Zastosowanie
sieci termodynamicznych
do interpretacji
transportu membranowego:
ocena współczynników L
ijmembrany polimerowej
w warunkach
polaryzacji stężeniowej
Andrzej ŚlęzakKatedra Zdrowia Publicznego, Politechnika Częstochowska
Streszczenie
Wyprowadzone w pracy równania Ke-dem-Katchalsky’ego przy pomocy symetrycz-nych transformacji sieci termodynamicz-nych Peusnera, zastosowano do interpreta-cji transportu wodnych roztworów glukozy przez membranę Nephrophan w warunkach polaryzacji stężeniowej. Obliczono współ-czynniki Lij* (i, j = 1, 2). Z obliczeń wynika,
że wartość współczynników L11* jest stała,
natomiast wartość współczynników L12* = L21* i L22* jest zależna zarówno od stężenia
roztworów (–C), jak i od konfiguracji układu membranowego.
Słowa kluczowe: transport membranowy,
termodynamika sieciowa Peusnera, równa-nia Kedem-Katchalsky’ego, polaryzacja stę-żeniowa
Application of the network
thermodynamics
to interpretation of membrane
transport: evaluation of the L
ijcoefficients of the polymeric
membrane in polarization
concentration conditions
Summary
The Kedem-Katchalsky equations, de-rived using symmetric transformation of the Peusner’s network, to interpretation of transport through Nephrophan membrane of glucose aqueous solutions in concentra-tion polarizaconcentra-tion condiconcentra-tions were employed. The values of Lij* (i, j = 1, 2) coefficients were
calculated. From these calculations it results that, the value of coefficient L11* is constant,
while values of the coefficients L12* = L21*
and L22* are dependent as well as on
concen-tration of solutions (–C) and configuration of membrane system.
Key words: membrane transport, Peusner’s
network thermodynamics, Kedem-Katchal-sky equations, concentration polarization
WSTĘP
Współczynniki przewodnictwa membrany Lij,
obok współczynników Rij, Hij oraz Pij, wynikają z
ter-modynamiki sieciowej Peusnera [1]. Ich źródłem jest równanie fenomenologiczne Onsagera, które wiąże przepływy (Ji) i siły termodynamiczne (Xi) w
nastę-pujący sposób
∑
= i ij j i L X J (1)gdzie: Lij są uogólnionymi współczynnikami
warun-kach jednorodności roztworów rozdzielanych przez membranę, wymaga by spełniona była relacja syme-trii Lik = Lki. W przypadku dwukierunkowego
dwu-portu termodynamiki sieciowej Peusnera (i = 1, 2), posiadającego pojedyncze wejście dla przepływu J1
i sprzężonej z nim siły X1 oraz pojedyncze wejście dla
przepływu J2 i sprzężonej z nim siły X2, równanie (1)
można zapisać w następującej postaci [2] = 2 1 22 21 12 11 2 1 X X L L L L J J (2) Należy zaznaczyć, że zgodnie z założeniami ter-modynamiki sieciowej nie ma wymogu spełnienia relacji symetrii dla współczynników nie diagonal-nych, występujących w macierzy [L], t.j. zależności
L12 = L21.
Jednym z podstawowych narzędzi badawczych transportu membranowego są równania Kedem-Kat-chalsky’ego [3]. Równania te można przekształcić do postaci zgodnej z równaniami (2) i (2a), przy pomocy stosunkowo prostych manipulacji algebraicznych [1, 3]
C L C P L Jv = p(Δ −Δπ)+ (1−σ) p Δπ (3)
gdzie: Jv i Js oznaczają strumień odpowiednio
objęto-ściowy solutu przez membranę w warunkach jedno-rodności roztworów; Lp, σ oraz ω oznaczają
odpowied-nio współczynniki: przepuszczalności hydraulicznej, odbicia oraz przepuszczalności solutu; ΔP = Ph – Pl
jest różnicą ciśnień hydrostatycznych (Ph, Pl oznacza
wyższą i niższą wartość ciśnienia hydrostatycznego), a Δπ = RT (Ch – Cl) – różnicą ciśnień osmotycznych
(RT oznacza iloczyn stałej gazowej a temperatury ter-modynamicznej, natomiast Ch i Cl i – stężenia
roz-tworów). –C = (Ch – Cl)[ln(ChCl–1)]–1 ≈ ½(Ch + Cl) jest
średnim stężeniem solutu w membranie. Wartości liczbowe współczynników Lp, σ oraz ωmożna
wy-znaczyć w serii niezależnych eksperymentów [3]. Układ równań (3) i (4), stanowiący jedną z po-staci transformowanych równań Kedem-Katchalsky’ ego dla warunków jednorodności roztworów, można zapisać w postaci równania macierzowego [1, 2]
Porównując równania (2) i (5) otrzymujemy
L11 = Lp (5a) C L C C P L C Js = (1−σ) p(Δ −Δπ)+ [ + (1− σ)2 p]Δπ (4) − − + − − = C P L C C L C L C L J J p p p p s v π π σ ω σ σ Δ Δ Δ ] ) 1 ( [ ) 1 ( ) 1 ( 2 (5) L12 = –C(1 – σ)Lp = L21 (5b) L22 = –C[ω + –C(1 – σ)2Lp] (5c) Wartości współczynników L11, L12 = L21 i L22,
obliczone na podstawie równań 5a, 5b i 5c dla jed-norodnych wodnych roztworów glukozy przenika-jących przez membranę Nephrophan, przedstawiono w poprzedniej pracy [4]. Z obliczeń wynika, że war-tość współczynnika L11 jest stała i niezależna od
stę-żenia (–C). Wartość pozostałych współczynników za-równo L12 jak i L22 rośnie liniowo wraz ze wzrostem
wartości –C.
Jak już wielokrotnie podkreślano [3, 5], założe-nie o jednorodności roztworów można zrealizować w układach fizykochemicznych, zapewniając inten-sywne mieszanie mechaniczne roztworów ogranicza-jące polaryzację stężeniową. Celem cyklu prac, którą rozpoczęła poprzednia praca [6] jest rozwinięcie termodynamiki sieciowej Peusnera na układy mem-branowe, w których transport odbywa się w warun-kach polaryzacji stężeniowej. W tej pracy, równania Kedem-Katchalsky’ego wyprowadzone przy pomocy symetrycznych transformacji sieci termodynamicz-nych Peusnera, zastosowano do interpretacji trans-portu wodnych roztworów glukozy przez membranę
Nephrophan w warunkach polaryzacji stężeniowej.
W cytowanej pracy obliczono współczynniki Rij*
(i, j = 1, 2). Pokazano, że wartość współczynników
R11*, R12* = R21* i R22* jest nieliniowo zależna
zarów-no od stężenia roztworów (–C) jak i od konfiguracji układu membranowego.
W obecnej pracy zostanie oceniony wpływ po-laryzacji stężeniowej na wartość współczynników przewodnictwa wynikających z NTP, t.j. wyznaczone zostaną współczynniki L11*, L12*, L21* oraz L22*.
Obli-czona zostanie wartość owych współczynników dla wodnych roztworów glukozy i membrany hemodia-lizacyjnej Nephrophan. Wartości tych ków zostaną porównane z wartościami współczynni-ków przewodnictwa L11, L12, L21 oraz L22, obliczonych
dla warunków jednorodności roztworów.
WSPÓŁCZYNNIKI
PRZEWODNICTWA MEMBRANY DLA WARUNKÓW
POLARYZACJI STĘŻENIOWEJ
Jak już wspomniano [4, 6], równania (2), (2a), (3)–(5), (5a)–(5d) można zastosować do układów membranowych, w których membrana rozdzie-la dwa jednorodne roztwory. Są to jednak sytuacje wyidealizowane z tego powodu, że wygenerowane
w termodynamicznym układzie membranowym gradienty sił termodynamicznych występują jedynie w poprzek membrany. W warunkach rzeczywistych po obydwu stronach membrany tworzą się sponta-nicznie warstwy dyfuzyjne [np. 3, 4, 7]. W związku z tym gradienty bodźców termodynamicznych w po-przek membrany maleją, a ubytek owych gradientów rozkłada się na gradienty w poprzek warstw dyfu-zyjnych [3, 7–9]. W pewnych warunkach warstwy dyfuzyjne mogą być częściowo niszczone przez inne procesy transportowe, takie jak np. konwekcja swo-bodna [8] (ryc. 1).
W związku z tym dla warunków rzeczywistych, co zilustrowano na ryc. 1, równania (2) i (2a) można zapisać w dwóch alternatywnych postaciach, z któ-rych pierwsza zawiera zmodyfikowany macierzowy współczynnik [L*] oraz przepływy J1* i J2*
= 2 1 * 22 * 21 * 12 * 11 * 2 * 1 X X L L L L J J (6) gdzie: = * 22 * 21 * 12 * 11 *] [ L L L L L (6a)
Z powyższych równań wynika, że w stosunku do równań (2) i (2a), niezmienione pozostają bodźce
X1 i X2. Jak już wspomniano, w powyższych
równa-niach nie ma wymogu spełnienia relacji symetrii L12*
= L21*. Z kolei druga postać równania zawiera
zmo-dyfikowane bodźce termodynamiczne X1* i X2* oraz
zmodyfikowane przepływy J1* i J2*. Postać tego
rów-nania jest następująca
= * 2 * 1 22 21 12 11 * 2 * 1 X X L L L L J J (7)
Jak widać, w tej grupie równań w stosunku do rów-nania (2), niezmieniona pozostaje macierz [L]. Rówrów-nania (6) i (7) rozszerzają zakres stosowalności NTP. W dalszej części pracy ograniczymy się do równania (6).
Otrzymane wyniki w postaci równania (6), można zastosować do wyprowadzenia równań Ke-dem-Katchalsky’ego przy pomocy transformacji sie-ci termodynamicznych, podobnie jak to uczyniono w pracy [1, 2]. Dla warunków polaryzacji stężenio-wej równania Kedem-Katchalsky’ego można zapisać w następującej postaci [5] π σ ζ ζ ζp pΔ p p v Δ vs L P L J = − (8) vs v s ss C J J = ζωΔπ+ (1−ζ σ) (9)
W powyższych równaniach Jvs oznacza strumień
objętościowy, a Jss – strumień solutu w warunkach
polaryzacji stężeniowej. Z kolei ζp, ζv i ζs są
współ-czynnikami odpowiednio hydraulicznej, osmotycz-nej i dyfuzyjosmotycz-nej polaryzacji stężeniowej. Definicje tych współczynników, wynikające z równań (8) i (9), przedstawiono w poprzedniej pracy [6].
Proste przekształcenia algebraiczne pozwalają zapisać równania (8) i (9) w postaci
C L C P L Jvs = ζp p(Δ −Δπ)+ (1− ζvσ)ζp p Δπ (10) C L C C P L C Jss = (1−ζvσ)ζp p(Δ −Δπ)+ [ζsω+ (1−ζvσ)2ζp p]Δπ C C L C P L C Jss = (1− ζvσ)ζp p(Δ −Δπ)+ [ζsω+ (1− ζvσ)2ζp p]Δπ (11) Powyższy układ równań, jest kolejną postacią transformowanych równań Kedem-Katchalsky’ego dla warunków polaryzacji stężeniowej, który można zapisać w postaci równania macierzowego
− − + − − = C P L C C L C L C L J J p p v s p p v p p v p p ss vs π π ζ σ ζ ω ζ ζ σ ζ ζ σ ζ ζ Δ Δ Δ ] ) 1 ( [ ) 1 ( ) 1 ( 2 − − + − − = C P L C C L C L C L J J p p v s p p v p p v p p ss vs π π ζ σ ζ ω ζ ζ σ ζ ζ σ ζ ζ Δ Δ Δ ] ) 1 ( [ ) 1 ( ) 1 ( 2 (12) J1* J2* X1 X2 + + − −
Ryc. 1. Ogólna reprezentacja liniowego dwu-por-tu, składającego się z dwóch przepływów (J1*, J2*)
i dwóch sił (X1, X2) dla warunków polaryzacji
stęże-niowej. Dodatni kierunek przepływu jest skierowany do skrzynki. Odpowiednia definicja końcowego por-tu wymaga, aby przepływ wchodził do dodatniego terminalu (+) i był równy przepływowi wychodzące-mu z węzła ujemnego (−) [1]
Fig. 1. General linear two port representation of a two flow (J1*, J2*) and two force (X1, X2) system for the
concentration polarization conditions. The positive direction of flow is into box. The consistent defini-tion of the terminal port requires that the flow going into positive terminal (+) equals the flow leaving the negative (−) node [1]
Porównując równania (6) i (12) otrzymujemy p pL L11* = ζ (12a) * 21 * 12 C(1 ) L L L = −ζvσ ζp p = (12b) ] ) 1 ( [ 2 * 22 C s C v pLp L = ζω+ −ζ σ ζ (12c)
W odróżnieniu od równań (5a)–(5c), równania (12a)–(12c) zawierają współczynniki ζv, ζp i ζs, które
określają warunki polaryzacji stężeniowej. Ponadto wartość współczynników L12* i L22* jest zależna od
średniego stężenia roztworów (–C).
W celu zademonstrowania wpływu polaryzacji stężeniowej na wartość współczynników obliczymy różnice L11–L11*,L12–L12*i L22–L22*, odejmując
stro-nami wyrażenia odpowiednio (12b) i (5b), (12c) i (5c) oraz (12d) i (5d). Po wykonaniu stosunkowo prostych rachunków otrzymujemy ) 1 ( * 11 11 L Lp p L − = −ζ (13) )] 1 ( 1 [ * 12 12 L CLp p p v L − = − ζ −σ − ζ ζ (14)
WYNIKI OBLICZEŃ I DYSKUSJA
W celu obliczenia współczynników L11*, L12*, L21*
oraz L22*występujących w macierzy [L*],
wykorzysta-my współczynniki wynikające z formalizmu Kedem i Katchalsky’ego i występujące w równaniach (12b), (12c) i (12d). Jak wiadomo [3] ów formalizm zawie-ra współczynniki przepuszczalności hydzawie-raulicznej (Lp), odbicia (σ) i przepuszczalności dyfuzyjnej (ω),
wyznaczane w warunkach jednorodności roztworów rozdzielanych przez membranę, t.j. w warunkach in-tensywnego mieszania roztworów przez mieszadła mechaniczne, umieszczone w układzie pomiarowym po obydwu stronach membrany [3]. Dla membrany polimerowej Nephrophan i wodnych roztworów glu-kozy o stężeniach od Ch = 0,25 mol m–3 do Ch = 10
mol m–3, wartości tych współczynników są
niezależ-ne od stężenia roztworów i wynoszą: Lp = 5 × 10–12
m3N–1s–1, σ = 0,068 i ω = 0,8 × 10–9 mol N–1s–1. Należy
zaznaczyć, że wartości tych współczynników są także niezależne od konfiguracji układu membranowego.
W warunkach polaryzacji stężeniowej, t.j. w sy-tuacji, gdy roztwory rozdzielane przez membranę są pozbawione mieszania mechanicznego, po obydwu stronach membrany tworzą się stężeniowe warstwy graniczne ograniczające przepływy objętościo-we i dyfuzyjne solutu. Fakt ten można uwzględnić, wprowadzając do termodynamicznego opisu
trans-] ) 1 ( ) 1 [( ) 1 ( 2 2 2 * 22 22 L C s C Lp v p L − = ω −ζ + −σ − −ζ σ ζ (15)
portu membranowego dodatkowe współczynniki
ζv, ζs i ζp [6, 10]. Współczynniki ζv i ζs wyznaczane
w warunkach polaryzacji stężeniowej, są zależne od stężenia roztworów rozdzielanych przez membranę i konfiguracji układu membranowego [6, 10].
Przez konfigurację rozumiemy sposób usytu-owania roztworów względem membrany. W przy-padku membrany ustawionej w płaszczyźnie ho-ryzontalnej, możliwe są dwie (A i B) konfiguracje układu membranowego. W konfiguracji A układu jednomembranowego roztwór o stężeniu mniejszym znajduje się w przedziale nad membraną, a o stężeniu większym – pod membraną. Odwrotne ustawienie roztworów względem poziomo ustawionej membra-ny daje konfigurację B. Z kolei wartość współczyn-nika ζp jest jednakowa zarówno w warunkach
jedno-rodności roztworów, jak i w warunkach polaryzacji stężeniowej i wynosi ζp = 1. Ponadto wartość tego
współczynnika jest niezależna od ΔC1.
Przedstawio-ne w poprzedniej pracy [6] stężeniowe zależności współczynników ζv i ζs przytoczono na rycinach 2 i 3.
Zostaną one wykorzystane wraz ze współczynnika-mi Lp, σ i ω, do obliczenia współczynników
przewod-nictwa L11*, L12* = L21* oraz L22*.
Z równania (12b) wynika, że wartość współczyn-nika wynosi L11* = 5 × 10–12 m3N–1s–1 i jest niezależna
zarówno od stężenia roztworów, jak i od konfiguracji układu membranowego. Porównując wartość współ-czynnika L11 przedstawiona w poprzedniej pracy [4]
oraz wartość współczynnika L11*, można łatwo
za-uważyć, żeich wartości są identyczne zarówno w wa-runkach jednorodności, jak i polaryzacji stężeniowej roztworów rozdzielanych przez membranę. Z kolei zależności współczynników L12* = L21* i L22* od
śred-niego stężenia –C i konfiguracji układu membranowe-go przedstawiono na rycinach 4 i 5. Z ryciny 4 wy-nika, że współczynniki L12* = L21* są w przybliżeniu
liniowo zależne od średniego stężenia –C i od konfi-guracji układu membranowego. Z przedstawionych na rycinie 5 zależności L22* = f(–C)dla konfiguracji A
i B układu membranowego wynika, że współczynnik
L22*jest nieliniowo zależny od średniego stężenia –C.
Jest także zależny, dla –C >15 mol m–3, od konfiguracji
układu membranowego.
Z uwagi na to, że dla badanej membrany
Neph-rophan ζp = 1, więc z równania (13) wynika, że L11
– L11* = 0. Z kolei równania (14) i (15) pokazują, że
spełnione różnice L12 – L12*i L22 – L22* są niezerowe,
co można wyrazić wprowadzając warunki L12–L12*
< 0i L22–L22*> 0. W związku z tym na rycinach 6 i
7 przedstawiono odpowiednio zależności L12* – L12 = f(–C) i L22–L22* = f(–C). Zależności przedstawione na
wartość współczynników L12 oraz, że dla –C > 15 mol
m–3 wartość L12* – L12 jest większa dla konfiguracji
A. Z kolei z zależności przedstawionych na rycinie 7 wynika, że polaryzacja stężeniowa zmniejsza war-tość współczynników L22 oraz, że dla –C > 15 mol m–3
wartość L22 – L22*jest także większa dla konfiguracji A.
W celu pokazania wpływu konfiguracji układu membranowego na wartość współczynników L11*,
L12* = L21* oraz L22*, można obliczyć różnice ΔL11*
= (L11*)A – (L11*)B, ΔL12* = (L12*)A – (L12*)B oraz ΔL22*
= (L22*)A – (L22*)B, korzystając z wyrażeń (15a), (15b)
-90 -60 -30 0 30 60 90 120 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ζv ∆C1 [mol m–3]
Ryc. 2. Zależność współczynnika polaryzacji stęże-niowej (ζv) od różnicy stężeń glukozy (ΔC1) [5]
Fig. 2. Dependences of the concentration polariza-tion coefficient (ζv) on a difference in glucose
concen-trations (ΔC1) [5] -90 -60 -30 0 30 60 90 120 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ζs ∆C1 [mol m–3]
Ryc. 3. Zależność współczynnika polaryzacji stęże-niowej (ζs) od różnicy stężeń glukozy (ΔC1) [5]
Fig. 3. Dependences of the concentration polariza-tion coefficient (ζs) on a difference in glucose
concen-trations (ΔC1) [5] 0 10 20 30 40 50 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 C L12 * 10 10 [mol N –1 s –1 ] [mol m–3] – konfiguracja A – konfiguracja B
Ryc. 4. Graficzna ilustracja zależności L12* = f(–C)
dla wodnych roztworów glukozy w warunkach po-laryzacji stężeniowej. Wartości współczynnika L12*
obliczono na podstawie równania (15c)
Fig. 4. Graphic illustration of dependence L12* = f(–C)
for aqueous glucose solutions in a concentration po-larization conditions. Values of the coefficient L12* it
was calculated on the basis of equation (15c)
0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 L22 * 10 8 [mol 2 s kg –1 m –4 ] C [mol m–3] – konfiguracja A – konfiguracja B
Ryc. 5. Graficzna ilustracja zależności L22* = f(–C)
dla wodnych roztworów glukozy w warunkach po-laryzacji stężeniowej. Wartości współczynnika L22*
obliczono na podstawie równania (15d)
Fig. 5. Graphic illustration of dependence L22* = f(–C)
for aqueous glucose solutions in a concentration po-larization conditions. Values of the coefficient L22* it
i (15c). Stosunkowo proste przekształcenia prowadzą do zależności ) ( ΔL11*=Lp ζ −pA ζpB (16) ] ) 1 ( ) 1 [( ΔL12*=CLp − σζvA ζpA− −σζpB ζpB (17) ] ) 1 ( ) 1 [ ) ( ΔL22*=Cω ζsA−ζsB +C2Lp − σζvA 2ζpA− −σζvB 2ζpB ] ) 1 ( ) 1 [ ) ( ΔL22*=Cω ζsA− ζsB +C2Lp −σζvA 2ζpA− − σζvB 2ζpB (18) W powyższych wyrażeniach indeksy A i B od-noszą się do konfiguracji układu membranowego. Z uwagi na to, że dla membrany Nephrophan i wod-nych roztworów glukozy ζp = 1, więc ζpA = ζpB = 1.
W związku z tym z równania (16) otrzymujemy ΔL11*
= 0. Niezerowe wartości przyjmują więc różnice ΔL12*
> 0 oraz ΔL22*< 0. Na rycinach 8 i 9 przedstawiono
zależności (ΔL12*)A–B = f(–C) i (ΔL22*)B–A = f(–C).
Krzy-wa przedstawiona na rycinie 8 pokazuje, że dla –C > 15 mol m–3 wartość współczynnika L12* jest większa dla
konfiguracji A, niż konfiguracji B. Z kolei z przebie-gu krzywej przedstawionej na rycinie 9 wynika, że dla –C > 15 mol m–3 wartość współczynnika L22* jest
większa dla konfiguracji B, niż konfiguracji A.
0 10 20 30 40 50 0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 2 1 (L12 * – L12 ) 10 10 [mol N –1 s –1 ] C [mol m–3]
Ryc. 6. Graficzna ilustracja zależności L12* – L12 = f(–C) dla wodnych roztworów glukozy w warunkach
polaryzacji stężeniowej dla konfiguracji A (krzywa 1) i B (krzywa 2). Wartości L12* – L12 obliczono na
podstawie równania (14)
Fig. 6. Graphic illustration of dependence L12* – L12 = f(–C) for aqueous glucose solutions in a concentration
polarization conditions for configuration A (curve 1) and B (curve 2). Values of L12*–L12 it was calculated
on the basis of equation (14)
0 10 20 30 40 50 0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 (L22 – L22 *) 10 8 [mol N –1 s –1 ] 2 1 C[mol m–3]
Ryc. 7. Graficzna ilustracja zależności L22 – L22* = f(–C) dla wodnych roztworów glukozy w warunkach
polaryzacji stężeniowej dla konfiguracji A (krzywa 1) i B (krzywa 2). Wartości L22* – L22 obliczono na
podstawie równania (15)
Fig. 7. Graphic illustration of dependence L22 – L22* = f(–C) for aqueous glucose solutions in a concentration
polarization conditions for configuration A (curve 1) and B (curve 2). Values of L22 – L22*it was calculated
on the basis of equation (15)
0 10 20 30 40 50 0,000 0,015 0,030 0,045 0,060 ( ∆ L12 * )A– B 10 10 [mol N –1 s –1 ] C[mol m–3]
Ryc. 8. Graficzna ilustracja zależności (ΔL12*)A–B =
(L12*)A – (L12*)B = f(–C), dla wodnych roztworów
glu-kozy w warunkach polaryzacji stężeniowej. Wartości (ΔL12*)A–B obliczono na podstawie równania (17)
Fig. 8. Graphic illustration of dependence (ΔL12*)A–B
= (L12*)A – (L12*)B = f(–C), for aqueous glucose solutions
in a concentration polarization conditions. Values of (ΔL12*)A–Bit was calculated on the basis of
LITERATURA
[1] Peusner L.: Studies in network thermodyna-mics. Elsevier, Amsterdam, 1986.
[2] Peusner L.: Hierarchies of irreversible energy conversion systems. II. Network derivation of li-near transport equations. J. Theoret. Biol. (1985), 115, 319–335.
[3] Katchalsky A., Curran P. F.: Nonequilibrium thermodynamics in biophysics, Harvard Univ. Press, Cambridge,1965.
[4] Ślęzak A.: Zastosowanie sieci termodynamicz-nych do interpretacji transportu w mikroukła-dach: transport jednorodnych roztworów nie-elektrolitów przez membranę polimerową. Po-lim. Med. (2011), 41, 1, 29–41.
[5] Ślęzak A.: Irreversible thermodynamic model equ-ations of the transport across a horizontally moun-ted membrane. Biophys. Chem. (1989), 34, 91–102. [6] Ślęzak A.: Zastosowanie sieci
termodynamicz-nych do interpretacji transportu membranowe-go: ocena współczynników oporowych membra-ny polimerowej w warunkach polaryzacji stęże-niowej. Polim. Med. (2011), 41, 1, 42–51.
[7] Barry P. H., Diamond J. M.: Effects of unstir-red layers on membrane phenomena. Physiol. Rev. (1984), 64, 763–872.
[8] Dworecki K., Ślęzak A., Ornal-Wąsik B., Wąsik S.: Effect of hydrodynamic instabilities on solute transport in a membrane system. J. Membr. Sci. (2005), 265, 94–100.
[9] Ślęzak A., Grzegorczyn S., Jasik-Ślęzak J., Michalska-Małecka K.: Natural convection as an asymmetrical factor of the transport thro-ugh porous membrane. Transport in Porous Me-dia (2010), 84, 685–698.
[10] Jasik-Ślęzak J., Ślęzak A.: Opis termodyna-miczny polaryzacji stężeniowej w transporcie membranowym roztworów nieelektrolitów. Po-lim. Med. (2010), 40, 4, 49–55.
Adres do korespondencji
Katedra Zdrowia Publicznego, Wydział Zarządzania Politechnika Częstochowska
al. Armii Krajowej 36b, 42-200 Częstochowa tel. (34) 325 0395, tel./fax (34)361 3876 e-mail: andrzejslezak@poczta.onet.pl 0 10 20 30 40 50 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 ( ∆ L22 * )B– A 10 8 [mol N –1 s –1 ] C [mol m–3]
Ryc. 9. Graficzna ilustracja zależności (ΔL22*)B–A =
(L22*)B–(L22*)A = f(–C), dla wodnych roztworów
glu-kozy w warunkach polaryzacji stężeniowej. Wartości (ΔL22*)B–A obliczono na podstawie równania (18)
Fig. 9. Graphic illustration of dependence (ΔL22*)B–A
= (L22*)B – (L22*)A = f(–C), for aqueous glucose solutions
in a concentration polarization conditions. Values of (ΔL22*)B–A it was calculated on the basis of equation
(18)
WNIOSKI
Z przedstawionych badań wynika, że:
1. Dla układu zawierającego membranę polimero-wą Nephrophan i wodne roztwory glukozy war-tość współczynnika przewodnictwa L11* jest
sta-ła, tzn. niezależna od stężenia roztworów i kon-figuracji układu membranowego.
2. Wartości współczynników przewodnictwa L12*
= L21* są liniowo, a współczynnika L22*
nielinio-wo zależne od stężenia roztnielinio-worów rozdzielanych przez membranę.
3. Istnieje progowa wartość stężenia, powyżej któ-rej warunki polaryzacji stężeniowej zmieniają wartość współczynników przewodnictwa L12* = L21* i L22*, zależną od konfiguracji układu
mem-branowego.
