 17) volgt:

Nu geldt overeenkomstig (8a):

A di^

(/n('))2 = - . ^

m(') = middelbare afwijking in het asgehalte ener zeeffractie (/). A = monsterconstante.

qt = gewicht der zeeffractie

(O-di = gemiddelde korrel(O-diameter der zeeffractie (i). I = gew. gemidd. korrelvolume van het gehele mengsel. Derhalve gaat (18) over in:

-n.'-^,^^ 09)

1''

G . I [q] Uit (8a) en (19) volgt direct:

I = d3 = M (15) q.e.d.

4. Conclusie.

De theorie van de binomiale verdeling is van toepassing op mon-sters van perfect gemengde steenkoolmassa's met willekeurige korrelgrootte-samenstelling, indien onder het volume der deeltjes wordt verstaan: het gewogen gemiddelde korrelvolume van het mengsel.

§ 6. Verwerking van monsters.

1. Onder verwerking van een monster wordt verstaan het be-reiden van het weegmonster (1 gram) uit het totale monster. Bij de verwerking wordt zorggedragen voor een zo volledig mogelijke menging van het monster. Derhalve is de formule (8a) van toepas-sing bij de verwerking der monsters.

2. De verwerking van het totale monster wordt opgevat als het herhaaldelijk nemen van een monster-uit-een-monster. De ver-werking wordt uitgevoerd in enige „trappen"; elke trap bestaat uit eenmaal disintegreren (breken, malen, stampen, rollen, wrijven, verpoederen), en n-maal halveren door middel van kruisdelen of „riffelen" (spleetverdeler). Een „trap van verwerking" heeft dus betrekking op het verdelen van een monster bij gelijkblijvende korrelgrootte; een nieuwe trap van verwerking wordt begonnen met disintegreren van het eindmonster van de voorafgaande trap en is geëindigd wanneer het voor zekere korrelgrootte minimum

toelaat-bare gewicht is bereikt.

3. Indien een monster — na grondig mengen — éénmaal wordt gehalveerd, is de nauwkeurigheid (a = 2,5 mi) van deze verdeling te berekenen overeenkomstig (8a):

A' g

m?

m( = middelbare afwijking ten gevolge van 1 verdeling.

A' = monsterconstante van het product waaruit het monster bestaat.

g =^ gewicht van het monster, na de verdeling.

4. Indien het monster achtereenvolgens n-maal zou worden ge-halveerd, dan zou de middelbare afwijking ten hoogste bedragen:

2A'

Bewijs.

Bij de halvering waarmede een zekere trap van verwerking wordt beëindigd, wordt een afwijking veroorzaakt waarvan de middelbare waarde is te berekenen overeenkomstig (8a): .

-m„^= -—

Opmerking: dit is de grootste afwijking die gedurende een trap van verwerking wordt gemaakt.

Voor de voorlaatste halvering van deze trap geldt analoog (8a): , A'

mn-l^ = KZ ^gmin

De gecombineerde middelbare afwijking veroorzaakt door het herhaald halveren gedurende 1 trap van verwerking volgt uit:

/n,2 = m„2 + /n„-i2 + /n„-22 + . . .

gmin 2gmin 2^gmin 2'^gmin

Deze reeks convergeert voor n -> oa tot de limiet:

m? = ~ (20) q.e.d.

gmin

5. Wanneer een totaal monster wordt gedisintegreerd, wordt de constante (A) verkleind evenredig met het gewogen gemiddelde korrelvolume (I) overeenkomstig (8a).

Dus: -A' = y . ( d ' ) 3 . . . . • . (èl) A' = monsterconstante van het gedisintegreerde product.

A/I = parameter van de koolsoort (zie punt 8).

1' = gewogen gemiddelde korreldiameter van het gedisinte-greerde product.

6. De invloed van alle trappen van verwerking gezamenlijk volgt uit de wet van de voortplanting der fouten. Voegt men aan de invloed der verwerking nog de analysefout toe, dan volgt:

m,^ = ^+^y-¥...l^ + m\^..'\ (22)

g mm s "'in S "iin

ms — partiële middelbare afwijking van verwerking en analyse. trian = middelbare fout in de analyse.

; 7. Opmerkingen.

[ In punt (5) is aangenomen, dat de asverdeling door het disinte-greren niet wordt gewijzigd. Er wordt hier dus geen rekening ge-houden met het verschijnsel der ontsluiting, zoals die kan optreden bij het breken van gelaagde mixte, ten gevolge waarvan kooldeeltjes en steendeeltjes van elkaar kunnen worden gescheiden.

8. Uit (20) en (21) blijkt, dat voor de berekening van de middelbare afwijking (mt) per trap van verwerking o.a. de factor (A/I) bekend moet zijn.

Het is dus voor de verwerking van monsters van belang om deze factor te berekenen naast de monsterconstante (A). Aangezien (A) sterk wordt beïnvloed door (1), wordt (A/l) opgevat als een para-meter van de koolsoort.

De parameter (Ajl) is voor éénzelfde koolsoort nagenoeg con-stant en onafhankelijk van de korrelgrootte-samenstelling.

II. THEORIE DER ONTMENGING.

§ 1. 1. De variatie in het asgehalte van de monsters van een zeker product wordt bepaald door samenstelling der kool, door de graad van ontmenging en door de analysefout.

De ontmenging is in het algemeen van deze drie de grootste factor; om die reden is het noodzakelijk de invloed der ontmenging nauwkeurig te bepalen.

2. In het vorige hoofdstuk is er reeds op gewezen (§ 3, 2) dat er een verband bestaat tussen de variatie in het asgehalte, de kool-samenstelling en de omstandigheden waaronder het product is ge-wonnen, getransporteerd en gezuiverd.

Dit verband leent zich uiteraard niet voor mathematische inter-pretatie, en de vraag rijst of in de variaties van het asgehalte zelve wetmatigheden zijn te bespeuren, waarvan bij prognosen omtrent de nauwkeurigheid eventueel gebruik zou kunnen worden gemaakt. Er zal experimenteel worden aangetoond, dat er tot op zekere hoogte inderdaad sprake is van wetmatigheid in het verloop van het asgehalte van monsters steenkool (deel B, hfst. II).

3. De resultaten van het experimentele onderzoek rechtvaardigen de conclusie, dat de afwijkingen in het asgehalte van steenkool onder zekere beperkingen voldoen aan de wet van G a u s s voor de waarschijnlijkheid.

E. S. G r u m e l l en A. C. D u n n i n g h a m hebben aan de hand van uitgebreide onderzoekingen bewezen, dat voor steenkool

met 6 ^ 20 % as het histogram der asaf wij kingen ten naaste bij beantwoordt aan een normale frequentie-kromme; deze conclusie is bevestigd door een reeks van andere onderzoekers'), w.o. A. C r a w f o r d , W. R e e d , C. W. H. H o l m e s , M. C. H o l m e s , K i n g , M o r r o w en P r o c t o r .

4. Het voorgaande vormt een bevestiging van de hypothese, dat de wet van de voortplanting der fouten geldig is voor ont-mengde producten:

m2 = mi2 + m^ont. + /"s^

m = resulterende middelbare afwijking in het asgehalte van het monster.

ffli = partiële middelbare afwijking ten gevolge van de speci-fieke veranderlijkheid.

mg„t = partiële middelbare afwijking ten gevolge van ontmen-ging in 1 monster.

ms = partiële middelbare afwijking ten gevolge van verwerking en analyse.

5. Afleiding.

Stel: men neemt een monster uit een ontmengd product en be-paalt daarvan het gehalte aan as; dan is de afwijking (z) in het asgehalte (x) van dit monster voor te stellen als de algebraïsche som van de afwijkingen die werden veroorzaakt door:

1) de specifieke veranderlijkheid. 2) de ontmenging.

3) de verwerking en de analyse. i Z ^ ± Zi ± Zont. ±

2^3-Vervangt men de schijnbare afwijkingen (zi) door haar middel-bare waarde (mi), dan volgt: " !

m = ± mi ± mom. ± m^ ' /n2 ^ jji^2 j ^ f„2^^^ _f. ^7,32 + 2 mimont. ± 2 mim^ ± 2 monttn^

De som der dubbelproducten is, wegens de tegengestelde tekens, klein t.o.v. de kwadraten, zodat bij benadering geldt:

m2 = mi2 + ni^ont. + m32 q.e.d. 6. Conclusie.

Voor een enkelvoudige monster, getrokken uit een ontmengd product, geldt de volgende betrekking:

1) Lit. Nos. (46—403), (46—763), (13).

*•: •

" ; ; • ' • • ' ; ; m^^^ + m^nt. + C . . . (23) waarin (zie formule 22):

§ 2. Samengestelde monsters.

1. Neemt men in plaats van een enkelvoudig monster een serie, gelijkelijk over de partij verdeelde ondermonsters van onderling gelijk gewicht (g), dan geldt voor het werkelijke asgehalte van elk ondermonster (dus zonder de invloed van verwerking en analyse) analoog (23):

: # , , mo^ = ^-\-m\„,. (24) . fflo = middelbare afwijking in het werkelijke asgehalte van een

ondermonster.

• A = monsterconstante van de koolsoort. g = gewicht ondermonster.

mont. = middelbare afwijking ten gevolge van ontmenging. 2. Indien twee of meer ondermonsters worden samengevoegd neemt de middelbare afwijking in het asgehalte van het uit de samenvoeging verkregen monster af overeenkomstig een formule, ontleend aan de waarschijnlijkheidstheorie;

'" = ^ (25) m = middelbare afwijking in het asgehalte van het totale monster.

N = aantal ondermonsters.

Uit (24) en (25) volgt voor de variatie in het asgehalte van het totale monster, ongerekend de verwerking en analyse:

m^

=

J^

+

'^ (26)

Stel het gewicht van het totale monster N.g = G en voeg de invloed (C) van de verwerking en analyse toe, dan volgt voor het gemeten asgehalte van het totale monster:

'»^

= è +

^ + ^ <27)

A, B, C = monsterconstanten. 3. Conclusies.

Indien van een ontmengde partij de monsterconstanten voor de

rs

koolsamenstelling (A), de ontmenging (B) en de verwerking, inclu-sief analyse (C) zijn gegeven, is de nauwkeurigheid van de monster-neming a priori te bepalen.

De nauwkeurigheid (a), dat is: de maximaal toe te laten af-wijking — kan a priori worden bepaald door regeling van het ge-wicht van het totale monster (O) en het aantal ondermonsters (N) overeenkomstig de formule:

a2=6.25J^-[-| + cj (28)

Indien de monsters worden genomen overeenkomstig formule (28) bedraagt het verschil tussen het gemeten asgehalte en het asgehalte der bemonsterde partij in 99 van de 100 gevallen niet fneer dan a % as.

4. De in het voorgaande ontwikkelde theorie is afgeleid voor het geval van steenkoolmonsters voor asbepaling.

Het moge duidelijk zijn dat deze beschouwingen theoretisch eveneens geldig zijn voor binomiale korrelmengsels in de ruimste zin, ongeacht de korrelgrootte-samenstelling en de graad van ont-menging waarin de te bemonsteren partij verkeert.

Het lijkt derhalve van belang om de theorie ook toe te passen op de monsterneming van ertsen.

In het volgende hoofdstuk zal worden aangetoond, dat de theorie over nauwkeurigheid van monsters kool, bestemd voor de scheiding op soortelijk gewicht, die werd ontwikkeld door K a s s e i en G u y , in bovenbedoelde zin kan worden uitgebreid tot het geval waarbij rekening dient te worden gehouden met ontmenging, met variabele korrelgrootte-samenstelling en met meetfouten.

III. LITERATUURSTUDIE. i § I. De onderzoekingen van D. W. B r u n t o n ') (1895).

In deze oudste mij bekende publicatie over de theorie der monster-neming wordt het verband tussen de korrelgrootte, het gewicht en de nauwkeurigheid van monsters goud- en zilverertsen behandeld. Hierbij is geen gebruik gemaakt van waarschijnlijkheidstheore-tische overwegingen.

De schrijver gaat na, hoe het gehalte van het (standaard-) monster *) Lit. (1).

van 1/10 assay-ton (2,92 gram) wordt beïnvloed t.g.v. het ver-wisselen van 1 deeltje met gemiddeld gehalte (c) door 1 deeltje met hoog gehalte (k).

Indien:

W = gewicht van het monster, in Eng. ponden (454 gr), k — gehalte van het rijkste mineraal, in ounces Troy (31,1 g)

per short ton (907,19 kg),

c = gemiddeld gehalte van het erts, in ounces Troy (31,1 g) per short ton (907,19 kg),

s = soortelijk gewicht van het rijkste mineraal, in gr/cm^ n = aantal grofste korrels van het rijkste mineraal in het

mon-ster, dat verwisseld is met een overeenkomstig aantal korrels van gemiddeld gehalte,

_ gewicht van de grofste korrels die een zeef passeren gewicht van kubi met ribbe gelijk aan de zeefmaat p = toelaatbare fout, in % van het gehalte aan edel metaal, D = zeefmaat, in inches,

dan is het gewicht van de grootste korrel van het rijkste mineraal 0,036. ƒ . s . D3 lbs.

Het hoogste gehalte (100%) van natief zilver bedraagt 29166 oz/ton (1 short ton = 29166 ounces Troy).

Het verschil in Ag-gehalte, veroorzaakt door het verwisselen van 1 rijk deeltje en een deeltje van gemiddelde samenstelling kan dus ten hoogste bedragen:

0,036 /.s.D3 ., s ,, 29166 ^"-'^

^^'-Stelt men de eis, dat de fout, veroorzaakt door (n) dezer deeltjes de toelaatbare afwijking niet overtreft, dan volgt:

0,036 f.s.D^ (k_,s^P .29) " 29166 • V ' ^ " 1 0 0 ^ '

(n) is dus afhankelijk van de nauwkeurigheid (p) het s.g. (s), de samenstelling van het erts (k, c) en de factor (/). Indien men voor deze factoren vaste (maximum-) waarden aanneemt is (n)

een-W duidig bepaald door de verhouding =^.

B r u n t o n berekende aldus, dat voor essaai-monsters van 2,92 gram ( = 1/10 assay-ton) en 0,0068 inch. korrelgrootte (zeefmaat 80 mesh) het aantal («) korrels van een rijk zilvererts (s = 10,6; k ^ 29166; c == 307) ongeveer 3 bedroeg.

de grootste korrels uit enige monsters af te zonderen en deze te wegen; (ƒ) bleek te variëren met de korrelgrootte (/ = 1,5 a 6).

De nauwkeurigheid (p), d.i. de gemiddelde afwijking tussen duplo-essaai monsters (2,92 gram) werd proefondervindelijk be-paald uit een reeks waarnemingen. Deze voor essaai-monsters ge-vonden waarde (/? = 1 %) werd nu als maatgevende nauwkeurig-heid beschouwd.

Voor monsters met grotere korreldiameter en groter gewicht kon B r u n t o n nu op grond van formule (1) grafisch het verband W

^ uitzetten bij verschillende waarden van (k) en (c).

Aldus ontstond een voorschrift voor het nemen en verwerken van monsters van O—6" goud-zilverertsen met variërend gehalte (k, c) dat van veel belang is geweest voor de ontwikkeling van de theorie van de monsterneming.

Opmerkingen:

1. B r u n t o n bevestigde de reeds eerder bekende regel, dat voor het bereiken van een zekere nauwkeurigheid in elk stadium van verwerking, het gewicht van een monster recht evenredig dient te zijn met de derde macht van de korreldiameter.

2. Beziet men de formule (29) in het licht van de waarschijnlijk-heidstheorie, dan blijkt dat vrijwel alle invloedsfactoren in deze formule zijn verdisconteerd, zij het ook niet in de juiste verhouding.

Drukt men n.l. de formule (8a):

A = G/n2 = (Us - a*)2 ? ^ p(l - p)d^

uit in de symbolen, die door B r u n t o n werden gebruikt (zie boven), dan volgt:

W(\,252mg)^ = (k — x)^.^-^.y(\—y)f.{0.6D)3 . . (30) W = gewicht van het monster, in grammen.

mg = gemiddelde afwijking in het gehalte aan edel metaal van het ertsmonster, in %.

k = gehalte aan edel metaal van het rijkste mineraal, in %. X = „ „ „ „ „ „ ganggesteente in %.

(Sj) (Sg) (s) = s.g. van het rijkste mineraal, ganggesteente, erts. y = gewichtsaandeel edel metaal in het erts.

Voorbeeld.

Op blz. 837 van het artikel wordt melding gemaakt van een erts-monster, bevattende een fractie zilvermineralen met 15000 oz/ton Ag. en ganggesteente met 15 oz/ton Ag.

w

f

oz/ton » g/cm3 n » inch cgs eenheden 2,92 gram 0,0190/0 51,4 0/0 0,05 % 6,8 g/cm3 ^ 2,7 , •^^ 2,7 „ 0,019 — 4 — 0,0173 cm Opmerking gemiddelde fout (table VI, blz. 839) blz. 837 id. s.g. van erts is 51,40/0-natief Ag. uitgaande van gehalte erts = 300 oz/ton of 1,03 0/0 (blz. 837) blz. 838 blz. 827 Uit formule (30) volgt: mg = 0,018 %, hetgeen in overeen-stemming is met de door B r u n t o n gemeten waarde (mg = 0,019 %).

Hierdoor wordt bewezen, dat de nauwkeurigheid van het gehalte van ertspionsters a priori kan worden bepaald, op grond van de samenstelling van het erts.

3. In de formules van B r u n t o n is geen rekening gehouden met de factor ontmenging.

Het gebruik dezer formules is derhalve beperkt tot het verwerken van perfect gemengde monsters.

Voorts is uitsluitend de invloed der grofste korrels in rekening gebracht, doch niet de invloed van de kleinere korrels.

De factor (n) stelt het aantal korrels voor dat aequivalent is met het maximale verschil tussen het werkelijke en het bepaalde gehalte, dat zich onder de ongunstigste omstandigheden kan voordoen.

Bij de bepaling van (n) schiet de theorie van B r u n t o n te kort; deze factor dient experimenteel te worden bepaald.

Algemene conclusie. • De voor steenkoolmonsters afgeleide betrekking (27)

is eveneens geldig voor goud-zilver ertsen; zij is dus algemeen geldig voor binomiale korrelmengsels. Onder een binomiaal korrelmengsel wordt verstaan:

een mengsel van twee soorten korrelmassa's verschillend in ge-halte, doch gelijk in korrelgrootte-samenstelling en gelijk voor de hand van de monsternemer, qua korrelvorm.

§ 2. De „Size-Weight-Ratio Theory" van B a i l e y (1909). 1. De gedachte van de specifieke veranderlijkheid was reeds eerder bekend. De Amerikaan E. G. B a i l e y heeft in 1909 op grond van uitvoerige proeven het verband tussen de korrelgrootte en het — voor zekere nauwkeurigheid vereiste — gewicht van een monster experimenteel bepaald. G r u m e l l en D u n n i n g h a m , C r a w f o r d en R e e d hebben nadere gegevens omtrent deze „Size-Weight-Ratio Theory" verzameld voor de Engelse kool-soorten.

2. De Size-Weight-Ratio (S.W.R.) van een koolsoort wordt als volgt uitgedrukt:

S.W.R. = 1 0 ^ g

w = gemiddeld gewicht van de „onzuiverste" korrels (impurities) der grofste fractie.

g — gewicht van het monster.

Heeft men bijv. een koolsoort O—I" dan zeeft men af op ''/g" (de eerstvolgende kleinere B.S.I. — standard test sieve), telt het aantal korrels steen, weegt deze en bepaalt het gemiddeld ge-wicht (w).

3. B a i l e y e.a. hebben experimenteel aangetoond, dat tussen de S.W.R. en de maximale afwijking in het asgehalte van het monster een eenvoudig verband bestaat.

In de formule voor de specifieke veranderlijkheid (8a): G/n2 = (us — akf .w(\ — w).d^. ^ ^

stelt (cP. ys) het gewicht van de „steen"-korrels met gewogen gemiddeld volume voor. Dit gewicht heeft dus betrekking op alle korrels en niet — zoals bij B a i l e y —- alleen op de korrels van de grofste fractie. Ziet men hier een ogenblik van af, dan is het verband tussen de „Size-Weight-Ratio" en formule (8a) duidelijk.

_ , , , „ 100^3 y, 100 m2 y g (as — ük)^ p(\ — p) yk 4. Hieruit volgt, dat:

10. het verband tussen S.W.R. en de middelbare afwijking (,m), dus ook: de maximale afwijking — een eenvoudig parabolisch ver-band is voor eenzelfde koolsoort.

20. de oorzaak van de grote afwijkingen in S.W.R.-waarden van bijv. Amerikaanse en Engelse kool, toe te schrijven is aan:

de asverdeling,

de korrelgrootte-samenstelling, de graad van ontmenging.

Immers, in de maximale afwijking van het asgehalte waarvan B a i l e y uitging, is ook de ontmenging verdisconteerd.

5. Het is nu zonder meer duidelijk dat het overnemen van S.W.R.-data van Engelse-koolsoorten niet is aan te bevelen, bij het opstellen van Nederlandse monsternemings-voorschriften. De invloed van de ontmenging brengt in het bijzonder een element van onzekerheid in deze gegevens.

Men is gedwongen om een veiligheidscoefficiënt in te voeren, waardoor de monsterneming wordt bemoeilijkt wegens de grote monsters die theoretisch nodig zouden zijn.

6. In de Amerikaanse en Engelse voorschriften heeft de S.W.R.-theorie om de bovengenoemde redenen alleen toepassing gevonden voorzover betreft de verwerking der monsters.

§ 3. De onderzoekingen van J. M i k a (1928).

Deze hebben betrekking op de nauwkeurigheid van chemische analyses. Volgens deze schrijver verpoedert men in het algemeen de analyse-monsters in het agaten mortier tot een korrelgrootte van de orde van 0,001 mm, i.v.m. de oplosbaarheid.

In speciale gevallen, bijv. bij de micro-analyse, kan zich de vraag voor doen hoe groot het voor de analyse bestemde ingewogen monster moet zijn, opdat het gezochte gehalte met practische zeker-heid binnen zekere — a priori vastgestelde grenzen kan worden bepaald.

M i k a gaat nu van de volgende veronderstellingen uit:

1. Het korrelmengsel bestaat uit slechts twee soorten deeltjes, Aj en Ag, met een onderlinge gewichtsverhouding Ui :

02-2. De Ai-deeltjes bestaan uitsluitend uit de te bepalen stof. 3. Alle deeltjes hebben hetzelfde gewicht (g).

Gesteld nu dat:

n = aantal deeltjes waaruit het monster bestaat,

p = ^— = de a posteriori gevonden relatieve frequentie der

aj + 02

Ai-deeltjes, tn

— = de a priori bepaalde relatieve frequentie der Ai-deeltjes. e = de toelaatbare afwijking in de relatieve frequentie.

77 = de kans voor het optreden van een afwijking > e, dan is het kleinste aantal deeltjes (n) waaruit het monster moet bestaan, om te voldoen aan de voorwaarde,

— E<- — p<e (31) volgens L a p l a c e bepaald door

„ ^ 2p (I - p) /2

(/) Wordt bepaald uit de benaderingsformule

2 V

i

-Je-'^dz=l-r,

o

Gesteld rj = 10-^ dan volgt: t = 3,79.

n^^-^p(l-p) (32) Voor het geval dat de deeltjes niet even zwaar zijn, doch de

soort Al een korrelgewicht (gi) heeft en A2 een korrelgewicht G ^ ^2,

vindt M i k a de volgende benaderingsformule: "

° = W^'^i <''>

( , = 10-^) (Voor de afleiding zie § 4).

G = gewicht van het monster. e ' = toelaatbare afwijking.

y = f (%2>^i)

Tenslotte wordt voor het geval dat de Ai-deeltjes het te bepalen bestanddeel voor &i % bevat en de Ag-deeltjes voor 62 % de boven-staande betrekking nog uitgebreid tot

G ^ ^ ^ . g ^ i ^ i - J - ^ a ) ^ . ^ ! . . . (34)

" {v = 10-^)

(Voor de afleiding zie § 4).

(In afwijking van het artikel van M i k a zijn in formule (34) de letters (61) en (62) ingevoerd en niet (ai) en (02), aangezien de I.g.n. symbolen reeds eerder voorkomen in een andere betekenis).

Vervangt men gi door ^kndi^ . Si waarin

dl = diameter der als bollen voorgestelde deeltjes, Si = s.g. der Ai-deeltjes,

dan gaat de formule over in:

4M y2 SidHbi-yb^)^ of: Q^k.Si.dHbi-yb,)^ Ep = nauwkeurigheid, in %. ( , = 10-^) (IJ = 10-^) Opmerkingen.

1. De overwegingen van M i k a hebben uitsluitend betrekking op het laatste stadium van de monsterbereiding, d.w.z. op het ver-band Q = f (d, Sp) voor het uiteindelijk verkregen weegmonster, waarmede de analyse wordt uitgevoerd.

. Er wordt geen rekening gehouden met de fouten die gemaakt worden bij eventuele voorafgaande trappen van verwerking

(disinte-greren en kruisdelen).

2. De fouten die gemaakt worden bij het n e m e n van het monster zijn niet in rekening gebracht. De formules zijn in de prak-tijk niet toereikend voor dit geval aangezien de invloed van de ontmenging er niet in is verdisconteerd. Het voorbeeld van de monsterneming van stukkool (blz. 264) heeft om die reden slechts zeer betrekkelijke waarde.

3. De formules gelden voor de relatief ongunstigste waarde van (p); deze is in de factor (K) verdisconteerd.

Het product p (\ — p), dat dus als constant wordt aangenomen, kan in werkelijkheid variëren tussen '-' O en 0,25. Er kunnen zich derhalve gevallen voordoen, waarin het gewicht (G) vele malen te groot wordt berekend.

4. De veronderstelling dat de diameters der Ai-deeltjes en Ag-deeltjes onderling verschillende grootten (üfi en dg) kunnen hebben (blz. 262) is in strijd met één der voorwaarden, verbonden aan het theorema der binomiale verdeling, n.l. dat de kans voor het grijpen van een Ai-deeltje even groot dient te zijn als de kans voor het grijpen van een A2-deeltje, afgezien van de invloed van (p).

5. Conclusie: De afgeleide formules zijn uitsluitend geldig bij perfecte menging.

De nauwkeurigheid (sp) is het maximale verschil tussen het ge-halte van het ingewogen monster, bestemd voor de eigenlijke analyse en het gehalte van het voorlaatste monster waaruit het rechtstreeks werd verkregen.

(ep) is dus uitsluitend een maatstaf voor het verschil in gehalte tussen de laatste twee monsters uit de reeks van monsters die bij de monsterverwerking successievelijk worden bereid.

De berekende nauwkeurigheid (sp) is derhalve geenszins een maatstaf voor de betrouwbaarheid van het monster t.o.v. de be-monsterde partij, nog afgezien van de invloed van ontmenging.

Niettemin is het werk van M i k a van groot belang, aangezien hiermede is aangetoond, dat het theorema van de binomiale ver-deling bruikbaar is voor de bepaling van het verband tussen het gewicht, de korrelgrootte en de nauwkeurigheid van monsters, bij perfecte menging.

§ 4. Afleiding van de formules van M i k a . Afleiding van de formule:

^ = Wr-^'W^i • ^^^

(v = 10-T)

Ai-deeltjes hebben gewicht gi Ag-deeltjes hebben gewicht g2

mi _ aantal Ai - deeltjes . rt ~ totaal aantal deeltjes ^

m' = aantal Ai-deeltjes in monster (a posteriori). E i s : / — e <, m mi , < e

n n

Uit (32) volgt analoog: n>-^p(\ — p) (e'f

U = 10-^)

Het monstergewicht (G)

Stel gg = ygi (gi en gg zodanig te kiezen dat steeds y > V^). m^

Stel verder bij benadering — = p

(Dit is een zwak punt in de bewijsvoering, daar p = — en dus m' = m^ wordt gesteld

G =-^gily + p(l ~ r)]. Nu volgt bij substitutie van (n).

G^^J^.gi[py-pH2y-l)+p^y- I)]

(v = 10-^)

Bij verwaarlozing van de 3e term volgt: 28,73

(e')2

(v = 10-^)

0^-rir^gi[py-pH2y-l)]

Vraagt men zich af welke waarde (G) tenminste moet hebben bij de ongunstigste waarde van (p).

G - f(p)

, _ , /'(^) = o = | ; ^ g i [ y - 2 ; ; ( 2 y - I ) ]

waaruit volgt: p = 2(2y - 1) terwijl ƒ"(;,)= _ ? ^ ^ ^ ^ ( 2 y _ l )

, Hieruit volgt voor (G) te naaste bij: 8 y2

^ = (02 2 7 ^ ^ 1

q-^-d-il = 10-T)

Afleiding van de formule:

(, = 10-^)

Stel bi = gehalte aan te bepalen stof in Ai-deeltjes, in pro-centen,

^2 = gehalte aan te bepalen stof in A2-deeltjes, in procenten. Analoog (31) geldt:

— e'. n < m' — mi < e'. n . . . . (31a) m' — m^ = de afwijking in aantal Ai-deeltjes, correspondeert met een afwijking in gewicht, gelijk aan:

{m' - m i ) g i . ^ - (m' - m^g^ . y ^ = ^ ^~ ""' (*i - y^z)^/ Indien de Ai-deeltjes voor 100% uit de te bepalen stof be-stonden en de Ag-deeltjes voor 0 % , zou het boven gevonden ge-wichtsverschil niet bij (m' — imi) deeltjes Ai, doch reeds eerder zijn opgetreden.

In dat geval geldt:

(m — m,)gi = "^ ~^'"' (bi — yb2)gi Substitueer in ( l a ) :

Daar p = ^ (blz. 29) en — e < - — / > < e . . . . (31) volgt mede uit de laatste betrekking

Stel nu £ = -:— (ep = nauwkeurigheid in procenten) dan volgt:

e =

h — yb-i

Uit deze betrekking en uit (33) volgt tenslotte:

^^^^.^^^(bi-yb^ni . . . . (34)

\ i = 10-T) q. e. d.

§ 5. De formule van B a u l e en B e n e d e t t i - P i c h l e r (1928).

Deze onderscheidt zich van de in hoofdstuk I gegeven afleiding voor zover betreft de betrekking:

m = f(ms).

De schrijvers gaan er van uit, dat het monster een constant aantal deeltjes (k) bevat, en dat het aantal steendeeljes zich wijzigt.

s -^ s -\- A s.

In dit geval geldt met een kleine wijziging in de notatie, formule (3).

^ s . ys. as + k . yk . Ok s .ys + k .yk ^^s.ys(as-ak)_^^^

s .Ys + k . yk

Ontwikkeling volgens de reeks van T a y l o r leidt overeen-komstig hfdst. I, § 4, 2 tot formule (7)

^ {Os — Ok) k ys yk ^ m = 5-5 . ms

Is k ^ n (zoals bij Ag-, Au- en Pt-ertsen) — dan kan (7) nog worden vereenvoudigd tot:

^ _ ys. Yk „ (as — fl*) m = — 5 — . m,

y2 n hetgeen overeenstemt met formule ( 5 ) .

In het onderhavige geval mag deze vereenvoudiging niet worden doorgevoerd, aangezien gewoonlijk

k < n.

De consequentie van het uitgangspunt van B a u l e en B e n e -d e t t i - P i c h l e r . / s een kleinere waar-de voor (m) -dan volgens -de in hoofdstuk I afgeleide betrekking (formule 8a) wordt gevonden.

Het korrelvolume.

Er wordt uitgegaan van een „Algemeen Korrelvolume" (blz. 453). Aangetoond wordt, dat onder zekere voorwaarden dit korrelvolume

kan worden aangehouden, wanneer er zich tevens nog grotere of kleinere deeltjes in het korrelmengsel voordoen.

Deze als vereenvoudiging bedoelde rekenwijze bespaart echter weinig werk, vergeleken bij de in hoofdstuk I ontwikkelde methode, en is daarenboven minder nauwkeurig.

Aangezien de korrelgrootte-samenstelling relatief de grootste in-vloed heeft op de middelbare afwijking in het asgehalte, verdient aan de nauwkeurigste bepaling van (I) de voorkeur te worden gegeven.

§ 6. De onderzoekingen van E. S. G r u m e 11 en A. C. D u n -n i -n g h a m .

1. Het tot 1929 verrichte theoretische werk op het gebied van monsterneming had in hoofdzaak betrekking op perfect gemengde partijen. De monsters waren enkelvoudig, d.w.z. zij werden niet uit ondermonsters samengesteld, die gelijkelijk over de partij waren

verdeeld. De nauwkeurigheid dezer monsters werd derhalve voor-namelijk bepaald door de toevallige graad van ontmenging der partij.

G r u m e l l en D u n n i n g h a m hebben de variatie in het asgehalte van steenkool uitvoerig onderzocht. Door deze studies is bevestigd, dat het verloop van het asgehalte beantwoordt aan enige wetten uit de waarschijnlijkheidstheorie. Op grond daarvan werden in de dertiger jaren de Engelse voorschriften op het gebied van de monsterneming geheel vernieuwd.

2. Een uitvoerige studie werd verricht ter bepaling van het ver-band tussen de gemiddelde afwijking (average error) in het as-gehalte van een monster, het monstergewicht en de koolsamen-stelling (het gewicht der grofste korrels onzuiverheden) overeen-komstig de „Size-Weight-Ratio" Theorie van Bailey.

De onderzoekers bepaalden experimenteel het verband tussen de S.W.R. en de — bij verwerking en analyse optredende — maximale afwijking in het asgehalte van een koolsoort') met 9 % as, waar-van 5 % „vrije as" (free ash in sink 1.60 sp. gravity).

Op grond van onderzoekingen van T. W. G u y werd aange-nomen, dat de maximale afwijking (W = 0,90) in het asgehalte recht evenredig is met de wortel uit het „vrije-as" gehalte.

Met gebruikmaking van deze regel werden de waarden van de te verwachten maximale afwijkingen voor koolsoorten met hoger en lager gehalte dan 5 % „vrije as" geëxtrapoleerd. Deze uitkomsten, bevestigd door andere onderzoekers, leidden tot de conclusie dat de S.W.R.-theorie van toepassing is op het verwerken van monsters steenkool 2).

3. In de tweede plaats hebben de onderzoekers aangetoond, dat de formule:

r„ = gemiddelde afwijking in totaal monster r = „ „ „ ondermonster N ^ aantal ondermonsters

uit de waarschijnlijkheidsrekening van toepassing is bij de monster-neming van kool.

De invoering van het begrip „ondermonster" in de Engelse monsternemingsvoorschriften gaf de eerste stoot aan de algemene

1) Lit. (46—763), blz. 23 e.v. 2) Lit. (46-^3), blz. 36.

toepassing van de uitkomsten der waarschijnlijkheidstheorie op de monsterneming van steenkool. Het principe: „grote partijen vergen grote monsters" maakte plaats voor de gedachte: ,,grote verander-lijkheid vergt een groot aantal ondermonsters": onder „verander-lijkheid" wordt hierbij verstaan: de ontmenging (heterogeniteit) van de partij.

Uit (37) volgt, dat (r„) a priori is te bepalen indien (m) be-kend is.

4. Uit een vergelijkend onderzoek van een grote serie Engelse koolsoorten bleek, dat:

1) voor een bepaalde koolsoort (r) binnen zekere grenzen constant is;

2) (r) in het algemeen niet afhankelijk is van de grootte der onderzochte partij;

3) (r) afhankelijk is van de grootte van het monster; voor eenzelfde koolsoort blijkt dat (r) toeneemt, wanneer de monsters kleiner worden gekozen dan een zeker minimum gewicht (zie § 7).

4) tussen (r) en het gemiddeld asgehalte van koolsoorten met O—20 % as een ruw verband bestaat.

5. De onderzoekers baseerden hun methode voor de bepaling van de nauwkeurigheid van asmonsters van kool met O—20 % as op deze „karakteristieke constante" (r) ' ) .

Uit het gemiddelde asgehalte ener koolsoort is de bijbehorende waarde van de gemiddelde afwijking (r) te vinden door middel van het experimenteel bepaalde verband 2).

Aldus is het mogelijk de gewenste nauwkeurigheid (rn) met be-hulp van de bovengenoemde betrekking (37) op eenvoudige wijze k priori vast te stellen door regeling van het aantal onder-monsters (N).

6. Opgemerkt zij, dat het verband tussen het gemiddelde asge-halte en de gemiddelde afwijking slechts beperkt is tot gewassen en ongewassen kool met O—20 % as. Mixte vertoont ondanks het hogere asgehalte veelal een geringere gemiddelde asafwijking; en ook voor gewassen steen geldt een dergelijke betrekking niet.

In het voorafgaande is er reeds op gewezen dat naast de invloed van het asgehalte ook andere factoren een rol spelen, zoals de kwaliteit van de wasmachine en het verstellen van het scheidings-s.g.

1) ( 4 6 - ^ 0 3 ) , 15. «) (46—403), 45.

Ten slotte zij er op gewezen, dat in het verloop van het asgehalte naast de gemiddelde afwijking (r) ook sprake kan zijn van een invloed. Bij de schachtkool van Staatsmijnen is een trend-invloed te bespeuren met periode van de orde van enige weken; en in de gewassen fijnkool een korte golf met een periode van 1 dag

(correctiebeweging van de wassers).

Het is duidelijk dat voor langere perioden rekening dient te worden gehouden met een grotere waarde van de standaard-afwijking.

In het algemeen zal in de productie van 1 maand een grotere waarde van (r) worden gevonden dan in een weekproductie; de standaardafwijkingen in de producties van 1 dag, I dienst en 1 wagon blijken voor eenzelfde product in het algemeen even groot te zijn (Staatsmijnen).

De conclusie van G r u m e l l en D u n n i n g h a m omtrent de „karakteristieke constante" (r) kan dus worden aanvaard, indien er rekening wordt gehouden /net de grootte der partij.

§ 7. Het minimum gewicht van ondermonsters.

De onderzoekers zijn uitgegaan van de gedachte, dat een onder-monster respresentatief dient te zijn voor zijn directe omgeving. Zij bepaalden daartoe exprimenteel de nauwkeurigheid van onder-monsters van diverse producten als functie van het ondermonster-gewicht •).

Het bleek dat bv. voor 1" gewassen kool monsters van 2 lbs ten naaste bij dezelfde gemiddelde afwijking in het asgehalte vertoon-den als monsters van 5 lbs en groter. Tevens werd aangetoond dat dat monsters van minder dan 1 Ib een merkbare stijging van deze grootheid met zich mee brachten. De schrijvers kozen derhalve als „minimum gewicht" voor ondermonsters van 1" gewassen kool een gewicht van 2 lbs. Zij formuleerden deze gedachtengang als volgt: 2)

Section 8 (36)

"It will be noted that, while for a 50-lb. sample of 1 inch" "slack, the Size Weight Ratio is 0.133, giving a maximum" "error of 1.00, and a maximum difference between two tests" 25 "of 1.80, the corresponding figure for a 5-lb. sample is 1.33," ^ ''with a maximum error of 2.45, and a maximum difference"

1) Lit. (46—403), 33 e.v. a) Lit. (46—403), 36, 37.

"of 3.65. With a 2-lb. sample the Size Weight Ratio reaches" "3.31, the maximum error then being 3.35, and the maximum" "difference 5.4."

"It is thus obvious that, the smaller the increments taken," "the greater is likely to be the error in each increment due" "to chance inclusion or otherwise of impurities." ^j^

"On the other hand, the gross sample is the average of all" "these increments, and the process of averaging tends to" "reduce the error."

"The probable error is a measure of the accuracy of a" "sample, and the probable error of the gross sample is" "inversely proportional to the square root of the number of" "samples, that

is:-_ r

where r = probable error of increment, Tn = probable error of gross sample, n = number of increments in gross sample.

(37)

"If we assume that the maximum error as given by the Size" "Weight Ratio is also a measure of the accuracy of the" "sample, it is reasonable to assume that the maximum error" "can be ' substituted for the probable error in the above" "formula. The maximum error of a gross sample then varies" 5 "inversely as the square root of the number of increments," "and we can obtain the relationships set out in the following" "table."

TABLE XIV

Weight of Sample

For 1-inch Slack Size Weight Ratio Maximum error For 3-inch Slack Size Weight Ratio Maximum error Increments 1 X501b. 0.133 1.00 2.0 2.75 1 X 5 lb. 1.33 2.45 20 8.1 1 X 2 lb. 3.31 3.35 50 20.1 Gross Samples 10X5 lb. 0.78 2.56 25 X 2 lb. 0.67 4.02 "The values for the high Size Weight Ratios shown for" 3

"3-inch slack have been extrapolated, and can, at the best," 20 "be only approximate."

"The table certainly indicates that, for 1-inch slack and" "a minimum increment of 2 lb., the greater the number of' "increments by which the gross sample is taken, the less will" "be the maximum error due to the Size Weight Ratio. This" 25 "also holds for 3-inch slack when 5 lb. increments are taken," "but does not appear to be true for 2 lb. increments. This" "confirms the conclusion already reached, that increments of" "not less than 5 lb. should be taken when sampling slack over" "1 inch."

"With this limitation as to the size of the increment, it" 30 "appears that the taking of a gross sample by a greater num-" "ber of increments tends to give rather lower errors than those" "indicated by the size weight ratio for the same gross sample" "taken by the customary 10 increments. The taking of a gross" "sample by a lager number of small increments has, therefore," 35 "no disadvantage from the standpoint of the Size Weight" "Ratio, whilst it has already been shown to be definitely" "advantageous from the point of view of heterogeneity or" "average error."

Critische beschouwing over het minimum ondermonstergewicht volgens G r u m e l l en D u n n i n g h a m .

1. Bij het bovenstaande citaat zij de aandacht in het bijzonder gevestigd op hetgeen de schrijvers zeggen op blz. 37, regel 1 t/m 6. Hier wordt in de eerste plaats aangenomen dat de maximale fout kan worden gebruikt als standaardfout in plaats van de waar-schijnlijke fout; uiteraard ondervindt dit geen bezwaar, mits er rekening mee wordt gehouden, dat maximum fouten slechts verge-lijkbaar zijn indien zij een gelijke graad van nauwkeurigheid bezitten.

2. De tweede veronderstelling die in deze alinea ligt opge-sloten luidt, dat de maximum fout zoals die wordt bepaald door de „Size Weight Ratio (S.W.R.)" — dat is de maximum fout bij perfecte menging — eveneens een maatstaf is voor de nauwkeurig-heid van het monster.

Deze veronderstelling is slechts juist voor zover zij betrekking heeft op monsters van perfect gemengde partijen.

De maximum fouten (oi), welke in vorenstaande „Table XIV" staan vermeld, beantwoorden theoretisch aan de boven afgeleide betrekkingen:

ai = c.mi (38) c = constante

en m,2 = ^ - | - C (39) ( 3 = 0)

Laat men de invloed (C) van de verwerking en analyse buiten beschouwing, dan volgt uit (38) en (39) voor de toestand van perfecte menging:

ai=' = c . ^ (40) Oi = maximum afwijking in as (specifieke veranderlijkheid)

A = monsterconstante G = gewicht totaal monster.

Men dient dus „Table XIV" als volgt te lezen:

Weight of Sample

For 1-inch slack Size Weight Ratio Maximum error

For 3-inch slack

Size Weight Ratio Maximum error Increments 1 X501b. 0.133 2 1 X 5 lb. 1.33 ai .KIO 20 ai'.KlO 1 X 2 lb. 3.31 aj . K25 50 fl/. K25 Gross Sample 10 X 51b. 2 5 X 2 lb.

Uit (40) volgt voor monsters van een perfect gemengde partij: Monsters met een constant gewicht hebben theoretisch eenzelfde maximum-afwijking, ongeacht het aantal ondermonsters waaruit die monsters zijn samengesteld.

Hieruit volgt, dat de verschillen die door de onderzoekers zijn gevonden, geen bewijs kunnen leveren voor het bestaan van een minimum ondermonstergewicht, zoals door hen wordt bedoeld.

In een latere publicatie (A Decade of Sampling) ') van G r u -m e l l is gewezen op onderzoekingen o-mtrent het -mini-mu-m-gewicht van ondermonsters door L. A. B u s h e 11. Deze proeven werden als volgt verricht. Uit een partij steenkool werd een serie monsters genomen, die gelijkelijk over de partij waren verdeeld. Deze monsters werden afzonderlijk gehouden; vervolgens werd van elk monster een bepaald gewicht (Gi) genomen onder condities van

perfecte menging. Van alle monsters (Gi) werd het asgehalte be-paald en de gemiddelde afwijking (ri) in het asgehalte van één monster van (Gi) gram berekend. Deze gemiddelde afwijking was dus de resultante van de specifieke veranderlijkheid, de ontmenging en verwerking (inclusief analyse) overeenkomstig (27):

en m = 1,252 r.

N = 1.

Vervolgens werd aan elk der oorspronkelijke monsters een ge-wicht (G2) ontnomen, daarna een serie met gege-wicht (G3), enz. Van deze monsters werden de asgehalten bepaald en de gemiddelde afwijkingen (rg, fa •. •) in het enkele monster van (Gi) gram berekend.

Uit het verband tussen het gewicht der monsters (G/) en de gemiddelde asafwijking (n) bleek, dat bijvoorbeeld voor l ' ^ " kool de waarde van (r) bij toenemende waarde van (G) asymptotisch daalde tot ca. 0,8 %. Voor gewichten groter dan 3 lbs was de daling van (r) nog slechts zeer gering.

Uit de proeven genomen door B u s h e 11 kan worden afgeleid (zie B II, § 4) dat voor het geval van de hier bedoelde koolsoort '/2—1 ¥2" (Colliery „A") de monsterconstanten A = 1509, B == 0,76 en C = 0,07 bedroegen. Uit het boven besproken verband r = f (G) volgt derhalve voor de onderzochte koolsoort (Colliery A):

OT2 = (1,252/•)2 = 1509 , 0,76

₊

Vergelijkt men de waarden, berekend volgens (27), met de experimenteel bepaalde waarden van B u s h e 11, dan blijkt dat deze met elkaar in overeenstemming zijn.

Standaardafwijkingen van enkelvoudige monsters met verschillend gewicht Q 1362 g (3 lbs) 908 „ (2 „) 454 , (1 lb) 113 , (V4 J N 1 1 1 1 Berekend vlg middelbare afw. (m) 1,39 1.58 2,04 3,77 . formule (27) gemiddelde afw. ( ' • ) 1,11 1,26 1,63 3,01 Gemeten (Bushell, tab. 2> (r) 1.12 1,26 1,57 2,51